云南省昆明市2017届高三（上）摸底数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=（　　）
A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）
B．（﹣∞，1）∪[3，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，0]
2．已知复数z满足（2+i）z=3+4i，则z=（　　）
A．2+i
B．﹣2﹣i
C．2﹣i
D．﹣2+i
3．已知向量=（x，），=（x，﹣），若（2+）⊥，则||=（　　）
A．1
B．
C．
D．2
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（　　）
A．21
B．34
C．55
D．89
5．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（　　）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
6．如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成，若府视图中扇形的面积为3π，則该几何体的体积等于（　　）
A．8π
B．
C．4π
D．
7．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（　　）
A．
B．
C．
D．
8．为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象（　　）
A．向左平行移动个单位
B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位
D．向右平行移动个单位
9．点A，F分别是椭圆C：
+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．18
10．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=（+1）2+1，则a12=（　　）
A．101
B．122
C．145
D．170
11．已知函数f（x）=，若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b恒成立，则实数b的取值范围是（　　）
A．[1，+∞）
B．[2，+∞）
C．[3，+∞）
D．[4，+∞）
12．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是　　．
14．△ABC中，BC边上的中线等于BC，且AB=3，AC=2，则BC=　　．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为　　．
16．设点P，Q分别是曲线y=xe﹣2x和直线y=x+2上的动点，则P，Q两点间的距离的最小值是　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2n=2an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2an，求b1+b3+b5+…+b2n+1．
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E为线段AB上一点，AE=BE，F为PD的中点．
（1）证明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A﹣CF﹣B的正弦值．
19．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．
20．已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
21．已知函数f（x）=ex+ax﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0，3]=0，[﹣1，3]=﹣2，若x＞0时，（m﹣x）ex＜m+2，求[m]的最大值．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD BC的值．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ+2sinθ+=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（3，3），倾斜角α=．
（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣|，其中m＞0．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若a∈R，且a≠0，证明：f（﹣a）+f（）≥4．
　
2016-2017学年云南省昆明市高三（上）摸底数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={x|x2﹣3x≥0}，B={x|x＜1}，则A∩B=（　　）
A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）
B．（﹣∞，1）∪[3，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，0]
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解A={x|x2﹣3x≥0}=（﹣∞，0]∪[3，+∞），B={x|x＜1}=（﹣∞，1]
∴A∩B=（﹣∞，0]
故选：D
　
2．已知复数z满足（2+i）z=3+4i，则z=（　　）
A．2+i
B．﹣2﹣i
C．2﹣i
D．﹣2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：因为（2+i）z=3+4i，
所以z=====2+i．
故选：A．
　
3．已知向量=（x，），=（x，﹣），若（2+）⊥，则||=（　　）
A．1
B．
C．
D．2
【考点】平面向量的坐标运算．
【分析】由便可得到，代入向量的坐标进行运算即可求出x2的值，从而便可得出的值．
【解答】解：根据条件：；
∴
=2（x2﹣3）+x2+3
=3x2﹣3
=0；
∴x2=1；
∴．
故选D．
　
4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a=1，b=1，那么输出的值等于（　　）
A．21
B．34
C．55
D．89
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得a=1，b=1，
执行循环体，a=2，b=3，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=5，b=8
