学业分层测评
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一、选择题
1．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
【解析】 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
【解析】 B
2．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为( )
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【解析】 根据题意有
解得P(A)＝0.6.
【答案】 C
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
【解析】 甲不输包含两个事件：甲获胜，甲、乙和棋．所以甲、乙和棋概率P＝90%－40%＝50%.
【答案】 D
4．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.20，不够8环的概率是0.30，则这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率是
( )
A．0.50
B．0.22
C．0.70
D．无法确定
【解析】 根据对立事件公式知，命中9环或10环的概率为1－0.20－0.30＝0.50.
【答案】 A
5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量小于4.85
g的概率为0.32，那么质量在[4.8,4.85]g范围内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.02
D．0.68
【解析】 设“质量小于4.8
g”为事件A，“质量小于4.85
g”为事件B，“质量在[4.8,4.85]g”为事件C，则A＋C＝B，且A，C为互斥事件，所以P(B)＝P(A＋C)＝P(A)＋P(C)，则P(C)＝P(B)－P(A)＝0.32－0.3＝0.02.
【答案】 C
二、填空题
6．我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表如示：
年降水量(mm)
(100,150)
(150,200)
(200,250)
(250,300)
概率
0.21
0.16
0.13
0.12
则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率是________．
【解析】 设年降水量在[200,300]，[200,250]，[250,300]的事件分别为A、B、C，则A＝B＋C，且B、C为互斥事件，所以P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.13＋0.12＝0.25.
【答案】 0.25
7．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少一个5点或6点的概率是________．
【解析】 由对立事件的概率公式得所求的概率为1－＝.
【答案】
8．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)，F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示).
【导学号：63580040】
【解析】 从六个点中任取三点，共有以下20种所有可能的情况：ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF.
其中，A(0,0)，C(1,1)，E(2,2)，F(3,3)在直线y＝x上，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)在直线x＋y＝2上，
所以A，C，E，F四点共线，B，C，D三点共线．
构不成三角形的点有：ACE，ACF，AEF，CEF，BCD，共5种情况．所以取三点能构成三角形的概率为1－＝.
【答案】
三、解答题
9．某医院一天内派出医生下乡医疗，派出医生的人数及其概率如下：
医生人数
0
1
2
3
4
5人及其以上
概率
0.18
0.25
0.36
0.1
0.1
0.01
(1)求派出至多2名医生的概率；
(2)求派出至少3名医生的概率．
【解】 记派出医生的人数为0,1,2,3,4,5及其以上分别为事件A0，A1，A2，A3，A4，A5，显然它们彼此互斥．
(1)至多2名医生的概率为P(A0＋A1＋A2)＝P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.18＋0.25＋0.36＝0.79.
(2)法一：至少3名医生的概率为
P(C)＝P(A3＋A4＋A5)
＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)
＝0.1＋0.1＋0.01＝0.21.
法二：“至少3名医生”的反面是“至多2名医生”，故派出至少3名医生的概率为1－P(A0＋A1＋A2)＝1－0.79＝0.21.
10．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人互相可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解】 (1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．
由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，
根据互斥事件的概率加法公式，得：
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
[能力提升]
1．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
( )
A.
B.
C.
D．1
【解析】 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与事件B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.故选C.
【答案】 C
2．现有政治、生物、历史、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 记取到政治、生物、历史、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则A，B，C，D，E互斥，取到理科书的概率为事件B，D，E概率的和．
∴P(B＋D＋E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝＋＋＝.
【答案】 C
3．事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且P(A)＝2P(B)，则P()＝________.
【解析】 由题意知P(A＋B)＝1－，即P(A)＋P(B)＝，又P(A)＝2P(B)，联立方程组得P(A)＝，P(B)＝，故P()＝1－P(A)＝.
