2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：3.2数学证明

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§2　数学证明
1．理解演绎推理的概念．(重点)
2．掌握演绎推理的基本模式，并能用它们进行一些简单的推理．(重点)
3．能用“三段论”证明简单的数学问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　数学证明
阅读教材P58～P59“例2”以上部分，完成下列问题．
1．证明
(1)证明命题的依据：命题的条件和已知的定义、公理、定理．
(2)证明的方法：演绎推理．
2．演绎推理的主要形式
演绎推理的一种形式：三段论，其推理形式如下：
(1)大前提：提供了一个一般性道理．
(2)小前提：研究对象的特殊情况．
(3)结论：根据大前提和小前提作出的判断．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理．(　　)
(2)演绎推理的结论是一定正确的．(　　)
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(　　)
【答案】　(1)×　(2)×　(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
把演绎推理写成三段论的形式
　将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)一切奇数都不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数；
(2)三角形的内角和为180°，Rt△ABC的内角和为180°；
(3)通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．
【精彩点拨】　三段论推理是演绎推理的主要模式，推理形式为“如果b c，a b，则a c.”其中，b c为大前提，提供了已知的一般性原理；a b为小前提，提供了一个特殊情况；a c为大前提和小前提联合产生的逻辑结果．
【自主解答】　(1)一切奇数都不能被2整除．(大前提)
75不能被2整除．(小前提)
75是奇数．(结论)
(2)三角形的内角和为180°.(大前提)
Rt△ABC是三角形．(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.(结论)
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．(大前提)
通项公式an＝3n＋2，n≥2时，
an－an－1＝3n＋2－[3(n－1)＋2]＝3(常数)．(小前提)
通项公式为an＝3n＋2(n≥2)的数列{an}为等差数列．(结论)
把演绎推理写成“三段论”的一般方法：
(1)用“三段论”写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般性原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示一般性原理与特殊情况的内在联系．www.21-cn-jy.com
(2)在寻找大前提时，要保证推理的正确性，可以寻找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
[再练一题]
1．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；
(2)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.
【解析】　(1)平行四边形的对角线互相平分，(大前提)
菱形是平行四边形，(小前提)
菱形的对角线互相平分．(结论)
(2)等腰三角形的两底角相等，(大前提)
∠A，∠B是等腰三角形的两底角，(小前提)
∠A＝∠B.(结论)
演绎推理在几何中的应用
　如图3 2 1所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理.
图3 2 1
【精彩点拨】　用三段论的模式依次证明：(1)DF∥AE，(2)四边形AEDF为平行四边形，(3)DE＝AF.21世纪教育网版权所有
【自主解答】　(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以DE＝AF.(结论)
1．用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清楚证明命题的一般思路；
(2)找出每一个结论得出的原因；
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来．
2．几何证明问题中，每一步都包含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般性原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．www-2-1-cnjy-com
[再练一题]
2．证明：如果梯形的两腰和一底相等，那么它的对角线必平分另一底上的两个角．
【解】　已知在梯形ABCD中(如图所示)，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线，求证：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.21cnjy.com
证明：①等腰三角形的两底角相等，(大前提)
△DAC是等腰三角形，DC＝DA，(小前提)
∠1＝∠2.(结论)
②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，(大前提)
∠1和∠3是平行线AD，BC被AC
所截的内错角，(小前提)
∠1＝∠3.(结论)
③等于同一个量的两个量相等，(大前提)
∠2，∠3都等于∠1，(小前提)
∠2和∠3相等．(结论)
即CA平分∠BCD.
④同理BD平分∠CBA.
[探究共研型]
演绎推理在代数中的应用
探究1　演绎推理的结论一定正确吗？
【提示】　演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论一定正确．21·cn·jy·com
探究2　因为对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)是增函数，而y＝x是对数函数，所以y＝x是增函数．21
cnjy
com
上面的推理形式和结论正确吗？
【提示】　推理形式正确，结论不正确．因为大前提是错误的．
　已知a，b，m均为正实数，b【精彩点拨】　利用不等式的性质证明．
【自主解答】　因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b0，(小前提)
所以mb因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)
mb所以mb＋ab因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提)
b(a＋m)0，(小前提)
所以<，即<.(结论)
代数问题中常见的利用三段论证明的命题：
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图像与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明．
[再练一题]
3．当a，b为正实数时，求证：≥.
【解】　因为一个实数的平方是非负实数，(大前提)
而－＝2是一个实数的平方，(小前提)
所以－是非负实数，即－≥0.
所以≥.(结论)
[构建·体系]
1．下面几种推理过程是演绎推理的是(　　)
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得出高三所有班级中的人数都超过50人【来源：21cnj
y.co
m】
C．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4猜想出an的通项公式
【解析】　A是演绎推理，B，D是归纳推理，C是类比推理．
【答案】　A
2．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2>0”，你认为这个推理(　　)
A．大前提错误　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．是正确的
【解析】　这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误．
【答案】　A
3．函数y＝2x＋5的图像是一条直线，用三段论表示为：
大前提：________________________________________________________；
小前提：________________________________________________________；
结论：___________________________________________________________.
【答案】　一次函数的图像是一条直线
函数y＝2x＋5是一次函数
函数y＝2x＋5的图像是一条直线
4．如图3 2 2所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，BC＝AD.
