2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：4.1数系的扩充与复数的引入

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§1　数系的扩充与复数的引入
1．1　数的概念的扩展
1．2　复数的有关概念
1．了解引入虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．(重点)
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．(易混点)
4．理解复数的几何表示．(难点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的有关概念及分类
阅读教材P73部分，完成下列问题．
1．复数的有关概念
(1)复数
①定义：形如a＋bi的数叫作复数，其中a，b∈R，i叫作虚数单位．a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部．【出处：21教育名师】
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(2)复数集
①定义：复数的全体组成的集合叫作复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数a＋bi，a，b∈R.
(2)集合表示：
图4 1 1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．(　　)
(3)bi是纯虚数．(　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．(　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
教材整理2　复数的有关概念
阅读教材P74“1.2复数的有关概念”以下至P75“练习”以上部分，完成下列问题．
1．两个复数相等
a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c，且b＝d.
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面向量＝(a，b)．
3．复数的模
设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，且|z|＝.21世纪教育网版权所有
如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝－1　　　　　
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
【解析】　∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1.
【答案】　A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
复数的概念与分类
　(1)若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值是(　　)
A．－1　
B．1　　　
C．±1　　　
D．－1或－2
(2)已知复数z＝a＋(a2－1)i是实数，则实数a的值为________．
(3)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数？②虚数？③纯虚数？
【精彩点拨】　依据复数的分类标准，列出方程(不等式)组求解．
【自主解答】　(1)∵(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，∴由x2－1＝0，得x＝±1，又由x2＋3x＋2≠0，得x≠－2且x≠－1，∴x＝1.
(2)∵z是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±1.
【答案】　(1)B　(2)±1
(3)①当即m＝2时，复数z是实数．
②当m2－2m≠0，且m≠0，
即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
③当
即m＝－3时，复数z是纯虚数．
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.21cnjy.com
[再练一题]
1．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)
A．|a|＝|b|　　　　
B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b
D．a>0且a＝±b
【解析】　要使复数z为纯虚数，则
∴a>0，a＝±b.故选D.
【答案】　D
复数相等
　(1)下列命题：
①若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
②x＋yi＝2＋2i x＝y＝2；
③若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　
B．1
C．2　　　
D．3
(2)已知x，y∈R，(x＋2y－1)＋(x－3y＋4)i＝10－5i，求x，y.
【精彩点拨】　根据复数相等的充要条件求解．
【自主解答】　(1)命题①②中未明确a，b，x，y是否为实数，从而a，x不一定为复数的实部，b，y不一定是复数的虚部，故命题①②错误；命题③中，y∈R，从而y2－1，－(y－1)是实数，根据复数相等的条件得21教育网
∴y＝1，故③正确．
【答案】　B
(2)因为x，y∈R，所以(x＋2y－1)，(x－3y＋4)是实数，所以由复数相等的条件得
解得
所以x＝3，y＝4.
1．复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c，d∈R，则z1＝z2 a＝c且b＝d.
2．复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：2-1-c-n-j-y
(1)等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式；
(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；
(3)解方程组，求出相应的参数．
[再练一题]
2．(1)(2016·重庆高二检测)若(x－y)＋(2x－3)i＝(3x＋y)＋(x＋2y)i(其中x，y为实数)，则x＝________，y＝________.21
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(2)已知(2x＋8y)＋(x－6y)i＝14－13i，则xy＝________.
【解析】　(1)由复数相等的意义得
所以
(2)由复数相等的意义，得
解得
所以xy＝－2.
【答案】　(1)1　－1　(2)－2
[探究共研型]
复数的几何意义
探究1　若向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，如何求1＋2对应的复数？
【提示】　因为向量对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i，所以1＝(5，－4)，2＝(－5,4)，所以1＋2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以1＋2对应的复数是0.【来源：21cnj
y.co
m】
探究2　若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？
【提示】　a满足即－1＜a＜1.
　(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是(　　)
A．－
B.i
C．±i
D．±
(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小．
【精彩点拨】　(1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．
(2)用求模的公式直接计算．
【自主解答】　(1)设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±，选D.
【答案】　D
(2)因为z1＝6＋8i，z2＝－－i，
所以|z1|＝＝10，
|z2|＝＝.
因为10>，所以|z1|>|z2|.
