章末综合测评(四) 函数应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为( )
A．1,2,3
B．1，－1,3
C．1，－1，－3
D．无零点
【解析】 令y＝(x－1)(x2－2x－3)＝0，
解得x＝1，－1,3.
【答案】 B
2．下图函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
【解析】 由二分法的定义知应选C.
【答案】 C
3．(2015·泉州高一检测)某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶．下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离，则较符合该同学走法的图是( )
【解析】 该同学离学校距离先减小，后增大，再减小到0，由上述特点可知符合的是D.
【答案】 D
4．(2015·余姚高一检测)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为f＝e－－1－3＝e－－4＜0，f(0)＝1－3＝－2＜0，f＝e＋1－3＝e－2＜0，f＝e＋2－3＝e－1＞0，
故零点所在区间为.
【答案】 C
5．函数y＝x2的图像与函数y＝|lg
x|的图像的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 在同一平面直角坐标系中分别作出y＝x2和y＝|lg
x|的图像，如图，可得交点个数为1.
【答案】 B
6．(2016·山东滕州市高一期中)函数f(x)＝x－3＋log3x的零点所在的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,3)
C．(－∞，0)
D．(3，＋∞)
【解析】 f(1)＝1－3＋log31＝－2＜0，f(3)＝3－3＋log33＝1＞0，且f(x)在(1,3)上图像连续不断，∴f(x)零点所在的区间是(1,3)，故选B.
【答案】 B
7．某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P1，P2，P3，则这三年的年平均增长率为( )
A.(P1＋P2＋P3)
B.
C.－1
D．1＋(P1＋P2＋P3)
【解析】 设三年的年平均增长率为x，三年前的产值为a.
则a(1＋x)3＝a(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)，
则x＝－1.
【答案】 C
8．若函数f(x)＝3ax＋1－3a在(－1,1)上存在零点，则a的取值范围是( )
A.
B.
C．{a|a＜－1}
D.
【解析】 当a＝0时，f(x)＝1，无零点；
当a≠0时，f(x)＝3ax＋1－3a为一次函数，
在(－1,1)上存在零点，
即f(－1)·f(1)＜0，
即(－3a＋1－3a)(3a＋1－3a)＜0，
解得a＞.
【答案】 B
9．设方程3x＝|lg(－x)|的两个根为x1，x2，则( )
【导学号：04100083】
A．x1x2＜0
B．x1x2＝1
C．x1x2＞1
D．0＜x1x2＜1
【解析】 函数y＝3x与函数y＝|lg(－x)|的图像如图所示，由图示可设x1＜－1＜x2＜0，
则0＜3x1＜3x2＜1，
且可得
3x1－3x2＝lg(－x1)＋lg(－x2)＝lgx1x2，
∵3x1－3x2＜0，∴0＜x1x2＜1.故选D.
【答案】 D
10．某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为( )
A．45元
B．55元
C．65元
D．70元
【解析】 设每件商品定价为x元，
利润为y元，则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]＝－10x2＋1400x－40
000＝－10(x－70)2＋9
000,50≤x≤100，
则当每件商品定价为70元时，利润最大，故选D.
【答案】 D
11．若方程mx－x－m＝0(m>0，m≠1)有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )
A．m>1
B．0
C．m>0
D．m>2
【解析】 方程mx－x－m＝0有两个不同的实数根，即函数y＝mx与y＝x＋m的图像有两个不同的交点．显然，当m>1时，两图像有两个不同交点，当01.
【答案】 A
12．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是：P＝，Q＝·(a＞0)．若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元，则a的最小值应为( )
A.
B．5
C．±
D．－
【解析】 设投放x万元经销甲商品，则投放(20－x)万元经销乙商品，总利润y＝P＋Q＝＋·.令y≥5，则＋·≥5，a≥10－，即a≥对0≤x＜20恒成立．而f(x)＝的最大值为，且x＝20时，a≥10－也成立，amin＝，故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数y＝x2与函数y＝xln
x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
【解析】 因为y＝ln
x的增长越来越慢．y＝xlnx增长与y＝x2相比会越来越慢，故y＝x2的增长较快．
【答案】 y＝x2
14．函数f(x)＝x＋b有一个零点2，那么函数g(x)＝bx2＋x的零点是________．
【解析】 由题意2＋b＝0，b＝－2，则令g(x)＝0，
即－2x2＋x＝0，
解得x＝0或.
