学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如图2－2－6，在 ABCD中，下列结论错误的是( )
图2－2－6
A．＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝0
【解析】 根据向量的概念及加法的法则知＋＝，故C错误．
【答案】 C
2.如图2－2－7，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
图2－2－7
A．0
B．
C.
D．
【解析】 ＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.
【答案】 D
3．化简＋－－＝( )
A．
B．
C.
D．0
【解析】 ＋－－＝－(＋)＝－＝0.
【答案】 D
4.如图2－2－8，在四边形ABCD中，设
＝a，＝b，＝c，则等于( )
图2－2－8
A．a－b＋c
B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c
D．b－a＋c
【解析】 ＝－＝(＋)－＝a＋c－b.
【答案】 A
5．已知正方形的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|等于( )
【导学号：66470043】
A．0
B．3
C.
D．2
【解析】 ∵a＋b＝＋＝，
∴|a＋b＋c|＝|2|＝2.
【答案】 D
二、填空题
6.根据图示填空，其中a＝，b＝，c＝，d＝.
图2－2－9
(1)a＋b＋c＝________；
(2)b＋d＋c＝________.
【解析】 (1)a＋b＋c＝＋＋＝.
(2)b＋d＋c＝＋＋＝＋＋＝.
【答案】 (1) (2)
7．如图2－2－10，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|＝________.
图2－2－10
【解析】 ∵＋＋＝＋＋＝，
∴|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
8．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|等于________．
【解析】 |－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
【答案】 2
三、解答题
9.如图2－2－11，在正五边形ABCDE中，若＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，求作向量a－c＋b－d－e
图2－2－11
【解】 a－c＋b－d－e＝(a＋b)－(c＋d＋e)＝(＋)－(＋＋)＝－＝＋.
如图，连接AC，并延长至点F，使CF＝AC，则＝.
所以＝＋，即为所求作的向量a－c＋b－d－e.
10．如图2－2－12所示，已知在矩形ABCD中，AD＝4，设＝a，＝b，＝c.试求|a＋b＋c|.
图2－2－12
【解】 a＋b＋c＝＋＋＝＋.延长BC至E，使CE＝BC，连接DE.由于＝＝，
∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，∴＋＝＋＝，∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8.
[能力提升]
1．下列式子不能化简为的是( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋(＋)
C.－＋
D.＋－
【解析】 对于A，有＋＋＝；对于B，有＋(＋)＋＝＋(＋)＝；对于C，有(－)＋＝＋＝；只有D无法化简为.
【答案】 D
2．(2016·钦州高一检测)在平行四边形ABCD中．若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD是( )
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【解析】 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＋＝，＋＝.又|＋|＝|＋|，所以||＝||，故该平行四边形为矩形．
【答案】 B
3．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是________.
【导学号：66470044】
【解析】 因为||＝|－|且|||－|||≤|－|≤||＋||，所以3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.
【答案】 [3,13]
4．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，求|a＋b|的值．
【解】 在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.
由题意，知||＝||＝2，＝1.
如图所示，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AB交直线AB于F.
∵AB＝BD＝2，∴AE＝ED＝AD＝.
在△ABE中，cos∠EAB＝＝，
在△CBF中，∠CBF＝∠EAB，
∴cos∠CBF＝，∴BF＝BCcos∠CBF＝1×＝，∴CF＝，
∴AF＝AB＋BF＝2＋＝.
在Rt△AFC中，AC＝
＝＝，∴|a＋b|＝.学业分层测评
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一、选择题
1．若向量a与向量b不相等，则a与b一定( )
A．不共线
B．长度不相等
C．不都是单位向量
D．不都是零向量
【解析】 若向量a与向量b不相等，则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同．所以a与b有可能共线，有可能长度相等，也有可能都是单位向量，所以A，B，C都是错误的．但是a与b一定不都是零向量．
【答案】 D
2．如图2－1－4所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( )
图2－1－4
A．＝
B．||＝||
C.＞
D．＜
【解析】 ||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等．
【答案】 B
3．如图2－1－5， ABCD中，相等的向量是( )
图2－1－5
A．与
B．与
C.与
D．与
【解析】 与方向相同且长度相等．
【答案】 D
4．下列说法中正确的个数是( )
(1)单位向量都平行；
(2)若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
(3)向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
(4)有相同起点的两个非零向量不平行；
(5)方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 (1)错误．因为单位向量的方向可以既不相同又不相反．
(2)错误．因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反．
(3)正确．因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
(4)错误．有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量．
(5)正确．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
【答案】 A
5．设四边形ABCD中，有＝，且||＝||，则这个四边形是( )
A．正方形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
【解析】 由＝可知四边形ABCD为平行四边形，又|＝||，该四边形为菱形．
【答案】 D
二、填空题
6．设数轴上有四个点A，B，C，D，其中A，C对应的实数分别是1和－3，且＝，为单位向量，则点B对应的实数为________；点D对应的实数为________；||＝________.
