【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学北师大版必修四模块综合测评 （1份打包）

模块综合测评
(教师用书独具)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．与－457°角终边相同角的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
【解析】　－457°＝－360°－97°，
而－97°＝－360°＋263°.
∵－457°＝－2×360°＋263°，∴应选C.
【答案】　C
2．已知扇形的圆心角为π弧度，半径为2，则扇形的面积是(　　)
A．π　　　　　
B．
C．2π
D．π
【解析】　由S扇形＝|α|R2，可得S扇形＝×π×22＝π.
【答案】　D
3．(2015·福建高考)若sin
α＝－，且α为第四象限角，则tan
α
的值等于(　　)
A．　　　　　
B．－
C.
D．－
【解析】　法一：因为α为第四象限的角，故cos
α＝＝＝，所以tan
α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin
α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan
α＝＝－.故选D.
【答案】　D
4．已知sin
α－cos
α＝，α∈(0，π)，则tan
α＝(　　)
A．－1
B．－
C.
D．1
【解析】　将等式sin
α－cos
α＝两边平方，
得到2sin
αcos
α＝－1，整理得1＋2sin
αcos
α＝0，即
sin2α＋cos2α＋2sin
αcos
α＝0，
得(sin
α＋cos
α)2＝0，
所以sin
α＋cos
α＝0.
又sin
α－cos
α＝，
故tan
α＝＝－1.
【答案】　A
5．已知a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin
2x)，若|a·b|＝|a|·|b|，则tan
x的值(　　)
【导学号：66470078】
A．1
B．－1
C.
D．
【解析】　由|a·b|＝|a||b|，得a∥b，
∴sin
2x＝2sin2x，
即2sin
xcos
x＝2sin2x，
∴cos
x＝sin
x，
∴tan
x＝1.
【答案】　A
6．设A是第三象限角，且＝－sin
，则是(　　)
A．第一象限角　　　　　
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】　∵A为第三象限角，
∴2kπ＋π∴kπ＋<∴为第二象限角或第四象限角．
又＝－sin
，
∴sin
<0，故为第四象限角．
【答案】　D
7．在△ABC中，＝a，＝b，且＝，则＝(　　)
A．a－b　　　　　
B．a＋b
C.a－b
D．a＋b
【解析】　因为＝，
所以－＝(－)，
即＝＋，
亦即＝＋＝a＋b.
【答案】　B
8．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)
A．　　　　　
B．
C.
D．
【解析】　由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，
所以f(x)＝sin(x＋φ)，
令x＋φ＝kπ＋，将x＝代入可得φ＝kπ＋，
因为0<φ<π，所以φ＝.
【答案】　A
9．设O，A，B，M为平面上四点，＝λ＋(1－λ)，λ∈(0,1)，则(　　)
A．点M在线段AB上
B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上
D．O，A，B，M四点共线
【解析】　因为＝λ＋(1－λ)，
所以－＝λ(－)，
即＝λ.
又0<λ<1，
所以点M在线段AB上．
【答案】　A
10．(2016·宝鸡高一检测)已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f(B)＝4sin
B·cos2＋cos
2B，若f(B)－m<2恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m<1
B．m>－3
C．m<3
D．m>1
【解析】　f(B)＝4sin
Bcos2＋cos
2B
＝4sin
B＋cos
2B
＝2sin
B(1＋sin
B)＋(1－2sin2B)
＝2sin
B＋1.
∵f(B)－m<2恒成立，即m>2sin
B－1恒成立．
∵0B≤1，
∴－1<2sin
B－1≤1，故m>1.
【答案】　D
11．已知点A的坐标为(4，1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为(　　)
A．
B．
C.
D．
【解析】　设直线OA的倾斜角为α，B(m，n)(m>0，n>0)，则直线OB的倾斜角为＋α，因为A(4，1)，
所以tan
α＝，tan＝，＝＝，即m2＝n2.
因为m2＋n2＝(4)2＋12＝49，
所以n2＋n2＝49，
所以n＝或n＝－(舍去)，所以点B的纵坐标为.
【答案】　D
12．(2016·合肥高一检测)在平面上，1⊥2，||＝|2|＝1，＝1＋2.若||<，则||的取值范围是(　　)
A．
B．
C.
D．
【解析】　∵⊥，∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝0，
∴·－·－·＝－.
∵＝＋
∴－＝－＋－，
∴＝＋－.
∵||＝||＝1，
∴＝1＋1＋＋2(·－·－·)
＝2＋＋2(－)＝2－.