【答案】 0或
15．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
【解析】 设f(x)＝x3－2x－5，
则f(2)<0，f(3)>0，f(4)>0，有f(2)f(3)<0，
则下一个有根区间是(2,3)．
【答案】 (2,3)
16．(2016·湖南长沙一中高一期中)计算机成本不断降低，若每隔三年计算机价格就降低，现价格为8
100元的计算机，则9年后的价格为________元．
【解析】 ∵计算机每隔三年计算机价格就降低，现价格为8
100元，
∴计算机价格y与年份n之间的关系为y＝8
100×，
∴9年后的价格y＝8
100×＝2
400元．
【答案】 2
400
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2|x－1|－x＋1.
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图像．
图1
(2)根据函数f(x)的图像回答下列问题：
①求函数f(x)的单调区间；
②求函数f(x)的值域；
③求关于x的方程f(x)＝2在区间[0,2]上解的个数．
(回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤)
【解】 (1)当x－1≥0时，f(x)＝2(x－1)－x＋1＝x－1，
当x－1＜0时，f(x)＝2(1－x)－x＋1＝3－3x.
所以f(x)的图像如下：
(2)①函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]；
②函数f(x)的值域为[0，＋∞)；
③方程f(x)＝2在区间[0,2]上解的个数为1.
18．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2
012x＋log2
012x，试确定f(x)在R上的零点个数．
【解】 ∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
∵log2
012＝－2,2
012≈1，
log2
012＝－1,2
012＞1，
∴f＜0，f＞0，
∴f(x)＝2
012x＋log2
012x在区间内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R上的零点个数为3.
19．(本小题满分12分)(2015·东营高一检测)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
【解】 (1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5显然成立．
当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－，
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－.
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有：
x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵＋＝＝－4，
∴－＝－4.
解得m＝－3，且当m＝－3时，m＋6≠0，
Δ>0，符合题意．
∴m的值为－3.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log2(1－x)－log2(1＋x)．
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)判断f(x)的奇偶性．
(3)方程f(x)＝x＋1是否有实根？如果有实根x0，请求出一个长度为的区间(a，b)，使x0∈(a，b)；如果没有，请说明理由(注：区间(a，b)的长度为b－a)．
【解】 (1)∵
∴－1＜x＜1，故函数的定义域为(－1,1)．
(2)∵f(－x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)由题意知方程f(x)＝x＋1等价于log2(1－x)－log2(1＋x)＝x＋1，可化为(x＋1)2x＋1＋x－1＝0.
设g(x)＝(x＋1)2x＋1＋x－1，x∈(－1,1)，
则g＝×2－－1＝＜0，
g(0)＝2－1＝1＞0，
∴gg(0)＜0，故g(x)在上必有零点．
又∵g＝×2－－1＝＝＞0，
∴gg＜0，故g(x)在上必有零点，即f(x)＝x＋1有实根x0且x0∈.
∴满足题意的一个区间为.
21．(本小题满分12分)(2016·湖南永顺一中高一期中)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图2中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第(t)天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
图2
(1)根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据求出日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
【解】 (1)P＝(t∈N
)．
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得解得a＝－1，b＝40.
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q＝－t＋40,0＜t≤30，t∈N
.
(3)由(1)(2)可得
y＝(t∈N
)
即y＝(t∈N
)
当0＜t≤20时，y有最大值ymax＝125万元，此时t＝15；
当20＜t≤30时，y随t的增大而减小，ymax＜(20－60)2－40＝120万元．
所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．
22．(本小题满分12分)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，k均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值．
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间．(精确到1小时，参考数据：ln
0.2≈－1.61，ln
0.3≈－1.20，ln
0.4＝－0.92，ln
0.5≈－0.69，ln
0.9≈－0.11)
【解】 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln
0.9(或0.022)．
(2)由(1)知P＝P0e(ln
0.9)t，
当P＝40%P0时，
有0.4P0＝P0e(ln
0.9)t，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物减少到40%至少需要42小时．章末综合测评(三)
指数函数和对数函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各式正确的是( )
A.＝
B．log27＝－3
C.＝
D．a0＝1
【解析】 A中＝＝，B中log27＝log3＝－，C中＝，D中当a≠0时，a0＝1，故选C.
