江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校2016-2017学年高一（上）第二次联考数学试卷（解析版）

2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高一（上）第二次联考数学试卷
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣3，﹣）
B．（﹣3，）
C．（1，）
D．（，3）
2．函数f（x）=的零点有（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．下列各组函数，在同一直角坐标系中f（x）与g（x）相同的一组是（　　）
A．f（x）=，g（x）=
B．f（x）=，g（x）=x﹣3
C．f（x）=，g（x）=
D．f（x）=x，g（x）=lg（10x）
4．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点一定位于下列哪个区间（　　）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（5，6）
5．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数
6．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如果|x|≤，那么函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值是（　　）
A．2
B．
C．0
D．
8．设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（　　）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}
B．{x|x＜﹣3或x＞3}
C．{x|﹣3＜x＜0或x＜x＜3}
D．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}
9．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．﹣1或2
D．3
10．若0＜a＜1，b＞0，，则ab﹣a﹣b=（　　）
A．
B．2
C．﹣2
D．2或﹣2
11．若0＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣
D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设扇形的半径长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　　．
14．求值：log225 log3 log5=　　．
15．函数的定义域为　　．
16．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是　　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B= ，实数a的取值范围是　　．
18．（1）求值：
（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
19．函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
20．（1）若函数f（x）=ax2﹣x﹣1有且仅有一个零点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣k有4个零点，求实数k的取值范围．
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当2≤x≤6时，f（x）=（）|x﹣m|+n，f（4）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比较f（log3m）与f（log3n）的大小．
22．已知二次函数f（x）是偶函数，且f（4）=4f（2）=16．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等五校高一（上）第二次联考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（　　）
A．（﹣3，﹣）
B．（﹣3，）
C．（1，）
D．（，3）
【考点】交集及其运算．
【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．
【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），
B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），
∴A∩B=（，3），
故选：D
　
2．函数f（x）=的零点有（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】函数的零点．
【分析】先求定义域，然后令y=0，解出x的值，判断即可．
【解答】解：函数的定义域是{x|2＜x＜3或x＞3}，令y=0，得x=3．显然无解．
故选A．
　
3．下列各组函数，在同一直角坐标系中f（x）与g（x）相同的一组是（　　）
A．f（x）=，g（x）=
B．f（x）=，g（x）=x﹣3
C．f（x）=，g（x）=
D．f（x）=x，g（x）=lg（10x）
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
【分析】先判断两个函数的定义域是否是同一个集合，再判断两个函数的解析式是否可以化为一致．
【解答】解：A中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞）．∴f（x）、g（x）不是同一个函数
B中，f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，+∞），g（x）的定义域为R．∴f（x）、g（x）不是同一个函数
C中，f（x）的定义域为[0，+∞），g（x）的定义域为（0，+∞）．∴f（x）、g（x）不是同一个函数
D中，f（x）=x，g（x）=lg（10x）=x，两个函数的解析式一致，且定义域均是R，是同一个集合，∴是同一个函数．
故选D．
　
4．函数f（x）=lnx+2x﹣6的零点一定位于下列哪个区间（　　）
A．（1，2）
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（5，6）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．
【解答】解：∵函数f（x）=lnx+2x﹣6
f（1）=﹣4＜0，
f（2）=ln2﹣4＜0
f（3）=ln3＞ln1=0，
∴f（2）f（3）＜0，
∴函数的零点在（2，3）上，
故选B．
　
5．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（　　）
A．函数f（x）的最小正周期为2π
B．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称
D．函数f（x）是奇函数
