【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修二模块综合测评 （1份打包）

模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为(　　)
A．30°　　
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】　由－＝1，得该直线的斜率k＝，故倾斜角为30°.
【答案】　A
2．在空间直角坐标系中，点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影，O为坐标原点，则|OB|等于(　　)
A.
B.
C．2
D.
【解析】　点A(1,2,3)在yOz坐标平面内的投影为B(0,2,3)，
∴|OB|＝＝.
【答案】　B
3．(2016·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)
【解析】　由y＝x＋a得斜率为1，排除B，D；由y＝ax与y＝x＋a中a同号知，若y＝ax递增，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y＝ax递减，则y＝x＋a与y轴的交点在y轴的负半轴上．故选C.
【答案】　C
4．已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图1是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为(　　)
图1
【解析】　由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.
【答案】　B
5．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于(　　)
A.
B．2
C．－1
D．2或－1
【解析】　由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a＝2或－1.
【答案】　D
6．(2016·成都高一检测)已知m是平面α的一条斜线，点A α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是(　　)
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
【解析】　如图l可以垂直m，且l平行α.
【答案】　C
7．(2016·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC(　　)
A．垂直
B．平行
C．相交
D．位置关系不确定
【解析】　
过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD，BD于F，E两点，连接DO.
因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，
同理DO⊥BC，
所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，
所以BD⊥AC.故选A.
【答案】　A
8．已知一个正六棱锥的体积为12，底面边长为2，则它的侧棱长为(　　)
A．4
B.
C.
D．2
【解析】　
由正六棱锥可知，底面是由六个正三角形组成的，
∴底面积S＝6××2×＝6，
∴体积V＝Sh＝12，
∴h＝＝＝2，
在直角三角形SOB中，
侧棱长为SB＝＝＝4.
故选A.
【答案】　A
9．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A．(0°，30°]
B．(0°，60°]
C．[0°，30°]
D．[0°，60°]
【解析】　如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.
由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，
则sin
α＝，
所以α＝30°，∠BPA＝60°.
故直线l的倾斜角的取值范围是[0°，60°]．选D.
【答案】　D
10．若M(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A．x－y－3＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
【解析】　设圆心为C，其坐标为(1,0)．则AB⊥CM，kCM＝－1，
∴kAB＝1，∴直线AB的方程为y－(－1)＝1×(x－2)，
即x－y－3＝0，故选A.
【答案】　A
11．过点P(－3,4)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A．3x＋4y－7＝0
B．3x－4y＋25＝0
C．3x－4y＋4＝0
D．3x－4y＝0
【解析】　先求出以PO(O为原点)为直径的圆C的方程为＋(y－2)2＝，即x2＋y2＋3x－4y＝0，再将两圆方程相减得3x－4y＋4＝0，因为这条直线经过两圆的交点即切点A，B，所以3x－4y＋4＝0就是直线AB的方程，故选C.
【答案】　C
12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D．[0,1]
【解析】　
曲线y＝－可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2,0)为圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．
【解析】　设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为，得πR3＝，解得R＝.由2R＝x，得x＝＝.
【答案】　
14．(2016·赣州高一检测)在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，对角线AC＝BD＝2，且AC⊥BD，则四边形EFGH的面积为______.
【导学号：10690078】
【解析】　如图，由条件，易判断EHFGBD，
所以EH＝FG＝1，同样有EFGHAC，EF＝GH＝1，又BD⊥AC，所以EF⊥EH，所以四边形EFGH是边长为1的正方形，其面积S＝12＝1.
【答案】　1
15．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为______．
【解析】　由题意知，点A在圆上，切线斜率为＝＝－，用点斜式可直接求出切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0，
从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，
所以所求面积为××5＝.
【答案】　
16．如图2，三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是________．
图2
①CC1与B1E是异面直线；
②AC⊥平面ABB1A1；
③AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1；
④A1C1∥平面AB1E.
【解析】　①中，直线CC1与B1E都在平面BCC1B1中，不是异面直线；
②中，平面ABC⊥平面ABB1A1，而AC与AB不垂直，则AC与平面ABB1A1不垂直；
③中，AE与B1C1不平行也不相交，是异面直线，又由已知得平面ABC⊥平面BCC1B1，由△ABC为正三角形，且E为BC的中点知AE⊥BC，所以AE⊥平面BCC1B1，则AE⊥B1C1；
④中，A1C1与平面AB1E相交，故错误．
【答案】　③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)将圆心角为120°，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积．
【解】　设扇形的半径和圆锥的母线都为l，圆锥的半径为r，则
πl2＝3π，l＝3；×3＝2πr，r＝1；
S表面积＝S侧面＋S底面＝πrl＋πr2＝4π，
V＝Sh＝×π×12×2＝π.
18．(本小题满分12分)(2016·温州高一检测)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1,3)和点B(5,2)的距离相等，求直线l的方程．
【解】　由得交点为(3，－1)，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
则＝，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，
即x＋4y＋1＝0；
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意．
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求方程．
19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
图3
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
【证明】　(1)因为ABC A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD?平面ABC，所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，CC1、DE?平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD?平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1、B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.
又AD?平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
20．(本小题满分12分)(2016·长沙高一检测)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
【解】　(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2，
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
此即为所求．
(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝.
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
∴|QM|最小＝4.
21．(本小题满分12分)如图4，多面体EF
ABCD中，已知ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，EF＝2.
图4
(1)若M，N分别是AB，CD的中点，求证：平面MNE∥平面BCF；
(2)若△BCF中，BC边上的高FH＝3，求多面体EF
ABCD的体积V.
【解】　(1)若M，N分别是AB，CD的中点，
则MN∥BC，MN平面BCF，BC?平面BCF，
∴MN∥平面BCF.又EF∥AB，EF＝2＝AB，
∴EF＝MB，
∴四边形BMEF是平行四边形，∴ME∥BF，
又∵ME平面BCF，BF?平面BCF，
∴ME∥平面BCF，又ME∩MN＝M，
由面面平行的判定定理知，平面MNE∥平面BCF.
(2)∵平面FBC⊥平面ABCD，FH⊥BC，AB⊥BC，
∴FH⊥平面ABCD，AB⊥平面BCF，
∴FH是四棱锥E AMND的高，MB是三棱柱BCF
MNE的高，
∴多面体EF
ABCD的体积
V＝VE
AMND＋VBCF
MNE
＝SAMND·FH＋S△BCF·MB
＝×4×2×3＋×4×3×2＝20.
22．(本小题满分12分)如图5，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3
km，点N到l1，l2的距离分别为4
km和5
km.
图5
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4
km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于
km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)
【解】　(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立直角坐标系，依题意得M(0,3)，N(4,5)，故kMN＝＝，M、N中点为(2,4)．故线段MN的垂直平分线方程为：y－4＝－2(x－2)．令y＝0得x＝4，故圆心A的坐标为(4,0)，半径r＝＝5.
∴⊙A的方程为(x－4)2＋y2＝25，
∴的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．
(2)设校址选在B(a,0)(a>4)，则≥对0≤x≤4恒成立，即≥对0≤x≤4恒成立，整理得(8－2a)x＋a2－17≥0①
对0≤x≤4恒成立．∵a>4，∴8－2a<0.令f(x)＝(8－2a)x＋a2－17，则f(x)在[0,4]上为减函数，故要使①式对0≤x≤4恒成立，必须有即
解得a≥5，即校址距点O的最近距离为5
km.