学业分层测评(二十二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．配制A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)
原料药剂
甲
乙
A
2
5
B
5
4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为1百元、2百元．现有原料甲16千克，原料乙23千克，那么可获得的最大销售额为( )
A．6百元
B．7百元
C．8百元
D．9百元
【解析】 设配制药剂A
x剂，药剂B
y剂(x，y∈N)，销售额为z百元，则
z＝x＋2y，
作出可行域，平移直线l0：x＋2y＝0，过A(3,2)时zmax＝7.
【答案】 B
2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2
100元
B．2
200元
C．2
300元
D．2
400元
【解析】 设甲型货车x辆，乙型货车y辆(x，y∈N)，
则
z＝400x＋300y，可行域如图：
作直线l：4x＋3y＝0并平移至过A点时，z取得最小值，zmin＝2
200元．
【答案】 B
3．(2015·陕西高考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
2
8
A.12万元
B．16万元
C．17万元
D．18万元
【解析】 设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万
元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.
【答案】 D
4．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为( )
【导学号：67940079】
A．4
650元
B．4
700元
C．4
900元
D．5
000元
【解析】 设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为u元，u＝450x＋350y，由题意，x、y满足关系式
作出相应的平面区域(图略)，
u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)．
在由
确定的交点(7,5)处取得最大值4
900元，故选C.
【答案】 C
5．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买2套，问共有买法种数为( )
A．14
B．15
C．16
D．17
【解析】 设票面8角的买x套，票面2元的买y套，由题意得
即
由25－2x≥4y≥8，得2x≤17，所以2≤x≤8，x∈N＋.当y＝2时，2≤x≤8，共7种；当y＝3时，2≤x≤6，有5种；当y＝4时，2≤x≤4，共3种；当y＝5时，x＝2，有一种．
故共有7＋5＋3＋1＝16(种)不同的买法．
【答案】 C
二、填空题
6．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b(万吨)
c(百万元)
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
【解析】 设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，
则
目标函数z＝3x＋6y，
由
得
可行域如图中阴影部分所示．
记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取得最小值15.
【答案】 15
7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润．该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．
【解析】 设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，此时可获得利润z万元，则
z＝0.4x＋0.6y，作出可行域，如下图的阴影部分所示．
作直线l：2x＋3y＝0，将其向上平移，可知当经过A点时，z取得最大值，
由
得A(24,36)，
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.
【答案】 31.2
8．4枝玫瑰花与5枝茶花的价格之和不小于22元，而6枝玫瑰花与3枝茶花的价格之和不大于24元，那么2枝玫瑰花和3枝茶花价格之差绝对值的最大值是________元．
【解析】 设每枝玫瑰花的价格为x元，每枝茶花的价格为y元，2枝玫瑰花和3枝茶花的价格之差为z.
则约束条件为
目标函数为z＝|2x－3y|.
作出可行线，如图所示．
当直线过A(3,2)时，zmax＝2×3－3×2＝0，
当直线过B(0,8)时，zmin＝－8×3＝－24.
∴|z|的最大值为24.
【答案】 24
三、解答题
9．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【导学号：67940080】
【解】 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知目标函数z＝x＋0.5y.
作出可行域，如图所示．
令z＝0得l0：x＋0.5y＝0，当l0向上平移时z值逐渐增大，经过M点时z值最大．
解方程组
得点M坐标为(4,6)，
所以zmax＝4＋0.5×6＝7(万元)．
即：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元，才能使可能的盈利最大．
10．已知甲、乙两煤矿每天的产量分别为200吨和260吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每天最多能运280吨煤，西车站每天最多能运360吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费分别为0.8元/吨和1.6元/吨．煤矿应怎样编制调动方案，能使总运费最少？最少为多少？
【解】 设甲煤矿向东车站运x吨煤，乙煤矿向东车站运y吨煤，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)，
即z＝716－0.5x－0.8y，
x，y应满足
即
万作出不等式组所表示的平面区域，如图，设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)，把直线l0：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴zmin＝716－0.5×20－0.8×260＝498.
故甲煤矿生产的煤向东车站运20吨，向西车站运180吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少，最少为498元．
[能力提升]
1．(2016·山西四校联考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1
800元
B．2
400元
C．2
800元
D．3
100元
【解析】 设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，相应的利润为z元，
于是有
作出可行域如图中阴影部分所示．
由图可知，当z＝300x＋400y经过点A时，z取得最大值．
解方程组得A点坐标为(4,4)，所以zmax＝300×4＋400×4＝2
800.