【导学号：66470039】
【解析】 由题意知点C是线段AB的中点，所以点B对应的实数为－7.为单位向量，所以点D对应的实数为－4或－2，||＝－3－(－7)＝4.
【答案】 －7 －4或－2 4
7.如图2－1－6所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
图2－1－6
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
【解析】 (1)模相等的两个向量是，，
||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，
且||＋||＝2＋3＝5.
【答案】 (1)， (2)， 5
8．给出下列几种叙述：
(1)两个向量相等，则它们的始点相同，终点相同；
(2)若|a|＝|b|，则a＝b；
(3)若＝，则ABCD是平行四边形；
(4)平行四边形ABCD中，一定有＝；
(5)若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．
【解析】 (1)错误．两个向量相等，它们的始点和终点都不一定相同．
(2)错误．若|a|＝|b|，则a与b方向未必相同，故a与b不一定相等．
(3)错误．若＝，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上，所以ABCD不一定是平行四边形．
(4)正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段与方向相同，所以＝.
(5)错误．若a∥b，b∥c，b＝0，则a与c不一定平行．
【答案】 (4)
三、解答题
9．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
(1)与相等的向量；
(2)与长度相等的向量；
(3)与共线的向量．
【解】 (1)由图可知，BC＝AD，所以与相等的向量为.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点，可知OB＝OD＝OA＝OC，所以与长度相等的向量有，，，，，，.
(3)与共线的向量有，，.
10．如图2－1－7所示，四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.
求证：＝.
图2－1－7
【证明】 ∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∵||＝||，||＝||，∴||＝||，
又∵与的方向相同，∴＝.
[能力提升]
1.如图2－1－8所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，则与的模相等的向量共有( )
图2－1－8
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
【解析】 ∵E，F，D分别是边AC，AB和BC的中点，
∴EF＝BC，BD＝DC＝BC.
又∵AB，BC，AC均不相等，从而与的模相等的向量是，，，，.
【答案】 B
2．在四边形ABCD中，∥且||≠||，则四边形ABCD的形状是________.
【导学号：66470040】
【解析】 ∵∥且||≠||，
∴AB∥DC，但AB≠DC，∴四边形ABCD是梯形．
【答案】 梯形
3．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则||＝________.
【解析】 易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝，∴||＝2||＝2.
【答案】 2
4.如图2－1－9所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{|M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数．
图2－1－9
【解】 由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．以下选项中，a与b不一定共线的是( )
A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1
B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2
C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1
D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2
【解析】 只有C选项不一定共线．
【答案】 C
2．(2016·桂林高一检测)如图2－3－12， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
图2－3－12
A．a－b
B．a＋b
C．a＋b
D．a－b
【解析】 因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝a－b.
【答案】 D
3．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则等于( )
【导学号：66470049】
A．a＋λb
B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b
D．a＋b
【解析】 ∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴(1＋λ)＝＋λ，
∴＝＋＝a＋b.
【答案】 D
4.如图2－3－13，在△ABC中，D，E分别是AC，AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，若＝λa＋μb，则λ＋μ＝( )
图2－3－13
A．0
B．
C.
D．1
【解析】 因为＝＝(－)
＝(－a－b)，＝＝－b，
所以＝－＝－a－b＋b
＝－a＋b，又＝λa＋μb，a与b不共线，
所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝0.
【答案】 A
5.
(2016·洛南高一检测)若D点在三角形ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为( )
图2－3－14
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)＝r＋s，
∴r＝，s＝－，
∴3r＋s＝－＝.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·西安高一检测)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【解析】 由＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，
则λ1＋λ2的值为.
【答案】
7．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．
【解析】 当a∥b时，设a＝mb，
则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，
即e1＋2e2＝mλe1＋me2，
所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.