【答案】
4．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
【解】 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”，“摸到黑球”，“摸到黄球”，“摸到绿球”分别为A、B、C、D，则有P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝，
P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，.(共28张PPT)
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有限个
可能性
古典概型
基本事件
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一、选择题
1．下列试验中是古典概型的有( )
A．种下一粒大豆观察它是否发芽
B．从规格直径为(250±0.6)mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况
D．某人射击中靶或不中靶
【解析】 A中基本事件“发芽”与“未发芽”不是等可能发生的，B中试验的基本事件有无数个，D中“中靶”与“不中靶”也不是等可能发生的，因此A，B，D都不是古典概型．故选C.
【答案】 C
2．(2016·商丘二模)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.
【答案】 D
3．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 所有的基本事件是(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共有8个，仅有2次出现正面向上的有(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，共3个．则所求概率为.
【答案】 A
4．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，共4个，其中能构成一个三角形的有(3,5,7)，共1个，则所求概率为.
【答案】 A
5．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
【解析】 三张卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，共3种．且等可能出现，则恰好排成英文单词BEE的概率为.
【答案】
7．从集合{a，b，c，d}的子集中任取一个，这个集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．
【解析】 集合{a，b，c，d}的子集有 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16个，{a，b，c}的子集有 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，故所求概率为.
【答案】
8．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
【解析】 用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种，其中都是女同学有3种，故所求的概率为＝.
【答案】
三、解答题
9．(2015·四川高考)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，求乘客P5坐到5号座位的概率．
【解】 (1)余下两种坐法如下表所示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示：
乘客
P1
P2
P3
P4
P5
座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是，所有可能的坐法共8种．
设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，
所以P(A)＝＝.
即乘客P5坐到5号座位的概率是.
10．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图3 2 1所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100)．
图3 2 1
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
【解】 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为.
[能力提升]
1．(2016·济南高一检测)设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a，b)．记“这些基本事件中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，事件E包含(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)共5种，则E发生的概率是.
【答案】 B
2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 标记红球为A，白球分别为B1、B2，黑球分别为C1、C2、C3，记事件M为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15个．其中事件M包含的基本事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，共6个．根据古典概型的概率计算公式可得其概率为P(M)＝＝.
【答案】 B
3．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．
【解析】 当a＝1，b＝1,2；
当a＝2时，b＝1,2,3；
当a＝3时，b＝2,3,4；
当a＝4时，b＝3,4,5；
当a＝5时，b＝4,5,6；
当a＝6时，b＝5,6；
所以“心有灵犀”包含的基本事件数有16个，而基本事件总数为36，
故P＝＝.
【答案】
4．(2016·青岛高一检测)袋中有5张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.
【导学号：63580036】
【解】 (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：
(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(共39张PPT)
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随机事件A的概率
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频率
判断
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主题5
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真题链接探究提升
主题3
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频率与概率
生活中的概率
用频率估计概率概率的计算
实物模拟试验
模拟方法概率的应用计算机模拟试验
随机事件的概率
几何概型
P点落在阴影区城=明影区域的面积
特征与计算
P=事作包含的基本事件数
3
从理论上计算
古典概型
互斥事件P(+B)=
P(41+A2+…+A=P1+PYA)+…+P1
对立事件P4)=1-④
D
yA
2
B
2
C
7:508:008:108:208:30
a
B
C
D(共37张PPT)
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不可能同时发生
至少有一个发生
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
同时发生
发生
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一、选择题
1．灰太狼和红太狼计划在某日12：00～18：00这个时间段内外出捉羊，则灰太狼和红太狼在14：00～15：00之间出发的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 P＝＝.
【答案】 D
2．已知函数f(x)＝log2x，x∈，在区间上任取一点x0，则使f(x0)≥0的概率为( )
A．1
B.
C.
D.
【解析】 欲使f(x)＝log2x≥0，则x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]，
由几何概型概率公式知P＝＝.