【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．
【分析】先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．
【解答】解：∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，∴T=2π，A正确；
y=cosx在[0，]上是减函数，y=﹣cosx在[0，]上是增函数，B正确；
由图象知y=﹣cosx关于直线x=0对称，C正确．
y=﹣cosx是偶函数，D错误．
故选D
　
6．已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】终边相同的角．
【分析】将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值
【解答】解：
=
∴角α的终边在第四象限
∵到原点的距离为1
∴
∴α的最小正值为
故选D
　
7．如果|x|≤，那么函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值是（　　）
A．2
B．
C．0
D．
【考点】三角函数的最值；三角函数的化简求值．
【分析】先进行配方找出对称轴，而≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．
【解答】解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣，
∵|x|≤，
∵≤cosx≤1
∴当cosx=1时ymin=0，
故选：C
　
8．设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（﹣3）=0，则xf（x）＞0的解集是（　　）
A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}
B．{x|x＜﹣3或x＞3}
C．{x|﹣3＜x＜0或x＜x＜3}
D．{x|x＜﹣3或0＜x＜3}
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据条件可得函数f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，且f（3）=f（﹣3）=0，画出函数f（x）的单调性示意图，数形结合可得不等式
xf（x）＞0
的解集．
【解答】解：根据f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是减函数，
又f（﹣3）=0，
可得函数f（x）在（﹣∞，0）内是增函数，
且f（3）=f（﹣3）=0，画出函数f（x）的单调性示意图，
如图所示：
由不等式
xf（x）＞0，可得x与f（x）符号相同，
结合函数f（x）的图象，可得
x＜﹣3，或
0＜x＜3，
故选
D．
　
9．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．﹣1或2
D．3
【考点】幂函数的性质．
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，代入检验即可．
【解答】解：由题意得：
m2﹣m﹣1=1，解得：m=2或m=﹣1，
m=2时，f（x）=x3，递增，不合题意，
m=﹣1时，f（x）=x﹣3，递减，符合题意，
故选：A．
　
10．若0＜a＜1，b＞0，，则ab﹣a﹣b=（　　）
A．
B．2
C．﹣2
D．2或﹣2
【考点】有理数指数幂的化简求值．
【分析】由，两边平方可得a2b+a﹣2b+2=8，化为a2b+a﹣2b=6．对ab﹣a﹣b平方可得，（ab﹣a﹣b）2=a2b+a﹣2b﹣2．再利用函数y=ax的单调性即可得出．
【解答】解：∵，∴a2b+a﹣2b+2=8，化为a2b+a﹣2b=6．
∴（ab﹣a﹣b）2=a2b+a﹣2b﹣2=6﹣2=4．
∵0＜a＜1，b＞0，∴ab＜a﹣b，
∴ab﹣a﹣b=﹣2．
故选C．
　
11．若0＜a＜1，则方程a|x|=|logax|的实根个数（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】方程a|x|=|logax|的实根个数可化为函数y=a|x|与y=|logax|的交点的个数，作出图象即可．
【解答】解：方程a|x|=|logax|的实根个数可化为
函数y=a|x|与y=|logax|的交点的个数，
作出其图象如下：
故选B．
　
12．设f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，g（x）=是奇函数，那么a+b的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣
D．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意可得f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，代入整理可求a，由g（x）=是奇函数，结合奇函数的性质可知g（0）=0，代入可求b，从而可求a+b．
【解答】解：∵f（x）=lg（10x+1）+ax是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）对任意的x都成立，
∴lg（10x+1）+ax=lg（10﹣x+1）﹣ax，
∴，
∴（2a+1）x=0，
∴2a+1=0，
即，
∵g（x）=是奇函数，
∴g（0）=1﹣b=0，
∴b=1，
∴a+b=，
故选D．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．设扇形的半径长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　　．
【考点】扇形面积公式．
【分析】扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为s，由面积公式和弧长公式可得到关于l和r的方程，进而得到答案．
【解答】解：由扇形的面积公式得：S=，
因为扇形的半径长为8cm，面积为4cm2
所以扇形的弧长l=1．
设扇形的圆心角的弧度数为α，
由扇形的弧长公式得：l=|α|R，且R=8
所以扇形的圆心角的弧度数是
故答案为：．
　
14．求值：log225 log3 log5=　16　．
【考点】对数的运算性质．
【分析】利用对数换底公式、对数的运算性质即可得出．
【解答】解：原式==16，
故答案为：16．
　
15．函数的定义域为　．　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】函数有意义，只需，由正弦函数和余弦函数的图象和性质，结合二次不等式解法，即可得到所求定义域．
【解答】解：函数有意义，
只需，
即有，
可得，
故答案为：．
　
16．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是　4≤a＜8　．
【考点】分段函数的应用．
【分析】利用函数单调性的定义，结合指数函数，一次函数的单调性，即可得到实数a的取值范围．
【解答】解：由题意，，解得4≤a＜8
故答案为：4≤a＜8
　
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.
