模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若集合M＝{y|y＝2x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝( )
A．{y|y＞1}
B．{y|y≥1}
C．{y|y＞0}
D．{y|y≥0}
【解析】 M＝{y|y＝2x}＝{y|y＞0}，
P＝{y|y＝}＝{y|y≥0}．
故M∩P＝{y|y＞0}．
【答案】 C
2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f(x)＝则f(1)＋f(4)＝( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 f(1)＋f(4)＝21＋1＋log24＝5.
【答案】 A
3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y＝f(x)的图像经过点，则f(4)的值为( )
A．16
B．2
C.
D.
【解析】 设幂函数为y＝xα，
∵幂函数y＝f(x)的图像经过点，
∴＝2α，
解得α＝－.y＝x－.
f(4)＝4－＝.故选C.
【答案】 C
4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )
A．1
B．－1
C．0或1
D．－1,0或1
【解析】 由题意可得，集合A为单元素集，
(1)当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}， ，
(2)当a≠0时，则Δ＝0解得a＝±1，
当a＝1时，集合A的两个子集是{1}， ，
当a＝－1，此时集合A的两个子集是{－1}， .
综上所述，a的取值为－1,0,1.故选D.
【答案】 D
5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( )
A．f(x)＝，g(x)＝()2
B．f(x)＝1，g(x)＝x2
C．f(x)＝g(t)＝|t|
D．f(x)＝x＋1，g(x)＝
【解析】 A选项中的两个函数的定义域分别是R和[0，＋∞)，不相同；B选项中的两个函数的对应法则不一致；D选项中的两个函数的定义域分别是R和{x|x≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C选项中的两个函数的定义域都是R，对应法则都是g(x)＝|x|，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.
【答案】 C
6．(2016·山东滕州市高一期中)令a＝60.7，b＝0.76，c＝log0.76，则三个数a，b，c的大小顺序是( )
A．b＜c＜a
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．c＜b＜a
【解析】 a＝60.7＞60＝1，b＝0.76＞0且b＝0.76＜0.70＝1，c＝log0.76＜log0.71＝0.
【答案】 D
7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像( )
A． B.
C． D.
【解析】 ∵函数y＝a－x可化为y＝()x，其底数大于0小于1，是减函数，又y＝logax，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.
【答案】 A
8．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg
x，则满足f(x)＜0的x的取值范围是( )
A．(－∞，0)
B．(0,1)
C．(－∞，1)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
【解析】 由题意f(x)的图像如图所示，
故f(x)＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．
【答案】 D
9．已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是( )
【导学号：04100087】
A．(0,9)
B．(2,9)
C．(9,11)
D．(2,11)
【解析】 作出f(x)的图像：
则log3a＝－log3b，
∴ab＝1.
设f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，
则a＝3－t，b＝3t，
c＝11－t.
由图可知0＜t＜2，
∴abc＝11－t∈(9,11)．
【答案】 C
10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f(x)＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则f(x)的定义域为( )
A．(－1,1)∪[2,4]
B．(0,1)∪[2,4]
C．[2,4]
D．(－∞，0)∪[1,2]
【解析】 设t＝2x，则t＞0，且y＝t2－3t＋3＝2＋≥.
∵函数f(x)＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，
∴函数y＝t2－3t＋3的值域为[1,7]．
由y＝1得t＝1或2，由y＝7得t＝4或－1(舍去)，
则0＜t≤1或2≤t≤4，即0＜2x≤1或2≤2x≤4，解得x＜0或1≤x≤2，
∴f(x)的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D.
【答案】 D
11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f(x)＝2x－P·2－x，则下列结论正确的是( )
A．P＝1，f(x)为奇函数且为R上的减函数
B．P＝－1，f(x)为偶函数且为R上的减函数
C．P＝1，f(x)为奇函数且为R上的增函数
D．P＝－1，f(x)为偶函数且为R上的增函数
【解析】 当P＝1时，f(x)＝2x－2－x，定义域为R且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
∵2x是R上增函数，2－x是R的减函数，
∴f(x)＝2x－2－x为R上的增函数．因此选项C正确．
当P＝1时，f(x)＝2x＋2－x，定义域为R且f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
根据1＜2，f(1)＜f(2)可知f(x)在R上不是减函数；根据－2＜－1，f(－2)＞f(－1)可知f(x)在R上不是增函数．因此选项B、D不正确．故选C.
