广西河池市示范性高中课改联盟体2016-2017学年高二（上）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年广西河池市示范性高中课改联盟体高二（上）第二次联考数学试卷（理科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．函数的最小值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
2．在等差数列{an}中，a1=3，2a2=a4，则a7等于（　　）
A．12
B．15
C．18
D．21
3．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
4．已知公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D．命题p的逆否命题是真命题
6．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（　　）
A．
B．﹣
C．﹣1
D．﹣2
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（　　）
A．
B．
C．2
D．4
8．已知等差数列{a}的前n项和为Sn，公差为d，且a1=﹣20，则“3＜d＜5”是“Sn的最小值仅为S6”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项是（　　）
A．16
B．128
C．32
D．64
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
12．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，（an﹣Sn﹣1）2=SnSn﹣1，且a1=1，设b，则b1+b2+…+b10等于（　　）
A．64
B．72
C．80
D．90
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在数列{an}中，2a1=a2，且a，则a3=　　．
14．如果实数x，y满足条件，则z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为　　．
15．在数列{an}中，a，且数列{nan+1}是等差数列，则an=　　．
16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a≥b），sin（）=sinB，asinC=sinA，则a+b的最大值为　　．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．设命题p：2x2﹣3x+1≤0，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　．
18．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2，且△ABC的面积为，求c的值．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3Sn=an+1﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设等差数列{bn}的前n项和为Tn，a2=b2，T4=1+S3，求的值．
20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
21．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+csinB．
（1）若a2sinC=4sinA，求△ABC的面积；
（2）若a=2，b=，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．
22．已知数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（3）若存在n∈N
，使关于n的不等式an≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．
　
2016-2017学年广西河池市示范性高中课改联盟体高二（上）第二次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．函数的最小值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质即可得出
【解答】解：∵2x＞0，
∴函数，当且仅当x=﹣1时取等号．
故函数的最小值为1．
故选C
　
2．在等差数列{an}中，a1=3，2a2=a4，则a7等于（　　）
A．12
B．15
C．18
D．21
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=3，2a2=a4，
∴2（3+d）=3+3d，解得d=3．
则a7=3+3×6=21．
故选：D．
　
3．在△ABC中，a=b，A=120°，则B的大小为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值可求sinB=，结合B的范围即可得解B的值．
【解答】解：∵a=b，A=120°，
∴由正弦定理，可得：sinB=，
又∵B∈（0°，60°），
∴B=30°．
故选：A．
　
4．已知公比为2的等比数列{an}的前n项和为Sn，则等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：
==，
故选：D．
　
5．已知命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，则下列叙述正确的是（　　）
A．命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8≤0，则x＜﹣3
B．命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0
C．命题p的否命题是：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0
D．命题p的逆否命题是真命题
【考点】四种命题间的逆否关系．
【分析】根据四种命题之间的关系，对选项中的命题真假性进行判断即可．
【解答】解：命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0，
则命题p的逆命题是：若x2﹣2x﹣8＞0，则x＜﹣3，故A错误；
命题p的否命题是：若x≥﹣3，则x2﹣2x﹣8≤0，故B、C错误；
因为命题p：若x＜﹣3，则x2﹣2x﹣8＞0是真命题，
所以p的逆否命题也是真命题，D正确．
故选：D．
　
6．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为（　　）
A．
B．﹣
C．﹣1
D．﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点P（3，0）连线的斜率求解．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点P（3，0）连线的斜率．
由图可知，其最小值为．
