学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在半径为10的圆中，的圆心角所对的弧长为( )
A.π
B．π
C．π
D．π
【解析】 l＝|α|r＝×10＝.
【答案】 A
2．(2016·华阴高一检测)自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过( )
A.
rad
B．
rad
C.
rad
D．
rad
【解析】 由题意，当大链轮转过一周时，小链轮转过周，×2π＝.
【答案】 B
3．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.
B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}
C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}
D.
【解析】 与30°角终边相同的角α＝k·360°＋30°，k∈Z化为弧度制为α＝2kπ＋，k∈Z.
【答案】 D
4．(2016·宜川高一检测)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 终边经过点(a，a)(a≠0)的角，即角的终边落在了直线y＝x上，即此角的终边为第一、三象限角的平分线，故角α的集合为.
【答案】 D
5．若2弧度的圆心角所对的弧长为4
cm，则这个圆心角所对的扇形面积是( )
A．4
cm2
B．2
cm2
C．4π
cm2
D．2π
cm2
【解析】 设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，
得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·榆林高一检测)若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________.
【导学号：66470005】
【解析】 216°＝216×＝，l＝α·r＝·r＝30π，
所以r＝25.
【答案】 25
7．用弧度表示终边落在y轴右侧的集合为________．
【解析】 y轴对应的角可用－，表示，所以y轴右侧角的集合为.
【答案】
8．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为________．
【解析】 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.
【答案】 －
三、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)
的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
【解】 (1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6×cos
30°×3＝9.
∴弓形的面积为S弓＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9，
∴弓形的面积是12π－9.
10．已知α＝－800°.
(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈.
【解】 (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π.
∴α＝－800°＝π＋(－3)×2π.
∵角α与π终边相同，∴角α是第四象限角．
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ＋π，k∈Z的形式，由γ与α终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.
又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，k∈Z，解得k＝－1，
∴γ＝－2π＋＝－.
[能力提升]
1．设集合A＝，B＝，则集合A与B之间的关系为( )
A．A?B
B．A?B
C．A＝B
D．A∩B＝
【解析】 分别取k＝0,1,2,3知A中元素为0，，，B中元素为，，π，π，显然A?B.
【答案】 A
2．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A．2
B．sin
2
C．2sin
1
D．
【解析】 设圆的半径为R，则sin
1＝，∴R＝.
故所求弧长为l＝α·R＝2·＝.
【答案】 D
3．已知∠AOB＝1
rad，点A1，A2，…在OA上，B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段长均为1个单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为1单位/秒，则质点M到达A10点处所需要的时间为________秒．
图1－3－4
【解析】 ＝10.直线段共走10段．所以总路程为1＋2＋3＋…＋10＋10＝65.所以所需时间为65秒．
【答案】 65
4.如图1－3－5，圆心在原点，半径为R的圆交x轴正半轴于A点，P，Q是圆上的两个动点，它们同时从点A出发沿圆周做匀速运动．OP逆时针方向每秒转，OQ顺时针方向每秒转.试求P，Q出发后每五次相遇时各自转过的弧度数及各自走过的弧长．
图1－3－5
【解】 易知，动点P，Q由第k次相遇到第k＋1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR，因此当它们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.
设动点P，Q自A点出发到第五次相遇走过的时间为t秒，走过的弧长分别为l1，l2，
则l1＝tR，l2＝·tR＝tR.
因此l1＋l2＝tR＋tR＝10πR，
所以t＝＝20(秒)，l1＝πR，l2＝πR.
由此可知，P转过的弧度数为，Q转过的弧度数为，P，Q走过的弧长分别为R和R.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin
B．y＝sin
2x
C．y＝cos
D．y＝cos
4x
【解析】 ∵T＝＝，∴ω＝4.
【答案】 D
2．函数y＝|cos
x|的一个单调减区间是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 函数y＝|cos
x|的图像如图所示，由图像知在上y＝|cos
x|是减少的．
【答案】 C
3．函数y＝cos，x∈的值域是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 当x∈时，x＋∈，结合函数图像知y在上是递减的，所以ymax＝cos
＝，ymin＝cos＝－.
【答案】 B
4．函数y＝x2cos
x的部分图像是( )
【解析】 设f(x)＝x2cos
x，
f(－x)＝(－x)2cos(－x)＝x2cos
x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，故排除B，D.
当x＝时，y＝cos＝＞0，故排除C.
【答案】 A
5．函数y＝|cos
x|－1的最小正周期是( )
A．2kπ(k∈Z)
B．3π
C．π
D．2π
【解析】 因为函数y＝|cos
x|－1的周期同函数y＝|cos
x|的周期一致，由函数y＝|cos
x|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cos
x|－1的最小正周期也为π，故选C.
【答案】 C
二、填空题
6．设P，Q分别是函数y＝cos
x－1的最大值和最小值，则P＋2Q＝________.
【导学号：66470020】
【解析】 ∵－1≤cos
x≤1，
∴ymax＝×1－1＝－，ymin＝×(－1)－1＝－，
∴P＋2Q＝－＋2×＝－.
【答案】 －
7．比较大小：cos________cos.
【解析】 ∵cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos，
而0<<<，
∴cos>cos，即cos
>cos.
【答案】 >
8．函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(cos
x)的定义域为________．
【解析】 ∵f(x)的定义域为[0,1]，
∴0≤cos
x≤1，∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
【答案】 (k∈Z)
三、解答题
9．画出函数y＝3＋2
cos
x的简图．
(1)求使此函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；
(2)讨论此函数的单调性．
【解】 按五个关键点列表如下，
x
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
y＝3＋2cos
x
5
3
1
3
5
描点画出图像(如图)
(1)当cos
x＝1，即x∈{x|x＝2kπ，k∈Z}时，ymax＝3＋2＝5，当cos
x＝－1，即x∈{x|x＝(2k＋1)π，k∈Z}时，ymin＝3－2＝1.