【答案】 C
2．下列函数与y＝x有相同图像的一个函数是( )
A．y＝
B．y＝
C．y＝alogax(a>0且a≠1)
D．y＝logaax
【解析】 y＝x的定义域为R，A中y＝＝|x|，不相同，B中函数y＝的定义域为{x|x≠0}，不相同，C中y＝alogax的定义域为(0，＋∞)不相同，D中y＝logaax＝x，定义域为R，故与y＝x相同．
【答案】 D
3．0.32，log20.3,20.3三个数的大小关系为( )
A．0.32＜20.3＜log20.3
B．0.32＜log20.3＜20.3
C．log20.3＜0.32＜20.3
D．log20.3＜20.3＜0.32
【解析】 0.32＝0.09，log20.3＜0,20.3＞1，
∴log20.3＜0.32＜20.3.
【答案】 C
4．函数y＝的值域是( )
A．[－3,3]
B．(－∞，3]
C．(0,3]
D．[3，＋∞)
【解析】 ∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，y＝x为减函数，
∴≤－1＝3.
又y＝x2－2x＞0，
故0＜y≤3.
【答案】 C
5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lnx，那么，f(－e2)＝( )
A．－2
B．2
C．1
D．无法确定
【解析】 因为f(x)为奇函数，故f(－e2)＝－f(e2)＝－lne2＝－2.
【答案】 A
6．(2016·天津市南开大附中高一期中)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
【解析】 令t＝x2－4>0，可得x>2，或x<－2，
故函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
当x∈(－∞，－2)时，t随x的增大而减小，y＝logt随t的减小而增大，
所以y＝log(x2－4)随x的增大而增大，即f(x)在(－∞，－2)上单调递增．故选D.
【答案】 D
7．设函数f(x)＝若f(x0)>1，则x0的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0,2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－1,3)
【解析】 当x0≥2时，∵f(x0)>1，
∴log2(x0－1)>1，即x0>3；
当x0<2时，由f(x0)>1得
x0－1>1，x0>－1，
∴x0<－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
【答案】 C
8．若变量x，y满足|x|－ln＝0，则y关于x的函数图像大致是( )
【解析】 由|x|－ln＝0，得ln＝|x|，所以＝e|x|，y＝＝|x|＝
作出函数图像为
【答案】 B
9．已知f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上为增函数，若f(log2x)>f(1)，则x的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B.∪(2，＋∞)
C.
D．(0,1)∪(2，＋∞)
【解析】 因为f(x)为偶函数，在[0，＋∞)上为增函数且f(log2x)>f(1)，所以|log2x|>1，即log2x>1或log2x<－1.由此可得x>2或0【答案】 B
10．已知loga(3a－1)恒为正数，那么实数a的取值范围是( )
A．a<
B.C．a>1
D.a>1
【解析】 当a>1时，由3a－1>1得a>，所以a>1；当01.
【答案】 D
11．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图像是( )
【解析】 ∵函数f(x)＝lg(|x|－1)，
∴f(－x)＝lg(|x|－1)＝f(x)，f(x)是偶函数．
当x>0时，f(x)＝lg(x－1)．
先作出lg
x的图像，再向右平移1个单位，根据偶函数图像的性质，将所作出图像关于y轴对称，答案为B.
【答案】 B
12．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8
m，两侧距离地面3
m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6
m，如图1所示，则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1
m)( )
图1
A．6.9
m
B．7.0
m
C．7.1
m
D．6.6
【解析】 建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y＝ax2(a<0)，设点A的坐标为(4，－h)，则C(3,3－h)，将这两点的坐标代入y＝ax2，可得
解得
所以厂门的高约为6.9
m.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
【解析】 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，
∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，
∴f(－1)＝－3.
因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
【答案】 －1
14．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．
【解析】 ∵－1≤log3x≤1，
∴log3≤log3x≤log33，∴≤x≤3.
∴f(x)＝log3x的定义域是，
∴f(x)＝log3x的反函数的值域是.
【答案】
15．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(ex－1，x<1，,x，x≥1，))则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
【解析】 当x<1时，x－1<0，ex－1∴当x<1时满足f(x)≤2.