1．复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可以根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．2·1·c·n·j·y
2．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．
3．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
[再练一题]
3．(1)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|<4，求实数a的取值范围．
【解析】　(1)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.www-2-1-cnjy-com
【答案】　－6－8i
(2)∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝
，
由已知得<4，
∴a2<7，
∴a∈(－，
)．
[构建·体系]
1．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)21
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A．0　　　　　
　　
B．1
C．2
D．3
【解析】　复数的平方不一定大于0，故①错误；2i－1的虚部为2，故②错误；2i的实部是0，③正确，故选B.21教育名师原创作品
【答案】　B
2．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|等于(　　)
A．5
B．8
C．6
D．
【解析】　|z|＝＝.
【答案】　D
3．下列命题正确的是__________(填序号)．
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集．
【解析】　①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．
②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．
③由复数集的分类知，③正确，是真命题．
【答案】　③
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
【解析】　∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.
【答案】　(3，＋∞)
5．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．
【解】　z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.
(1)令m2－m－6＝0 m＝3或m＝－2，即m＝3或m＝－2时，z为实数．
(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．
(3)由解得m＝－1，
所以m＝－1时，z是纯虚数．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·泰安高二检测)－(2－i)的虚部是(　　)
A．－2　　　　　　
B．－
C.
D．2
【解析】　∵－(2－i)＝－2＋i，
∴其虚部是.
【答案】　C
2．(2016·青岛高二检测)在复平面内，复数z＝sin
2＋icos
2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】　∵sin
2>0，cos
2<0，
∴复数z对应的点(sin
2，cos
2)在第四象限．故选D.
【答案】　D
3．(2016·肇庆高二检测)若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　)
A．－2＋i
B．2＋i
C．1－2i
D．1＋2i
【解析】　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.21·世纪
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【答案】　B
4．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(　　)
A．a≠2或a≠1
B．a≠2，且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
【解析】　由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D.
【答案】　D
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝(　　)
A．－＋i
B.－i
C．－－i
D．＋i
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得解得即z＝＋i.
【答案】　D
二、填空题
6．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝__________.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】　依题意有解得m＝－3.
【答案】　－3
7．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是__________．
【解析】　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数是3－3i.
【答案】　3－3i
8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
【解析】　∵|z|＝3，
∴＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．
【答案】　以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆
三、解答题
9．已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时；
(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝－4i
【解】　(1)∵z∈R，
∴解得m＝－3，
∴当m＝－3时，z∈R.
(2)∵z是虚数，
∴即
∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．
(3)∵z是纯虚数，
∴即
∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．
(4)∵z＝－4i，
∴即
∴m＝－1时，z＝－4i.
10．已知O为坐标原点，1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若1与2共线，求a的值．21·cn·jy·com
【解】　因为1对应的复数为－3＋4i，2对应的复数为2a＋i，所以1＝(－3,4)，2＝(2a,1)．因为1与2共线，所以存在实数k使2＝k1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
[能力提升]
1．若复数z＝＋i是纯虚数，则tan的值为(　　)
A．－7　　　　　　　　
B．－
C．7
D．－7或－
【解析】　∵复数z是纯虚数，
∴∴sin
θ＝且cos
θ≠，∴cos
θ＝－.
∴tan
θ＝＝－.
∴tan＝＝＝－7，故选A.
【答案】　A
2．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)www.21-cn-jy.com
A．1＋i
B．2
C．(－1,
)
D．－1＋i
【解析】　设复数z对应的点为(x，y)，则
x＝|z|·cos
120°＝2×＝－1，
y＝|z|·sin
120°＝2×＝，
∴复数z对应的点为(－1,
)，∴z＝－1＋i.
【答案】　D
3．复数z＝－5－12i在复平面内对应的点到原点的距离为__________．
【解析】　复数z＝－5－12i在复平面内对应点Z(－5，－12)，所以点Z与原点O的距离为|OZ|＝＝13.【版权所有：21教育】
【答案】　13
4．若m为实数，z1＝(m2＋1)＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝(4m＋2)＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【解】　当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
解得m＝0或m＝－1或m＝－2，
∴z1＝1或z1＝2或z1＝5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
解得m＝0或m＝1或m＝4，
∴z2＝2或z2＝6或z2＝18.
上面m的公共值为m＝0，此时，z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.
∴当z1>z2时，m值的集合为空集；当z121世纪教育网
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