(2)令t＝cos
x，则y＝3＋2t，
因为函数y＝3＋2t，当t∈R时是增加的，
所以当x∈[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)时，函数y＝cos
x是增加的，y＝3＋2cos
x也是增加的，当x∈[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)时，函数y＝cos
x是减少的，y＝3＋2
cos
x也是减少的．
10．已知f(x)＝2
cos
x＋a＋2(a为常数)，若x∈时，f(x)的最小值为2，求a的值．
【解】 ∵x∈，∴由函数y＝cos
x的图像可知，cos≤cos
x≤cos
0，即－≤cos
x≤1，
令t＝cos
x，则f(x)＝g(t)＝2t＋a＋2，
此函数在t∈上是增加的，
∴当t＝－时，g(t)取最小值2×＋a＋2＝a＋1，
即f(x)取最小值a＋1，由已知得a＋1＝2，所以a＝1.
[能力提升]
1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
【解析】 由周期为π知ω＝2.排除C，D结合函数图像知A正确．
【答案】 A
2．已知函数f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ的一个取值为( )
A．
B．
C．0
D．
【解析】 当φ＝时，f(x)＝cos＝－sin
x，其定义域为R，且f(－x)＝－sin(－x)＝sin
x＝－f(x)，f(x)为奇函数．
【答案】 D
3．若函数f(x)＝2
cos的最小正周期为T且T∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．
【解析】 ∵T＝，∴1<<3，
∴<ω<2π，又ω是正整数．
∴ω的最大值为6.
【答案】 6
4．求y＝3－2cos，x∈的最大值和最小值.
【导学号：66470021】
【解】 ∵≤x≤，
∴0≤2x－≤π，
∴－≤cos≤1，
∴1≤3－2cos≤4，
∴函数的最大值为4，最小值为1.(共44张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
y＝tan
α
AT
kπ(k∈Z，k≠0)
利用定义求正切值
利用诱导公式求值或化简
正切函数的图像及应用
正切函数的性质
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型3
素能关
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
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类型1
素能关
类型
素能关
类型3
综合关
探究点
综合关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
名师指津
W目(共44张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
左
(0,1)
(π,－1)
(2π，1)
x＝2kπ(k∈Z)
x＝2kπ＋π(k∈Z)
2π
[2kπ－π，2kπ](k∈Z)
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
偶函数
y轴
五点法作图
与余弦函数有关的定义域问题
余弦函数的单调性及应用
与余弦函数有关的最值问题
学业分层测评
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分组讨论疑难细究
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W目学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·西安高一检测)钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )
A．8点处
B．10点处
C．11点处
D．12点处
【解析】 由题意知60分钟后分针仍指在2点处，100分钟后指在2＋＝10点处．
【答案】 B
2．集合M＝{x|x＝
k·90°±45°，k∈Z
}与P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}之间的关系为( )
A．M?P
B．P?M
C．M＝P
D．M∩P＝
【解析】 M＝{x|x＝
k·90°±45°，k∈Z}
＝{x|x＝2k·45°±45°，k∈±1)·45°，k∈Z}．
P＝{x|x＝m·45°，m∈Z}，故选A.
【答案】 A
3．若α是第二象限的角，则180°－α是( )
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
【解析】 α为第二象限的角，不妨设α＝100°，则180°－α＝180°－100°＝80°为第一象限的角．
【答案】 A
4．与－457°角终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k×360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k×360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k×360°，k∈Z}
【解析】 在0°～360°内与－457°终边相同的角为－457°＋2×360°＝263°，故与－457°角终边相同的角的集合为{α|α＝263°＋k×360°，k∈Z}．
【答案】 C
5．如图1－2－3，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是( )
图1－2－3
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
【解析】 终边落在y＝x上的角的集合为S1＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，终边落在y＝－x上的角的集合为S2＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，所以终边落在y＝±x上的角的集合为S＝S1∪S2＝{α|α＝180·k＋45°，k∈Z}∪{α|α＝180°·k＋135°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋45°，k∈Z}＝{α|α＝90°·k＋45°，k∈Z}．
【答案】 D
二、填空题
6．与2
016°终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________.
【导学号：66470002】
【解析】 2
016°＝360°×5＋216°，所以与2
016°终边相同的最小正角为216°.又2
016°＝360°×6＋(－144°)，所以绝对值最小的角为－144°.
【答案】 216° －144°
7．设集合M＝{α|α＝－36°＋k×90°，k∈Z}，N＝{α|－180°<α<180°}，则M∩N＝________.
【解析】 分别令k＝－1,0,1,2，可得α＝－126°，－36°，54°，144°.
