甘肃省平凉市庄浪四中2017届高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年甘肃省平凉市庄浪四中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）
1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（﹣∞，1]
D．（﹣∞，1）
2．命题“ x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣2x+4＜0
B． x∈R，x2﹣2x+4≤0
C． x∈R，x2﹣2x+4＜0
D． x∈R，x2﹣2x+4≤0
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（　　）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
4．若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“||=5”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（　　）
A．m＜n＜p
B．m＜p＜n
C．p＜m＜n
D．p＜n＜m
6．已知f（x）=a﹣（a∈R）是奇函数，那么实数a的值等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．±1
7．曲线f（x）=xlnx在点x=1处的切线方程为（　　）
A．y=2x+2
B．y=2x﹣2
C．y=x﹣1
D．y=x+1
8．设函数f（x）定义在R上，f（x+1）=f（1﹣x），且满足x≥1，f（x）=lnx，则（　　）
A．f（）＜f（2）＜f（）
B．f（）＜f（2）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（2）
D．f（2）＜f（）＜f（）
9．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（　　）
A．
B．﹣2
C．﹣2或
D．不存在
11．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（　　）
A．2
B．3
C．6
D．7
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．设f（x）=，则f{[f（）]}=　　．
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x
的解集用区间表示为　　．
15．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）=﹣f（x）．f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=　　．
16．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．命题p：方程x2﹣x+a2﹣6a=0，有一正根和一负根．命题q：函数y=x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．
（1）当m=3时，求A∩（ RB）
（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f[x（x﹣）]＜0．
20．设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
21．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
22．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（m为常数）且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数m的值．
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），不等式f（x）≥恒成立．求实数n的取值范围．
　
2016-2017学年甘肃省平凉市庄浪四中高三（上）第一次模拟数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）
1．设集合A={x|y=ln（1﹣x）}，集合B={y|y=x2}，则A∩B=（　　）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（﹣∞，1]
D．（﹣∞，1）
【考点】交集及其运算；对数函数的定义域．
【分析】由集合A={x|y=ln（1﹣x）}，表示函数y=ln（1﹣x）的定义域，集合B={y|y=x2}，表示y=x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．
【解答】解：∵A={x|y=ln（1﹣x）}={x|x＜1}，
B={y|y=x2}={y|y≥0}，
∴A∩B=[0，1）．
故选B
　
2．命题“ x∈R，x2﹣2x+4＞0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣2x+4＜0
B． x∈R，x2﹣2x+4≤0
C． x∈R，x2﹣2x+4＜0
D． x∈R，x2﹣2x+4≤0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：命题是全称命题，则根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
x∈R，x2﹣2x+4≤0，
故选：D
　
3．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（　　）
A．
B．﹣
C．2
D．﹣2
【考点】对数的运算性质；幂函数的性质．
【分析】先设log2f（2）=n，求出函数f（x）的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．
【解答】解：设log2f（2）=n，则f（2）=2n
∴f（x）=xn
又∵由幂函数y=f（x）的图象过点
∴，
故选A．
　
4．若向量=（x，3）（x∈R），则“x=4”是“||=5”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【考点】向量的模．
【分析】当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件．
【解答】解：由x=4得=（4，3），所以||=5成立
反之，由||=5可得x=±4
所以x=4不一定成立．
故选A．
　
5．已知m=0.95.1，n=5.10.9，p=log0.95.1，则这三个数的大小关系是（　　）
A．m＜n＜p
B．m＜p＜n
C．p＜m＜n
D．p＜n＜m
【考点】对数值大小的比较；指数函数的单调性与特殊点．
【分析】可从三个数的范围上比较大小
【解答】解：设函数f（x）=0.9x，g（x）=5.1x，h（x）=log0.9x
则f（x）单调递减，g（x）单调递增，h（x）单调递减
∴0＜f（5.1）=0.95.1＜0.90=1，即0＜m＜1
g（0.9）=5.10.9＞5.10=1，即n＞1
h（5.1）=log0.95.1＜log0.91=0，即p＜0
∴p＜m＜n
故选C
　
6．已知f（x）=a﹣（a∈R）是奇函数，那么实数a的值等于（　　）
A．1
B．﹣1
C．0
D．±1
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】根据奇函数的性质f（0）=0，列出方程a﹣1=0，再解出a的值．
【解答】解：∵f（x）=a﹣为奇函数，∴f（0）=0，即a﹣1=0，
解得a=1．
故选：A．
　
7．曲线f（x）=xlnx在点x=1处的切线方程为（　　）
A．y=2x+2
B．y=2x﹣2
C．y=x﹣1
D．y=x+1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．
