章末综合测评(二) 平面向量
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·淮北高一检测)化简－＋－得( )
A．
B．
C.
D．0
【解析】 －＋－
＝＋－(＋)＝－＝0.
【答案】 D
2．已知a，b都是单位向量，则下列结论正确的是( )
A．a·b＝1
B．a2＝b2
C．a∥b a＝b
D．a·b＝0
【解析】 因为a，b都是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，所以|a|2＝|b|2，即a2＝b2.
【答案】 B
3．已知A，B，C为平面上不共线的三点，若向量＝(1,1)，n＝(1，－1)，且n·＝2，则n·等于( )
A．－2
B．2
C．0
D．2或－2
【解析】 因为n·＝n·(－)
＝n·－n·.
又n·＝(1，－1)·(1,1)＝1－1＝0，
所以n·＝n·＝2.
【答案】 B
4．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B.＝－
C.＝＋
D.＝－
【解析】 ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故选A．
【答案】 A
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为( )
A．3
B．－3
C．0
D．2
【解析】 由原式可得解得
∴x－y＝3.
【答案】 A
6．设向量a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，用a，b作基底可将c表示为c＝pa＋qb，则实数p，q的值为( )
A．p＝4，q＝1
B．p＝1，q＝4
C．p＝0，q＝4
D．p＝1，q＝－4
【解析】 ∵c＝(3，－2)＝pa＋qb＝(－p＋q,2p－q)，
∴解得
【答案】 B
7．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝( )
A．－a2
B．－a2
C.a2
D．a2
【解析】 由已知条件得·＝·＝a·acos
30°＝a2，故选D.
【答案】 D
8．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
【导学号：66470061】
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【解析】 因为c⊥a，所以c·a＝0，即(a＋b)·a＝0，
所以a·b＝－a2＝－1.设a·b的夹角为θ，
所以cos
θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，
所以θ＝120°.
【答案】 C
9．数轴上点A，B，C的坐标分别为－1,1,5，则下列结论错误的是( )
A．的坐标是2
B．＝－3
C.的坐标是4
D．＝2
【解析】 答案C不正确．故选C.
【答案】 C
10．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos
θ，sin
θ)，＝(2＋sin
θ，2－cos
θ)，则向量长度的最大值为( )
A．
B．
C．3
D．2
【解析】 因为＝－＝(2＋sin
θ－cos
θ，2－cos
θ－sin
θ)，
所以||＝
＝≤3.
【答案】 C
11．(2016·蜀山高一检测)如图1所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径上的动点，则(＋)·的最小值为( )
图1
A．2
B．0
C．－1
D．
－2
【解析】 由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||
且·反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)
＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．
∵0≤t≤2，
∴当t＝1时，(＋)·的最小值为－2.
【答案】 D
12．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于( )
A．2
B．4
C．5
D．10
【解析】 ∵＝－，
∴||2＝2－2·＋2.
∵＝－，∴||2＝2－2·＋2，
∴||2＋||2＝(2＋2)－2·(＋)＋22＝2－2·2＋22.
又2＝162，＝2，代入上式整理得||2＋||2＝10||2，故所求值为10.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．(2015·湖北高考)已知向量⊥A，||＝3，则·＝________.
【解析】 因为⊥，所以·＝·(－)＝·－＝0，所以·＝＝||2＝9，即·＝9.
【答案】 9
14．有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝与水速成________角的方向行驶．
【解析】
如图，为水速，是船行驶路程最短的情形，是船行驶的速度，不难知道∠AOB＝135°.
【答案】 135°
15．(2015·湖南高考改编)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为(2,0)，则|＋＋|的最大值为________．
【解析】 法一：AC为Rt△ABC的斜边，则AC为圆x2＋y2＝1的一条直径，故AC必经过原点，如图，则＋＝2，|＋＋|＝|2＋|≤2||＋||，当P，O，B三点共线时取等号，即当B落在点(－1,0)处时|＋＋|取得最大值，此时，＝(－2,0)，＝(－3,0)，2||＋||＝2×2＋3＝7，故|＋＋|的最大值为7.
法二：同法一，得|＋＋|＝|2＋|.