【答案】 {－126°，－36°，54°，144°}
8．终边落在阴影部分的角的集合是________．
图1－2－4
【解析】 终边落在OA上的角的集合为k·360°－45°，终边落在OB上的角的集合为k·360°＋120°，终边落在阴影部分的角的集合为{α|－45°＋360°·k≤α≤120°＋360°·k，k∈Z}．
【答案】 {α|－45°＋360°·k≤α≤120°＋360°·k，k∈Z}
三、解答题
9．在平面直角坐标系中，画出下列集合所表示的角的终边所在区域(用阴影表示)．
(1){α|k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|k·180°≤α≤135°＋k·180°，k∈Z}．
【解】 如图所示：
10．(2016·合肥高一检测)已知角α是第三象限角，求：
(1)角是第几象限的角；
(2)角2α终边的位置．
【解】 (1)因为k·360°＋180°<α(2)因为k·360°＋180°<α所以2k·360°＋360°<2α<2k·360°＋540°，k∈Z，
则无论k取何整数，表示的角的终边都在x轴的上半平面，故2α的终边在x轴的上半平面．
[能力提升]
1．在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，则α与β的关系为( )
A．β＝α＋90°
B．β＝α±90°
C．β＝α＋90°－k·360°
D．β＝α±90°＋k·360°
【解析】 ∵α与β的终边互相垂直，故β－α＝±90°＋k·360°，k∈Z，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．
【答案】 D
2．(2016·蒙城高一检测)已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角
B．第一或二象限角
C．第一或三象限角
D．第一或四象限角
【解析】 由于角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°<2α【答案】 C
3．设集合A＝{x|k·360°＋60°【解析】 因为A＝{x|k·360°＋60°【答案】 {x|k·360°＋150°4．探索如图1－2－5所示呈现的规律，判断2
014至2
016箭头的方向是________．(填序号)
图1－2－5
【解析】 观察题图可知，0到4为一个周期，
则从2
014到2
016对应着2到3到4.
【答案】 ③(共45张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
(0,0)
(π，0)
(2π，0)
[－1,1]
2π
奇函数
原点
五点法作图
与正弦函数有关的定义域问题
正弦函数的周期性与奇偶性
正弦函数的单调性
与正弦函数有关的值域问题
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型3
素能关
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
类型3
综合关
探究点
综合关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
类型4
素能关
励志案
名师指津
骂、誓
22T
2
W目(共43张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
重复出现
重复
逆时针
顺时针
没有作任何旋转
重合
原点
x轴的非负半轴
第几象限角
{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}
{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}
{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}
{α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z}
周期现象的判断
角的概念
象限角表示
α终边所在的位置
角α的集合
x轴正半轴
x轴负半轴
y轴正半轴
y轴负半轴
终边相同的角
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
CM2002
45°↑y
第一章三角函数
30°
B
August20-28,2002
共端点
射线
射线端
名师指津
有
的两条
静止观点人组成的图形叫作角
〔定义
平面内一条绕着
运动观点)从一个位置旋转到另一个
角
位置所形成的图形叫作角
B
始边
称
终边
0顶点A
探究点2
综合关
探究点1
综合关
W目(共38张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
值域
振幅
振幅
[－A＋b，A＋b]
x＝0
初相
周期
|b|
A
三角函数的图像变换
学业分层测评
点击图标进入…
阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
4丌7丌10
33
3
2丌O丌
3
2
类型
综合关
微体验o
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
名师指津
法
sinx的图像
横坐标缩短为原来的
2x
纵坐
向左平移个单位
的图像
2x
横坐标不
的图
纵坐标伸长到原来
的图像
如图
利用图像求函数
探究点
9)+b(其中A>0,o>0
‖综合关
<的解析式
W目
横坐标缩短为原来的
由题意知
坐标不变
纵坐标缩短为原来
sin
ox
横坐标不学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．有下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin
α>0，则α是第一、二象限的角；
④若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos
α＝－.其中正确的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 根据任意角的三角函数定义知①正确；对于②，我们可举出反例sin
＝sin；对于③，可举出sin>0，但不是第一、二象限角；对于④，应是cos
α＝(因为α是第二象限角，已有x<0)，故选B.
【答案】 B
2．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1
B．0
C．2
D．－2
【解析】 当α为第二象限角时，sin
α>0，cos
α<0，
所以－＝＋＝2.
【答案】 C
3．(2016·永寿高一检测)设角θ的经过点P(－3,4)，那么sin
θ＋2cos
θ＝( )
【导学号：66470008】
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 因为P(－3,4)，所以sin
θ＝，cos
θ＝－.则sin
θ＋2cos
θ＝＋2×＝－.
【答案】 D
4．若sin
αcos
α>0，则α在( )
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第一、四象限
D．第二、四象限
【解析】 由于sin
αcos
α>0，∴sin
α与cos
α同号，因此角α在第一象限或第三象限，故选B.
【答案】 B
5．若sin
θ<0，cos
θ>0，则是( )
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
【解析】 由sin
θ<0，cos
θ>0得θ为第四象限角，
∴2kπ－<θ<2kπ，k∈Z，∴kπ－<∴是第二或第四象限角．
【答案】 C
二、填空题
6．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin
θ＝－，则y＝________.
【解析】 ∵sin
θ＝＝－，∴y<0且y2＝64，∴y＝－8.
【答案】 －8
7．已知奇函数y＝f(x)(x∈R)且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝2，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝________.
【解析】 f(4)＝f(4＋0)＝f(0)＝0，
f(－1)＝－f(1)(因为f(x)为奇函数)．
又f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝－f(1)＝－2，
f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)．
f(－2)＋f(2)＝0，所以f(2)＝0，
所以f(2)＋f(3)＋f(4)＝－2.
【答案】 －2
8．已知点P(sin
αcos
α，sin
α)位于第四象限，则α的终边位于________．
【解析】 ∵P(sin
αcos
α，sin
α)在第四象限，
∴sin
αcos
α>0，sin
α<0，
于是sin
α<0，cos
α<0，
∴α为第三象限角．
【答案】 第三象限
三、解答题
9．判断下列各式的符号．
(1)sin
105°·cos
230°；
(2)sin
240°·sin
300°；
(3)cos·sin
π；
(4)cos
4·cos
5.
【解】 (1)∵105°是第二象限角．
∴sin
105°>0.
又∵230°是第三象限角．
∴cos
230°<0.