【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+1
x=1时，y′=1，y=0
∴曲线y=xlnx在点x=1处的切线方程是y=x﹣1
即y=x﹣1．
故选：C．
　
8．设函数f（x）定义在R上，f（x+1）=f（1﹣x），且满足x≥1，f（x）=lnx，则（　　）
A．f（）＜f（2）＜f（）
B．f（）＜f（2）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（2）
D．f（2）＜f（）＜f（）
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【分析】先根据f（x+1）=f（1﹣x）把f（），f（）变为区间[1，+∞）上的函数值，然后利用函数f（x）=lnx的单调性即可作出大小判断．
【解答】解：由f（x+1）=f（1﹣x），得f（）=f（1﹣）=f（1+）=f（），f（）=f（1﹣）=f（1+）=f（），
因为x≥1时，f（x）=lnx，且1＜，所以f（）=ln，f（）=ln，f（2）=ln2，
又f（x）=lnx在定义域内递增，1＜，
所以f（）＜f（）＜f（2），即f（）＜f（）＜f（2），
故选C．
　
9．设f（x）=ex+x﹣4，则函数f（x）的零点位于区间（　　）
A．（﹣1，0）
B．（0，1）
C．（1，2）
D．（2，3）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】根据连续函数f（x）满足
f（1）＜0，f（2）＞0，由此可得函数f（x）的零点所在的区间．
【解答】解：∵f（x）=ex+x﹣4，
∴f（1）＜0，f（2）＞0，
故函数f（x）的零点位于区间（1，2）内，
故选C．
　
10．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为（　　）
A．
B．﹣2
C．﹣2或
D．不存在
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【分析】由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．
【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，
∴f′（x）=3x2+2ax+b，
又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，
∴a2+8a+12=0，
∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．
当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），
当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；
当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）
当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；
∴=﹣=﹣．
故选A．
　
11．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则其导函数y=f′（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】观察函数y=f（x）的图象知，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增；从而确定导数的正负，从而求解．
【解答】解：观察函数y=f（x）的图象知，
f（x）在（0，+∞）上是减函数，故y=f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，故排除B，D，
f（x）在（﹣∞，0）从左到右，先增再减最后增，故y=f′（x）在（﹣∞，0）从左到右，先“+”再“﹣”最后“+”恒成立，故排除C，
故选：A．
　
12．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根的个数为（　　）
A．2
B．3
C．6
D．7
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】求出f（x）的值，根据f（x）的函数图象判断根的个数．
【解答】解：∵f2（x）﹣5（f（x）+4=0，
∴f（x）=4或f（x）=1．
做出f（x）的函数图象如下：
由图象可知方程f（x）=4有3个根，方程f（x）=4有4个根，
∴方程f2（x）﹣5（f（x）+4=0的实数根共有7个．
故选D．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．设f（x）=，则f{[f（）]}=　　．
【考点】函数的值．
【分析】先求出f（）=||﹣2=，从而f{[f（）]}=f（），由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（）=||﹣2=，
f{[f（）]}=f（）==．
故答案为：．
　
14．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x
的解集用区间表示为　（﹣5，0）∪（5，﹢∞）　．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】作出x大于0时，f（x）的图象，根据f（x）为定义在R上的奇函数，利用奇函数的图象关于原点对称作出x小于0的图象，所求不等式即为函数y=f（x）图象在y=x上方，利用图形即可求出解集．
【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，
不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，
∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），
则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．
故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）
　
15．已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+2）=﹣f（x）．f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=　﹣2　．
【考点】函数的值．
【分析】根据f（x+2）=﹣f（x）可得函数的周期，将f（7）转化成f（2×4﹣1）=f（﹣1），再根据奇函数可得f（﹣1）=﹣f（1），最后再利用当x∈（0，2）时的解析式进而可以求出所求．
【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，
∴函数f（﹣x）=﹣f（x），
又∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）
的周期T=4，
∴f（7）=f（2×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），
∵当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，
∴f（1）=2，
故f（7）=﹣f（1）=﹣2．
故答案为：﹣2
　
16．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=　4　．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．
【解答】解：
①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥
设g（x）=，则g′（x）=，
所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；