图3 2 2
又因为△ABC和△CDA的三边对应相等，所以△ABC≌△CDA.
上述推理的两个步骤中分别省略了
________、________.
【答案】　大前提　大前提
5．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等；
(2)0.是有理数．
【解】　(1)因为矩形的对角线相等，(大前提)
而正方形是矩形，(小前提)
所以正方形的对角线相等．(结论)
(3)所有的循环小数都是有理数，(大前提)
0.是循环小数，(小前提)
所以，0.是有理数．(结论)
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．给出下面一段演绎推理：
有理数是真分数，(大前提)
整数是有理数，(小前提)
整数是真分数．(结论)
结论显然是错误的，是因为(　　)
A．大前提错误　　　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　举反例，如2是有理数，但不是真分数，故大前提错误．
【答案】　A
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC方框部分的证明是演绎推理的(　　)
A．大前提
B．小前提
C．结论
D．三段论
【解析】　因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC【答案】　B
3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是(　　)
A．①④　　　　　　
B．②④
C．①③
D．②③
【解析】　根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
【答案】　A
4．(2016·郑州高二检测)在R上定义运算 ：x y＝x(1－y)．若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，则(　　)2·1·c·n·j·y
A．－1B．0C．－D．－【解析】　∵x y＝x(1－y)，
∴(x－a) (x＋a)＝(x－a)(1－x－a)＝－x2＋x＋a2－a<1.∴x2－x－a2＋a＋1>0，∵不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x都成立，【出处：21教育名师】
∴Δ＝1－4×(－a2＋a＋1)<0，
解得－【答案】　C
5．“四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充该推理的大前提是(　　)
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
【解析】　得出“四边形ABCD的对角线相等”的大前提是“矩形的对角线相等”．
【答案】　B
二、填空题
6．在三段论“因为a＝(1,0)，b＝(0，－1)，所以a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0，所以a⊥b”中，21教育网
大前提：________________________________________________________，
小前提：________________________________________________________，
结论：___________________________________________________________.
【解析】　本题省略了大前提，即“a，b均为非零向量，若a·b＝0，则a⊥b”．
【答案】　若a，b均为非零向量，a·b＝0，则a⊥b
a＝(1,0)，b＝(0，－1)，且a·b＝(1,0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0　a⊥b
7．(2016·苏州高二检测)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除．其演绎推理的“三段论”的形式为____________________________________________________________________.
【答案】　一切奇数都不能被2整除，(大前提)
2100＋1是奇数，(小前提)
所以2100＋1不能被2整除．(结论)
8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)，且f(1)＝2，则＋＋…＋＋＝________.【版权所有：21教育】
【解析】　利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N
)．(大前提)
令b＝1，则＝f(1)＝2.(小前提)
∴＝＝…＝＝＝2，
(结论)
∴原式＝2＋2＋…＋＝2
018.
【答案】　2
018
三、解答题
9．用三段论的形式写出下列演绎推理．
(1)自然数是整数，所以6是整数；
(2)y＝cos
x(x∈R)是周期函数．
【解】　(1)自然数是整数，(大前提)
6是自然数，(小前提)
所以6是整数．(结论)
(2)三角函数是周期函数，(大前提)
y＝cos
x(x∈R)是三角函数，(小前提)
所以y＝cos
x(x∈R)是周期函数．(结论)
10．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y).
(1)求证：f(x2)＝2f(x)；
(2)求f(1)的值；
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
【解】　(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，(大前提)
∴f(x2)＝f(x·x)
＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．(结论)
(2)∵f(1)＝f(12)＝2f(1)，(小前提)
∴f(1)＝0.(结论)
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f(x(x＋3))≤2
＝2f(2)＝f(4)，(小前提)
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(大前提)
∴解得0[能力提升]
1．有一段演绎推理是这样的：直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b 平面α，直线a 平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a.结论显然是错误的，这是因为(　　)21·世纪
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A．大前提错误　　
B．小前提错误
C．推理形式错误
D．非以上错误
【解析】　大前提是错误的，直线平行于平面，但不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．
【答案】　A
2．“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　当“对任意的正数x，都有2x＋≥1”成立时，a≥x－2x2对x∈R＋恒成立，
而x－2x2＝－22＋≤，
∴a≥.
∵(1,2)?，
∴“1【答案】　A
3．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N
(m，n∈N
)，且对任意m，n∈N
都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，
②f(m＋1,1)＝2f(m,1)．
给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9，(2)f(5,1)＝16，(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为__________．
【解析】　由题设条件可知：
(1)f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6
＝f(1,1)＋8＝1＋8＝9.
(2)f(5,1)＝2f(4,1)＝4f(3,1)＝8f(2,1)
＝16f(1,1)＝16.
(3)f(5,6)＝f(5,5)＋2＝f(5,4)＋4＝…＝f(5,1)＋10＝2f(4,1)＋10＝4f(3,1)＋10＝…＝16f(1,1)＋10＝16＋10＝26.2-1-c-n-j-y
【答案】　(1)(2)(3)
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N
.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn；
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N
都成立．
【解】　(1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N
.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N
，
Sn＋1－4Sn＝＋－
4＝－(3n2＋n－4)≤0.
所以不等式Sn＋1≤4Sn对任意n∈N
都成立．
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