【答案】 C
12．若关于x的方程2－a－2＝0有实数根，则实数a的取值范围是( )
A．[－2，＋∞)
B．(－1,2]
C．(－2,1]
D．[－1,2)
【解析】 令f(x)＝2－2，
∵0<|x|≤1，
∴－2<|x|－2≤－1，
则1≤2<4，
故f(x)∈[－1,2)．
由方程2－a－2＝0有实数根，
得a∈[－1,2)．故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f(x)＝ax2＋(b＋)x＋3是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝__________.
【解析】 ∵函数f(x)＝ax2＋x＋3是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，
由偶函数的定义域关于原点对称可得(a－1)＋2a＝0，解得a＝，
所以函数f(x)＝x2＋x＋3.
由题意可得f(－x)＝f(x)恒成立，
即(－x)2＋(b＋)(－x)＋3＝x2＋x＋3对任意的实数x都成立，
所以有b＋＝0，解得b＝－，所以a＋b＝0.
【答案】 0
14．(2016·福建龙岩高一期末)函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为________．
【解析】 函数f(x)的定义域为{x|x＞3或x＜－1}．
令t＝x2－2x－3，则y＝logt.
因为y＝logt在(0，＋∞)单调递减，t＝x2－2x－3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，
由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．
【答案】 (－∞，－1)
15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________.
【导学号：04100088】
【解析】 设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝，
∴S正＝()2＝，S圆＝π·，
∴S正＋S圆＝(0＜x＜1)，
∴当x＝时有最小值．
【答案】
16．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f(－1)＜f(ln
x)的解集是________．
【解析】 由已知f(x)在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln
x＞0，f(1)＜f(ln
x)，则1＜ln
x，有x＞e，当ln
x＜0，f(－1)＜f(ln
x)，则－1＞ln
x，有0＜x＜
综上，不等式f(－1)＜f(ln
x)的解集是∪(e，＋∞)．
【答案】 ∪(e，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值：
(1)－(－9.6)0－－＋(1.5)－2
(2)log3＋lg25＋lg4＋7log72.
【解】(1)原式＝2－1－－＋－2
＝2×－1－－3×＋－2
＝－1－－2＋－2
＝.
(2)原式＝log3＋lg(25×4)＋2
＝log33－＋lg102＋2
＝－＋2＋2＝.
18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)
已知集合A＝，B＝.
(1)分别求A∩B，( RB)∪A；
(2)已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C A，求实数a的取值范围．
【解】 (1)由已知得A＝{x|1≤x≤4}，
B＝{x|x＞3}，
∴A∩B＝{x|3＜x≤4}，
∴( RB)∪A＝{x|x≤3}∪{x|1≤x≤4}＝{x|x≤4}．
(2)①当a≤1时，C＝ ，此时C A；
②当a＞1时，由C A得1＜a≤4.
综上，a的取值范围为(－∞，4]．
19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝loga[f(x)－ax](a＞0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a的取值范围．
【解】 (1)∵f(x)为偶函数，
∴－2m2＋m＋3为偶数．
又f(3)＜f(5)，∴3－2m2＋m＋3＜5－2m2＋m＋3，即有－2m2＋m＋3＜1，
∴－2m2＋m＋3＞0，∴－1＜m＜.
又m∈Z，∴m＝0或m＝1.
当m＝0时，－2m2＋m＋3＝3为奇数(舍去)；
当m＝1时，－2m2＋m＋3＝2为偶数，符合题意．
∴m＝1，f(x)＝x2.
(2)由(1)知，g(x)＝loga[f(x)－ax]＝loga(x2－ax)(a＞0且a≠1)在区间[2,3]上为增函数．
令u(x)＝x2－ax，y＝logau，
①当a＞1时，y＝logau为增函数，只需u(x)＝x2－ax在区间[2,3]上为增函数，
即1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，y＝logau为减函数，只需u(x)＝x2－ax在区间[2,3]上为减函数，
即a∈ ，
综上可知，a的取值范围为(1,2)．
20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
(1)若f(1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)<0恒成立的t的取值范围；
(2)若f(1)＝，g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)且g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
【解】 (1)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)，
∵f(1)<0，∴a－<0，又a>0，且a≠1，∴0
∵ax单调递减，a－x单调递增，故f(x)在R上单调递减．
不等式化为f(x2＋tx)∴x2＋tx>x－4，即x2＋(t－1)x＋4>0恒成立，
∴Δ＝(t－1)2－16<0，解得－3(2)∵f(1)＝，∴a－＝，2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－(舍去)，
∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.