∴sin
105°·cos
230°<0.
(2)∵240°是第三象限角，
∴sin
240°<0.
又∵300°是第四象限角．
∴sin
300°<0.
∴sin
240°·sin
300°>0.
(3)sin
π＝0，
∴cosπ·sin
π＝0.
(4)∵4为第三象限角，
∴cos
4<0.又∵5是第四象限角，
∴cos
5>0，∴cos
4·cos
5<0.
10．化简求值．
(1)sin(－1
320°)·cos(1
110)°＋cos(－1
020°)·sin
750°；
(2)cos＋.
【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)·cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)·sin(2×360°＋30°)
＝sin
120°·cos
30°＋cos
60°·sin
30°
＝×＋×＝1.
(2)原式＝cos＋
＝cos＋
＝＋1＝.
[能力提升]
1．(2016·安康高一检测)已知角α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sin
αcos
α等于( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 根据三角函数的定义，在终边上取点求值，在α终边上取一点P(1，－3)，此时，x＝1，y＝－3.
∴r＝＝，
∴sin
α＝＝－＝－，cos
α＝＝，
∴cos
α·sin
α＝·＝－.
【答案】 A
2．如果角α的终边经过点P(sin
780°，cos(－330°))，则sin
α＝( )
A.
B．
C.
D．1
【解析】 因为sin
780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin
60°＝，
cos(－330°)＝cos(－360°＋30°)＝cos
30°＝，
所以P，sin
α＝.
【答案】 C
3．(2016·镇安高一检测)设函数f(x)＝sinx，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝________.
【导学号：66470009】
【解析】 f(1)＝，f(2)＝，f(3)＝0，f(4)＝－，f(5)＝－，f(6)＝0，f(7)＝f(1)，f(8)＝f(2)，…
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
【答案】 0
4．已知＝－，且lg(cos
α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin
α的值．
【解】 (1)由＝－，可知sin
α<0，
由lg(cos
α)有意义可知cos
α>0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin
α＝＝＝＝－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5
sin，则当t＝时，电流I为( )
A．5
B．
C．2
D．－5
【解析】 t＝代入I＝5
sin＝5sin＝，故选B.
【答案】 B
2．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C；12月份平均气温最低，为18.35°C.若x月份的平均气温为y°C，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A．y＝23.9－5.55sinx
B．y＝23.9－5.55cosx
C．y＝23.9－5.55tanx
D．y＝23.9＋5.55cosx
【解析】 将x＝6，x＝12分别代入验证可知，只有B符合要求，故选B.
【答案】 B
3．如图1－9－6是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
图1－9－6
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期．
【答案】 C
4．一根长l
cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1
s时，线长l等于( )
A．
B．
C．
D．
【解析】 ∵T＝，∴＝＝2π，∴l＝.
【答案】 D
5．(2016·南宁高一检测)车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
【解析】 由2kπ－≤≤2kπ＋，得4kπ－π≤t≤4kπ＋π(k∈Z)，由于0≤t≤20，所以0≤t≤π或3π≤t≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．
【答案】 C
二、填空题
6．如图1－9－7，点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为________．
图1－9－7
【解析】 当质点P从P0转到点P位置时，点P转过的角度为ωt，则∠POx＝ωt＋φ，由任意角的三角函数定义知P点的纵坐标y＝rsin(ωt＋φ)．
【答案】 y＝rsin(ωt＋φ)
7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为________．
【解析】 假设三角函数模型为y＝Asin
ωt＋b，
由题意知，A＝0.2，b＝3.8，T＝10，
∴ω＝＝，∴y＝0.2sint＋3.8(t>0)．
【答案】 y＝0.2sint＋3.8(t>0)(答案不唯一)
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为________℃.
【导学号：66470034】
【解析】 由题意可知，A＝＝5，
a＝＝23.
从而，y＝5cos＋23，
故10月份的平均气温值为
y＝5cos＋23＝20.5
℃.
【答案】 20.5
三、解答题
9．如图1－9－8所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．
图1－9－8
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
【解】 (1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为t，所以t秒时，Q点的纵坐标为10·sin·t，故在t秒时此人相对于地面的高度为
y＝10sint＋12(米)．
(2)令y＝10sint＋12≤10，则sint≤－，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图1－9－9为一辆观览车示意图，该观览车半径为4.8
m，圆上最低点与地面的距离为0.8
m,60
s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面的距离为h.
图1－9－9
(1)求h与θ之间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t
s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求首次到达最高点所用的时间．
【解】 (1)由题意可作图，过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当θ>时，∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8
sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合，
即h与θ之间的函数解析式为
h＝5.6＋4.8
sin
.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是，
∴t
s转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
当h＝10.4时，sin＝1，即t－＝＋2kπ(k∈Z)，
t＝30(2k＋1)(k∈Z)．即首次到达最高点所用的时间为30
s.
[能力提升]
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y与时间x(秒)满足函数关系式y＝Asin(ωx＋φ)＋7，则( )
A．ω＝，A＝10
B．ω＝，A＝10
C．ω＝，A＝17
D．ω＝
，A＝17
【解析】 T＝＝15，ω＝，A＝10.
【答案】 A
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图1－9－10所示，为了得到g(x)＝sin
3x的图象，则只要将f(x)的图象( )
图1－9－10
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【解析】 由图象知，函数f(x)的周期T＝4×＝＝，所以ω＝3.因为函数f(x)的图象过图中最小值点，所以A＝1且sin＝－1.又因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin.因为g(x)＝sin
3x，所以g(x)＝f，为了得到g(x)＝sin
3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移个单位长度，故选B.