不满足条件b＞50，执行循环体，a=13，b=21，
不满足条件b＞50，执行循环体，a=34，b=55，
满足条件b＞50，退出循环，输出的值为55．
故选：C．
　
5．已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣3）=（　　）
A．2
B．﹣2
C．1
D．﹣1
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=log2（x+1），
∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣log2（3+1）=﹣log24=﹣2，
故选：B
　
6．如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成，若府视图中扇形的面积为3π，則该几何体的体积等于（　　）
A．8π
B．
C．4π
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】1由三视图可知：这个几何体是球去掉剩下的几何体．利用球的体积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：这个几何体是球去掉剩下的几何体．
∴这个几何体的体积=π×23=8π，
故选：A．
　
7．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为，若直角三角形的两条直角边的长分别为a，b（a＞b），则=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】几何概型．
【分析】根据几何概型的意义，求出三角形的面积，再求出大正方形的面积，根据比值即可得到关乎a，b的方程，解得即可．
【解答】解：这一点落在小正方形内的概率为，
正方形ABCD面积为a2+b2，
三角形的面积为ab，
∴=1﹣，
即a2+b2=ab，
即+=，
∵a＞b，
解得=，
=2（舍去）
故选B．
　
8．为了得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可以将函数y=cos2x的图象（　　）
A．向左平行移动个单位
B．向右平行移动个单位
C．向左平行移动个单位
D．向右平行移动个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用两角和的正弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：函数y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），函数y=cos2x=sin（2x+），
故把函数y=cos2x的图象向右平行移动个单位，
可得函数y=sin2x﹣cos2x═sin（2x﹣）
的图象，
故选：B．
　
9．点A，F分别是椭圆C：
+=1的左顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且PF⊥AF，则△AFP的面积为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．18
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，由椭圆方程求出a，c的值，再求出|PF|，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：如图，
由椭圆C：
+=1，得a2=16，b2=12，
∴，
|PF|=，
|AF|=a+c=6，
∴△AFP的面积为．
故选：B．
　
10．已知数列{an}满足：a1=2，an+1=（+1）2+1，则a12=（　　）
A．101
B．122
C．145
D．170
【考点】数列递推式．
【分析】an+1=（+1）2+1＞0，可得=（+1）2，﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵an+1=（+1）2+1＞0，
则=（+1）2，
∴﹣=1，
∴数列是等差数列，公差为1．
∴=1=（n﹣1）=n，可得an=n2+1，
∴a12=122+1=145．
故选：C．
　
11．已知函数f（x）=，若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b恒成立，则实数b的取值范围是（　　）
A．[1，+∞）
B．[2，+∞）
C．[3，+∞）
D．[4，+∞）
【考点】分段函数的应用．
【分析】画出函数f（x）的图象，由由y=ax+b可得直线在y轴上的截距为b，直线总在曲线上方，即可得到b的范围．
【解答】解：画出函数f（x）=的图象，
由y=ax+b可得直线在y轴上的截距为b，
若存在实数a，当x＜2时，f（x）≤ax+b恒成立，
则b≥2．
故选：B．
　
12．在平面直角坐标系xOy中，以C（1，1）为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若，MN与圆C相切，则|MN|的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值．
【解答】解：由题意，根据圆的对称性，可得OC⊥MN时，|MN|取得最小值，最小值为=2﹣，
故选：B．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若x，y满足约束条件，则x+2y的取值范围是　[3，7]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】利用已知条件画出可行域，关键目标函数的几何意义求最值．
【解答】解：由约束条件得到可行域如图：设z=x+2y则y=，当此直线经过图中A（1，1）时直线在y轴的截距最小，z最小，经过C（1，3）时，直线在y轴的截距最大，z最大，所以x+2y的最小值为1+2=3，最大值为1+2×3=7，所以x+2y的取值范围为：[3，7]；
故答案为：[3，7]．
　
14．△ABC中，BC边上的中线等于BC，且AB=3，AC=2，则BC=　　．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：设BC=x，则BC边上的中线等于，
利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和可得，
∴x=，
故答案为．
　
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，过直线B1D1的平面α⊥平面A1BD，则平面α截该正方体所得截面的面积为　　．
【考点】平行投影及平行投影作图法；棱柱的结构特征．