令t＝f(x)＝2x－2－x，由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数．
∵x≥1，∴t≥f(1)＝，令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2.
若m≥，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2.
若m<，当t＝时，h(t)min＝－3m＝－2，解得m＝>，舍去．
综上可知，m＝2.
21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f(x)＝log3(9x)·log3(3x)，且≤x≤9.
(1)求f(3)的值；
(2)令t＝log3x，将f(x)表示成以t为自变量的函数，并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值.
【导学号：04100089】
【解】 (1)f(3)＝log327·log39＝3×2＝6.
(2)因为t＝log3x，又∵≤x≤9，∴－2≤log3x≤2，即－2≤t≤2.
由f(x)＝(log3x＋2)·(log3x＋1)＝(log3x)2＋3log3x＋2＝t2＋3t＋2.
令g(t)＝t2＋3t＋2＝2－，t∈[－2,2]．
①当t＝－时，g(t)min＝－，即log3x＝－，则x＝3－＝，
∴f(x)min＝－，此时x＝；
②当t＝2时，g(t)max＝g(2)＝12，即log3x＝2，x＝9，
∴f(x)max＝12，此时x＝9.
22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y＝g(x)满足：g(3)＝8，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)确定y＝f(x)和y＝g(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
(3)若对于任意x∈[－5，－1]，都有f(1－x)＋f(1－2x)＞0成立，求x的取值范围．
【解】 (1)设g(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则a3＝8，
∴a＝2，∴g(x)＝2x.
因为f(x)＝，又f(－1)＝－f(1)，
∴＝ m＝2，经检验，满足题意，
所以f(x)＝＝－＋.
(2)f(x)为减函数，证明如下：
由(1)知f(x)＝＝－＋.
任取x1，x2∈R，设x1＜x2则
f(x2)－f(x1)＝＝＝，
因为函数y＝2x在R上是增函数且x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.
又(2x1＋1)(2x2＋1)＞0∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，
∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
(3)因f(x)是奇函数，且f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，
从而由不等式f(1－x)＋f(1－2x)＞0得
f(1－x)＞－f(1－2x)即f(1－x)＞f(2x－1)，
所以解得2≤x≤3，
即x的取值范围是[2,3]．模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，C＝{4,5}，则(A∩B)∪C为( )
A．{3,4}
B．{3,4,5}
C．{4,5,6}
D．{3,4,5,6}
【解析】 依题意得，A∩B＝{3,4}，所以(A∩B)∪C＝{3,4,5}，选B.
【答案】 B
2．(2016·浙江瑞安市高一期中)下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( )
A．y＝x
B．y＝x4
C．y＝x－1
D．y＝x3
【解析】 选项A中y＝x＝是非奇非偶的函数，选项C中y＝x－1是奇函数，对于选项D中y＝x3也是奇函数，均不满足题意；选项B中y＝x4是偶函数，且过点(0,0)(1,1)，满足题意．故选B.
【答案】 B
3.已知函数f(x)＝，则有( )
A．f(x)是奇函数，且f＝－f(x)
B．f(x)是奇函数，且f＝f(x)
C．f(x)是偶函数，且f＝－f(x)
D．f(x)是偶函数，且f＝f(x)
【解析】 因为f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，又f＝＝＝－f(x)．
【答案】 C
4．若函数f(x)＝的定义域为A，g(x)＝的定义域为B，则 R(A∪B)＝( )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(0,1]∪[2，＋∞)
D．(0,1)∪(2，＋∞)
【解析】 由题意知， 1∴A＝(1,2)．
x≤0.∴B＝(－∞，0]，
A∪B＝(－∞，0]∪(1,2)，
∴ R(A∪B)＝(0,1]∪[2，＋∞)．
【答案】 C
5．(2016·湖南长沙一中高一期中)三个数a＝0.72，b＝log20.7，c＝20.7之间的大小关系是( )
A．a＜c＜b
B．a＜b＜c
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a
【解析】 ∵0＜a＝0.72＜1，b＝log20.7＜0，c＝20.7＞1.∴b＜a＜c.故选C.