∵||<，∴0≤||2<，
∴0≤2－<，
∴<≤2，即||∈.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
图1
13．y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段如图1所示，它的解析式是________．
【解析】　由图像可知A＝，
T＝2×＝π，
∴ω＝＝＝2，
∴y＝sin
(2x＋φ)，代入点，
得sin＝1，∴φ＝π，
∴y＝sin.
【答案】　y＝sin
14．(2016·银川高二检测)设sin
2α＝－sin
α，α∈，则tan
2α的值是________.
【导学号：66470079】
【解析】　∵sin
2α＝－sin
α，∴2sin
αcos
α＝－sin
α.
∵α∈，sin
α≠0，∴cos
α＝－.
又∵α∈，∴α＝π，
∴tan
2α＝tan
π＝tan＝tan
＝.
【答案】　
15．(2016·南宁高一检测)已知sin
α＝＋cos
α，且α∈，则的值为________．
【解析】　由题意知sin
α－cos
α＝，
两边平方可得sin
2α＝，
所以(sin
α＋cos
α)2＝1＋sin
2α＝.
又α∈，所以sin
α＋cos
α＝，
＝＝－(sin
α＋cos
α)＝－.
【答案】　－
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图2，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________．
图2
【解析】　建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，B(cos
120°，sin
120°)，即B.
设∠AOC＝α，则＝(cos
α，sin
α)．
∵＝x＋y＝(x,0)＋＝(cos
α，sin
α)，
∴∴
∴x＋y＝sin
α＋cos
α＝2sin(α＋30°)．
∵0°≤α≤120°，
∴30°≤α＋30°≤150°.
∴当α＝60°时，x＋y有最大值2.
【答案】　2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝2cos
ωx(ω＞0)，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
【解】　(1)∵f(x)的周期T＝π，
故＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝2cos
2x，∴f＝2cos
＝.
(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝f的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到y＝f的图象，
所以g(x)＝f
＝2cos＝2cos.
当2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减，
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A(1,2)，B(－3,4)．
(1)求向量的坐标及||；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
【解】　(1)因为A(1,2)，B(－3,4)，所以＝－＝(－3,4)－(1,2)＝(－4,2)，
所以||＝＝2.
(2)设与的夹角为θ.
因为·＝5，||＝，||＝5，
所以cos
θ＝＝＝.
19．(本小题满分12分)已知向量a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，α∈，且a⊥b.
(1)求tan
α的值；
(2)求cos
的值．
【解】　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
而a＝(3sin
α，cos
α)，b＝(2sin
α，5sin
α－4cos
α)，
故a·b＝6sin2α＋5sin
αcos
α－4cos2α＝0.
由于cos
α≠0，∴6tan2α＋5tan
α－4＝0，
解得tan
α＝－或tan
α＝.
∵α∈，tan
α<0，
∴tan
α＝－.
(2)∵α∈，∴∈.
由tan
α＝－，求得tan
＝－或tan
＝2(舍去)．
由
∴sin
＝，cos
＝－，
cos＝cos
cos
－sin
sin
＝－×－×＝－.
图3
20．(本小题满分12分)已知函数
f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图3所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．
【解】　(1)由题设图像知，周期T＝2＝π，
所以ω＝＝2.
因为点在函数图像上，
所以Asin＝0，
即sin＝0.
又因为0<φ<，
所以<＋φ<.
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点(0,1)在函数图像上，所以Asin
＝1，解得A＝2.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin
－2sin
＝2sin
2x－2sin
＝2sin
2x－2
＝sin
2x－cos
2x
＝2sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.
21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
【解】　过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝
2cos
θ，BH＝sin＝cos
θ，
AH＝cos＝sin
θ，
所以B(2cos
θ＋sin
θ，
cos
θ)，
OB2＝(2cos
θ＋sin
θ)2＋cos2θ
＝7＋6cos
2θ＋2sin
2θ＝7＋4sin.
由0<θ<，知<2θ＋<，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
22．(本小题满分12分)(2014·四川高考)已知函数f(x)＝sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f＝coscos
2α，求cos
α－sin
α的值．
【解】　(1)因为函数y＝sin
x的单调递增区间为，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，
所以sin
αcos
＋cos
αsin
＝·(cos2α－sin2α)，
即sin
α＋cos
α＝(cos
α－sin
α)2(sin
α＋cos
α)．
当sin
α＋cos
α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时，cos
α－sin
α＝－.
当sin
α＋cos
α≠0时，有(cos
α－sin
α)2＝.
由α是第二象限角，知cos
α－sin
α＜0，
此时cos
α－sin
α＝－.
综上所述，cos
α－sin
α＝－或－.