故选：C．
　
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a、b、c，已知2bsin2A=asinB，且b=2，c=3，则a等于（　　）
A．
B．
C．2
D．4
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理化简已知等式可得：4sinBsinAcosA=sinAsinB，结合sinA≠0，sinB≠0，可求cosA的值，进而利用余弦定理即可计算得解．
【解答】解：∵2bsin2A=asinB，
∴由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=sinAsinB，
又∵A，B为三角形内角，sinA≠0，sinB≠0，
∴cosA=，
∵b=2，c=3，
∴由余弦定理可得：a===．
故选：B．
　
8．已知等差数列{a}的前n项和为Sn，公差为d，且a1=﹣20，则“3＜d＜5”是“Sn的最小值仅为S6”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用Sn的最小值仅为S6，可得a6＜0，a7＞0，求出＜d＜4，根据集合的包含关系判断即可．
【解答】解：∵Sn的最小值仅为S6，
∴a6＜0，a7＞0，
∴，
∴＜d＜4，
3＜d＜5”是＜d＜4的必要不充分条件，
故选：B．
　
9．已知数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{an}中的项是（　　）
A．16
B．128
C．32
D．64
【考点】数列的函数特性．
【分析】数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，可得当n≥2时，
=2n﹣1，当n=1时，a1=1．利用an= … a1，即可得出，进而判断出．
【解答】解：∵数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为2的等比数列，
∴当n≥2时，
=2n﹣1，当n=1时，a1=1．
∴an= … a1
=2n﹣1 2n﹣2 … 22 21×1=2（n﹣1）+（n﹣2）+…+1=．
∵只有64=满足通项公式，
∴下列数中是数列{an}中的项是64．
故选：D．
　
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bsinB﹣asinA=，且△ABC的面积为a2sinB，则cosB等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】正弦定理．
【分析】利用正弦定理和△ABC的面积公式建立关系求出a，b，c个关系．再利用余弦定理求cosB的值．
【解答】解：由题意：△ABC的面积为a2sinB，
由acsinB=a2sinB，可得：c=2a，
∵bsinB﹣asinA=，
由正弦定理可得：b2﹣a2=ac，
则有：，
解得：b=2a．
由余弦定理变形：cosB=，
故选：D．
　
11．已知a+2b=2，且a＞1，b＞0，则的最小值为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．8
【考点】基本不等式．
【分析】由题意可得：a﹣1+2b=1、a﹣1＞0，利用“1的代换”化简所求的式子，由基本不等式求出答案．
【解答】解：∵a＞1，b＞0，且a+2b=2，
∴a﹣1+2b=1，a﹣1＞0，
∴=（）（a﹣1+2b）
=4+≥4+2=8，
当且仅当时取等号，
∴的最小值是8，
故选D．
　
12．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，当n≥2时，（an﹣Sn﹣1）2=SnSn﹣1，且a1=1，设b，则b1+b2+…+b10等于（　　）
A．64
B．72
C．80
D．90
【考点】数列递推式．
【分析】把已知数列递推式变形可得Sn=4Sn﹣1
（n≥2）．则数列{Sn}是以S1=1为首项，以4为公比的等比数列，求出，则数列{an}的通项公式可求，代入，由对数的运算性质求解．
【解答】解：由（an﹣Sn﹣1）2=SnSn﹣1，得（Sn﹣2Sn﹣1）2=SnSn﹣1，即，
解得：Sn=Sn﹣1（舍），或Sn=4Sn﹣1
（n≥2）．
则数列{Sn}是以S1=1为首项，以4为公比的等比数列，
∴，则（n≥2）．
a1=1不适合上式，
∴．
又，
∴b1+b2+…+b10
==．
故选：C．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在数列{an}中，2a1=a2，且a，则a3=　　．
【考点】数列递推式．
【分析】利用已知条件列出方程，求出前两项，然后求解a3．
【解答】解：在数列{an}中，2a1=a2，且a，
可得a2=a1+1，解得a1=；a2=；a3===．
故答案为：．
　
14．如果实数x，y满足条件，则z=（x﹣1）2+（y+1）2的最小值为　　．
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，z=x2+（y+2）2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点B（0，﹣2）距离的最值，从而得到z最值即可．
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
z=（x﹣1）2+（y+1）2表示可行域内点到B（1，﹣1）距离的平方，
当z是点B到直线x+2y﹣2=0的距离的平方时，z最小，
最小值为d2==．
故答案为：．
　
15．在数列{an}中，a，且数列{nan+1}是等差数列，则an=　　．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得出
【解答】解：∵数列{nan+1}是等差数列，
∴nan+1=2a2+1+（n﹣2）[（3a3+1）﹣（2a2+1）]
=3+1+（n﹣2）（8﹣4）
=4n﹣4，
∴an=．
故答案为：．
　
16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（a≥b），sin（）=sinB，asinC=sinA，则a+b的最大值为　2　．
【考点】正弦定理．
【分析】a≥b，sin（）=sinB，可得﹣A=B，即A+B=，C=．由asinC=sinA，可得c=．利用正弦定理可得a+b=2（sinA+sinB）=2sinA+2sin=2sin，由于A∈，可得sin（A+）∈（，1]．即可得出．
【解答】解：在△ABC中，∵a≥b，sin（）=sinB，
∴﹣A=B，﹣A=π﹣B，（舍去）．
即A+B=，∴C=．
∵asinC=sinA，∴ac=，因此c=．
∴==2，
∴a+b=2（sinA+sinB）=2sinA+2sin
=2sinA+2（cosA﹣sinA）
=sinA+cosA
=2sin，
∵A∈，∴sin（A+）∈（，1]．
∴a+b∈（，2]．
故答案为：2．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．设命题p：2x2﹣3x+1≤0，命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解：由2x2﹣3x+1≤0得≤x≤1，即p：≤x≤1，