又a与b是一组基底，
所以a与b不共线，所以λ≠.
【答案】 ∪
8．已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，又a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，c＝－e1＋8e2，若用a，b作为基底表示向量c，则c＝________.
【解析】 设c＝λa＋μb，
于是－e1＋8e2＝λ(e1＋2e2)＋μ(2e1－e2)，
整理得－e1＋8e2＝(λ＋2μ)e1＋(2λ－μ)e2，
因为e1，e2是平面内所有向量的一组基底，
所以解得λ＝3，μ＝－2，
所以c＝3a－2b.
【答案】 3a－2b
三、解答题
9.
(2016·合肥高一检测)如图2－3－15，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
图2－3－15
【解】 因为AC＝BA，
所以＝2＝2(－)，
所以＝＋＝b＋2(a－b)＝2a－b，
因为DB＝OB，
所以＝，
所以＝－＝2a－b－b＝2a－b.
10.如图2－3－16所示，平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM＝AB，点N在BC上，且BN＝BC.求证：M，N，D三点共线．
图2－3－16
【证明】 设＝e1，＝e2，则＝＝e2.
∵＝e2，＝＝e1.
∴＝－＝e2－e1.
又∵＝－＝e2－e1
＝3＝3.
∴向量与共线，又M是公共点，故M，N，D三点共线．
[能力提升]
1．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
【解析】 如图．
∵＝＋
＝＋，
＝＋
＝＋，
＝＋＝＋，
∴＋＋
＝＋＋
＝＋
＝－.
【答案】 A
2.
(2016·南宁高一检测)如图2－3－17，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为( )
【导学号：66470050】
图2－3－17
A．1
B．
C．
D．3
【解析】 ∵＝＋，
又B，P，N三点共线．
∴存在λ，使＝λ.
∴＝λ＝λ(＋)
＝－λ＋λ.
∴＝＋
＝(1－λ)＋λ.
又∵＝m＋，
∴
∴λ＝，m＝1－＝.
【答案】 C
3．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为________．
【解析】 取BC的中点M，连接DM，交AC于N.
∵平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，∴AF＝FN＝CN.
∴＝－＋＋＝－.
∵＝m＋n(m，n∈R)，
∴m＝，n＝－，∴＝＝－2.
【答案】 －2
4.已知梯形ABCD中，AB∥DC，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF∥AB∥DC.
图2－3－18
【证明】 延长EF到M，使EF＝FM，连接CM，BM，EC，EB，得 ECMB，
由平形四边形法则得
＝＝(＋)．
由于AB∥DC，所以，共线且同向，根据平行向量基本定理，存在正实数λ，使＝λ.
由三角形法则得
＝＋，＝＋且＋＝0，
∴＝(＋)＝(＋＋＋)
＝(＋)＝，
∴∥.
由于E，D不共点，∴EF∥AB∥DC.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝( )
A．－1
B．
C．－
D．1
【解析】 因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.
【答案】 D
2．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－
B．
C.
D．
【解析】 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(2,4)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．
设夹角为θ，则cos
θ＝＝＝.
又因为θ∈t[0，π]，所以θ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则x的值为( )
A．－
B．
C.
D．2
【解析】 因为a＋xb＝(3,4)＋(2x，－x)＝(2x＋3,4－x)，－b＝(－2,1)．因为a＋xb与－b垂直，所以(2x＋3,4－x)·(－2,1)＝－4x－6＋4－x＝0，
解得－5x＝2，所以x＝－.
【答案】 A
4．在 ABCD中，已知＝(－4,2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5
B．2
C．2
D．
【解析】 设＝a，＝b，则a＋b＝＝(－4,2)．b－a＝＝(2，－6)，所以b＝(－1，－2)，a＝(－3,4)，所以2＋＝2a＋b＝(－7,6)，
所以|2＋|＝＝.
【答案】 D
5．已知O＝(－2,1)，O＝(0,2)，且A∥O，B⊥A，则点C的坐标是( )
A．(2,6)
B．(－2，－6)
C．(2，－6)
D．(－2,6)
【解析】 设C(x，y)，则A＝(x＋2，y－1)，
B＝(x，y－2)，A＝(2,1)．
由A∥O，B⊥A，得
解得
∴点C的坐标为(－2,6)．
【答案】 D
二、填空题
6．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
【解析】 a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，得(3,3
m)·(m＋1,1)＝0，即6m＋3＝0，所以m＝－，所以a＝(1，－1)，|a|＝＝.