③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，
g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，
因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．
答案为：4．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．命题p：方程x2﹣x+a2﹣6a=0，有一正根和一负根．命题q：函数y=x2+（a﹣3）x+1的图象与x轴无公共点．若命题“p或q”为真命题，而命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】由题意可得p：可求p
△=（a﹣3）2﹣4=（a﹣1）（a﹣5）＜0可求q
由p或q”为真命题，“p且q”为假命题，可知p，q中一真一假，分类讨论求解
【解答】解：由题意可得p：
∴p：0＜a＜6
q：△=（a﹣3）2﹣4=（a﹣1）（a﹣5）＜0
∴1＜a＜5
∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
∴p，q中一真一假
当p真q假时即0＜a≤1或5≤a＜6
当p假q真时，，此时a不存在
故0＜a≤1或5≤a＜6
　
18．已知函数f（x）=的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+2x+m）的定义域为集合B．
（1）当m=3时，求A∩（ RB）
（2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算；对数函数的定义域．
【分析】（1）先分别求出函数f（x）和g（x）的定义域，再求出集合B的补集，再根据交集的定义求出所求；
（2）先求出集合A，再根据A∩B的范围以及结合函数g（x）的特点确定出集合B，然后利用根与系数的关系求出m的值．
【解答】解：函数的定义域为集合A={x|﹣1＜x≤5}
（1）函数g（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为集合B={x|﹣1＜x＜3}
CRB={x|x≤﹣1或x≥3}
∴A∩（ RB）=[3，5]
（2）∵A∩B={x|﹣1＜x＜4}，A={x|﹣1＜x≤5}而﹣x2+2x+m=0的两根之和为2
∴B={x|﹣2＜x＜4}
∴m=8
答：实数m的值为8
　
19．已知函数f（x）=ln．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f[x（x﹣）]＜0．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据对数的意义得出＞0，解不等式得出定义域
（2）利用奇偶函数的定义，先看定义域再看解析式即可判断．
（3）先求解f（x）＜0，即可得出0＜＜1，化简得出0＜x＜1，根据变量的意义得出：0＜1．求解即可．
【解答】解：函数f（x）=ln．
（1）＞0，
求解即得出：x∈（﹣1，1）
∴f（x）的定义域：（﹣1，1）
（2）∵（x）的定义域：（﹣1，1）关于原点对称
f（﹣x）=ln=﹣ln=﹣f（x）
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（x）＜0
∴0＜＜1，
即可得出：0＜x＜1
∵不等式f[x（x﹣）]＜0．
∴转化为：0＜1．
即＜x＜0或＜x
∴解集为：{x|＜x＜0或＜x}
　
20．设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【解答】解：（1）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e﹣1，
∵f（x）=xea﹣x+bx，
∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，
则，
即a=2，b=e；
（2）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe2﹣x+ex，
∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，
f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，
由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，
即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，
即函数f（x）是增函数，
即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．
　
21．设函数f（x）=ax﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2m f（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【考点】指数函数综合题；函数奇偶性的性质．
【分析】（Ⅰ）依题意，由f（﹣x）=﹣f（x），即可求得k的值；
（Ⅱ）由f（1）=，可解得a=2，于是可得f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，则g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈∈[，+∞），通过对m范围的讨论，结合题意h（t）min=﹣2，即可求得m的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣x﹣（k﹣1）ax=﹣ax+（k﹣1）a﹣x，
即（k﹣1）（ax+a﹣x）﹣（ax+a﹣x）=0，（k﹣2）（ax+a﹣x）=0，
∵x为任意实数，ax+a﹣x＞0，
∴k=2．
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=ax﹣a﹣x，
∵f（1）=，
∴a﹣=，解得a=2．
故f（x）=2x﹣2﹣x，g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x），
令t=2x﹣2﹣x，则22x+2﹣2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），
∴g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，t∈[，+∞），
当m＜时，h（t）在[，+∞）上是增函数，则h（）=﹣2，﹣3m+2=﹣2，
解得m=（舍去）．
当m≥时，则h（m）=﹣2，2﹣m2=﹣2，解得m=2，或m=﹣2（舍去）．
综上，m的值是2．
　
22．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（m为常数）且f′（1）=0
（Ⅰ）求实数m的值．
（Ⅱ）若对任意的x∈[1，+∞），不等式f（x）≥恒成立．求实数n的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数恒成立问题．
【分析】（I）利用函数的奇偶性求出当x＞0时f（x）的解析式，根据f′（1）=0列方程解出m；
（II）分离参数得出n≤1+lnx+，求出右侧函数的最小值即可．
【解答】解：（I）当x＞0时，﹣x＜0，
∴f（﹣x）=，
∵f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，f（x）=﹣f（﹣x）=．
∴当x＞0时，f′（x）=﹣，
∴f′（1）==0，∴m=0．
（II）由（I）得当x＞0时，f（x）=．
∵f（x）=≥恒成立，∴n≤1+lnx+在[1，+∞）恒成立，
令g（x）=1+lnx+．
则g′（x）=＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴gmin（x）=g（1）=2．
∴n≤2．
　
2017年1月18日