故每天生产甲产品4桶，乙产品4桶时，公司共可获得的最大利润为2
800元．
【答案】 C
2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【解析】 设甲车间加工x箱原料，乙车间加工y箱原料，总获利为z，
则
目标函数z＝280x＋200y，
画出可行域，平移7x＋5y＝0，知z在点A处取得最大值，联立得
故计划甲车间15箱，乙车间55箱时，每天获利最大．
【答案】 B
3．(2015·北京高考)如图3 4 4，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．
图3 4 4
【解析】 把z＝2x＋3y变形为y＝－x＋z，通过平移直线y＝－x知，当过点A(2,1)时，z＝2x＋3y取得最大值为zmax＝2×2＋3×1＝7.
【答案】 7
4．某人有楼房一幢，室内面积共180
m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18
m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元，小房间每间面积为15
m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元，装修大房间每间需要1
000元，装修小房间每间需要600元，如果此人只能筹8
000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获最大利益？
【导学号：67940081】
【解】 设应隔出大房间x间和小房间y间，则
即
目标函数为z＝5×40x＋3×50y，
作出约束条件可行域：
根据目标函数z＝200x＋150y，
作出一组平行线200x＋150y＝t，
当此线经过直线18x＋15y＝180和直线1
000x＋600y＝8
000的交点C时，目标函数取最大值为，
由于不是整数，所以经过整点(3,8)时，才是它的最优解，同时经过整点(0,12)也是最优解，即应隔大房间3间，小房间8间，或者隔大房间0间，小房间12间，所获利益最大．如果考虑到不同客人的需要，应隔大房间3间，小房间8间．学业分层测评(十五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20
000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是( )
A．5x＋4y＜200
B．5x＋4y≥200
C．5x＋4y＝200
D．5x＋4y≤200
【解析】 由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20
000，即5x＋4y≤200.
【答案】 D
2．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
A．ac2＜bc2
B．a2＞ab＞b2
C.＜
D．＞
【解析】 c＝0时，ac2＝bc2，∴A错；a＜b＜0 ＞，∴C错；∵a＜b＜0，∴＞1,0＜＜1，∴D错．
【答案】 B
3．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是( )
A．A≤B
B．A≥B
C．A＞B或A＜B
D．A＞B
【解析】 A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2＋b2－ab
＝2＋b2≥0，∴A≥B.
【答案】 B
4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若＜＜，则( )
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a
【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)且＜＜，∴＋1＜＋1＜＋1，即＜＜，∴a＋b＞b＋c＞a＋c.
由a＋b＞b＋c，∴a＞c，
由b＋c＞a＋c，∴b＞a，∴b＞a＞c，故选A.
【答案】 A
5．(2016·宿州高二检测)若＜＜0，则不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2中，正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 由＜＜0，得ab＞0，b＜a＜0.故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正确，②错误，③错误．又＋－2＝＞0，因此④正确．
【答案】 B
二、填空题
6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)________g(x)．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)
【解析】 f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】 ＞
7．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是________．
【解析】 由题设得0＜2α＜π，0≤≤，
∴－≤－≤0，
∴－＜2α－＜π.
【答案】
8．若a＜b＜0，则与的大小关系是________．
【解析】 －＝＝，
∵a＜b＜0，∴a－b＜0，则＜0，
∴＜.
【答案】 ＜
三、解答题
9．有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数．
【解】 设宿舍x间，则学生(4x＋19)人，依题意，
解得＜x＜.
∵x∈N＋，∴x＝10,11或12，学生人数为：59,63,67.
故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人．
10．已知a、b、x、y都为正数，且＞，x＞y，
求证：＞
【证明】 －＝＝.
∵＞＞0，x＞y＞0，∴b＞a＞0，x＞y＞0，
∴bx＞ay，即bx－ay＞0.
又x＋a＞0，y＋b＞0，
∴＞0，即＞.
[能力提升]
1．如图3 1 1为某三岔路口交通环道的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A、B、C的机动车辆如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段，，的机动车辆数(假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数相等)，则( )
图3 1 1
A．x1＞x2＞x3
B．x1＞x3＞x2
C．x2＞x3＞x1
D．x3＞x2＞x1
【解析】 由已知图形知x1＝50＋x3－55，
x2＝x1－20＋30，x3＝x2－35＋30，
由此得x1＝x3－5，x2＝x1＋10，x2＝x3＋5，
故x1＜x3＜x2.