【答案】
7．直线l1：x＋2y－3＝0和直线l2：x－3y＋1＝0的夹角θ＝________.
【导学号：66470058】
【解析】 任取l1和l2的方向向量分别为m＝和n＝，设m和n的夹角为α，
则cos
α＝＝，
∴α＝45°，∴θ＝45°.
【答案】 45°
8．(2016·西安高一检测)已知两个单位向量a·b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.
【解析】 b·c＝b·(ta＋(1－t)b)＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×cos
60°＋(1－t)＝0，即t＝1，所以t＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知向量a是以点A(3，－1)为始点，且与向量b＝(－3,4)垂直的单位向量，求a的终点坐标．
【解】 ∵b是直线y＝－x的方向向量，且a⊥b，
∴a是直线y＝x的方向向量，
∴可设a＝λ＝.
由|a|＝1，
得λ2＋λ2＝1，
解得λ＝±，
∴a＝或a＝.
设a的终点坐标为(x，y)，
则或
即或
∴a的终点坐标是或.
10．设平面向量a＝(cos
α，sin
α)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．
(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；
(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.
【解】 (1)证明：由题意，知
a＋b＝，
a－b＝，
因为(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0,
所以(a＋b)⊥(a－b)．
(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意，知(a＋b)2＝(a－b)2，化简，得a·b＝0，
所以－cos
α＋sin
α＝0，所以tan
α＝.
又因为0≤α<2π，所以α＝或α＝.
[能力提升]
1．已知＝(4,2)，＝(k，－2)，若△ABC为直角三角形，则k等于( )
A．1
B．6
C．1或6
D．1或2或6
【解析】 若∠A为直角，则·＝4k－4＝0，所以k＝1，＝－＝(k，－2)－(4,2)＝(k－4,4)．
若∠B为直角，则·＝(－4，－2)·(k－4，－4)＝－4k＋16＋8＝0，所以k＝6.
若∠C为直角，则·＝0，即(－k,2)·(4－k,4)＝0，方程无解，综上知k的值为1或6.
【答案】 C
2．已知A(－1,2)，B(2,8)，C(0,5)，若⊥，∥，则点D的坐标是( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 设D(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
＝(x－2，y－8)，因为＝(－2，－3)，⊥，∥.
所以
解得
所以D点坐标为.
【答案】 A
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于________．
【解析】 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，由于(c＋a)∥b，
则有－3(1＋m)＝2(2＋n)，
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
则有m＝－，n＝－，所以c＝.
【答案】
4．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cos
θ.
【解】 (1)证明：＝(－1－2，－2－4)＝(－3，－6)，
＝(4－2,3－4)＝(2，－1)．
∵·＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0，
∴⊥，即AB⊥AC.
(2)设D点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－4)，
＝(5,5)．
∵AD⊥BC，
∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0.①
又＝(x＋1，y＋2)，
而与共线，
∴5(x＋1)＝5(y＋2)，②
由①②解得x＝，y＝，
故D点坐标为，
∴＝＝.
(3)＝(3,6)，＝(5,5)，
cos
θ＝＝＝.学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．已知a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b等于( )
A．(－6，－8)
B．(－3，－6)
C．(6,8)
D．(6，－8)
【解析】 －2a＋4b＝－2(3,2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)．
【答案】 A
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
【解析】 法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．
故选A．
法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，
＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
故选A．
【答案】 A
3．若a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝( )
A．－a＋b
B.a－b
C．－a－b
D．－a＋b
【解析】 设c＝xa＋yb，
即(－1,2)＝(x，x)＋(y，－y)＝(x＋y，x－y)．
∴解得
【答案】 B
4．向量＝(k,12)，＝(10，k)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2
B．11
C．－2或11
D．2或－11
【解析】 ＝－＝(k,12)－(4,5)＝(k－4,7)，
＝－＝(k,12)－(10，k)＝(k－10,12－k)．
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以(k－4)(12－k)－7(k－10)＝0，
整理得k2－9k－22＝0，解得k＝－2或11.