又＝－，
∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|
＝
＝
＝≤＝7，
当且仅当∠POB＝180°时取“等号”，故|＋＋|的最大值为7.
法三：同法一，得|＋＋|＝|2＋|.设B(cos
α，sin
α)，则|2
＋|＝|2(－2,0)＋(cos
α－2，sin
α)|＝|(－6＋cos
α，sin
α)|
＝
＝≤＝7(当cos
α＝－1，即B落在点(－1,0)处时取等号)．
故|＋＋|的最大值为7.
【答案】 7
16.如图2，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
图2
【解析】 由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－AB＝2.又因为＝25，＝64，所以·＝22.
【答案】 22
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB.求证：AC⊥BC.
【导学号：66470062】
【证明】 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系如图，设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)，
所以＝(－1,1)，＝(1,1)，·＝－1×1＋1×1＝0，
所以AC⊥BC.
18．(本小题满分12分)(2016·无锡高一检测)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示；
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
【解】 (1)当m＝8时，＝(8,3)，设＝x＋y，则
(8,3)＝x(2，－1)＋y(3,0)＝(2x＋3y，－x)，
所以所以
所以＝－3＋.
(2)因为A，B，C三点能构成三角形，
所以，不共线，
＝(1,1)，＝(m－2,4)，
所以1×4－1×(m－2)≠0，所以m≠6.
19．(本小题满分12分)平面内有四边形ABCD，＝2，且AB＝CD＝DA＝2，＝a，＝b，M是CD的中点．
(1)试用a，b表示；
(2)AB上有点P，PC和BM的交点Q，PQ∶QC＝1∶2，求AP∶PB和BQ∶QM.
【解】 (1)＝(＋)
＝(＋＋2)＝a＋b.
(2)设＝t，则
＝＋＝＋＝2＋(＋)＝t＋＝(a＋tb)．
设＝λ＝a＋b，
由于，不共线，则有解方程组，
得λ＝，t＝.
故AP∶PB＝2∶1，BQ∶QM＝4∶5.
20．(本小题满分12分)(2016·柳州高一检测)如图3，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，＝，＝.
图3
(1)用a，b表示；
(2)若|a|＝1，|b|＝4，∠DAB＝60°，分别求||和·的值．
【解】 (1)＝－
＝－
＝－＋
＝－a＋b.
(2)∵|a|＝1，|b|＝4，a与b夹角∠DAB＝60°，
∴a·b＝1×4×cos
60°＝2，
∴|EF|＝
＝
＝
＝.
∵＝a＋b.
∴·＝(a＋b)·
＝|a|2＋a·b－|b|2
＝×1＋×2－×16
＝－4.
21．(本小题满分12分)已知a＝(1，cos
x)，b＝，x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求的值；
(2)若a⊥b，求sin
x－cos
x的值．
【解】 (1)因为a∥b，
所以sin
x＝cos
x tan
x＝，
所以＝＝＝－2.
(2)因为a⊥b，
所以＋sin
xcos
x＝0 sin
xcos
x＝－，
所以(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
又因为x∈(0，π)且sin
xcos
x<0，
所以x∈ sin
x－cos
x>0，
所以sin
x－cos
x＝.
22.
(本小题满分12分)如图4，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
图4
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)若在(1)的条件下，又有⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．
【解】 (1)∵＝＋＋
＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，
∴＝－＝(－x－4,2－y)．
又∵∥，＝(x，y)，
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.
(2)∵＝＋＝(6,1)＋(x，y)＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x，y)＋(－2，－3)＝(x－2，y－3)，
且⊥，∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.
又由(1)的结论x＋2y＝0，
∴(6－2y)(－2y－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
化简，得y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1.
当y＝3时，x＝－6.于是有
＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)，
∴||＝4，||＝8，
∴S四边形ABCD＝||||＝16；
当y＝－1时，x＝2.于是有
＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)，
∴||＝8，||＝4，
∴S四边形ABCD＝||||＝16，
∴或S四边形ABCD＝16.章末综合测评(三) 三角恒等变形
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．计算sin
21°·cos
9°＋sin
69°·sin
9°的结果是( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 sin
21°·cos
9°＋sin
69°·sin
9°＝sin
21°·cos
9°＋cos
21°·sin
9°
＝sin(21°＋9°)＝sin
30°＝.