当x≥1时，x≤2，x≤23＝8，∴1≤x≤8.
综上可知x∈(－∞，8]．
【答案】 (－∞，8]
16．函数f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2x，那么f＝__________.
【解析】 ∵f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，
∴当x<0时，f(x)＝－2－x.
而log2<0，
∴f＝－2eq
\s\up12(－log2)＝－2eq
\s\up12(log2)＝－3.
【答案】 －3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演变步骤)
17．(本小题满分10分)(1)化简：eq
\f(a－8ab,4b＋2\r(3,ab)＋a)÷1－2×；
(2)计算：lg
－lg
＋lg
.
【解】 (1)原式＝eq
\f(a a－8b , 2b 2＋2ab＋ a 2)×eq
\f(a,a－2b)×ab
＝eq
\f(a a－8b ,a－8b)×a×ab＝a.
(2)原式＝(lg
32－lg
49)－lg
2＋lg
245
＝(5lg
2－2lg
7)－×lg
2＋lg
7＋lg
5
＝lg
2＋lg
5－2lg
2
＝lg
2＋lg
5＝.
18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)
已知f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)判断函数f(x)在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明.
【导学号：04100071】
【解】 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，
∴＝，从而m＝0.
(2)f(x)＝在(－∞，1)上是单调增函数．
证明：f(x)＝，任取x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝.
∵x10，x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－∞，－1)上是单调增函数．
19．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所得的利润依次为M万元和N万元，它们与投入资金x万元的关系可由经验公式给出：M＝x，N＝(x≥1)．今有8万元资金投入经营甲、乙两种商品，且乙商品至少要求投资1万元，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分配应是多少？共能获得多大利润？
【解】 设投入乙种商品的资金为x万元，则投入甲种商品的资金为(8－x)万元，共获得利润y＝M＋N＝(8－x)＋.
令＝t(0≤t≤)，则x＝t2＋1，
∴y＝(7－t2)＋t
＝－(t－)2＋.
故当t＝时，可获最大利润万元．
此时，投入乙种商品的资金为万元．
甲种商品的资金为万元．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(log2x)2－log2x2，
(1)求方程f(x)－3＝0的解；
(2)当x∈时，求函数f(x)的最值，并求f(x)取最值时对应的x的值．
【解】 (1)∵f(x)－3＝0，∴(log2x)2－2log2x－3＝0，
∴(log2x－3)(log2
x＋1)＝0，
∴log2x＝3或log2x＝－1，∴x＝8或.
(2)设t＝log2x，∵x∈，∴t∈[－1,2]，f(x)＝t2－2t＝(t－1)2－1，
当t＝1时，x＝2，f(x)min＝－1，
当t＝－1时，x＝，f(x)max＝3.
21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明f(x)在R上是减函数；
(3)已知不等式f＋f(－1)>0，恒成立，求实数m的取值范围．
【解】 (1)法一：由于f(x)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0对于任意的x∈R都成立，
即＋＝0得＋＝0，
可得－1＋a·2x－2x＋a＝0，即(a－1)(2x＋1)＝0，
因为2x>0，则a－1＝0，解得a＝1.
法二：∵f(x)为R上的奇函数．
∴f(0)＝－f(0)，
即f(0)＝0.
∴＝0，
∴a＝1.
经检验a＝1时，f(x)为奇函数．
(2)设x1，x2∈R，且x1f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝，
因为x1所以2x1－2x2<0,2x2＋1>0,2x1＋1>0，
从而f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)所以f(x)在R上是减函数．
(3)由f＋f(－1)>0
可得：f>－f(－1)，
因为f(x)是奇函数，所以f>f(1)，
又因为f(x)在R上是减函数，所以logm<1，
解得01，
故m的取值范围是∪(1，＋∞)．
22．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)
已知函数f(x)＝x，函数g(x)＝logx.
(1)若g(mx2＋2x＋m)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)当x∈[－1,1]时，求函数y＝[f(x)]2－2af(x)＋3的最小值h(a)；
(3)是否存在非负实数m、n，使得函数y＝logf(x2)的定义域为[m，n]，值域为[2m,2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
【解】 (1)∵g(x)＝logx，∴y＝g(mx2＋2x＋m)＝log
(mx2＋2x＋m)．
令u＝mx2＋2x＋m，则y＝logu.