【答案】 C
2．若0＜a＜1，c＞1，则ac＋1与a＋c的大小关系为( )
A．ac＋1＜a＋c
B．ac＋1＞a＋c
C．ac＋1＝a＋c
D．不能确定
【解析】 (ac＋1)－(a＋c)＝ac－a＋1－c＝a(c－1)－(c－1)＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，c＞1，
∴a－1＜0，c－1＞0，
∴(a－1)(c－1)＜0，即ac＋1＜a＋c.
【答案】 A
3．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的(k∈N＋)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的，请从这个实例中提炼出一个不等式组为________．
【解析】 依题意得，第二次钉子没有全部进入木板，第三次全部进入木板，所以(k∈N＋)．
【答案】
4．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”，这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
【导学号：67940054】
【解】 设该单位职工有n人(n∈N＋)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则
y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
∵y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx
＝x，
∴当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.
因此，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．学业分层测评(十八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设b＞a＞0，且a＋b＝1，则四个数，2ab，a2＋b2，b中最大的是( )
A．b
B．a2＋b2
C．2ab
D．
【解析】 ∵b＞a＞0，∴a2＋b2＞2ab.
又a＋b＝1，∴b＞.
又b＝b(b＋a)＝b2＋ab＞b2＋a2，∴b最大．
【答案】 A
2．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞
B．＋≤1
C.≥2
D．a2＋b2≥8
【解析】 ∵a＞0，b＞0，且a＋b＝4，可取a＝1，b＝3验证．
∵＜，＋＞1，＜2，
12＋32≥8，只有D正确．
【答案】 D
3．已知f(x)＝x，a，b为正实数，A＝f，G＝f()，H＝f，则A，G，H的大小关系是( )
A．A≤G≤H
B．A≤H≤G
C．G≤H≤A
D．H≤G≤A
【解析】 ∵a＞0，b＞0，∴≥≥
＝，当且仅当a＝b时等号成立．又函数f(x)＝x是减函数，∴A≤G≤H.
【答案】 A
4．(2015·福建高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b时取到，故选C.
【答案】 C
5．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )
A．0
B．4
C．－4
D．－2
【解析】 由＋＋≥0得k≥－，
而＝＋＋2≥4(a＝b时等号成立)，
所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
【答案】 C
二、填空题
6．(2016·西安高二检测)已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
【解析】 ∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0
∴＝≥
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．
【答案】 ≤
7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
【解析】 用两种方法求出第三年的产量分别为
A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，
则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，
∴1＋x＝≤＝1＋，
∴x≤，当且仅当a＝b时等号成立．
【答案】 x≤
8．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④＋≥2.
【解析】 ab≤＝1，当且仅当a＝b时等号成立，故①正确；(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤4，当且仅当a＝b时等号成立，得＋≤2，故②错误；由于≥＝1，故a2＋b2≥2，当且仅当a＝b时等号成立，故③正确；＋＝＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故④正确．
【答案】 ①③④
三、解答题
9．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c不全相等，求证：＋＋＞a＋b＋c.
【证明】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴＋≥2＝2c.
同理＋≥2a，＋≥2b.
∵a，b，c不全相等，
∴上述三个不等式中至少有一个等号不成立，三式相加，得
2＞2(a＋b＋c)，
即＋＋＞a＋b＋c.
10．已知a、b、c为正数，求证：＋＋≥3.
【导学号：67940063】
【证明】 左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1＝＋＋－3.
∵a、b、c为正数，
∴＋≥2(当且仅当a＝b时等号成立)，
＋≥2(当且仅当a＝c时等号成立)，
＋≥2(当且仅当b＝c时等号成立)，
∴＋＋≥6(a＝b＝c时等号成立)，
∴＋＋－3≥3，
即＋＋≥3.
[能力提升]
1．设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：
①>；②acloga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
【解析】 ∵a>b>1，∴<.又c<0，
∴>，故①正确．
构造函数y＝xc.∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．
又a>b>1，∴ac∵a>b>1，－c>0，∴a－c>b－c>1，
∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，
即logb(a－c)>loga(b－c)，故③正确．
【答案】 D
2．给出下面四个推导过程：
①∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2；
②∵x、y为正实数，∴lg
x＋lg
y≥2；
③∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4；
④∵x、y∈R，xy＜0，∴＋
＝－≤－2
＝－2.
其中正确的推导为( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【解析】 ①∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．
②虽然x、y为正实数，但当x∈(0,1)或y∈(0,1)时，lg
x或lg
y是负数，
故②的推导过程是错误的．
③∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，
∴＋a≥2＝4是错误的．
④由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故④正确．
【答案】 D
3．已知a＞0，b＞0，a＋b＝3，则＋的取值范围是________．
【解析】 ∵a＞0，b＞0，a＋b＝3，
∴＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，
当且仅当a＝b＝时等号成立．
【答案】
4．已知x、y、z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，求证：≥3.