【答案】 B
2．(2016·贺州高一检测)cos
4－sin
4
等于( )
A．0
B．
C．1
D．－
【解析】 原式＝
＝cos2－sin2
＝cos
＝.
【答案】 B
3．设tan
α，tan
β是方程x2－3x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
【解析】 依题意得
则tan(α＋β)
＝＝＝－3.
【答案】 A
4．已知sin＝，则sin
2x的值为( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 sin
2x＝cos＝cos
2
＝1－2sin2＝1－2×2＝.
【答案】 D
5.的值等于( )
A．sin
2
B．－cos
2
C.cos
2
D．－cos
2
【解析】 原式＝
＝
＝|cos
2|.
∵<2<π，∴cos
2<0，
∴原式＝－cos2.
【答案】 D
6．tan
(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 tan＝tan
＝
＝＝.
【答案】 C
7．(2016·西安高一检测)若tan
α＝3，则的值等于( )
【导学号：66470076】
A．2
B．3
C．4
D．6
【解析】 ＝＝2tan
α＝6.
【答案】 D
8．设α∈，β∈，且tan
α＝，则( )
A．3α－β＝
B．2α－β＝
C．3α＋β＝
D．2α＋β＝
【解析】 由条件得＝，即sin
αcos
β＝cos
α(1＋sin
β)，sin(α－β)＝cos
α＝sin，因为－<α－β<，0<－α<，所以α－β＝－α，所以2α－β＝，故选B.
【答案】 B
9．已知cos＋sin
α＝，则sin的值是( )
A．－
B．
C．－
D．
【解析】 由条件可知cos
α＋sin
α＋sin
α＝.
所以(cos
α＋sin
α)＝，
所以sin＝，所以sin
＝－sin＝－.
【答案】 C
10．在△ABC中，已知tan
＝sin
C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】 在△ABC中，tan＝sin
C＝sin(A＋B)＝2sincos，
所以2cos2＝1，所以cos(A＋B)＝0.
从而A＋B＝，△ABC为直角三角形．
【答案】 C
11．设α，β，γ∈，且sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则β－α等于( )
A．－
B．
C.或－
D．
【解析】 由已知得，
sin
γ＝sin
β－sin
α，①
cos
γ＝cos
α－cos
β，②
由①2＋②2，得1＝2－2cos(β－α)，
∴cos(β－α)＝.
又sin
α＋sin
γ＝sin
β，且α，β，γ∈，
∴sin
αβ.
∴α<β，
∴β－α＝.
【答案】 D
12．若coscos＝，则sin
2θ的值为( )
A．
B．
C.
D．
【解析】 ∵＋＝，
∴cos＝sin.
由已知得cos·sin＝，
∴sin＝，即cos
2θ＝.
∵0<θ<，∴0<2θ<π，
∴sin
2θ＝.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．已知＝2
016，那么＋tan
2α＝________.
【解析】 ＋tan
2α＝＋＝＝＝＝＝2
016.
【答案】 2
016
14．tan＋tan＋tantan的值是________．
【解析】 ∵tan
＝tan
＝＝，
∴tan＋tan＋tantan
＝.
【答案】
15．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，那么log＝________.
【解析】 由题意有sin
αcos
β＋cos
αsin
β＝，sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，
两式相加得sin
αcos
β＝，两式相减得cos
αsin
β＝，
则＝5，故log＝2.
【答案】 2
16．已知α，β均为锐角，sin
α＝，cos
β＝，则tan(α－β)的值是________.
【导学号：66470077】
【解析】 由α为锐角，sin
α＝，得cos
α＝ tan
α＝.
由β为锐角，cos
β＝，得sin
β＝ tan
β＝，
故tan(α－β)＝＝－.
【答案】 －
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos＝，求的值．
【解】
＝＝sin
2x
＝－cos＝－2cos2＋1
＝－2×＋1＝.
18．(本小题满分12分)求值：.
【解】
＝
＝＝
＝＝.
19．(本小题满分12分)已知锐角α，β满足tan(α－β)＝sin
2β，求证：tan
α＋tan
β＝2tan
2β.