当m＝0时，u＝2x，y＝log2x的定义域为(0，＋∞)，不成立；
当m≠0时，∵y＝logu的定义域为R，
∴解得m＞1，综上所述，m＞1.
(2)y＝[f(x)]2－2af(x)＋3＝2x－2ax＋3
＝－2ax＋3，x∈[－1,1]．
令t＝x，则t∈，y＝t2－2at＋3，t∈[，2]．
对称轴为t＝a，当a＜时，t＝时，h(a)＝ymin＝－a；
当≤a≤2时，t＝a时，h(a)＝ymin＝3－a2；
当a＞2时，t＝2时，h(a)＝ymin＝7－4a.
综上所述，h(a)＝
(3)y＝logf(x)2＝logx2＝x2，假设存在，由题意，知解得∴存在m＝0，n＝2，使得函数y＝logf(x2)的定义域为[0,2]，值域为[0,4]．章末综合测评(一) 集合
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·嘉兴市高一期末)设集合A＝{x|x≤2}，则下列四个关系中正确的是( )
A．1∈A
B．1 A
C．{1}∈A
D．1 A
【解析】 ∵集合A＝{x|x≤2}表示的是所有不大于2的实数组成的集合，∴1∈A.故选A.
【答案】 A
2．(2016·安溪县高一期末)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( )
A．5
B．6
C．7
D．8
【解析】 ∵A＝{0,1,2}，
∴A的真子集的个数是23－1＝7，故选C.
【答案】 C
3．(2016·河南南阳市五校高一联考)满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【解析】 ∵A∪{－1,1}＝{－1,0,1}
∴A＝{0}或A＝{0，－1}或A＝{0,1}或A＝{－1,0,1}，共4个．故选A.
【答案】 A
4．设全集U＝{x∈N|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则( UA)∩( UB)＝( )
A．{2,4}
B．{2,4,6}
C．{0,2,4}
D．{0,2,4,6}
【解析】 U＝{x∈N|x<6}＝{0,1,2,3,4,5}，
所以( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{0,2,4}．
【答案】 C
5．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若 UM＝{－1,1}，则实数p的值为( )
A．－6
B．－4
C．4
D．6
【解析】 由题意M＝{2,3}，∴2×3＝p，∴p＝6.
【答案】 D
6．(2016·宜昌检测)已知集合A＝{x|x2－3x＋a>0，x∈R}，且1 A，则实数a的取值范围是( )
A．a≤2
B．a≥2
C．a≤－2
D．a≥－2
【解析】 ∵1 A，∴12－3×1＋a≤0，解得a≤2.
【答案】 A
7．(2016·福州市高一期末)若集合A＝{(x，y)‖x－1|＋＝0}，B＝{1,4}，则下面选项正确的是( )
A．B A
B．A B
C．A＝B
D．A∩B＝
【解析】 ∵集合A＝{(x，y)‖x－1|＋＝0}＝{(1,4)}是点的集合，而B＝{1,4}是数集，∴A∩B＝ ，故选D.
【答案】 D
8．(2016·绵阳市高一期末)已知非空数集A＝{x∈R|x2＝a}，则实数a的取值范围为( )
A．a＝0
B．a>0
C．a≠0
D．a≥0
【解析】 由于集合A＝{x|x2＝a，x∈R}是非空集合，所以方程x2＝a有实数根，所以a≥0，即实数a的取值范围是[0，＋∞)．故选D.
【答案】 D
9．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，图1中阴影部分所表示的集合为( )
图1
A．{1}
B．{1,2}
C．{1,2,3}
D．{0,1,2}
【解析】 由图可知阴影部分表示的集合为( UB)∩A，又A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，∴ UB＝{x|x<3}，
∴( UB)∩A＝{1,2}．故选B.
【答案】 B
10．已知A，B均为集合U＝{1,3,4,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3,4}，( UB)∩A＝{9}，则A＝( )
A．{3,4,9}
B．{3,9}
C．{4,9}
D．{1,3,4,9}
【解析】 由Venn图可知：
A＝{3,4,9}．
【答案】 A
11．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1A．－3≤m≤4
B．－3C．2D．2【解析】 ∵A∪B＝A，∴B A.又B≠ .
