2016-2017学年高二数学北师大版选修1-2学案：章末分层突破1

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章末分层突破
[自我校对]
①回归分析
②独立性检验
③相关系数
④相互独立事件
,回归分析
分析两个变量线性相关的常用方法：
(1)散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系．
(2)相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．
　下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系？
(2)如果年龄(3周岁～16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？
(3)如果身高相差20
cm，其年龄相差多少？
【精彩点拨】　本例考查对两个变量进行回归分析．首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算．www-2-1-cnjy-com
【规范解答】　(1)设年龄为x，身高为y，则＝(3＋4＋…＋15＋16)＝9.5，
＝(90.8＋97.6＋…＋167.5＋173.0)≈131.985
7，
x＝1
491，y＝252
958.2，xiyi＝18
990.6，14
≈17
554.1，
∴x－14()2＝227.5，y－14()2≈9
075.05，
xiyi－14
＝1
436.5，
∴r＝
＝≈0.999
7.
因此，年龄和身高之间具有较强的线性相关关系．
(2)由(1)得b＝＝≈6.314，
a＝－b＝131.985
7－6.314×9.5≈72，
∴x与y的线性回归方程为y＝6.314x＋72.
因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差6.314×5＝31.57(cm)．
(3)如果身高相差20
cm，年龄相差≈3.168
≈3(岁)．
[再练一题]
1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据：
单价x(元)
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量y(件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)2·1·c·n·j·y
【解】　(1)由于＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.
所以a＝－b＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y＝－20x＋250.
(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得
L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)
＝－20x2＋330x－1
000
＝－202＋361.25.
当且仅当x＝8.25时，l取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
,条件概率
1．条件概率公式揭示了条件概率P(A|B)与事件概率P(B)、
P(AB)三者之间的关系．下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是已知P(B)和P(AB)时去求出P(A|B)；另一种情况是已知P(B)和P(A|B)时去求出P(AB)．对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公式改写为如下的乘法公式：若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)P(B|A)．21世纪教育网版权所有
2．乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求
P(AB)时，必须知道P(A|B)或P(B|A)；反之，要求P(A|B)时，必须知道积事件AB的概率P(AB)，在解决实际问题时，不要把求P(AB)的问题误认为是求P(A|B)的问题．
　盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球；木质球中有3个是红球，7个是蓝球．现从中任取一个(假设每个球被取到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
【精彩点拨】　
要注意B发生时A发生的概率与A，B同时发生的概率的区别．
【规范解答】　
设事件A：“任取一球，是玻璃球”；事件B：“任取一球，是蓝球”．由题中数据可列表如下：
红球
蓝球
总计
玻璃球
2
4
6
木质球
3
7
10
总计
5
11
16
由表知，P(B)＝，P(AB)＝，
故所求事件的概率为P(A|B)＝＝＝.
[再练一题]
2．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
【解】　
设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
C＝{从第二个盒子中取一个红球}，
D＝{从第三个盒子中取一个红球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝，
则P(C)＝，P(D)＝＝.
显然，事件A∩C与事件B∩D互斥，且事件A与C是相互独立的，
所以试验成功的概率为P＝P(A∩C)＋P(B∩D)
＝P(A)·P(C)＋P(B)·P(D)＝，
所以本次试验成功的概率为.
独立性检验
独立性检验问题的基本步骤为：
(1)找相关数据，作列联表．
(2)求统计量χ2.
(3)判断可能性，注意与临界值做比较，得出事件有关的可信度．
　考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断经过药物处理跟发生青花病是否有关系．【版权所有：21教育】
【精彩点拨】　提出假设，根据2×2列联表求出χ2，从而进行判断．
【规范解答】　由已知得到下表：
药物处理
未经过药物处理
总计
青花病
25
185
210
无青花病
60
200
260
总计
85
385
470
假设经过药物处理跟发生青花病无关．
根据2×2列联表中的数据，可以求得χ2＝≈9.788.
因为χ2＞7.879，
所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的．
[再练一题]
3．某学校高三年级有学生1
000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B类同学)．现用分层抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达165
cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表：
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
不积极参加体育锻炼
15
总计
100
(1)完成上表；
(2)请问体育锻炼与身高达标是否有关系？(χ2值精确到0.01)
参考公式：χ2＝.