【答案】 C
3．(2014·辽宁高考)若将一个质点随机投入如图3 3 3所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是( )
图3 3 3
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意AB＝2，BC＝1，可知长方形ABCD的面积S＝2×1＝2，以AB为直径的半圆的面积S1＝×π×12＝.故质点落在以AB为直径的半圆内的概率P＝＝.
【答案】 B
4．A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 如图，当取点落在B、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径，所以弦长超过半径的概率P＝＝.
【答案】 B
5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设在[0,1]内取出的数为a，b，若a2＋b2也在[0,1]内，则有0≤a2＋b2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a2＋b2在[0,1]内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为＝.
【答案】 A
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是________．
【解析】 由f(x0)≤0得x0－2≤0，x0≤2，又x0∈[－5,5]，∴x0∈[－5,2]．
设使f(x0)≤0为事件A，则事件A构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P(A)＝.
【答案】
7．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．
【解析】 如图所示，从点A出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧或劣弧上的时候不能满足已知条件，又因为△ABC是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是.
【答案】
8．(2016·邵阳高一检测)在[－6,9]内任取一个实数m，设f(x)＝－x2＋mx＋m－，则函数f(x)的图像与x轴有公共点的概率等于________．
【解析】 若函数f(x)＝－x2＋mx＋m－的图象与x轴有公共点，则Δ＝m2＋4≥0，又m∈[－6,9]，
得m∈[－6，－5]或m∈[1,9]，
故所求的概率为
P＝＝.
【答案】
三、解答题
9．如图3 3 4所示，在边长为25
cm的正方形中有两个腰长均为23
cm的等腰直角三角形，现有粒子均匀散落在正方形中，粒子落在中间阴影区域的概率是多少？
图3 3 4
【解】 因为粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．设A＝{粒子落在中间阴影区域}，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm2)，两个等腰直角三角形的面积为2××23×23＝529(cm2)，阴影区域的面积为625－529＝96(cm2)，所以粒子落在中间阴影区域的概率为P(A)＝.
10．已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－y).
【导学号：63580042】
(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；
(2)若x，y∈[1,6]，求满足a·b＞0的概率．
【解】 (1)设(x，y)表示一个基本事件，
则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A表示事件“a·b＝－1”，即x－2y＝－1，则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个．
∴P(A)＝＝.
(2)用B表示事件“a·b＞0”，即x－2y＞0.
试验的全部结果所构成的区域为
{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}，
构成事件B的区域为{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6，x－2y＞0}，如图所示．
所以所求的概率为P(B)＝＝.
[能力提升]
1.如图3 3 5，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
图3 3 5
A．1－
B.－
C.
D.
【解析】 设扇形的半径为2，则其面积为＝π，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S2，则S1＝2×＝－1，S2＝×22－2××12＋－1＝－1，故阴影部分总面积为2×＝π－2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为＝1－.
【答案】 A
2．在一球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 由题意可知棱长为1的内接正方体的体积为V1＝1.
又球的直径是正方体的体对角线，故球的半径R＝，
球的体积V2＝πR3＝.
则此点落在正方体内部的概率为
＝＝.
【答案】 D
3.如图3 3 6，是一残缺的轻质圆形转盘，其中残缺的每小部分与完整的每小部分的角度比是3∶2，面积比是3∶4.某商家用其来与顾客进行互动游戏，中间自由转动的指针若指向残缺部分，商家赢；指针若指向完整部分，顾客赢．则顾客赢的概率为________．
图3 3 6
【解析】 指针在转盘上转动，只与所转过的角度有关系，且指针自由转动，指向哪一部分是随机的，因此该问题属于角度型几何概型．
因其角度比为3∶2，故商家赢的概率为＝，顾客赢的概率为＝.
【答案】
4．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的一点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
【解】 (1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为直线x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a＞0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1或1；
若a＝3，则b＝－1或1.