∴即2【答案】 D
12．设集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值的集合为( )
A．{0}
B．{0,3}
C．{1,3,4}
D．{0,1,3,4}
【解析】 解x2－5x＋4＝0得x1＝1，x2＝4，∴B＝{1,4}．
解方程x2－(a＋3)x＋3a＝0得x1＝3，x2＝a，
∴A＝{3}或{3，a}．
∵1＋4＋3＝8，∴A＝{3}或{3,0}或{3,4}或{3,1}
∴a＝0或1或3或4.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2014·重庆高考)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则( UA)∩B＝________.
【解析】 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即( UA)∩B＝{7,9}．
【答案】 {7,9}
14．设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}，则( RS)∪T＝________.
【解析】 RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|x2＋3x－4＝0}＝{－4,1}，所以( RS)∪T＝{x|x≤－2，或x＝1}．
【答案】 {x|x≤－2，或x＝1}
15．已知集合A＝{7,2m－1}，B＝{7，m2}，且A＝B，则实数m＝________.
【解析】 若A＝B，则m2＝2m－1，即m2－2m＋1＝0，即m＝1.
【答案】 1
16．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ， 属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：
①τ＝{ ，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{ ，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{ ，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{ ，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．
其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是__________．
【解析】 ①中，{a}∪{c}＝{a，c}，但{a，c}不属于τ，所以①不是集合X的一个拓扑；③中，{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}，但{a，b，c}不属于τ，所以③不是集合X的一个拓扑；②④均符合，故填②④.
【答案】 ②④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{3,4,5}，集合B＝{4,7,8}，求 UA， UB，( UA)∪( UB)，( UA)∩B.
【解】 由题意 UA＝{1,2,6,7,8}， UB＝{1,2,3,5,6}，( UA)∪( UB)＝{1,2,3,5,6,7,8}，( UA)∩B＝{7,8}．
18．(本小题满分12分)设U＝R，已知集合A＝{x|－5【导学号：04100014】
【解】 集合A，B用数轴表示为：
(1)A∪B＝{x|－5(2) UB＝{x|x<0，或x>7}，
∴A∪( UB)＝{x|x<5，或x>7}．
(3)∵( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)，
∴( UA)∩( UB)＝{x|x≤－5，或x>7}．
19．(本小题满分12分)已知集合P＝{2，x，y}，Q＝{2x,2，y2}，且P＝Q，求x，y的值．
【解】 ∵P＝Q，∴或
解得或或
由元素的互异性可知x≠y，故x＝0，y＝1或x＝，y＝.
20．(本小题满分12分)为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人3项工作都参加了，请问：这个测绘队至少有多少人？
【解】 将题目中的条件表示为如图的形式，记x为3项工作都参加的人数，则测绘队总人数为：(10－x)＋(8－x)＋(6－x)＋4＋6＋8＋x＝42－2x.
显然，测绘队总人数随x的变化而变化，而x应满足x≥1,6－x≥0,8－x≥0,10－x≥0，于是1≤x≤6，x∈N，
∴当x＝6时，测绘队人数最少，为42－12＝30(人)．
所以这个测绘队至少有30人．
21．(本小题满分12分)(2016·广东揭阳一中高一段测)已知集合A＝{x|x2－4x－5≥0}，集合B＝{x|2a≤x≤a＋2}
(1)若a＝－1，求A∩B和( RA)∪B；
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围．
【解】 (1)A＝{x|x≤－1或x≥5}，B＝{x|－2≤x≤1}．
∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，
RA＝{x|－1( RA)∪B＝{x|－2≤x<5}．
(2)∵A∩B＝B，∴B A.
①若B＝ ，则2a>a＋2，∴a>2.
②若B＝ ，则或∴a≤－3.
所以，综上a>2，或a≤－3.