【解】　(1)
身高达标
身高不达标
总计
积极参加体育锻炼
40
35
75
不积极参加体育锻炼
10
15
25
总计
50
50
100
(2)根据列联表得
χ2＝≈1.33＜2.706，
所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系．
1．(2015·湖北高考)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
【解析】　根据正相关和负相关的定义进行判断．若线性回归方程的斜率为正，则两个变量正相关，若斜率为负，则负相关．因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝by＋a，b>0，则z＝by＋a＝－0.1bx＋b＋a，故x与z负相关．21·世纪
教育网
【答案】　C
2．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：【出处：21教育名师】
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝－b.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　)
A．11.4万元　　　　
B．11.8万元
C．12.0万元
D．12.2万元
【解析】　由题意知，＝＝10，
＝＝8，
∴a＝8－0.76×10＝0.4，
∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
【答案】　B
3．(2014·湖北高考)根据如下样本数据
x
3
4
5
6
7
8
y
4.0
2.5
－0.5
0.5
－2.0
－3.0
得到的回归方程为y＝bx＋a，则(　　)
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
【解析】　作出散点图如下：
观察图像可知，回归直线y＝bx＋a的斜率b＜0，当x＝0时，y＝a＞0.故a＞0，b＜0.
【答案】　B
4．(2016·全国卷Ⅱ)图1 1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．
图1 1
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
参考数据：yi＝9.32，tiyi＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：相关系数r＝，回归方程y＝a＋bt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝，a＝－b.
【解】　(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得
＝4，
(ti－)2＝28，＝0.55，
(ti－)(yi－)＝tiyi－yi＝40.17－4×9.32＝2.89，
∴r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．21cnjy.com
(2)由＝≈1.331及(1)得
b＝＝≈0.103.
a＝－b≈1.331－0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为y＝0.92＋0.10t.
将2016年对应的t＝9代入回归方程得
y＝0.92＋0.10×9＝1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．
单元综合测评(一)　统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)21
cnjy
com
1．在下列各量与量的关系中是相关关系的为(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电费之间的关系．
A．①②③　　　　　　
B．③④
C．④⑤
D．②③④
【解析】　①⑤是一种确定性关系，属于函数关系．②③④为相关关系．
【答案】　D
2．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；
②
y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是(　　)
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】　y与x正(或负)相关时，线性回归直线方程y＝bx＋a中，x的系数b>0(或b<0)，故①④错．
【答案】　D
3．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了10
000次后还能继续使用的概率是0.80，开关了15
000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10
000次的电视机显像管还能继续使用到15
000次的概率是(　　)
A．0.75
B．0.60
C．0.48
D．0.20
【解析】　记“开关了10
000次后还能继续使用”为事件A，记“开关了15
000次后还能继续使用
”为事件B，根据题意，易得P(A)＝0.80，P(B)＝0.60，则P(AB)＝0.60，由条件概率的计算方法，可得P(B|A)＝＝＝0.75.
【答案】　A
4．一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y＝73.93＋7.19x，她用这个模型预测儿子10岁时的身高，则下面的叙述正确的是(　　)【来源：21cnj
y.co
m】
A．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm
B．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以上
C．她儿子10岁时的身高在145.83
cm左右
D．她儿子10岁时的身高一定是145.83
cm以下
【解析】　由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，故选C．
【答案】　C
5．(2016·咸阳高二检测)已知一个线性回归方程为y＝1.5x＋45，其中x的取值依次为1,7,5,13,19，则＝(　　)2-1-c-n-j-y
A．58.5
B．46.5
C．60
D．75
【解析】　∵＝(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回归直线过样本点的中心(，)，
∴＝1.5×9＋45＝58.5.
【答案】　A
6．将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A＝{两个点数互不相同}，B＝{出现一个5点}，则P(B|A)＝(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　出现点数互不相同的共有6×5＝30种，
出现一个5点共有5×2＝10种，
∴P(B|A)＝＝.
【答案】　A
7．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为(　　)
p(χ2>k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
p(χ2>k)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
A．25%
B．75%
C．2.5%
D．97.5%
【解析】　查表可得χ2>5.024.因此有97.5%的把握认为“X和Y有关系”．
【答案】　D
8．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军．若两队每局胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　由题意知，乙队获得冠军的概率为×＝，由对立事件概率公式得，甲队获得冠军的概率为P＝1－＝.
【答案】　D
9．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p和q，则恰有一株成活的概率为(　　)
A．p＋q－2pq
B．p＋q－pq
C．p＋q
D．pq
【解析】　甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1－q)，
乙花卉成活而甲花卉不成活的概率为q(1－p)，故恰有一株成活的概率为p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.
【答案】　A
10．同时抛掷三颗骰子一次，设A：“三个点数都不相同”，B：“至少有一个6点”，则P(B|A)为(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】　P(A)＝＝，
P(AB)＝＝，
∴P(B|A)＝＝×＝.
【答案】　A
11．以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是(　　)
①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图1中的A，B，C点；
③已知直线方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
图1
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】　能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a，b得到的直线y＝bx＋a才是回归直线，
∴①不对；②正确；
将x＝25代入y＝0.50x－0.81，得y＝11.69，
∴③正确；④正确，故选D．
【答案】　D
12．根据下面的列联表得到如下四个判断：
①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”
.