【答案】 C
5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A．
B．
C．(3,2)
D．(1,3)
【解析】 ＝(3,1)－(－1，－2)＝(4,3)．
设D(x，y)，
＝(x，y)－(0,2)＝(x，y－2)．
又∵＝2，∴4＝2x且3＝2(y－2)，
解得x＝2，y＝.
【答案】 A
二、填空题
6．(2016·华阴高一检测)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，2a－b与c平行，则实数k＝________.
【解析】 因为a＝(，1)，b＝(0，－1)，
所以2a－b＝2(，1)－(0，－1)＝(2，3)．
又因为c＝(k，)，2a－b与c平行，
所以2×－3k＝0，解得k＝2.
【答案】 2
7．在平面直角坐标系中，若点M(3，－2)，N(－5，－6)，且＝，则点P的坐标为________．
【解析】 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，＝(－8，－4)，从而即即点P的坐标为(－1，－4)．
【答案】 (－1，－4)
8．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，||＝2，且∠AOC＝.设＝λ＋(λ∈R)，则λ＝________.
【导学号：66470053】
【解析】 由题意得向量与x轴正向所成的角是，又||＝2，
所以点C的坐标是，
即(－2,2)，所以＝(－2,2)．
因为A(－3,0)，B(0,2)，
所以＝(－3,0)，＝(0,2)，
＝λ＋＝λ(－3,0)＋(0,2)＝(－3λ，2)，
所以－3λ＝－2，λ＝.
【答案】
三、解答题
9．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.
【证明】 设E，F的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
依题意，得＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)．
∵＝，
∴(x1＋1，y1)＝(2,2)，
∴点E的坐标为.
同理，点F的坐标为.
∴＝.
∵×(－1)－4×＝0，
∴∥.
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
【解】 (1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以所以所以B(3,1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
[能力提升]
1．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为( )
A．(3,1)
B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1)
D．无数多个
【解析】 ∵||＝2||，且点P在直线AB上，
∴＝2或＝－2.
设P(x，y)，∴＝(x－2，y)，
而＝(2,2)，
∴(2,2)＝2(x－2，y)或(2,2)＝－2(x－2，y)．
∴或
【答案】 C
2．(2016·柳州高一检测)对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于( )
A．
B.
C.
D.
【解析】 设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，
可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，
解得x＝2，y＝，
所以向量b＝.
【答案】 A
3．已知＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，则m＋n＝________.
【解析】 ＝－
＝(n,1)－(－2，m)＝(n＋2,1－m)，
＝－
＝(5，－1)－(n,1)＝(5－n，－2)．
因为A，B，C共线，所以与共线，
所以－2(n＋2)＝(1－m)(5－n)，①
又m＝2n，②
解①②组成的方程组得或
所以m＋n＝9或.
【答案】 9或
4．过原点O的直线与函数y＝log8x的图像交于A，B两点，过A，B分别作x轴的垂线交函数y＝log2x的图像于C，D两点．求证：O，C，D三点在一条直线上．
【证明】 设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，
则＝(x1，log8x1)，＝(x2，log8x2)，
根据已知与共线，
所以x1log8x2－x2log8x1＝0.
又根据题设条件可知C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，
所以＝(x1，log2x1)，＝(x2，log2x2)．
因为x1log2x2－x2log2x1＝x1log23x－x2log23x
＝3(x1log8x2－x2log8x1)＝0，
所以与共线，又与有公共点O，
所以O，C，D三点在一条直线上．学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·蜀山高一检测)如图2－3－2，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
图2－3－2
A．(a－b)
B．－(a－b)
C.(a＋b)
D．－(a＋b)
【解析】 ∵M是BC的中点，∴＝(a＋b)．
【答案】 C
2．点C在线段AB上，且＝，则等于( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 ∵＝，∴＝－，∴＝－.
【答案】 D
3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB，如果＝3e1，＝3e2，则＝( )
A．e1＋2e2
B．2e1＋e2
C.e1＋e2
D．e1＋e2
【解析】 ∵＝－＝3(e2－e1)，
∴＝＝2(e2－e1)，
∴＝＋＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.
【答案】 A
4．设P是△ABC所在平面内一点，＋＝2，则( )
图2－3－3
A．＋＝0
B．＋＝0
C.＋＝0
D．＋＋＝0
【解析】 法一：∵＋＝2，
∴(－)＋(－)＝0，
即＋＝0.