【分析】如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，证明AC1∥平面B1D1F，再进行求解即可．
【解答】解：如图所示，连接A1C1，与B1D1交于E，取AA1的中点F，连接EF，
则EF∥AC1，易知AC1⊥平面A1DB，∴EF⊥平面A1DB，EF⊥平面A1DB．
∵EF 面B1D1F，∴△B1D1F为平面α截该正方体所得截面，∴在△B1D1F中，B1D1=2，EF=，B1D1⊥EF，
∴平面α截该正方体所得截面的面积为．
故答案为：．
　
16．设点P，Q分别是曲线y=xe﹣2x和直线y=x+2上的动点，则P，Q两点间的距离的最小值是　　．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】对曲线y=xe﹣2x进行求导，求出点P的坐标，分析知道，过点P直线与直线y=x+2平行且与曲线相切于点P，从而求出P点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．
【解答】解：点P是曲线y=xe﹣2x上的任意一点，
和直线y=x+2上的动点Q，
求P，Q两点间的距离的最小值，
就是求出曲线y=xe﹣2x上与直线y=x+2平行的切线与直线y=x+2之间的距离．
由y′=（1﹣2x）e﹣2x
令y′=（1﹣2x）e﹣2x
=1，解得x=0，
当x=0，y=0时，点P（0，0），
P，Q两点间的距离的最小值
即为点P（0，0）到直线y=x+2的距离dmin==．
故答案为：．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S2n=2an2+an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2an，求b1+b3+b5+…+b2n+1．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用递推关系、猜想此数列为等差数列，验证成立即可．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：（1），则，又a1=1，得a2=2，
猜想数列{an}为等差数列，公差d=a2﹣a1=1，可得数列{an}的通项公式为an=n．
验证：左边=S2n==2n2+n=右边．
∴猜想an=n正确．
（2），
∴数列{b2n+1}是首项为2，公比为4的等比数列，
∴．
　
18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥BC，AB=PA=PD=3，CD=1，BC=4，E为线段AB上一点，AE=BE，F为PD的中点．
（1）证明：PE∥平面ACF；
（2）求二面角A﹣CF﹣B的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，推导出四边形AECD为平行四边形，从而OF∥PE，由此能证明PE∥平面ACF．
（2）取AD的中点G，连接PG，以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y轴，为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【解答】证明：（1）连接CE，DE，设DE∩AC=O，连接FO，
∵，∴，
∴四边形AECD为平行四边形，且O是DE的中点，
又∵F为PD的中点，∴OF∥PE，
∵OF 平面ACF，PE 平面ACF，
∴PE∥平面ACF．
解：（2）取AD的中点G，连接PG，
由PA=PD，得PG⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PG⊥AD，
∴PG⊥平面ABCD，在Rt△CBE中，，
在等腰△PAD中，，∴，
以C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴，y轴，为z轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz，
由题知，，
∴
设是平面CBF的法向量，
则，即，∴．
设是平面CAF的法向量，
则，即得．
∴，
设二面角A﹣CF﹣B的平面角为θ，
则sinθ==．
∴二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．
　
19．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
≥5次
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：
消费次第
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200﹣150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95﹣150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．
【解答】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，
∴估计一位会员至少消费两次的概率为．
（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200﹣150=50（元），
第2次消费时，公司获得利润为200×0.95﹣150=40（元），
∴公司这两次服务的平均利润为（元）．
（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，
故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：
X
50
45
40
35
30
P
0.6
0.2
0.1
0.05
0.05
X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．
　
20．已知点F是拋物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，若点M（x0，1）在C上，且|MF|=．
（1）求p的值；
（2）若直线l经过点Q（3，﹣1）且与C交于A，B（异于M）两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，求得x0=2p，代入抛物线方程，x0=1，p=；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，kAM kBM=×=﹣．当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x﹣3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得kAM kBM===﹣，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数﹣．