【答案】 B
3．已知某游乐园内摩天轮的中心点O距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P自最低点A起，经过t
min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m以上的时间将持续________分钟.
【导学号：66470035】
【解析】 依题意，知40sin＋50≥70，
即cost≤－，
从而在一个周期内持续的时间为
≤t≤，4≤t≤8，
即持续时间为4分钟．
【答案】 4
4．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12
h，低潮时水的深度为8.4
m，高潮时为16
m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h(A>0，ω>0)．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3
m
【解】 (1)依题意知T＝＝12，
故ω＝，h＝＝12.2，
A＝16－12.2＝3.8，
所以d＝3.8sin＋12.2.
又因为t＝4时，d＝16，
所以sin＝1，
所以φ＝－，
所以d＝3.8sin＋12.2.
(2)t＝17时，
d＝3.8sin＋12.2
＝3.8sin＋12.2≈15.5(m)．
(3)令3.8sin＋12.2<10.3，
有sin<－，
因此2kπ＋所以2kπ＋所以12k＋8令k＝0，得t∈(8,12)；
令k＝1，得t∈(20,24)．
故这一天共有8小时水深低于10.3
m．(共35张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
[－A，A]
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综合关
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素能关
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W目(共33张PPT)
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阶段二
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rad
弧度
弧度
正数
负数
0
一一对应关系
弧度制与角度制的互化
用弧度制表示终边相同的角
扇形的弧长及面积公式
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三角函数在物理学中的应用
三角函数的实际应用
t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5
学业分层测评
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1
－1
2kπ
1
(2k＋1)π
－1
[2kπ－π,2kπ]
(k∈Z)上是增加的
[2kπ,2kπ＋π]
(k∈Z)上是减少的
2kπ
2π
x轴
原点
y轴
－sin
α
cosα
－sin
α
－cos
α
sin
α
－cos
α
y＝x
cos
α
sin
α
cos
α
正弦、余弦函数的性质
给角求值
给值求值
三角函数式的化简
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[学业达标]
一、选择题
1．若cot
α＝m，则tan＝( )
A．m
B．－m
C．
D．－
【解析】 tan＝tan＝
tan＝cot
α＝m.
【答案】 A
2．函数y＝2
tan的定义域是( )
A．
B.
C.
D.
【解析】 由2x－≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z，
所以定义域为.
【答案】 B
3．(2016·合肥高一检测)下列不等式正确的是( )
A．tan>tan
B．tan>tan
C.
<
D.<
【解析】 因为tan＝tan
，
tan＝tan，而－<－<－<，y＝tan
x在上是增加的，故tan>tan，
即tan>tan.
【答案】 B
4．函数y＝tan(sin
x)的值域是( )
A．
B．
C．[－tan
1，tan
1]
D．[－1,1]
【解析】 sin
x∈[－1,1]，又－<－1<1<，且y＝tan
x在上是增加的，所以ymin＝tan(－1)＝－tan
1，ymax＝tan
1.
【答案】 C
5．直线y＝a(常数)与正切曲线y＝tan
ωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为( )
A．π
B．2π
C.
D．与a值有关
【解析】 两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期，因而距离为
.
【答案】 C
二、填空题
6．函数y＝的定义域为________，值域为________.
【导学号：66470024】
【解析】 由得定义域为，值域为{y|y≥0}．
【答案】
{y|y≥0}
7．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图像过点，则φ等于________．
【解析】 由已知，可得tan＝0，即tan＝0，∴φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)．
【答案】 －＋kπ(k∈Z)
8．化简：＝________.
【解析】 原式＝＝－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin
α的值；
(2)求·的值．
【解】 (1)∵|OP|＝＝1，
∴sin
α＝＝＝－.
(2)原式＝·
＝＝＝.
由余弦函数的定义，得cos
α＝，故所求式子的值为.
10．已知函数f(x)＝x2＋2xtan
θ－1，x∈[－1，]，其中θ∈.
(1)当θ＝－时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，使y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数．
【解】 (1)当θ＝－时，
f(x)＝x2－x－1＝2－，x∈[－1，]．
∴当x＝时，f(x)的最小值为－；
当x＝－1时，f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)＝(x＋tan
θ)2－1－tan2θ的图像的对称轴为x＝－tan
θ.
∴y＝f(x)在区间[－1，]上是单调函数，
∴－tan
θ≤－1或－tan
θ≥.
即tan
θ≥1或tan
θ≤－.
又θ∈，
∴θ的取值范围是
∪.
[能力提升]
1．设a＝sin
33°，b＝cos
55°，c＝tan
35°，则( )
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【解析】 b＝cos
55°＝sin
35°，又a＝sin
33°，0°<33°<35°<90°，
所以y＝sin
x在[0,90°]是增加的，所以sin
33°35°，
即b>a.
tan
35°＝，又cos
35°∈，
所以tan
35°>sin
35°，故c>b>a.
【答案】 C
2．已知f(α)＝，则f的值为( )
A．
B．－
C.
D．－
【解析】 由于tan＝
＝＝，所以f(α)＝
＝－cos
α，则f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－.
【答案】 B
3．已知tan＝－5，则tan＝________.
【导学号：66470025】
【解析】 tan＝tan
＝－tan，
∴tan＝5.
【答案】 5
4．设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图像与x轴相邻两交点的距离为，且图像关于点M对称，求f(x)的解析式．
【解】 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T＝，即＝，
∴ω＝2，
从而f(x)＝tan(2x＋φ)．
∵函数y＝f(x)的图像关于点M对称，
∴2·＋φ＝kπ或＋kπ(k∈Z)．
即φ＝kπ＋或φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<，
∴φ＝，
故f(x)＝tan.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·合肥高一检测)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图像，只要将函数y＝cos
2x的图像( )
A．向左平移1个单位
B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos，
∴只要将函数y＝cos
2x的图像向左平移个单位即可，故选C.