法二：∵＋＝2，
∴点P为AC的中点，
∴＋＝0.
【答案】 C
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A．
B．－
C.
D．
【解析】 由题意知＝＋，①
＝＋，②
且＋2＝0.
①＋②×2得3＝＋2，
所以＝＋，所以λ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．化简[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]的结果是________．
【解析】 原式＝[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]
＝(4a＋16b－16a＋8b)
＝(－12a＋24b)
＝2b－a.
【答案】 2b－a
7．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
【导学号：66470046】
图2－3－4
【解析】 如图所示，＋＝.
又O为中点，所以＝2，λ＝2.
【答案】 2
8．(2016·北海高一检测)已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0.若存在实数m，使得＋＝m成立，则m的值为________．
【解析】 ∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
如图，＝，而＋＝2，故＋＝2×＝3，∴m＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，求k的值．
【解】 ∵A，B，D三点共线，∴与共线，
则必存在实数λ，使＝λ，
而＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，
∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，
于是 所以k＝－1.
10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上．
【解】 设＝a，＝tb，＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－a＝－a＋b，
＝－＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需＝λ，
即－a＋b＝λ(tb－a)．
又非零向量a，b不共线，∴∴
∴当t＝时，三向量终点在同一条直线上．
[能力提升]
1．(2016·高陵高一检测)已知平行四边形的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，且满足＝，则＝( )
A．b－3a
B．－a＋b
C.a＋b
D.a－b
【解析】 如图所示，因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝－＝－a，所以＝－＝－a－b，因为＝，所以＝＝－(a＋b)．
又因为＝－＝b－a，
所以＝＋＝b－a－(a＋b)
＝－a＋b.
【答案】 B
2．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或λ＝0
【解析】 (1)当e1∥e2时，a＝e1＋λe2，不妨设e1＝μe2，μ∈R，所以a＝(λ＋μ)e2，b＝2μe2，故a与b共线．
(2)当e1与e2不共线时，设a＝μb，μ∈R，
则e1＋λe2＝2μe1，即(1－2μ)e1＋λe2＝0，
所以即所以a与b共线的条件λ＝0.
综上知a与b共线的条件是e1∥e2或λ＝0.
【答案】 D
3．如图2－3－5，设P为△ABC内一点，且＝＋，＝，＝，则△PMB的面积与△ABC的面积之比等于________.
【导学号：66470047】
图2－3－5
【解析】 由题可知，＝，＝，则＝＋，由平行四边形法则，可知∥，所以＝·＝×＝.
【答案】
4．如图2－3－6所示，点P在直线AB上，O为直线外任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求证：λ＋μ＝1.
图2－3－6
【证明】 ∵点P在直线AB上，
∴∥，设＝x，
∵＝－，＝－，
∴－＝x(－)，
∴＝(1－x)＋x.
又＝λ＋μ，∴λ＝1－x，μ＝x，∴λ＋μ＝1.(共34张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
|λ||a|
相同
相反
0
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
非零
λ
非零
λ
向量的线性运算
向量共线定理及应用
向量线性运算的综合应用
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
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类型1
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类型
素能关
探究点
综合关
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知识梳理要点初探
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励志案
名师指津
W目(共36张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
相同
单位
基底
有且只有
(x，y)
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
x1y2－x2y1＝0
成比例
成比例
平面向量的坐标表示
向量坐标的线性运算
向量平行的坐标表示
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(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b等于( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
【解析】 (2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|b|·cos
60°－b2.又|a|＝1，|b|＝1，故(2a－b)·b＝1－1＝0.
【答案】 B
2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为( )
A．1
B．
C．2
D．3
【解析】 因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos
60°＝9－3m＝0.
所以m＝3.
【答案】 D
3．已知a，b方向相反，且|a|＝3，|b|＝7，则|2a－b|＝( )
A．1
B．13
C．2
D．3
【解析】 因为|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4a·b＋b2
＝4×32－4×3×7×cos
180°＋72＝169，
所以|2a－b|＝13.
【答案】 B
4．(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20
B．15
C．9
D．6
【解析】 如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
【答案】 C
5．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
A．
B．
C.
D．π
【解析】 由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos
θ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cos
θ－2|b|2＝0，∴cos
θ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.
【答案】 A
二、填空题
6．已知|a|＝1，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝________.
【解析】 因为|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2a·b＋9＝16.