所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.又∵a，b所取的所有可能结果为3×5＝15，所以所求事件的概率为＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
依条件可知事件的全部结果所构成的区域为{(a，b)|a＋b－8≤0，且a＞0，b＞0}，构成所求事件的区域为可行域中对应的三角形部分．由得交点坐标为，
所以所求事件的概率为P＝＝.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列事件中，是随机事件的为( )
A．水涨船高
B．冬天下雪
C．水中捞月
D．冬去春来
【解析】 水涨船高．冬去春来为必然事件．水中捞月是不可能事件．冬天下雪为随机事件．
【答案】 B
2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( )
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率99.99%很大，该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
【解析】 合格率是99.99%说明该厂生产的产品合格的可能性是99.99%.
【答案】 D
3．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是( )
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
【解析】 概率反映了随机事件发生的可能性的大小，但对某一随机事件来说，在一次试验中可能发生也可能不发生，故A项不正确．
【答案】 A
4．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副
B．224.4副
C．不少于225副
D．不多于225副
【解析】 根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副，故选C.
【答案】 C
5．从存放号码分别为1,2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
13
8
5
7
6
13
18
10
11
9
则取到号码为奇数的频率是( )
A．0.53
B．0.5
C．0.47
D．0.37
【解析】 ＝＝0.53.
【答案】 A
二、填空题
6．下列事件：①贺天奉在一次CBA比赛中，罚球一次，命中；②测得某天的最高气温是100
℃；③掷一次骰子，向上一面的数字是2；④度量四边形的内角和，结果是360°，其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．
【解析】 ①命中与否不确定，是随机事件；②测得某天的最高气温是100
℃，是不可能事件；③掷骰子，向上的点数是2，是随机事件；④度量四边形的内角和，结果是360°，是必然事件．
【答案】 ④ ② ①③
7．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1
000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是________．
【解析】 由频率的定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，频率约为概率．
【答案】 0.4
8．某人捡到不规则形状的五面体石块，他在每个面上作了记号，投掷了100次，并且记录了每个面落在桌面上的次数(如下表)．如果再投掷一次，请估计石块的第4面落在桌面上的概率约是________．
石块的面
1
2
3
4
5
频数
32
18
15
13
22
【解析】 结合题意知，若再投掷一次，估计石块的第4面落在桌面上(记为事件A)的概率约是P(A)＝＝0.13.
【答案】 0.13
三、解答题
9．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1
100)
[1
100，1
300)
[1
300，1
500)
[1
500，1
700)
[1
700，1
900)
[1
900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率．
【解】 频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1
500小时的频率是＝0.6，
即灯管使用寿命不足1
500小时的概率约为0.6.
10．有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份(如图3 1 1所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．猜数方案从以下两种方案中选一种：
图3 1 1
A．猜“是奇数”或“是偶数”；
B．猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”．
请回答下列问题：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？
(2)为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解】 (1)为了尽可能获胜，乙应选择方案B，猜“不是4的整数倍数”，这是因为“不是4的整数倍数”的概率为＝0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B.
(2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A中猜“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5.从而保证了该游戏的公平性．
[能力提升]
1．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较( )
A．第一次准确
B．第二次准确
C．两次的准确率相同
D．无法比较
【解析】 用随机模拟的方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确．
【答案】 B
2．某省高考数学试题中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3题答对．”这句话
( )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
【解析】 把解答一道题作为一次试验，答对的概率为，说明做对的可能性大小是，做12道题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，答对3题的可能性较大．但不一定答对3道，也可能都选错，或仅有2题，3题，4题，…，甚至12个题都答对．
【答案】 B
3．样本容量为200的频率分布直方图如图3 1 2所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[6,10)内的概率约为________.
【导学号：63580034】
图3 1 2
【解析】 样本数据落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32，
频数为200×0.32＝64.
由频率与概率的关系知数据落在[6,10)内的概率约为0.32.
