2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：4.2复数的四则运算

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§2　复数的四则运算
2．1　复数的加法与减法
2．2　复数的乘法与除法
1．理解共轭复数的概念．(重点)
2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1　复数的加法与减法
阅读教材P77“例1”以上部分，完成下列问题．
1．复数的加法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.21教育网
2．复数的减法
设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.21cnjy.com
复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)
A．0　　　　　　　
B．＋i
C.－i
D．－i
【解析】　z1＋z2＝＋i＝－i.
【答案】　C
教材整理2　复数的乘法与除法
阅读教材P78“练习”以下～P80，完成下列问题．
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.21
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2．复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
3.共轭复数
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z的共轭复数用来表示，即z＝a＋bi，则＝a－bi.
4．复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.
(1＋i)2－＝________.
【解析】　∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i.
【答案】　－＋i
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问2：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
疑问3：________________________________________________________
解惑：__________________________________________________________
[小组合作型]
复数的加法与减法运算
　(1)＋(2－i)－＝________；
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z；
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】　(1)根据复数的加法与减法法则计算．
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解．
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，再根据复数相等求解．
【自主解答】　(1)＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i.
【答案】　1＋i
(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.
1．复数加法与减法运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
[再练一题]
1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A．－1＋i　
B．1－i　　　
C．i　　　
D．－i
【解析】　(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.
【答案】　A
(2)已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则21世纪教育网版权所有
由①可得y＝3.
∴z＝3i.
【答案】　3i
复数的乘法与除法运算
　已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：
(1)z1·z2和z；
(2)z1÷z2和z÷z1.
【精彩点拨】　按照复数的乘法和除法法则进行．
【自主解答】　(1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.
z＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.
(2)z1÷z2＝＝＝＝＋i.
z÷z1＝＝＝
＝＝－－i.
1．实数中的乘法公式在复数范围内仍然成立．
2．复数的四则运算次序同实数的四则运算一样，都是先算乘除，再算加减．
3．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
[再练一题]
2．(1)满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　)
A.＋i　　　　　
B．－i
C．－＋i
D．－－i
(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A．1　　　　　　
B．2
C.
D．
【解析】　(1)∵＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．
∴z＝＝＝＝－i.
(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝＝＝1＋i，
∴|z|＝＝.
【答案】　(1)B　(2)C
[探究共研型]
共轭复数的应用
探究1　两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
【提示】　若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．21·cn·jy·com
探究2　若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？
【提示】　|z1|＝|z2|.
　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z.
【精彩点拨】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．www.21-cn-jy.com
【自主解答】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i.
[再练一题]
3．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．2·1·c·n·j·y
【解】　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，
z2＝＝＝＝＋i，
由于z1和z2互为共轭复数，所以有
解得
[构建·体系]
1．设z1＝2＋i，z2＝1－5i，则|z1＋z2|为(　　)
A.＋　　　　
B．5
C．25
D．
【解析】　|z1＋z2|＝|(2＋i)＋(1－5i)|
＝|3－4i|＝＝5.
【答案】　B
2．已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝(　　)
A．－3＋i
B．－1＋3i
C．－3＋3i
D．－1＋i
【解析】　(－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.
【答案】　B
3．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x＝________.
【解析】　∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，
∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.
∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2.
【答案】　－2
4．若＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝________.
【解析】　因为＝＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.
【答案】　2
5．已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，【来源：21·世纪·教育·网】
∴z＝1＋2i或－1－2i，
∴＝1－2i或－1＋2i，
∴＝±(1－2i)．
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
学业分层测评(十三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　)
A．1　　　　　　　
B．2
C．－2
D．－1
【解析】　z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，
∴∴x＝y＝1.
∴xy＝1.
【答案】　A
2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝(　　)
A．0
B．6i
C．6
D．6－6i
【解析】　∵z＋3i－3＝3－3i，
∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
【答案】　D
3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为(　　)
A．1
B．2
C.
D．
【解析】　由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.21·世纪
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【答案】　C
4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是(　　)www-2-1-cnjy-com
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【解析】　复数z1对应向量，复数z2对应向量.
则|z1＋z2|＝|＋|，|z1－z2|＝|－|，
依题意有|＋|＝|－|.
∴以，为邻边所作的平行四边形是矩形．
∴△AOB是直角三角形．
【答案】　B
5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　)
A.
B.
C．1
D．2
【解析】　∵z＝＝＝
＝＝＝－＋，
∴＝－－，
∴z·＝.
【答案】　A
二、填空题
6．复数的值是________
.
【解析】　＝＝－1.
【答案】　－1
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.
【解析】　∵＝b＋i，
∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，
∴a＋b＝1.
【答案】　1
8．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
【解】　法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)．
则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.
∴解得
∴z＝－15＋8i.
法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.
【答案】　－15＋8i
三、解答题
9．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
【解】　(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.2-1-c-n-j-y
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.
(1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
【解】　(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，
所以复数z的共轭复数为－2－4i.
(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.
又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，
所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.
[能力提升]
1．(2016·宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是(　　)
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【解析】　A，|z1－z2|＝0 z1－z2＝0 z1＝z2 1＝2，真命题；
B，z1＝2 1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2| |z1|2＝|z2|2 z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．
【答案】　D
2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　)
A．2
B．4　　
C．4　　
D．16
【解析】　由|z－4i|＝|z＋2|，得
|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，
∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，
即x＋2y＝3，
∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，
当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.
【答案】　C
3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为__________．
【解析】　z＝＝
＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.
∴z的虚部为1.
【答案】　1
4．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.
【解】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.
因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.
又因为＝＝为纯虚数，
所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.
故复数z＝1＋i.
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