章末综合测评(二) 解析几何初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】 |AB|＝＝7，故选B.
【答案】 B
2．过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是( )
A．－1
B．3
C．1
D．－3
【解析】 由kAB＝＝tan
45°＝1，解得m＝1.
【答案】 C
3．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )
A．x－2y＋7＝0
B．2x＋y－1＝0
C．x－2y－5＝0
D．2x＋y－5＝0
【解析】 ∵直线x－2y＋3＝0的斜率为，∴所求直线的方程为y－3＝(x＋1)，即x－2y＋7＝0.
【答案】 A
4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，
∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1，
∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.
【答案】 A
5．如图1，在正方体OABC O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( )
图1
A．(2,2,1)
B.
C.
D.
【解析】 ∵|EB|＝2|EB1|，∴|EB|＝|BB1|＝.
又E在B1B上，∴E的坐标为.
【答案】 D
6．若以点C(－1,2)为圆心的圆与直线x－2y＋3＝0没有公共点，则圆的半径r的取值范围为( )
A.
B.
C．(0，)
D．(0,2)
【解析】 设圆心到直线的距离为d，则d＝＝.若直线与圆没有公共点，则0【答案】 A
7．已知直线l1的方程为x＋Ay＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在x轴上，则C的值为( )
A．2
B．－2
C．±2
D．与A有关
【解析】 在2x－3y＋4＝0中，令y＝0，得x＝－2，即直线2x－3y＋4＝0与x轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x＋Ay＋C＝0上，∴－2＋A×0＋C＝0，∴C＝2.
【答案】 A
8．若a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 令a＝－1，b＝1或a＝1，b＝0，得直线方程分别为－x＋3y＋1＝0，x＋3y＝0，其交点为，此即为直线所过的定点．故选B.
【答案】 B
9．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是，
－，则满足条件的直线l的条数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】 由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条，又因为|AB|＝
，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条．
【答案】 C
10．若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )
A．(x－)2＋y2＝5
B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5
D．(x＋5)2＋y2＝5
【解析】 设圆心O(a,0)，(a<0)，则
＝，
∴|a|＝5，
∴a＝－5，
∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
【答案】 D
11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
【解析】 由题意得直线方程y＝x，即x－y＝0.
圆方程x2＋(y－2)2＝4.圆心到直线的距离是d＝＝1，
∴弦长|AB|＝2＝2.
【答案】 D
12．已知点P(x，y)是直线y＝2x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y－1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为( )
【导学号：10690077】
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2××|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝＝，此时|PN|＝，故四边形PMCN面积的最小值为，故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.
【解析】 由＝6，得a＝±2；由＝4，得a＝0.
【答案】 0，±2
14．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______．
【解析】 当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.
【答案】 x－y＝0或x＋y－2＝0
15．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
【解析】 的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝＝3.
【答案】 3
16．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝________.
【解析】 圆方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，∴圆心C为(2，－3)，
∴过点P的最大弦长为直径10，当弦垂直于CP时弦长最短，
|CP|＝＝3，
∴最短弦长为2＝2，即m＝10，n＝2，
∴m－n＝10－2.
【答案】 10－2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．
【解】 设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－；
当x＝0时，y＝－.
∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，
∴··＝24，
∴m＝±24，
∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.
18．(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
图2
【解】 以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，
由中点坐标公式可得，
D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
19．(本小题满分12分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1)．求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【解】 (1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2，
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
20．(本小题满分12分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2,2)，过点P作直线l交圆C于A、B两点．
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程．
【解】 (1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为
y－2＝－(x－2)，
即x＋2y－6＝0.
21．(本小题满分12分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．
【解】 如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，
即kx－y＋3＋3k＝0.
则＝1，
即12k2＋25k＋12＝0，∴k1＝－，k2＝－.
则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.
22．(本小题满分12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，若OP⊥OQ，求实数m的值．
【解】 设P，Q两点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，由OP⊥OQ可得x1x2＋y1y2＝0，
由
可得5y2－20y＋12＋m＝0，
①
所以y1y2＝，y1＋y2＝4.
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2
＝9－24＋(12＋m)，
所以x1x2＋y1y2＝9－24＋(12＋m)＋＝0，
解得m＝3.
将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，
可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.章末综合测评(一) 立体几何初步
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列推理错误的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α l?α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．lα，A∈l A α
D．A∈l，l?α A∈α
【解析】 若直线l∩α＝A，显然有lα，A∈l，但A∈α，故C错．
【答案】 C
2．下列说法中，正确的是( )
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
【解析】 A中，可能有无数个平面；B中，两条直线还可能平行、相交；D中，两个平面可能相交．
【答案】 C
3．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图1所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
图1
A.
B．2
C.
D.
【解析】 由题图可知，原△ABC的高为AO＝，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2×＝，故选A.
【答案】 A
4．下列四个命题判断正确的是( )
A．若a∥b，a∥α，则b∥α
B．若a∥α，b?α，则a∥b
C．若a∥α，则a平行于α内所有的直线
D．若a∥α，a∥b，bα，则b∥α
【解析】 A中b可能在α内；B中a与b可能异面；C中a可能与α内的直线异面；D正确．
【答案】 D
5．已知一个圆锥的展开图如图2所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )
图2
A.