【答案】 64 0.32
4．如图3 1 3所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A、B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
A B
图3 1 3
【解】 列表如下：
BA
3
4
5
6
1
4
5
6
7
2
5
6
7
8
3
6
7
8
9
由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．
因为P(和为6)＝＝，所以甲、乙获胜的概率不相等．所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．(共32张PPT)
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第三章概率
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一、选择题
1．从装有两个白球和一个红球的袋中逐个不放回地摸两个球，则摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 不放回地摸出两球共有6种情况．即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，(白2，白1)，(红，白1)，(红，白2)，而恰有一个红球的结果有4个，所以P＝.
【答案】 B
2．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从5张卡片中任取2张的基本事件总数为10，而恰好按字母顺序相邻的基本事件共有4个，故此事件的概率为＝.
【答案】 B
3．在5张卡片上分别写1,2,3,4,5，然后将它们混合，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.8
【解析】 一个数能否被2或5整除取决于个位数字，故可只考虑个位数字的情况，因为组成的五位数中，个位数共有1,2,3,4,5，五种情况，其中个位数为2,4时能被2整除，个位数为5时能被5整除，故所求概率为P＝＝0.6.
【答案】 C
4．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从1,2,3,4这四个数字中，任取两个不同的数字，可构成12个两位数：12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，其中大于30的有31,32,34,41,42,43共6个，所以所得两位数大于30的概率为P＝＝.
【答案】 A
5．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 假设正六边形的6个顶点分别为A、B、C、D、E、F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果．以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果．故所求概率为.
【答案】 D
二、填空题
6．在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是________．
【解析】 在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种结果{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，其中两个数字都是奇数包含3个结果，{1,3}，{1,5}，{3,5}，故所求的概率为.
【答案】
7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3
m的概率为________．
【解析】 从5根竹竿中任取2根有(2.5,2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6,2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)共10种取法．其中长度恰好相差0.3
m的情况有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)共2种，故所求概率为P＝＝.
【答案】
8．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有三个面涂有颜色的概率是________．
【解析】 如图，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中8个顶点处的小正方体三个面涂有颜色，概率为.
【答案】
三、解答题
9．某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？
【解】 由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为A，B，C，D，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果．如(A,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员A，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果．如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件E.
1
2
3
A
(A,1)
(A,2)
(A,3)
B
(B,1)
(B,2)
(B,3)
C
(C,1)
(C,2)
(C,3)
D
(D,1)
(D,2)
(D,3)
由上表可知，可能的结果总数是12个．设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为P(E)＝＝.
10．某校高一年级开设研究性学习课程，(1)班和(2)班报名参加的人数分别是18和27.现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从(2)班抽取了3名同学．
(1)求研究性学习小组的人数；
(2)规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．
【解】 (1)设从(1)班抽取的人数为m，
依题意，得＝，所以m＝2.
研究性学习小组的人数为m＋3＝5.
(2)设研究性学习小组中(1)班的2人为a1，a2，(2)班的3人为b1，b2，b3.
2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：
(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，b3)，(b3，a1)，(b3，a2)，(b3，b1)，(b3，b2)，(b3，b3)，共25种．
2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：
(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b3，a1)，(b3，a2)共12种．
所以2次发言的学生恰好来自不同的班级的概率为P＝.
[能力提升]
1．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从集合A，B中分别选取一个数记为(k，b)，则共有9个基本事件，设直线y＝kx＋b不经过第三象限为事件M，则k＜0，b≥0，从而M包含的基本事件是(－1,1)，(－1,2)，共有2个基本事件，则P(M)＝.
【答案】 A
2．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 从5种物质随机抽取两种出现的情况有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，火)，(木，水)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种情况，根据相克原理相克的有5种，不相克的有5种，所以不相克的概率为.
【答案】 C
3．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．
【解析】 红色球分别用A、B、C表示，黄色球分别用D、E表示，取出两球的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．从中取两球颜色不同的结果有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6种，取出两球颜色不同的概率P＝＝.
【答案】
4．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n≥m＋2的概率．
【解】 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．因此所求事件的概率P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P＝.
女
结
果
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