【答案】 C
6．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知定义域在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)＜0，则a的取值范围是( )
A．(2，3)
B．(3，)
C．(2，4)
D．(－2,3)
【解析】 由f(a－3)＋f(9－a2)＜0，得f(a－3)＜－f(9－a2)；又奇函数满足f(－x)＝－f(x)，得f(a－3)＜f(a2－9)；因为f(x)是(－1,1)上的减函数，所以解得2＜a＜3.
【答案】 A
7．为了得到函数y＝lg的图像，只需把函数y＝lg
x的图像上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【解析】 由y＝lg得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lg
x的图像向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图像，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图像．故选C.
【答案】 C
8．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg
2)＋f等于( )
【导学号：04100084】
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 f(x)＋f(－x)＝ln(－3x)＋ln(＋3x)＋2＝ln(1＋9x2－9x2)＋2＝ln
1＋2＝2，由上式关系知f(lg
2)＋f＝f(lg
2)＋f(－lg
2)＝2.故选D.
【答案】 D
9．已知lg
a＋lg
b＝0，函数f(x)＝ax与g(x)＝－logbx的图像可能是( )
【解析】 由lg
a＋lg
b＝0得ab＝1，当a>1时，0【答案】 B
10．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c则( )
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜a＜c
【解析】 在同一坐标系下分别画出函数y＝2x，y＝log3x，y＝－的图像，如图，观察它们与y＝－x的交点可知a＜b＜c.故选A.
【答案】 A
11．(2016·兰州高一期末)已知f(x)的定义域为x∈R有x≠1，已知f(x＋1)为奇函数，当x＜1时，f(x)＝2x2－x＋1，那么，当x＞1时，f(x)的递减区间是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意知，f(x＋1)为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x＋1)．
令t＝－x＋1，则x＝1－t，故f(t)＝－f(2－t)，即f(x)＝－f(2－x)．
设x＞1，则2－x＜1.
∵当x＜1时，f(x)＝2x2－x＋1，
∴f(2－x)＝2(2－x)2－(2－x)＋1＝2x2－7x＋7，
∴f(x)＝－f(2－x)＝－2x2＋7x－7，
∴函数的对称轴x＝.故所求的减区间是[，＋∞)．故选C.
【答案】 C
12．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A．－3≤a＜0
B．－3≤a≤－2
C．a≤－2
D．a≤0
【解析】 ∵函数f(x)＝是R上的增函数，
设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝(x＞1)，
由分段函数的性质可知，函数g(x)＝－x2－ax－5在(－∞，1]单调递增，函数h(x)＝在(1，＋∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，
∴∴
解得－3≤a≤－2.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．化简(ab)(－3ab)÷的结果为________．
【解析】 原式＝a＋－b＋－＝－9a.
【答案】 －9a
14．方程x＝3－x2的实数解的个数是________．
【导学号：04100085】
【解析】 令f(x)＝x，g(x)＝3－x2.
作出两函数图像如图
由图可知f(x)与g(x)有两个交点．
故方程x＝3－x2的实数解的个数为2.
【答案】 2
15．(2016·天津市南开大附中高一期中)已知(1.40.8)a＜(0.81.4)a，则实数a的取值范围是______．
【解析】 ∵1.40.8＞1,0＜0.81.4＜1，
且(1.40.8)a＜(0.81.4)a，
∴y＝xa为减函数，
∴a的取值范围是(－∞，0)．
【答案】 (－∞，0)
16．(2016·宿迁高一期末)关于x的方程|x2－1|＝a有三个不等的实数解，则实数a的值是______．
【解析】 构造函数y1＝|x2－1|，y2＝a，画出函数的图形，如图所示，则可得关于x的方程|x2－1|＝a有三个不等的实数解时，a＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2015·江阴高一检测)计算下列各式的值：
(1)(ln
5)0＋－0.5＋－2log42.
(2)log21－lg
3·log32－lg
5.
【解】 (1)原式＝1＋－0.5＋|1－|－2
＝1＋－1＋－1－＝.
(2)原式＝0－lg
3·－lg
5
＝－(lg
2＋lg
5)＝－lg(2×5)＝－1.
