2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：3.3.2分析法

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3.2　分析法
1．了解分析法的思维过程、特点．(重点)
2．会用分析法证明数学问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理　分析法
阅读教材P61～P63，完成下列问题．
1．分析法的定义
从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．【来源：21cnj
y.co
m】
2．分析法证明的思维过程
用Q表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图3 3 6表示为：
→→→…→
图3 3 6
3．综合法和分析法的综合应用
在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，即可证明结论成立．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分析法就是从结论推向已知．(　　)
(2)分析法的推理过程要比综合法优越．(　　)
(3)并不是所有证明的题目都可使用分析法证明．(　　)
【解析】　(1)错误．分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程．【来源：21·世纪·教育·网】
(2)错误．分析法和综合法各有优缺点．
(3)正确．一般用综合法证明的题目均可用分析法证明，但并不是所有的证明题都可使用分析法证明．
【答案】　(1)×　(2)×　(3)√
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
应用分析法证明不等式
　已知a>b>0，求证：<－<.
【精彩点拨】　本题用综合法不易解决，由于变形后均为平方式，因此要先将式子两边同时开方，再找出使式子成立的充分条件．21cnjy.com
【自主解答】　要证<－
<，
只需证<<.
∵a>b>0，
∴同时除以，得<1<，
同时开方，得<1<，
只需证＋<2，且＋>2，
即证<，即证b∵a>b>0，∴原不等式成立，
即<－<.
1．分析法证明不等式的思维是从要证的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件为已知(或已证)的不等式．21世纪教育网版权所有
2．分析法证明数学命题的过程是逆向思维，即结论 … … …已知，因此，在叙述过程中，“要证”“只需证”“即证”等词语必不可少，否则会出现错误．
[再练一题]
1．(2016·合肥高二检测)已知a>0，求证：－≥a＋－2.
【证明】　要证－≥a＋－2，
只需证＋2≥a＋＋，
即证2≥2，
即a2＋＋4
＋4≥a2＋＋2
＋4，
只需证2≥
.
只需证4≥2，
即a2＋≥2.
上述不等式显然成立，故原不等式成立．
用分析法证明其他问题
　(2016·合肥高二检测)求证：以过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．21·世纪
教育网
【精彩点拨】　
【自主解答】　如图所示，过点A，B分别作AA′，BB′垂直准线于点A′，B′，取AB的中点M，作MM′垂直准线于点M′.要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|.由抛物线的定义有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)．
根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物线y2＝2px焦点的弦为直径的圆必与直线x＝－相切．www-2-1-cnjy-com
1．分析法是逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法．
2．分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知，即已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等．2-1-c-n-j-y
[再练一题]
2．已知＝1，求证：cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)．
【证明】　要证cos
α－sin
α＝3(cos
α＋sin
α)，
只需证＝3，只需证＝3，
只需证1－tan
α＝3(1＋tan
α)，只需证tan
α＝－.
∵＝1，∴1－tan
α＝2＋tan
α，即2tan
α＝－1.
∴tan
α＝－显然成立，∴结论得证．
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用
探究1　综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
【提示】　综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．【出处：21教育名师】
探究2　综合法与分析法有什么区别？
【提示】　综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
　在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，则能使x，a，y成等差数列；若插入两个数b，c，则能使x，b，c，y成等比数列，求证：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1).
21教育名师原创作品
【精彩点拨】　可用分析法找途径，用综合法由条件顺次推理，易于使条件与结论联系起来．
【自主解答】　由已知条件得
消去x，y得2a＝＋，
且a>0，b>0，c>0.
要证(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，
只需证a＋1≥，因≤，
只需证a＋1≥，
即证2a≥b＋c.
由于2a＝＋，
故只需证＋≥b＋c，
只需证b3＋c3＝(b＋c)(b2＋c2－bc)≥(b＋c)bc，
即证b2＋c2－bc≥bc，即证(b－c)2≥0.
因为上式显然成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．
综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
[再练一题]
3．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证：＋＝.
【证明】　要证＋＝，
即证＋＝3，
即证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证c2＋a2＝ac＋b2.
∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A＋C，
又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
∵c2＋a2－b2＝2accos
B，
∴c2＋a2－b2＝ac，
∴c2＋a2＝ac＋b2，
∴＋＝成立．
[构建·体系]
1．要证明＋>2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)
A．综合法　　　　
B．分析法
C．比较法
D．归纳法
【解析】　由分析法和综合法定义可知选B.
【答案】　B
2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)
A．a≤
B．ab≥
C．a2＋b2≥2
D．a2＋b2≤3
【解析】　∵a＋b＝2≥2，∴ab≤1.
∵a2＋b2＝4－2ab，∴a2＋b2≥2.
【答案】　C
3.－<成立的充要条件是(　　)
A．ab(b－a)>0
B．ab>0且a>b
C．ab<0且aD．ab(b－a)<0
【解析】　－< (－)3<()3 a－b－3＋3 ab2【答案】　D
4．设a>0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
【解析】　因为a＋b＋c＝1，且a>0，b>0，c>0，
所以＋＋＝＋＋
＝3＋＋＋＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
＝3＋6＝9.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
【答案】　9
5．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
【证明】　法一：(分析法)
要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，
只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0成立．
所以原不等式a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca成立．
法二：(综合法)
因为a，b，c∈R，
所以(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0.