【证明】 由x－2y＋3z＝0得y＝，
∴＝＝.
又x2＋9z2≥2×3xz＝6xz，当且仅当x＝3z时等号成立，
∴≥＝3，
故≥3.学业分层测评(二十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点M(x0，y0)与点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的两侧，则( )
A．3x0＋2y0＞0
B．3x0＋2y0＜0
C．3x0＋2y0＞8
D．3x0＋2y0＜8
【解析】 因为点M(x0，y0)与点A(1,2)在直线l的两侧，把点A(1,2)代入得3×1＋2×2－8＝－1＜0，所以3x0＋2y0－8＞0，即3x0＋2y0＞8，故选C.
【答案】 C
2．如图所示，不等式x(y－x－1)≥0表示的平面区域是( )
【解析】 由x(y－x－1)≥0，
或
则表示y轴与直线y－x－1＝0围成的对顶区域，故选B.
【答案】 B
3．不等式组围成的三角形的面积为1，则a的值为( )
A．2
B．±2
C．1
D．±1
【解析】 由题意结合不等式组表示的平面区域，可得a＞0，且×a×＝1，所以a＝2.
【答案】 A
4．若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
【解析】 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
【答案】 C
5．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是( )
A．a＜5
B．a≥7
C．5≤a＜7
D．a＜5或a≥7
【解析】 先画出x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的区域，再确定y≥a表示的区域．
由图知5≤a＜7.
【答案】 C
二、填空题
6．已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x＋by＋1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是________．
【解析】 由题意得，点P(1，－2)关于原点的对称点为P′(－1,2)，
∴
解得：＜b＜.
【答案】
7．观察如图3 4 2所示的平面区域，它对应的不等式组是________．
图3 4 2
【解析】 由图可求三边对应的直线方程
为x＋y－3＝0，x－2y＝0，x－y＋1＝0，
由图知不等式组为
【答案】
8．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y＝ax的图像上存在区域D内的点，则a的取值范围是________．
【解析】 画出可行域如图阴影部分，易知a∈(0,1)时不合题意，故a＞1.
两直线的交点为A(2,9)．
由图像可知，当y＝ax通过该交点A时，a取最大值，
∴f(2)＝a2＝9，a＝3.故a∈(1,3]．
【答案】 (1,3]
三、解答题
9．点P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的平面区域内，且到直线x－2y＋2＝0的距离等于2，求点P的坐标.
【导学号：67940069】
【解】 ∵点P(a,4)在不等式3x＋y－3＞0表示的区域内，
∴3a＋4－3＞0，∴a＞－.
又P(a,4)到x－2y＋2＝0的距离等于2，
∴＝2，∴|a－6|＝10，
∴a＝16或－4.
又a＞－，∴a＝16，∴P(16,4)．
10．一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子A和B，每类桌子都要经过打磨、着色、上漆三道工序．桌子A需要10
min打磨，6
min着色，6
min上漆；桌子B需要5
min打磨，12
min着色，9
min上漆，如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450
min，着色每天至多工作480
min，请列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出每天生产两类桌子数量的允许范围．
【解】 设家具厂每天生产A类桌子x张，B类桌子y张，对于A类x张桌子需要打磨10x
min，着色6x
min，上漆6x
min；对于B类y张桌子需要打磨5y
min，着色12y
min，上漆9y
min.
所以题目中包含的限制条件为
上述条件表示的平面区域如下图的阴影部分所示，每天生产两类桌子数量的允许范围为阴影内的整数点．
[能力提升]
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
【解析】 (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0 或
结合图形可知选C.
【答案】 C
2．设集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )
【解析】 根据两边之和大于第三边的性质得
化简得
对照图形易知选A.
【答案】 A
3．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于________．
【解析】 由ax＋by≤1恒成立，知x＝0时，by≤1恒成立，
∴0≤b≤1，
同理0≤a≤1，
∴以a、b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.
【答案】 1
4．在坐标平面内，求由不等式组所确定的平面区域的面积.