18．(本小题满分12分)(2016·河南舞钢市一高高一月考)已知集合A＝{x|0＜ax＋1≤5}，B＝.
(1)若A B，求实数a的取值范围；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围；
(3)是否存在实数a使得A∪B＝A∩B？若存在，求出a的值；若不存在，试说明理由．
【解】 A中不等式的解应该分三种情况讨论确定：
①当a＝0时，A＝R；
②当a＜0时，A＝；
②若a＞0，则A＝.
(1)若a＜0，若A B，则 a＜－8.
若a＞0，若A B，则 a≥2.
故由A B得a的取值范围是{a|a＜－8，或a≥2}．
(2)由A∩B＝B知，B A
当a＝0时，显然B A；当a＜0时，若B A，则 －＜a＜0.
当a＞0时，若B A，则 0＜a≤2.
若A∩B＝B，则实数a的取值范围是.
(3)由A∪B＝A∩B得，A＝B，即A B，B A，结合(1)、(2)知，a＝2.
19．(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)设f(x)是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y＝x，当x＞2时，y＝f(x)的图像是顶点为P(3,4)，且过点A(2,2)的抛物线的一部分．
(1)求函数f(x)在(2，＋∞)上的解析式；
(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的图像；
(3)写出函数f(x)的值域及单调增区间．
图1
【解】 (1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，
所以y＝－2(x－3)2＋4，
即x＞2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.
(2)函数f(x)的图像如图：
(3)由图像可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]，单调增区间为(－∞，－3)，(0,3)
20．(本小题满分12分)(2016·湖南株州二中高一期中)已知f(x)＝log2
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)的单调性并用单调性定义证明；
(3)若f(x－3)＋f(－)＜0，求实数x的取值范围．
【解】 (1)f(x)在(－1,1)上为奇函数，证明如下：
∵＞0，∴－1＜x＜1，∴定义域为(－1，1)关于原点对称，
又f(－x)＝log2＝log2()－1＝－log2＝－f(x)，
∴f(x)为(－1,1)上的奇函数．
(2)f(x)在(－1,1)上单调递增，证明如下：
设－1＜x1＜x2＜1，
则f(x1)－f(x2)＝log2－log2＝log2.
又－1＜x1＜x2＜1，
∴(1＋x1)(1－x2)－(1－x1)(1＋x2)＝2(x1－x2)＜0，
即0＜(1＋x1)(1－x2)＜(1－x1)(1＋x2)，
∴0＜＜1，
∴log2＜0，
∴f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上单调递增．
(3)∵f(x)为(－1,1)上的奇函数，
∴f(x－3)＜－f(－)＝f()．
又f(x)在(－1,1)上单调递增，
∴－1＜x－3＜，得2＜x＜.
21．(本小题满分12分)某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．
(1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)；
(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大.
【导学号：04100086】
【解】 (1)当0＜x≤500时，
f(x)＝0.05x－x2－＝－＋x－，
当x＞500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x，故f(x)＝
(2)当0＜x≤500时，
f(x)＝－＋x－＝－(x－475)2＋，
故当x＝475时，f(x)max＝.
当x＞500时，f(x)＝12－x＜12－＝＜，
故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0≤x＜1时，f(x)∈[0,1)．
(1)判断f(x)的奇偶性．
(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明．
(3)若a≥0且f(a＋1)≤，求实数a的取值范围．
【解】 (1)令y＝－1，
则f(－x)＝f(x)·f(－1)．
因为f(－1)＝1，
所以f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
(2)f(x)在[0，＋∞)上单调递增．证明如下：
设0≤x1＜x2，
所以0≤＜1，
f(x1)＝f＝f·f(x2)．
当x≥0时，f(x)＝f()·f()＝[f()]2≥0，
f(x)不恒为零．
因为0≤x＜1时，f(x)∈[0,1)，
所以f＜1，所以f(x1)＜f(x2)．
故f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
(3)因为f(27)＝9，又f(3×9)＝f(3)×f(9)＝f(3)·f(3)2＝[f(3)]3.
所以9＝[f(3)]3，
所以f(3)＝，
因为f(a＋1)≤，
所以f(a＋1)≤f(3)，
因为f(x)在[0，＋∞)上为增函数，
且a≥0，a＋1∈[1，＋∞)，
所以a＋1≤3，即a≤2，
故0≤a≤2.