又因为a，b，c不全相等，
所以(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2>0，
所以(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，
所以2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，
所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
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我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若a，b∈R，则>成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．ab>0　　　　　　
B．b>a
C．aD．ab(a－b)<0
【解析】　由a，但>不能推出a∴a成立的一个充分不必要条件．
【答案】　C
2．求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只需证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，即证>，
∵35>11，
∴原不等式成立．
以上证明应用了(　　)
A．分析法
B．综合法
C．分析法与综合法配合使用
D．间接证法
【解析】　该证明方法符合分析法的定义，故选A.
【答案】　A
3．(2016·汕头高二检测)要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0
B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0
D．(a2－1)(b2－1)≥0
【解析】　要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(a2－1)＋b2(1－a2)≤0，只要证明(a2－1)(1－b2)≤0，即证(a2－1)(b2－1)≥0.21教育网
【答案】　D
4．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足什么条件(　　)
A．a2B．a2＝b2＋c2
C．a2>b2＋c2
D．a2≤b2＋c2
【解析】　由余弦定理得
cos
A＝<0，
∴b2＋c2－a2<0，
即b2＋c2【答案】　C
5．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
【解析】　由题意知 b2＋a(a＋b)<3a2 b2＋a2＋ab<3a2
b2＋ab<2a2 2a2－ab－b2>0
a2－ab＋a2－b2>0 a(a－b)＋(a＋b)(a－b)>0
a(a－b)－c(a－b)>0 (a－b)(a－c)>0，故选C.
【答案】　C
二、填空题
6．(2016·烟台高二检测)设A＝＋，B＝(a>0，b>0)，则A，B的大小关系为________．www.21-cn-jy.com
【解析】　∵A－B＝－＝＝≥0，∴A≥B.
【答案】　A≥B
7．(2016·西安高二检测)如果a>b，则实数a，b应满足的条件是________．
【解析】　要使a>b成立，只需(a)2>(b)2，只需a3>b3>0，即a，b应满足a>b>0.2·1·c·n·j·y
【答案】　a>b>0
8．如图3 3 7，四棱柱ABCD A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C.(写出一个条件即可)21
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图3 3 7
【解析】　要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
【答案】　AC⊥BD(或底面为菱形)
三、解答题
9．设a，b>0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
【证明】　法一：分析法
要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立，
又因a＋b>0，
只需证a2－ab＋b2>ab成立，
只需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立，
由此命题得证．
法二：综合法
a≠b a－b≠0 (a－b)2>0 a2－2ab＋b2>0 a2－ab＋b2>ab.
注意到a，b>0，a＋b>0，由上式即得
(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)，
∴a3＋b3>a2b＋ab2.
10．(2016·深圳高二检测)已知三角形的三边长为a，b，c，其面积为S，求证：a2＋b2＋c2≥4S.【版权所有：21教育】
【证明】　要证a2＋b2＋c2≥4S，
只要证a2＋b2＋(a2＋b2－2abcos
C)≥2absin
C，
即证a2＋b2≥2absin(C＋30°)，
因为2absin(C＋30°)≤2ab，
只需证a2＋b2≥2ab，
显然上式成立，所以a2＋b2＋c2≥4S.
[能力提升]
1．已知a，b，c，d为正实数，且<，则(　　)
A.<<
B.<<
C.<<
D．以上均可能
【解析】　先取特殊值检验，∵<，
可取a＝1，b＝3，c＝1，d＝2，
则＝，满足<<.
∴B，C不正确．
要证<，∵a，b，c，d为正实数，
∴只需证a(b＋d)只需证<，而<成立，
∴<.同理可证<.故A正确，D不正确．
【答案】　A
2．(2016·黄冈高二检测)下列不等式不成立的是(　　)
A．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca
B.＋>(a>0，b>0)
C.－<－(a≥3)
D.＋>2
【解析】　对于A，∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；21
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对于B，∵(＋)2＝a＋b＋2，()2＝a＋b，∴＋>；
对于C，要证－<－(a≥3)成立，只需证明＋<＋，两边平方得2a－3＋2<2a－3＋
2，即<，两边平方得a2－3a对于D，(＋)2－(2)2＝12＋4－24＝4(－3)<0，∴＋<2，故D错误．
【答案】　D
3．使不等式＋2>1＋成立的正整数p的最大值是________．
【解析】　由＋2>1＋，得<＋2－1，
即p<(＋2－1)2，
所以p<12＋4－4－2，
由于12＋4－4－2≈12.7，因此使不等式成立的正整数p的最大值是12.
【答案】　12
4．(2016·唐山高二检测)已知a，b，c是不全相等的正数，且0＋logx
＋logx
【证明】　要证明logx＋logx＋logx只需要证明logx而已知0abc.
∵a，b，c是不全相等的正数，
∴≥>0，≥>0，≥>0，
∴··>＝abc，
即··>abc成立，
∴logx＋logx＋logx21世纪教育网
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