22．(本小题满分12分)(2016·湖南岳阳县一中高一月考)已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，问同时满足B?A，A∪C＝A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
【解】 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，B＝{x|(x－1)(x－a＋1)＝0}，
又B?A，∴a－1＝1，即a＝2.∵A∪C＝A，∴C A，则C中的元素有以下三种情况：
①若C＝ 时，即方程x2－bx＋2＝0无实根，
∴Δ＝b2－8<0，－2②若C＝{1}或C＝{2}，即方程x2－bx＋2＝0有两个相等的实根，∴Δ＝b2－8＝0，b＝±2，此时C＝{}或C＝{－}，不符合题意，舍去．
③若C＝{1,2}时，则b＝1＋2＝3，而两根之积恰好等于2，故同时满足B?A，A∪C＝A的实数a，b存在．
综上所述，a＝2，－2(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合A＝{－1,3,5}，若f：x→2x－1是集合A到集合B的映射，则集合B可以是( )
A．{0,2,3}
B．{1,2,3}
C．{－3,5}
D．{－3,5,9}
【解析】 将x＝－1,3,5代入f：x→2x－1得－3,5,9，故B＝{－3,5,9}．
【答案】 D
2．已知f(x)＝则f(3)＝( )
A．7
B．2
C．10
D．12
【解析】 ∵3>1，∴f(3)＝32＋3＝9＋3＝12.
【答案】 D
3．(2016·湖北高一月考)已知函数f(x)＝|x|，则下列哪个函数与y＝f(x)表示同一个函数( )
A．g(x)＝()2
B．h(x)＝
C．s(x)＝x
D．y＝
【解析】 由二次根式的性质可知h(x)＝＝|x|.故选B.
【答案】 B
4．幂函数f(x)过点，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)，(0，＋∞)
【解析】 设幂函数f(x)＝xα，则f(2)＝，即2α＝，
∴α＝－1，故f(x)＝x－1＝.
∴函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
【答案】 D
5．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 ∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．
∴－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，
∴2g(1)＝6，∴g(1)＝3.
【答案】 B
6．已知函数f(x)＝x2－4x，x∈[1,5]，则函数f(x)的值域是( )
A．[－4，＋∞)
B．[－3,5]
C．[－4,5]
D．(－4,5]
【解析】 f(x)＝x2－4x＝(x－2)2－4，
当x＝2时，f(x)取到最小值－4；
当x＝5时，f(x)取得最大值5，
故函数f(x)的值域为[－4,5]．
【答案】 C
7．(2016·河南郑州外国语学校高一月考)若函数y＝f(x)的定义域是[0,3]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[－1,2)
B．[0,2)
C．[－1,2]
D．[0,2)∪(2,3]
【解析】 由解得－1≤x＜2，故选A.
【答案】 A
8．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则( )
A．f(3)B．f(1)C．f(－2)D．f(3)【解析】 ∵对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，
∴f(x)在[0，＋∞)上是减少的，
∵1<2<3，且f(x)为偶函数，∴f(3)∵f(－2)＝f(2)，∴f(3)【答案】 A
9．用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f(x)＝min(x>0)，则f(x)的最大值为( )
A．－1
B．1
C．0
D．不存在
【解析】 作出f(x)＝min(x>0)的图像，
如图所示：
所以f(x)的最大值为1.
【答案】 B
10．函数f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝( )
A．－26
B．26
C．18
D．－18
【解析】 f(－2)＝(－2)5＋a(－2)3＋b(－2)－8＝－25－a·23－2b－8＝10，
∴25＋a·23＋2b＝－18，
∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－18－8＝－26.
【答案】 A
11．(2016·辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)若函数f(x)＝在区间(－∞，4)上是增函数，则有( )
A．a＞b≥4
B．a≥4＞b
C．4≤a＜b
D．a≤4＜b
【解析】 ∵f(x)＝＝＝1＋，如果a＞b，则f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上也单调递减；如果a＜b，则f(x)在(－∞，a)上单调递增，在(a，＋∞)上也单调递增．因为f(x)在区间(－∞，4)上是增函数，所以a＜b，且(－∞，4)为(－∞，a)的一个子区间，所以a≥4，所以4≤a＜b.
【答案】 C
12．已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，则实数a的取值范围是( )
【导学号：04100038】
A．(0,2)
B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(0,4)
【解析】 由题意知二次函数f(x)＝x2－ax＋的图像开口向上，对称轴方程为x＝，x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，即f(x)最小值>0.
当≤－1，即a≤－2时，f(x)最小值＝f(－1)＝1＋a＋>0，解得a>－，与a≤－2矛盾；
当≥1，即a≥2时，f(x)最小值＝f(1)＝1－a＋>0，解得a<2，与a≥2矛盾；
当－1<<1，即－20，则Δ＝(－a)2－4·<0，解得0综上，实数a的取值范围(0,2)，选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．将二次函数y＝x2＋1的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得二次函数的解析式是________．
【解析】 y＝(x＋2)2＋1－3＝(x＋2)2－2＝x2＋4x＋2.