嗜酒
不嗜酒
总计
患肝病
700
60
760
未患肝病
200
32
232
总计
900
92
992
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　
B．1
C．2　　　
D．3
【解析】　由列联表中数据可求得随机变量χ2＝≈7.349＞6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”，因此②③正确．
【答案】　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知x，y的取值如下表：
x
2
3
5
6
y
2.7
4.3
6.1
6.9
从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为y＝1.02x＋a，则a＝________.
【解析】　由题意得＝4，＝5，又(，)在直线y＝1.02x＋a上，所以a＝5－4×1.02＝0.92.
【答案】　0.92
14．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝________.
【解析】　由P(B|A)＝得P(AB)
＝P(B|A)·P(A)＝×＝.
【答案】　
15．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到
χ2＝≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________.
【解析】　χ2≈4.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05.
【答案】　0.05
16．某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：
气温(℃)
18
13
10
－1
杯数
24
34
38
64
由表中数据算得线性回归方程y＝bx＋a中的b≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯.
【解析】　根据表格中的数据可求得＝×(18＋13＋10－1)＝10，＝×(24＋34＋38＋64)＝40.
∴a＝－b＝40－(－2)×10＝60，
∴y＝－2x＋60，当x＝－5时，y＝－2×(－5)＋60＝70.
【答案】　70
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？
【解】　设从甲袋中任取1个球，事件A：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，从乙袋中任取1个球，事件B：“取得白球”，由此事件：“取得红球”，则P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
因为A与B相互独立，与相互独立，
所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为
P(AB＋
)＝P(AB)＋P(
)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
18．(本小题满分12分)吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
男
女
总计
喜欢吃零食
5
12
17
不喜欢吃零食
40
28
68
总计
45
40
85
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
【解】　χ2＝，
把相关数据代入公式，得
χ2＝≈4.722>3.841.
因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关”．
19．(本小题满分12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2：
图2
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷
体育迷
总计
男
女
总计
(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．21教育网
附：χ2＝，
P(χ2≥k)
0.05
0.01
k
3.841
6.635
【解】　(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而完成2×2列联表如下：21·cn·jy·com
非体育迷
体育迷
总计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝
＝＝≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.
Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2
人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝.
20．(本小题满分12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：
(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？
(2)从2号箱取出红球的概率是多少？
【解】　记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；
事件B：从1号箱中取出的是红球．
P(B)＝＝.
P()＝1－P(B)＝.
(1)P(A|B)＝＝.
(2)∵
P(A|)＝＝，
∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
21．(本小题满分12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据：
播放天数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
点击观看的累计人次　
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
(1)画出散点图；
(2)判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义？
(3)求线性回归方程；
(4)当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？
【解】　(1)散点图如下图所示：
(2)由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义．借助科学计算器，完成下表：
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
yi
51
134
213
235
262
294
330
378
457
533
xiyi
51
268
639
940
1
310
1
764
2
310
3
024
4
113
5
330
＝5.5，＝288.7，＝385，＝1
020
953，iyi＝19
749
利用上表的结果，计算累计人次与播放天数之间的相关系数，
r＝
＝
≈0.984.
这说明累计人次与播放天数之间存在着较强的线性相关关系，所以求线性回归方程有实际意义．
(3)b＝＝≈46.9，
a＝－b≈288.7－46.9×5.5≈30.8，因此所求的线性回归方程是y＝30.8＋46.9x.21教育名师原创作品
(4)当x＝11时，y的估计值是46.9×11＋30.8≈547.
因此，当播放天数为11天时，估计累计人次为547.
22．(本小题满分12分)(2016·济南模拟)为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对楼市限购令的赞成人数如下表：
月收入
[15,25)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成人数
4
8
8
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族”，月收入低于55的人群称为“非高收入族”．
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，有多大的把握认为赞不赞成楼市限购令与收入高低有关？
已知：χ2＝，
当χ2<2.706时，没有充分的证据判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>2.706时，有90%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>3.841时，有95%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关；当χ2>6.635时，有99%的把握判定赞不赞成楼市限购令与收入高低有关.www.21-cn-jy.com
非高收入族
高收入族
总计
赞成
不赞成
总计
(2)现从月收入在[55,65)的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人中至少一人赞成楼市限购令的概率．21
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【解】　(1)
非高收入族
高收入族
总计
赞成
25
3
28
不赞成
15
7
22
总计
40
10
50
χ2＝≈3.43，故有90%的把握认为楼市限购令与收入高低有关．
(2)设月收入在[55,65)的5人的编号为a，b，c，d，e，其中a，b为赞成楼市限购令的人，从5人中抽取两人的方法数有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，其中ab，ac，ad，ae，bc，bd，be为所求事件数，因此所求概率P＝.
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