由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，
即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，
若q是p的必要不充分条件，
则，即，即0≤a≤，
故答案为：．
　
18．在锐角△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且．
（1）求角C的大小；
（2）若a=2，且△ABC的面积为，求c的值．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）利用正弦定理可求角C的大小
（2）直接利用△ABC的面积S=求解出b，再用余弦定理可得．
【解答】解：（1）△ABC是锐角，a，b，c是角A，B，C的对边，且．
由正弦定理得：
∵△ABC是锐角，
∴，
故C=；
（2）a=2，且△ABC的面积为，
根据△ABC的面积S===
解得：b=3．
由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×3=7
∴c=．
故得c的值为．
　
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且3Sn=an+1﹣1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设等差数列{bn}的前n项和为Tn，a2=b2，T4=1+S3，求的值．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）利用递推关系a1=1，且3Sn=an+1﹣1，可得当n＞1时，3Sn﹣1=an﹣1，两式相减，可得an+1=4an（n≥2），再验证n=1的情况，即可判断数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（2）依题意，可求得bn=3n﹣2，利用裂项法可得=（﹣），于是可求的值．
【解答】解：（1）∵3Sn=an+1﹣1①，∴当n＞1时，3Sn﹣1=an﹣1
②，…
①﹣②得3（Sn﹣Sn﹣1）=3an=an+1﹣an，则an+1=4an，…
又a2=3a1+1=4=4a1，…
∴数列{an}是首项为1，公比为4的等比数列，
则an=4n﹣1，…
（2）由（1）得a2=4，S3=21…
则，得b3=7，…
设数列{bn}的公差为d，则b1=1，d=3，…
∴bn=3n﹣2，…
∴==（﹣），…
∴=
[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=．…
　
20．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）；
（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；
（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设W=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到W值即可．
【解答】解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y，
所以利润W=5x+6y+3
=2x+3y+300（x，y∈N）．
（2）约束条件为
整理得
目标函数为W=2x+3y+300，
如图所示，作出可行域．
初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．
由得最优解为A（50，50），
所以Wmax=550（元）．
答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550（元）
　
21．设△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=bcosC+csinB．
（1）若a2sinC=4sinA，求△ABC的面积；
（2）若a=2，b=，且c＞b，BC边的中点为D，求AD的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为内角，利用特殊角的三角函数值可求出B的度数，由正弦定理化简已知可得ac的值，利用三角形面积公式即可得解．
（2）由余弦定理整理可得：c2﹣6c+5=0，从而解得c的值，在△ABD中，由余弦定理即可求得AD的值．
【解答】解：（1）∵a=bcosC+csinB．
∴由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=，
∵B为三角形的内角，
∴B=，
∵a2sinC=4sinA，由正弦定理可得：a2c=4a，可得：ac=4，
∴S△ABC=acsinB==．
（2）∵由（1）可得：B=，又a=2，b=，
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：7=c2+12﹣2×，
整理可得：c2﹣6c+5=0，
∴解得：c=5，或1（由c＞b，舍去），
∵BC边的中点为D，
∴在△ABD中，由余弦定理可得：
AD===．
　
22．已知数列{an}中，．
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（3）若存在n∈N
，使关于n的不等式an≤（n+1）λ成立，求常数λ的最小值．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（1）再写一式，两式相减，可得数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列，从而可求数列{an}的通项公式an；
（2）利用错位相减法，可求数列{n2an}的前n项和Tn；
（3）分离参数，求出相应的最值，即可求常数λ的最小值．
【解答】解：（1）因为
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
两式相减得
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
因此数列{nan}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以﹣﹣﹣﹣
故﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）由（1）可知当n≥2
当n≥2时，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
两式相减得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵T1=a1=1也满足上式，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（3）an≤（n+1）λ等价于，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
由（1）可知当n≥2时，
设，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴，
又及，∴所求实数λ的取值范围为，
∴﹣﹣﹣﹣﹣
　
2017年1月16日