B.
C.
D.π
【解析】 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为2，所求体积V＝×π×12×2＝.
【答案】 A
6.如图3所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
图3
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
【解析】 CE?平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CE.
【答案】 B
7．正方体AC1中，E，F分别是DD1，BD的中点，则直线AD1与EF所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 连接BD1，则BD1∥EF，∠BD1A是异面直线AD1与EF所成的角．
∵AB⊥AD1，∴cos∠BD1A＝＝.
【答案】 C
8．如图4所示，则这个几何体的体积等于( )
图4
A．4
B．6
C．8
D．12
【解析】 由三视图得几何体为四棱锥，
如图记作S ABCD，其中SA⊥平面ABCD，
SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，
且ABCD为直角梯形，
∠DAB＝90°，
∴V＝SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A.
【答案】 A
9．如图5，ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
图5
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
【解析】 由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；连接AC，易证BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；同理可证AC1⊥B1C，因BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，所以AC1⊥平面CB1D1；对于选项D，∵BC∥AD，∴∠B1CB即为AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．
【答案】 D
10．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图6所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
【导学号：10690038】
图6
A．1
B．2
C．4
D．8
【解析】 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.
【答案】 B
11．(2016·天津模拟)如图7，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
图7
①BD⊥AC；
②△BCA是等边三角形；
③三棱锥D ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC.
其中正确的是( )
A．①②④
B．①②③
C．②③④
D．①③④
【解析】 由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.
【答案】 B
12．已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由于三棱锥S ABC与三棱锥O ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S ABC的高是三棱锥O ABC高的2倍，所以三棱锥S ABC的体积也是三棱锥O ABC体积的2倍．
在三棱锥O ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝×AB2＝，
高OD＝＝，
∴VS ABC＝2VO ABC＝2×××＝.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．设平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于点S，且点S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________.
【解析】 由面面平行的性质得AC∥BD，＝，解得SD＝9.
【答案】 9
14．如图8所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是________．
图8
【解析】 连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，
则B′D＝DC＝a，B′C＝AC＝a，
所以∠B′DC＝90°.
【答案】 90°
15．若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为________．
【解析】 球的直径等于正六棱柱的体对角线的长．设球的半径为R，
由已知，可得2R＝＝2，R＝.
所以球的体积为πR3＝×()3＝4π.
【答案】 4π
16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与CD成60°的角．
其中说法正确的命题序号是__________．
【解析】 如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC?平面AEC，故AC⊥BD，故①正确；
②设正方形的边长为a，
则AE＝CE＝a.
由①知，∠AEC是直二面角A BD C的平面角，且∠AEC＝90°，∴AC＝a，
∴△ACD是等边三角形，故②正确；
③如图所示，分别取BC、AC的中点G、F，
连接EG、GF、EF，
则EG∥CD，GF∥AB，
∴∠EGF就是AB与CD所成的角．
由题意EG＝GF＝EF＝，
∴△EFG是等边三角形，∴∠EGF＝60°，故③正确．
【答案】 ①②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图9所示，四棱锥V ABCD的底面为边长等于2
cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4
cm，求这个正四棱锥的体积．
图9
【解】 连接AC、BD相交于点O，连接VO，
∵AB＝BC＝2
cm，
在正方形ABCD中，
求得CO＝
cm，
又在直角三角形VOC中，
求得VO＝
cm，
∴VV－ABCD＝SABCD·VO
＝×4×＝(cm3)．
故这个正四棱锥的体积为cm3.
18．(本小题满分12分)如图10所示，P是 ABCD所在平面外一点，E，F分别在PA，BD上，且PE∶EA＝BF∶FD.求证：EF∥平面PBC.
图10
【证明】 连接AF延长交BC于G，连接PG.
在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA，
∴＝＝，
∴EF∥PG.
而EF平面PBC，PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
19．(本小题满分12分)(2015·全国卷Ⅱ)如图11，长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
图11
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
【解】 (1)交线围成的正方形EHGF，如图：
(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.
因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S＝×(4＋10)×8＝56，
S＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.
20．(本小题满分12分)如图12所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
图12
【证明】 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，又B1B＝2，
所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
21．(本小题满分12分)如图13，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
图13
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；
(2)求证：AE⊥平面PCD；
(3)求二面角A PD C的正弦值．
【解】 (1)在四棱锥P ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD，
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.
(2)证明：在四棱锥P ABCD中，
因PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC，
又AE 平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.
(3)过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示．由(2)知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD.因此∠AME是二面角A PD C的平面角．
由已知，可得∠CAD＝30°.
22．(本小题满分12分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图14所示．
图14
(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；
(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；
(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．
【解】 (1)几何体的直观图如图．
四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，
∴其体积V＝×1××＝.
(2)证明：∵∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C.∵B1C1∥BC，
∴B1C1⊥A1C.
∵四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.
∵B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.
(3)当E为棱AB的中点时，
DE∥平面AB1C1.
证明：如图，取BB1的中点F，
连接EF，FD，DE，
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，
∴EF∥AB1.
∵AB1?平面AB1C1，
EF平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵FD∥B1C1，∴FD∥平面AB1C1，
又EF∩FD＝F，∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，
∴DE∥平面AB1C1.