17．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B= ，实数a的取值范围是　a≤或a≥2　．
【考点】子集与交集、并集运算的转换；交集及其运算．
【分析】根据集合A，B，以及A∩B= ，分别判断集合成立的条件，分情况讨论得出a的范围即可．
【解答】解：∵A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，
B={x|0＜x＜1}，
而A∩B= ，
∴①a﹣1≥2a+1时，A= ，a≤﹣2
②
解得：﹣2＜a
③
解得：a≥2
综上，a的范围为：a≤或a≥2
故答案为：a≤或a≥2
　
18．（1）求值：
（2）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行化简；
（2）利用诱导公式对所求的代数式进行化简，然后代入求值．
【解答】解：（1）原式==；
（2）∵角α终边上一点P（﹣4，3），
∴tanα=﹣，
∴
=
=tanα
=﹣．
　
19．函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），（0＜a＜1）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为﹣2，求a的值．
【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．
【分析】（1）根据函数的结构，真数大于零求两部分交集．
（2）根据对数函数的单调性判断函数取得最小值时x的值，列出关于a的方程，解出即可．
【解答】[解析]（1）要使函数有意义：需满足，解得：﹣3＜x＜1，
所以函数的定义域为（﹣3，1）．
（2）因为0＜a＜1，﹣3＜x＜1，
∴0＜﹣（x+1）2+4≤4，
所以f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）=loga[﹣（x+1）2+4]≥loga4，
由loga4=﹣2，得a﹣2=4，
∴a=．
　
20．（1）若函数f（x）=ax2﹣x﹣1有且仅有一个零点，求实数a的值；
（2）若函数f（x）=|4x﹣x2|﹣k有4个零点，求实数k的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】（1）当a=0时，f（x）=﹣x﹣1有唯一零点﹣1，符合题意；当a≠0时，f（x）有唯一零点，即ax2﹣x﹣1=0有惟一解，则△=1+4a=0；综合可得答案．
（2）设g（x）=|4x﹣x2|，画出函数图象，数形结合可得实数k的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=﹣x﹣1有唯一零点﹣1，符合题意；
当a≠0时，f（x）有唯一零点，即ax2﹣x﹣1=0有惟一解．
由△=1+4a=0得a=﹣．
综上可知a的值为0或﹣．
（2）设g（x）=|4x﹣x2|，画出其图象如图所示．
函数f（x）有4个零点，即方程g（x）﹣k=0有4个不同的实数解，
也就是y=g（x）的图象与直线y=k有4个不同的公共点，
由图可知0＜k＜4．
　
21．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+4），当2≤x≤6时，f（x）=（）|x﹣m|+n，f（4）=31．
（1）求m，n的值；
（2）比较f（log3m）与f（log3n）的大小．
【考点】不等式比较大小；函数的周期性；函数的值．
【分析】（1）由f（x）=f（x+4），可知4是函数f（x）的一个周期，则有f（2）=f（6）再由f（4）=31组成方程组求解．
（2）由（1）知，函数f（x）=+30，x∈[2，6]．表示出f（log3m），f（log3n）再利用函数的单调性比较．
【解答】解：（1）因为函数f（x）在R上满足f（x）=f（x+4），
所以4是函数f（x）的一个周期．
可得f（2）=f（6），即+n=+n，①
又f（4）=31，
+n=31，②
联立①②组成方程组解得m=4，n=30．
（2）由（1）知，函数f（x）=+30，x∈[2，6]．
因为1＜log34＜2，所以5＜log34+4＜6．
f（log3m）=f（log34）=f（log34+4）
=+30
=（）|log34|+30．
又因为3＜log330＜4，
=．
．
所以f（log3m）＜f（log3n）．
　
22．已知二次函数f（x）是偶函数，且f（4）=4f（2）=16．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0，且a≠1）在区间[2，3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【考点】复合函数的单调性．
【分析】（1）g利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）根据复合函数单调性之间的关系即可求实数a的取值范围
【解答】解：（1）由f（4）=4f（2）=16．
得f（4）=16，f（2）=4．
设二次函数f（x）=ax2+bx+c，
∵f（x）是偶函数，∴b=0，
此时f（x）=ax2+c，
∵f（4）=16，f（2）=4．
∴，解得a=1，c=0，
即f（x）=x2；
（2）g（x）=loga[f（x）﹣ax]=loga[x2﹣ax]，（（a＞0，且a≠1），
设t=m（x）=x2﹣ax，则函数的对称轴为x=，
若0＜a＜1，则函数y=logat为减函数，
则要求g（x）在区间[2，3]上为增函数，
则满足m（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为减函数
，即，即，此时无解，
若a＞1，则函数y=logat为增函数，
则要求g（x）在区间[2，3]上为增函数，
则满足m（x）=x2﹣ax在区间[2，3]上为增函数
即，即，解得a＜2，
此时1＜a＜2．
　
2017年1月16日