【证明】 因为tan(α－β)＝sin
2β，
tan(α－β)＝，
sin
2β＝2sin
βcos
β＝＝，
所以＝，
整理得：tan
α＝.
所以tan
α＋tan
β
＝
＝＝2tan
2β.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin
ωx－sin2＋(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的取值范围．
【解】 (1)f(x)＝sin
ωx－＋＝sin
ωx
＋
cos
ωx＝sin.
因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，
所以f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以－≤sin≤1.
所以函数f(x)在上的取值范围是.
21．(本小题满分12分)已知cos＝－，
sin＝且α∈，β∈.求：
(1)cos
；
(2)tan(α＋
β)．
【解】 (1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<，
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝cos
·cos＋sin·sin
＝×＋×＝－.
(2)∵<<π，
∴sin
＝＝，
∴tan
＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin
x＋cos
x.
(1)若f(x)＝2f(－x)，求的值；
(2)求函数F(x)＝f(x)f(－x)＋f2(x)的最大值和单调增区间．
【解】 (1)∵f(x)＝sin
x＋cos
x，
∴f(－x)＝－sin
x＋cos
x.
又f(x)＝2f(－x)，
∴sin
x＋cos
x＝2(cos
x－sin
x)，
∴3sin
x＝cos
x，
即tan
x＝＝，
∴
＝
＝
＝＝.
(2)由题意知，
F(x)＝(cos
x＋sin
x)(cos
x－sin
x)＋(cos
x＋sin
x)2
＝cos2x－sin2x＋1＋2sin
xcos
x
＝cos
2x＋sin
2x＋1
＝sin＋1.
∴当sin＝1时，
F(x)max＝＋1.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴F(x)的单调增区间为(k∈Z)．章末综合测评(一) 三角函数
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若α＝－6，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 ∵－2π<－6<－，
∴角α在第一象限，故选A．
【答案】 A
2．已知点P(tan
α，cos
α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由条件可知，tan
α<0且cos
α<0，
∴α是第二象限角．
【答案】 B
3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin
α＋cos
α等于( )
A．
B．
C．－
D．－
【解析】 r＝＝－5a，
∴sin
a＝＝，cos
a＝＝－，
∴sin
a＋cos
a＝－＝.
【答案】 A
4．(2016·阜阳高一检测)已知扇形的半径为r，周长为3r，则扇形的圆心角等于( )
【导学号：66470036】
A．
B．1
C.
D．3
【解析】 因为弧长l＝3r－2r＝r，
所以圆心角α＝＝1.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝3sin，则下列不等式中正确的是( )
A．f(1)B．f(2)C．f(3)D．f(2)【解析】 ∵f(x)＝3sin，∴f(1)＝3sin＝，
f(2)＝3sin＝－3sin＝－，
f(3)＝3sin＝－3cos＝－.
∴f(2)【答案】 B
6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)的部分图像如图1所示，则函数f(x)的解析式为( )
图1
A．f(x)＝2sin
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝2sin
D．f(x)＝2sin
【解析】 由图像知A＝2，T＝2＝4π，
∴ω＝＝.
∵函数在x＝－时取到最大值，
∴×＋φ＝，
即φ＝π，∴f(x)＝2sin.
【答案】 B
7．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图2所示，则( )
图2
A．ω＝2，φ＝
B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝1，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
【解析】 由题图可知T＝4＝π.
又T＝，ω＝＝2，
∴y＝sin(2x＋φ)，
代入点，得sin＝1，又|φ|<，
∴φ＝－.
【答案】 D
8．(2016·宿州高一检测)函数y＝tan的值域为( )
A．[－1,1]
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
【解析】 ∵x∈且x≠0，
∴－x∈且－x≠，
即－x∈∪，当－x∈时，y≥1；
当－x∈时，y≤－1，
∴函数y的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
【答案】 B
9．(2016·蜀山高一检测)设函数f(x)＝cos
ωx(ω>0)，将y＝f(x)的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )
A．
B．3
C．6
D．9
【解析】 由题可知＝·k(k∈Z)，解得ω＝6k，
令k＝1，即得ωmin＝6.