【解答】解：（1）由抛物线定义知|MF|=x0+，则x0+=，解得x0=2p，
又点M（x0，1）在C上，代入y2=2px，整理得2px0=1，解得x0=1，p=，
∴p的值；
（2）证明：由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=x，
当直线l经过点Q（3，﹣1）且垂直于x轴时，此时A（3，），B（3，﹣），
则直线AM的斜率kAM=，直线BM的斜率kBM=，
∴kAM kBM=×=﹣．
当直线l不垂直于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AM的斜率kAM===，同理直线BM的斜率kBM=，
kAM kBM= =，设直线l的斜率为k（k≠0），且经过Q（3，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣3），
联立方程，消x得，ky2﹣y﹣3k﹣1=0，
∴y1+y2=，y1 y2=﹣=﹣3﹣，
故kAM kBM===﹣，
综上，直线AM与直线BM的斜率之积为﹣．
　
21．已知函数f（x）=ex+ax﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）用[m]表示不超过实数m的最大整数，如：[0，3]=0，[﹣1，3]=﹣2，若x＞0时，（m﹣x）ex＜m+2，求[m]的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）由条件，曲线在（0，f（0））处的切线斜率k=0，即f'（0）=1+a=0，可得a=﹣1，f'（x）=ex﹣1，再通过解不等式即可求出单调区间；
（2）利用转化思想，x＞0时，不等式（m﹣x）ex＜m+2等价于，然后构造新函数，记g（x）=，根据（1）的结论可得存在x0∈（1，2），使得g'（x0）=0，且g（x）min=g（x0），再通过化简运算可得g（x）min=x0+1，由x0∈（1，2），即可求出[m]的最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=ex+a，
由条件，f'（0）=1+a=0，得a=﹣1，则f'（x）=ex﹣1
由f'（x）=ex﹣1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，
故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．
（2）x＞0时，不等式（m﹣x）ex＜m+2等价于，
令，∴，
由（1）得u（x）=ex﹣x﹣3在（0，+∞）上单调递增，
又∵u（1）＜0，u（2）＞0，
∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且1＜x0＜2，
∴当x∈（1，x0）时，g'（x）＜0，当x∈（x0+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）min=g（x0），由g'（x0）=0得，
∴g（x）min=，
∵1＜x0＜2，∴2＜g（x0）＜3，
∵m＜g（x0），∴[m]的最大值为2．
　
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，E是边AC上一点，BE与⊙O交于点F，连接DF．
（1）证明：C，D，F，E四点共圆；
（2）若EF=3，AE=5，求BD BC的值．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）连接AD，证明∠C=∠DAB，∠C=∠DFB，利用∠DFE+∠DFB=180°，可得∠DFE+∠C=180°，即可证明C，D，F，E四点共圆；
（2）连接AF，根据C，D，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求BD BC的值．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠BAC=90°，∴∠C+∠DBA=90°，∴∠C=∠DAB，
∵，∴∠DAB=∠DFB，∴∠C=∠DFB，
∵∠DFE+∠DFB=180°，∴∠DFE+∠C=180°，
∴C，D，F，E四点共圆．
（2）解：连接AF．
∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥BE，
∵∠BAC=90°，∴AE2=EF EB，∴52=3EB，
即，∴，
∵C，D，E，F四点共圆，∴．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ+2sinθ+=0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P（3，3），倾斜角α=．
（1）写出曲线C直角坐标方程和直线l的参数方程；
（2）设l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，化简可得曲线C的直角坐标方程；运用直线的参数方程的标准形式，可得直线l的方程；
（2）将直线l的方程代入圆的方程，可得t的二次方程，由韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）曲线C化为：ρ2﹣6ρcosθ+2ρsinθ+1=0，
化为直角坐标方程为x2+y2﹣6x+2y+1=0，
化为标准方程是（x﹣3）2+（y+1）2=9；
直线l的参数方程为，
即为参数）．
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，
得，
整理得：，，
则，
所以．
　
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+m|+|x﹣|，其中m＞0．
（1）当m=1时，解不等式f（x）≤4；
（2）若a∈R，且a≠0，证明：f（﹣a）+f（）≥4．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）去绝对值符号，对x讨论，分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1，解不等式即可得到所求解集；
（2）求出f（﹣a）+f（）的解析式，运用绝对值不等式的性质和累加法，即可得证．
【解答】解：（1）当m=1时，由f（x）=|x+1|+|x﹣1|，
由f（x）≤4得|x+1|+|x﹣1|≤4 ，
或，或或﹣1≤x≤1或1＜x≤2，
可得不等式的解集为[﹣2，2]；
（2）证明：，
|﹣a+m|+|+m|≥|+a|=+|a|≥2，
|﹣a﹣|+|﹣|≥|+a|=+|a|≥2，
两式相加可得，f（﹣a）+f（）≥4．
　
2017年1月16日