【答案】 C
2．(2016·永寿高一检测)要得到函数y＝cos
2x的图像，可由函数y＝cos的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解析】 y＝cos
y＝cos＝cos
＝cos
2x.
【答案】 C
3．(2016·桂林高一检测)将函数y＝sin的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sinx
D．y＝sin
【解析】 y＝siny＝siny＝sin＝sin.故选D.
【答案】 D
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图像和直线y＝的交点个数是( )
【导学号：66470028】
A．0
B．1
C．2
D．4
【解析】 根据诱导公式，y＝sin
，作出y＝sin
，x∈[0,2π]的图像及y＝的图像可得解．故选C.
【答案】 C
5．(2016·贺州高一检测)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图像如图1－8－3所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则( )
图1－8－3
A．A＝4
B．ω＝1
C．φ＝
D．B＝4
【解析】 由题图可知A＝＝2，B＝2，T＝4＝π，∴ω＝＝＝2.
∴y＝2sin(2x＋φ)＋2，代入点得φ＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·柳州高一检测)把函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长为原来的2倍，所得图像的函数解析式为________．
【解析】 y＝siny＝
siny＝2sin
2x.
【答案】 y＝2sin
2x
7.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图1－8－4所示，则ω等于________．
图1－8－4
【解析】 从题图中可以看出：周期T＝－－(－π)＝，所以ω＝＝3.
【答案】 3
8．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
【解析】 将y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后得y＝cos＝cos(2x－π＋φ)＝cos＝－cos(2x＋φ)，
∴y＝－cos(2x＋φ)＝sin，由题意可知φ－
＝＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋2kπ(k∈Z)．结合－π≤φ<π，知φ＝.
【答案】
三、解答题
9．若函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在其一个周期内的图像上有一个最高点和一个最低点，求该函数的解析式．
【解】 由题意知：b＝＝－1，T＝π，A＝4，
∴ω＝＝2.
∴所求函数为y＝4sin(2x＋φ)－1.
∵为该函数图像上的点，
∴当x＝时，y＝3，
即4sin－1＝3，∴sin＝1，
∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
∴φ＝＋2kπ.
∵|φ|<，∴φ＝，∴该函数的解析式为y＝4sin－1.
10．已知函数y＝sin＋1.
(1)用“五点法”画出函数的草图；
(2)函数图像可由y＝sin
x的图像怎样变换得到？
【解】 (1)列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y
1
2
1
0
1
描点、连线如图所示．
将y＝sin＋1在上的图像向左(右)平移kπ(k∈Z)个单位，即可得到y＝sin＋1的整个图像．
[能力提升]
1．(2016·铜川高一检测)把函数y＝cos
2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )
【解析】 y＝cos
2x＋1y＝cos
x＋1
y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)．结合选项可知应选A．
【答案】 A
2．已知函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)＝sin
ωx的图像，只要将y＝f(x)的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【解析】 因为f(x)的最小正周期为，所以＝，所以ω＝4，
所以f(x)＝cos＝cos
4，
g(x)＝sin
4x＝cos＝cos
＝cos
4，
故需将y＝f(x)的图像向右平移＋＝个单位长度．
【答案】 D
3．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同．若x∈，则f(x)的取值范围是________.
【导学号：66470029】
【解析】 由于对称轴完全相同，所以它们的周期相同，
∴ω＝2，∴f(x)＝3sin.
由x∈，得－≤2x－≤π，∴－≤f(x)≤3.
【答案】
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx)，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图像，区间[a，b](a，b∈R且a【解】 (1)因为ω>0，根据题意有 0<ω≤.
(2)f(x)＝2
sin
2x，
g(x)＝2sin＋1
＝2sin＋1，
g(x)＝0 sin＝－ x＝kπ＋π或x＝kπ＋π，k∈Z，即g(x)的零点相离间隔依次为和，故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.(共37张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
原点
单位长
非负半轴
sin
α
横坐标u
u＝cos
α
全体实数
[－1,1]
全体实数
[－1,1]
sin
x
cos
x
非零实数T
任意一个
f(x＋T)＝f(x)
最小
最小正周期
正弦、余弦函数的定义
三角函数值的符号判断
利用正弦、余弦函数的周期性求值
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
名师指津
W目学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y＝1－sin
x，x∈[0,2π]的大致图像是( )
【解析】 当x＝时y＝0，当x＝0时y＝1，
当x＝2π时y＝1，结合正弦函数的图像知B正确．
【答案】 B
2．点在函数y＝sin
x＋1的图像上，则b等于( )
A.
B．
C．2
D．3
【解析】 由题意知b＝sin＋1＝2.
【答案】 C
3．若函数y＝sin
x，x∈与y＝1围成一个平面图形，则这个封闭的图形面积是( )
A．2
B．4
C．2π
D．4π
【解析】 如图，由对称性知，所围成平面图形的面积是长为－＝2π，宽为1的矩形的面积，∴S＝2π，故选C.
【答案】 C
4．函数y＝4sin
x＋3在[－π，π]上的递增区间为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 如图所示，y＝sin
x在上是增加的，所以y＝4sin
x＋3在[－π，π]上的递增区间为.
【答案】 B
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
【解析】 cos
10°＝sin
80°，sin
168°＝sin(180°－12°)＝sin
12°，y＝sin
x在上是增加的．
又0<11°<12°<80°，所以sin
11°12°80°，
即sin
11°168°10°.