【答案】 y＝x2＋4x＋2
14．(2016·河南南阳市五校高一联考)函数f(x)＝＋的定义域是________．(要求用区间表示)
【解析】 要使原函数有意义，需要：解得x＜－1或－1＜x≤2，
所以原函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,2]．
【答案】 (－∞，－1)∪(－1,2]
15．设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【解析】 f(－x)＝，又f(x)为奇函数，故f(x)＝－f(－x)，即＝，所以＝，从而有a＋1＝－(a＋1)，即a＝－1.
【答案】 －1
16．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由已知f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且f(a)＝f(|a|)，∴f(a)≥f(2) f(|a|)≥f(2)，∴|a|≥2，即a≥2或a≤－2.
【答案】 {a|a≥2或a≤－2}
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)f(x)＝
(1)在如图1给定的直角坐标系内画出f(x)的草图；(不用列表描点)
图1
(2)根据图像写出f(x)的单调区间；
(3)根据图像求f(x)的最小值．
【解】 (1)
(2)单调增区间为[－1,0)，(2,5]，单调减区间为[0,2]．
(3)最小值为－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.
(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上为单调函数，求实数m的取值范围．
【解】 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a，
①当a＞0时，f(x)在区间[2,3]是增函数，故
即得
②当a＜0时，f(x)在区间[2,3]是减函数，
故可得
所以：或
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－(m＋2)x＋2
由题意知≤2或≥4，可得m≤2或m≥6.
故m的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．
19．(本小题满分12分)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x＞0时，f(x)＞1，f(3)＝4.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
【解】 (1)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则x2－x1＞0，
∴f(x2－x1)＞1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)
＝f(x2－x1)－1＞0.
∴f(x1)＜f(x2)，即f(x)是R上的增函数．
(2)令x＝y＝1，则f(2)＝2f(1)－1，f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.
又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4，
∴f(1)＝2，f(2)＝2f(1)－1＝3，
由(1)知f(x)是R上的增函数，
∴f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.
20．(本小题满分12分)(2016·河南联考)已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－2，试证：f(x)在(－∞，－2)上单调递减；
(2)函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，求实数a的取值范围．
【解】 (1)证明：设x1＜x2＜－2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－.
∵(x1＋1)(x2＋1)＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＞0，
∴f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－2)上单调递减．
(2)f(x)＝＝a－.
设x1＜x2＜－1，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝－＝.
又函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，
所以f(x1)－f(x2)＞0.
由于x1＜x2＜－1，
∴x1－x2＜0，x1＋1＜0，x2＋1＜0，
∴a＋1＜0，即a＜－1.
故a的取值范围是(－∞，－1)．
21．(本小题满分12分)f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数．
(1)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增加的；
(2)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.
【解】 (1)证明：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝.
∵x1，x2∈(－1,1)，x1∴x1－x2<0，－10.
又(1＋x)(1＋x)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增加的．
(2)不等式需满足定义域∴0∵f(t－1)＋f(t)<0，∴f(t－1)<－f(t)，
∵f(x)为奇函数，∴f(t－1)∵f(x)在(0,1)上是增加的，
∴t－1<－t，即t<.
综上可知不等式的解为022．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x2＋mx－m.
(1)若函数f(x)为偶函数，求实数m的值；
(2)若函数f(x)在[－1,0]上是减少的，求实数m的取值范围；
(3)是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)∵函数f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即－x2－mx－m＝－x2＋mx－m，
则2mx＝0，且对任意x∈R恒成立，故m＝0.
(2)因函数f(x)图像的对称轴是x＝，要使f(x)在[－1,0]上是减少的，应满足≤－1，解得m≤－2.
(3)当≤2，即m≤4时，f(x)在[2,3]上是减少的．
若存在实数m，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，
则有即无解；
当≥3，即m≥6时，f(x)在[2,3]上是增加的，
则有即解得m＝6；
当2<<3，即4则有f＝－2＋m·－m＝3，
解得m＝－2(舍去)或6(舍去)．
综上，存在实数m＝6，使f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．