所以2a·b＝－6，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1－6＋9＝4，即|a＋b|＝2.
【答案】 2
7．已知a⊥b，c与a，b的夹角均为60°，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a－2b－c)2＝________.
【解析】 (a－2b－c)2＝|a|2＋4|b|2＋|c|2－4a·b－2a·c＋4b·c.
∵a⊥b，∴a·b＝0.
a·c＝|a||c|cos
60°＝1×3×＝，
b·c＝|b||c|cos
60°＝2×3×＝3，
∴原式＝1＋4×4＋9－2×＋4×3＝35.
【答案】 35
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.
【导学号：66470056】
【解析】 由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 －8或5
三、解答题
9．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a＋2b)·(2a－b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．
【解】 由(a＋2b)·(2a－b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×32－2×42＋3a·b≥4，得a·b≥6，
∴cos
θ＝＝≥＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
10．已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若有两个不同时为零的实数k，t，使得a＋(t－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．
【解】 ∵a⊥b，∴a·b＝0，
又由已知得[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0，
∴－ka2＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t(t－3)＝0，
∴k＝(t2－3t)＝2－(t≠0)．
故当t＝时，k取最小值－.
[能力提升]
1．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( )
A．－25
B．－20
C．－15
D．－10
【解析】 ∵＋＋＝0，∴|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，∴·＋·＋·＝－25.
【答案】 A
2．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．1
B．
C.
D．
【解析】 ∵c与a＋b共线，∴c＝λ(a＋b)，
∴|a＋c|2＝|a＋λ(a＋b)|2＝|(λ＋1)a＋λb|2
＝(λ＋1)2＋λ2＋2λ(λ＋1)a·b
＝2λ2＋2λ＋1＋2λ(λ＋1)×cos
120°
＝λ2＋λ＋1＝2＋.
当λ＝－时，|a＋c|min＝.
【答案】 D
3．若e1，e2是夹角为的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为________．
【解析】 因为e1，e2是夹角为的两个单位向量，
所以e1·e2＝|e1||e2|cos＝1×1×＝，
|a|2＝a2＝(2e1＋e2)2＝4e＋4e1·e2＋e
＝4×12＋4×＋12＝7，
|b|2＝b2＝(－3e1＋2e2)2＝9e－12e1·e2＋4e
＝9×12－12×＋4×12＝7，
a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e
＝－6×12＋＋2×12＝－，
设向量a与向量b的夹角为θ，
cos
θ＝＝＝－，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
【答案】
4．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．
【解】 (1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos
120°－|b||c|cos
120°＝0，所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|＞1，所以(ka＋b＋c)2＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1，所以k2＋1＋1＋2kcos
120°＋2kcos
120°＋2cos
120°＞1，所以k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.
所以实数k的取值范围为{k|k＜0或k＞2}．(共37张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
0°
a⊥b
180°
90°
0
|b|cos
θ
|a||b|cos
θ
|a||b|cos
θ
0
|b|cosθ
a·b＝0
a⊥b a·b＝0
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
求向量的数量积
与向量的模有关的问题
向量的夹角和垂直问题
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
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类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
名师指津
W目(共36张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
基底
平面向量基本定理的理解
运用基底表示向量
平面向量基本定理应用
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
微体验o
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W目(共37张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
和
a＋b
和
b＋a
a＋(b＋c)
定义
把与a长度
、方向
的向量，叫作a的相反向量，记作－a
性质
(1)零向量的相反向量仍是
，于是－(－0)＝0；
(2)互为相反向量的两个向量的和为
，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
(3)若a＋b＝0，则a＝
，b＝____
相等
相反
零向量
0
－b
－a
相反向量
(－b)
向量的加法、减法运算
利用已知向量表示其它向量
向量加法、减法的综合应用
学业分层测评
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
综合关
类型
综合关
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类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
名师指津
W目
E
F
C
D
B(共39张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
单位1
方向
重合
大小
方向
方向
长度
起点
终点
长度
大小
有向线段
大小
向量的有关概念
向量表示
相等向量与共线向量
学业分层测评
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CM2002
0
第二章平面向量
Beijing
励志案
名师指津
W目(共35张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
共线
方向向量
平面向量数量积的坐标运算
向量的夹角及垂直
向量的模
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名师指津
W目学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值是( )
A．－1
B．1
C．2
D．－1或2
【解析】 因为直线l的法向量为(m,2)，由题意得(m,2)(1－m,1)＝0，
所以m(1－m)＋2＝0，解得m＝2或－1.