【答案】 C
二、填空题
6．y＝a＋bsin
x的最大值是，最小值是－，则a＝________，b＝________.
【导学号：66470016】
【解析】 若b>0，由－1≤sin
x≤1知
解得
若b<0，则解得
【答案】 ±1
7．函数f(x)＝x3＋sin
x＋1，x∈R，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．
【解析】 f(a)＝a3＋sin
a＋1＝2，所以a3＋sin
a＝1，
f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1
＝－(a3＋sin
a)＋1
＝－1＋1＝0.
【答案】 0
8．函数y＝1＋sin
x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝有________个交点．
【解析】 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sin
x，y＝的图像，如图所示．在x∈[0,2π]内共有两个交点．
【答案】 两
三、解答题
9．求函数y＝2
sin，x∈的值域．
【解】 ∵x∈，
∴x＋∈，
则当x＋＝，即x＝时，y最大为2.
当x＋＝，即x＝时，y最小为1.
∴函数y＝2
sin，x∈的值域是[1,2]．
10．已知函数y＝sin
x＋|sin
x|.
(1)画出这个函数的图像；
(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期；
(3)指出这个函数的单调增区间．
【解】 (1)y＝sin
x＋|sin
x|
＝
其图像如图所示．
(2)由图像知函数是周期函数，且函数的最小正周期是2π.
(3)由图像知函数的单调增区间为(k∈Z)．
[能力提升]
1．下列不等式中成立的是( )
A．sinB．sinC．sin
3>sin
2
D．sin>sin
【解析】 由于0<<<，而y＝sin
x在上单调递增，
∴sin－sin，
即sin>sin，故选A.
【答案】 A
2．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数．若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
【解析】 ∵f(x)的周期是π，
∴f＝f＝f
＝f＝f.
又f(x)是偶函数，
∴f＝f＝sin＝，
∴f＝.
【答案】 D
3．f(x)＝2sin
ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
【导学号：66470017】
【解析】 因为0≤x≤，
所以0≤ωx≤ω<，
所以f(x)在上是增加的．
所以f＝，即2sin＝，
所以ω＝，所以ω＝.
【答案】
4．已知－≤x≤，f(x)＝sin2x＋2sin
x＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相应的x值．
【解】 令t＝sin
x，则由－≤x≤π知，－≤t≤1，
∴f(x)＝g(t)＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，
当t＝1时，f(x)max＝5，
此时，sin
x＝1，x＝；
当t＝－时，f(x)min＝，
此时，sin
x＝－，x＝－.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．cos＋sin的值为( )
A.
B．
C．
D．
【解析】 原式＝cosπ－sin＝cos－sin
＝－cos＋sin＝.
【答案】 C
2．(2016·桂林高一检测)若cos(2π－α)＝，则sin等于( )
【导学号：66470012】
A．－
B．－
C．
D．±
【解析】 ∵cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos
α＝，
∴sin＝－cos
α＝－.
【答案】 A
3．已知f(sin
x)＝
cos
3x，则f(cos
10°)的值为( )
A．－
B．
C．
D．－
【解析】 f(cos
10°)＝f(sin
80°)＝×cos
3×80°＝cos
240°＝－.
【答案】 A
4．已知cos(π＋α)＝－，则sin等于( )
A.
B．－
C．±
D．－
【解析】 由于cos(π＋α)＝－cos
α＝－，
∴cos
α＝，
∴sin＝sin＝sin
＝－sin
＝－cos
α＝－.
【答案】 D
5．cos(k∈Z)的值为( )
A．±
B．
C．－
D．±
【解析】 若k为偶数，不妨设k＝2n(n∈Z)，
则cos＝cos＝cos＝；
若k为奇数，可设k＝2n＋1(n∈Z)，则cos＝cos＝cos＝－cos＝－.综上，cos的值为±.
【答案】 A
二、填空题
6．y＝3
sin
x，x∈的值域为________．
【解析】 借助单位圆可知，函数y＝sin
x，x∈在x＝处取最大值1，在x＝－和x＝处同时取得最小值－，即－≤sin
x≤1，所以－≤3
sin
x≤3.
【答案】
7．若cos＋sin(π＋θ)＝－m，则cos＋2sin(6π－θ)＝________.
【解析】 ∵cos＋sin(π＋θ)＝－sin
θ＋(－sin
θ)＝－2sin
θ＝－m，
∴sin
θ＝.
∴cos＋2sin(6π－θ)＝－sin
θ－2sin
θ＝－3sin
θ＝－.
【答案】 －
8．若|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，则角α的取值范围是________．
【解析】 因为|sin(4π－α)|＝sin(π＋α)，
则|sin
α|＝－sin
α，所以sin
α≤0，
所以2kπ－π≤α≤2kπ(k∈Z)．
【答案】 {α|2kπ－π≤α≤2kπ，k∈Z}
三、解答题
9．求函数y＝3－2cos
x，x∈的值域．
【解】 ∵－≤x≤，∴≤cos
x≤1，
∴－1≤－cos
x≤－，
∴－2≤－2cos
x≤－，
∴1≤3－2cos
x≤3－.
故函数y＝3－2cos
x，x∈的值域为[1,3－]．
10．已知角α终边上一点P(－4,3)，
求的值．
【解】 点P到原点O的距离|OP|＝＝5，根据三角函数的定义得，sin
α＝，cos
α＝－.
＝
＝
＝
＝＝×＝－.
[能力提升]
1．(2016·长武高一检测)设f(x)＝a
sin(πx＋α)＋b
cos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2
015)＝5，则f(2
016)等于( )
A．4
B．－4
C．5
D．－5
【解析】 因为f(2
015)＝a
sin(2
015π＋α)＋b
cos(2
015π＋β)＝－a
sin
α－b
cos
β＝5，
所以a
sin
α＋b
cos
β＝－5.