【答案】 C
10．(2016·合肥高一检测)函数y＝sin的图像沿x轴向左平移π个单位长度后得到函数的图像的一个对称中心是( )
A．(0,0)
B．(π，0)
C.
D．
【解析】 函数y＝sin的图像沿x轴向左平移π个单位后得到函数y＝sin＝sin＝cosx的图像，它的一个对称中心是(π，0)．
【答案】 B
11．已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下面结论错误的是( )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上是增函数
C．函数f(x)的图像关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
【解析】 因为y＝sin＝－cos
x，
所以T＝2π，A正确；y＝cos
x在上是减函数，y＝－cosx在上是增函数，B正确；
由图像知y＝－cos
x关于直线x＝0对称，C正确；
y＝－cos
x是偶函数，D错误．故选D.
【答案】 D
12．已知函数f(x)＝下列说法正确的是( )
A．该函数值域为[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取最大值1
C．该函数是以π为最小正周期的周期函数
D．当π＋2kπ【解析】 画出函数y＝f(x)图像如图：
由图像可知，值域为，A错；当x＝2kπ或x＝2kπ＋，(k∈Z)时，f(x)取最大值1，B错；周期T＝－＝2π，C错．故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．函数f(x)＝sin的最小正周期为________．
【解析】 由题意知，ω＝2，所以f(x)＝sin的最小正周期为T＝＝π.
【答案】 π
14．设f(x)＝2sin
ωx(0<ω<1)在闭区间上的最大值为，则ω的值为________.
【导学号：66470037】
【解析】 ∵0<ω<1，∴T＝，∴＝>，
∴f(x)＝2sin
ωx在上为增函数，
∴f(x)max＝f＝2sinω＝，
∴sinω＝，即ω＝，∴ω＝.
【答案】
15．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2
cos(2x＋φ)＋1的图像的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是________．
【解析】 如果两个函数的图像对称轴完全相同，那么它们的周期必须相同，∴ω＝2，即f(x)＝3sin，
∴x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，
故f(x)∈.
【答案】
16．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图像向左平移个单位得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．
【解析】 由题意得y＝g(x)＝2sin
＝2sin
ωx(ω>0)．
∵y＝g(x)在上递增，且ω>0，
∴－π≤ωx≤且有 ，
∴解得∴ω≤2，
∴ω的最大值为2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，)．求：(1)sin(π－x)－sin的值；
(2)写出角x的集合S.
【解】 ∵x的终边过点P(1，)，
∴r＝|OP|＝＝2，
∴sin
x＝，cos
x＝.
(1)原式＝sin
x－cos
x＝.
(2)由sin
x＝，cos
x＝.
若x∈[0,2π]，则x＝，
由终边相同角定义，∴S＝.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝sin＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图像可以由函数y＝sin
2x(x∈R)的图像经过怎样的变换得到？
【解】 (1)T＝＝π，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)变换情况如下：
19．(本小题满分12分)(2016·北海高一检测)函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设α∈，f＝2，求α的值．
【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f(x)的解析式为y＝2sin＋1.
(2)∵f＝2sin＋1＝2，
∴sin＝.
∵0<α<，∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
20．(本小题满分12分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像过点(0,1)，如图3所示．
图3
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移个单位长度，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
【解】 (1)由题图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝Asin
2x的图像向左平移，得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2·＝.
将(0,1)代入y＝Asin，得A＝2.
故f1(x)＝2sin.
(2)依题意，f2(x)＝2sin
＝－2cos，
当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2，x的取值集合为.
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3
sin，ω>0，x∈R的最小正周期为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(3)已知f＝，求cos
α的值．
【解】 (1)∵T＝＝ ω＝4.
∴f(x)＝3sin.
(2)列表：
4x＋
0
π
2π
x
－
f(x)
0
3
0
－3
0
图像如图所示：
(3)由f＝3sin
＝3sin＝ cos
α＝.
22．(本小题满分12分)已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15°C到25°C之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
【解】 (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30°C，当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10
°C，所以最大温差为30
°C－10°C＝20°C.
(2)令10sin＋20＝15，可得
sin＝－，而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝.
故该细菌能存活的最长时间为－＝(小时)．