【答案】 D
2．点P(1,2)到直线l：5x－12y－7＝0的距离d＝( )
A．2
B．4
C.
D．3
【解析】 d＝＝＝2.
【答案】 A
3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝(1,0)，则满足2＋a·＝0的点A(x，y)的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋y2＝0
D．x2＋(y－1)2＝1
【解析】 因为与关于y轴对称，所以＝(－x，y)，
所以2＝x2＋y2，＝－＝(－2x,0)，
所以2＋a·＝0可表示为
x2＋y2＋(1,0)·(－2x,0)＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
【答案】 B
4．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
【解析】 由题意得，2＝·＋·＋·＝·(＋)＋·＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥，
∴△ABC是直角三角形．
【答案】 C
5．如图2－7－3所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若⊥，则＝( )
图2－7－3
A．
B．2
C．3
D．2
【解析】 如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，E(2,0)．
设AD＝m.
则D(0，m)，C(4，m)．
∵⊥，∴·＝0，
而＝(2，－m)，＝(4，m)，
∴8－m2＝0，即m2＝8，
∴||＝＝＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－1,1)，则3秒后点P的坐标为________．
【解析】 设点A(－1,1)，3秒后点P运动到B点，
则＝3
v，所以－＝3
v，
所以＝＋3v＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．
【答案】 (5，－8)
7．河水的流速为2m/s，一艘小船以10
m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________
m/s.
【解析】 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.
因为v⊥v1，所以v·v1＝0，
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝＝＝2.
【答案】 2
8．在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.
【导学号：66470060】
【解析】 选，为基底，则＝＋，
＝－＋，
∴·＝·
＝－2－2＋·
＝－－＋×1×1×cos
60°＝－.
【答案】 －
三、解答题
9．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)．
(1)求·和∠ACB的大小，并判断△ABC的形状；
(2)若M为BC边的中点，求||.
【解】 (1)由题意得＝(3，－1)，＝(－1，－3)，
·＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，
所以⊥，即∠A＝90°.因为||＝||，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又因为A(1,2)，所以＝(1，－2)，
所以||＝＝.
10.如图2－7－4，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，求∠MPN.
图2－7－4
【解】 设＝a，＝b且，
的夹角为θ，则＝b，＝a.
又∵＝－＝b－a，
＝－＝a－b，
∴·＝·＝－5，
||＝，||＝，∴cos
θ＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
又∵∠MPN即为向量，的夹角，∴∠MPN＝.
[能力提升]
1．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
【解析】 由＝，得2＝3－，
即2(－)＝－，
即2＝＝－，
即＝－，
所以点P在线段AB的反向延长线上．
【答案】 B
2．(2016·宝鸡高一检测)设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 如图(1)所示，过P作PE∥AC，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AC于点F，过C作CD⊥AB，垂足为D，
(1) (2)
由平面向量基本定理及＝＋，可知＝，|PE|＝|AF|，故＝＝，又因为Rt△ACD∽Rt△EPO，所以＝＝，
＝＝＝，
如图(2)所示，同理可证
＝＝＝＝，
所以＝＝.
【答案】 B
3．如图2－7－5所示，已知点A
(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC和OB交点P的坐标为________．
图2－7－5
【解析】 设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)，
则＝－＝(4t－4,4t)，
＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
由，共线得(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，
解得t＝，
∴＝(4t,4t)＝(3,3)，
∴P点坐标为(3,3)．
【答案】 (3,3)
4.
(2016·柳州高一检测)如图2－7－6所示， ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB，
图2－7－6
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
【解】 (1)因为AN＝AB，
所以＝＝a，
所以＝－＝a－b.
因为BM＝BC，
所以＝＝＝b，
所以＝＋＝a＋b.
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥.
设＝λ，则＝－＝λ－
＝λ－b＝λa＋b.
因为D，O，N三点共线，所以∥，
存在实数μ使＝μ，
λa＋b＝μ.
由于向量a，b不共线，
解得
所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.(共39张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
垂直
(A，B)
几何
物理
向量在平面几何中的应用
向量在物理中的应用
向量在解析几何中的应用
学业分层测评
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综合关
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素能关
探究点
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