又f(2
016)＝a
sin(2
016π＋α)＋b
cos(2
016π＋β)
＝a
sin
α＋b
cos
β
＝－5.
【答案】 D
2．下列三角函数中，与sin
数值相同的是( )
①sin；②cos；③sin；
④cos；⑤sin(n∈Z)．
A．①②
B．①③④
C．②③⑤
D．①③⑤
【解析】 ①中，sin＝
＝
②中，cos＝cos
＝sin＝sin
；
③中，sin＝sin
；
④中，cos＝cos＝－cos
≠sin
；
⑤中，sin＝sin＝sin
.
故②③⑤中的三角函数与sin
的数值相同．
【答案】 C
3．sin(－1
200°)cos
1
290°＋cos(－1
020°)·sin(－1
050°)＝________.
【导学号：66470013】
【解析】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)
＝－sin
120°·cos
210°－cos
300°sin
330°
＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·
sin(360°－30°)
＝sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°
＝×＋×
＝1.
【答案】 1
4．化简：··.
【解】 原式＝··
＝··
＝··
＝··
＝1.学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
【解析】 由于T＝＝π，∴ω＝2，
则f(x)＝sin.
当x＝时，sin＝0，
∴该函数的图像关于点对称，故选A．
【答案】 A
2．(2016·宝鸡高一检测)若函数f(x)＝sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝( )
A．3
B．2
C．
D．
【解析】 由题意知，函数在x＝处取得最大值1，所以1＝sin，所以ω＝.
【答案】 D
3．将函数y＝sin的图像向右平移个单位，所得图像所对应的函数是( )
A．非奇非偶函数
B．即奇又偶函数
C．奇函数
D．偶函数
【解析】 将函数y＝sin的图像向右平移个单位后，得函数y＝sin＝sin＝sin
2x，为奇函数，故选C.
【答案】 C
4．(2016·长丰高一检测)将函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则ω的最小值是( )
A．
B．1
C．
D．2
【解析】 函数f(x)＝sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin
ω(其中ω>0)，将代入得0＝sin，故得ω的最小值是2.
【答案】 D
5．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图像，如图1－8－5.则f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)＝( )
图1－8－5
A．
B．0
C．2＋
D．－2
【解析】 由题图知，该函数周期T＝6，
∴ω＝＝，又A＝2.
∵(3,0)相当于“五点法”作图的第三个点，
∴×3＋φ＝π，∴φ＝0，
即f(x)＝2sin
x.
根据对称性知，
f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2
016)
＝336[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]
＝0.
【答案】 B
二、填空题
6．设函数y＝1－3sin，当x＝________时，函数的最大值为4.
【解析】 由－≤x≤0知－≤2x＋≤，
当2x＋＝－，即x＝－时，
y＝sin取最小值－1，
故y＝1－3sin取最大值4.
【答案】 －
7．当－≤x≤时，函数f(x)＝sin的最大值是________，最小值是________．
【解析】 ∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∵当x＋＝－，即x＝－时，f(x)min＝－，
当x＋＝，即x＝时，f(x)max＝.
【答案】 －
8．关于函数f(x)＝4sin(x∈R)有下列命题，其中正确的是_____．(填序号)
【导学号：66470032】
①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)的图像关于点对称；
④y＝f(x)的图像关于直线x＝对称．
【解析】 因为4sin＝4cos＝
4cos，所以①正确，易得②④不正确，而
f＝0，故是对称中心，③正确．
【答案】 ①③
三、解答题
9.
(2016·蒙城高一检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)一个周期的图像如图1－8－6所示，
图1－8－6
(1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值；
(2)求函数f(x)的表达式、单调递增区间．
【解】 (1)由题图知，函数f(x)的最小正周期为T＝4×＝π，函数的最大值为1，最小值为－1.
(2)T＝，则ω＝2，
又x＝－时，y＝0，所以sin＝0，
而－<φ<，则φ＝，
所以函数f(x)的表达式为f(x)＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
10．已知f(x)＝1＋sin，画出f(x)在x∈上的图像．
【解】 ∵－≤x≤，∴－π≤2x≤π，
∴－π≤2x－≤π.
(1)列表如下：
x
－
－
－
2x－
－π
－π
－
0
π
f(x)
2
1
1－
1
1＋
2
(2)描点连线成图，如图所示．
[能力提升]
1．为了使函数y＝sin
ωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )
A．98π
B．π
C．π
D．100π
【解析】 由题意至少出现50次最大值，即至少需用49个周期，所以49·T＝·≤1，所以ω≥π.
【答案】 B
2．函数y＝－sin图像上距离原点最近的与x轴的交点是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 令4x＋＝kπ，k∈Z，
则x＝－＋(k∈Z)．
当k＝0时，x＝－；
当k＝1时，x＝.
所以点为所求．
【答案】 A
3．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
【解析】 ∵f(x)在上具有单调性，∴≥－，
∴T≥.
∵f＝f，∴f(x)的一条对称轴为x＝＝.
又∵f＝－f，
∴f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，
∴T＝－＝，∴T＝π.
【答案】 π
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像过点P，图像与P点最近的一个最高点坐标为.
(1)求函数解析式；
(2)指出函数的增区间；
(3)求使y≤0的x的取值范围．
【解】 (1)∵图像最高点坐标为，
∴A＝5.∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝5sin(2x＋φ)，代入点，
得sin＝1，
∴π＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin.
(2)∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴增区间为(k∈Z)．
(3)∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z)．