【导学号：67940070】
【解】 原不等式组可转化为
或由不等式组所确定的区域如图所示，其中A(－4，－5)，C(4，－5)，B(0，－1)，D(0,3)．
S△ABD＝×4×4＝8，∴阴影部分面积为16.(共39张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
f(x)·g(x)＞0
f(x)·g(x)＜0
f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0
f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0
函数f(x)图像
x轴
函数f(x)的图像
分式不等式的解法
一元二次不等式的实际应用
简单的高次不等式的解法
学业分层测评（十七）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
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类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共33张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
大
小
利用基本不等式求代数式的最值
利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式求函数的最值
学业分层测评（十九）
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类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共51张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
作出可行域
最优
最值
求最大值的实际应用
求最小值的实际应用
整数最优解问题
学业分层测评（二十二）
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类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
y-mx
x-2y+2=0
B
2
x+y=1
W目学业分层测评(二十一)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y取得最大值的可行解为( )
A．(0，－1)
B．(3,2)
C．(1,0)
D．(－1,2)
【解析】 可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l0：y＝－3x，平移直线l0，当直线过A点时z＝3x＋y的值最大，由得
∴A点坐标为(3,2)，
∴z取最大值的可行解为(3,2)．
【答案】 B
2．(2015·湖南高考)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为( )
A．－7
B．－1
C．1
D．2
【解析】
画出可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝3x－y可化为y＝3x－z，其斜率为3，纵截距为－z，平移直线y＝3x知当直线y＝3x－z经过点A时，其纵截距最大，z取得最小值．由得A(－2,1)，故zmin＝3×(－2)－1＝－7，故选A.
【答案】 A
3．(2016·吉安高二检测)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
【导学号：67940074】
A．11
B．10
C．9
D．8.5
【解析】 画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示，由目标函数z＝2x＋3y＋1得直线y＝－x＋，当直线过点A(3,1)时，目标函数z＝2x＋3y＋1取得最大值为10，故选B.
【答案】 B
4．已知实数x，y满足若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[－1,1]
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
【解析】 作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值，又kBC＝－1，kAB＝1，l0：ax＋y＝0的斜率为－a，
∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
【答案】 C
5．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则O·O的取值范围是( )
A．[－1,0]
B．[0,1]
C．[0,2]
D．[－1,2]
【解析】 作出可行域，如图所示，
O·O＝－x＋y.
设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，
∴O·O的取值范围是[0,2]．
【答案】 C
二、填空题
6．已知x，y满足不等式组且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝________.
【解析】 依题意可知a＜1，作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处取得最小值和最大值．
由得A(a，a)，
由得B(1,1)，
∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝3a，∴a＝.
【答案】
7．(2015·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为________．
【解析】
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直线y＝－3x＋z在y轴上截距最大时，即直线过点B时，z取得最大值．
由解得B(1,1)，
∴zmax＝3×1＋1＝4.
【答案】 4
8．已知M，N是不等式组所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．
【解析】 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)与点B(1,2)的距离最大，所以|MN|的最大值为.
【答案】
三、解答题
9．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，求z＝2x－3y的取值范围．
【解】 画出可行域(如图)，
将目标函数z＝2x－3y变形为y＝x－，它表示与y＝x平行、截距是－的一组平行直线，当它经过点A时，截距－最大，此时z最小(取不到)；当它经过点B时，截距－最小，此时z最大(取不到)．
由 A(3,1)，
由 B(1，－2)，
∴过点A时，z＝2×3－3×1＝3，
过点B时，z＝2×1－3×(－2)＝8，
所以目标函数z＝2x－3y的取值范围是(3,8)．
10．设变量x，y满足约束条件求z＝2＋y2的取值范围.
【导学号：67940075】
【解】 由作出可行域，如图阴影部分所示．
z＝2＋y2表示可行域内的任意一点与点距离的平方．
因此2＋y2的最小值为点到直线x＋2y－1＝0距离的平方，则zmin＝＝；
z的最大值为点到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则zmax＝.
综上，z的取值范围是.
[能力提升]
1．已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)，目标函数z＝kx－y，当且仅当x＝，y＝时，目标函数z取最小值，则实数k的取值范围是( )
图3 4 3
A.
B．
C.
D．
【解析】 ∵kBC＝＝－，kAC＝＝－，
∴－＜k＜－.
【答案】 A
2．设实数x，y满足约束条件则u＝的取值范围是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)．
由于u＝＝＋，令t＝，则u＝t＋，t＝表示P(x，y)与原点连线的斜率，M(3,1)，N(1,2)，由图形可知，kOM≤t≤kON，而kOM＝，kON＝2，所以≤t≤2，从而2≤t＋≤.
【答案】 B
3．已知实数x，y满足约束条件则x2＋y2－6x＋9的取值范围________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2知所求的取值范围是平面区域内点P(x，y)到点B(3,0)距离平方的取值范围，最大值为(3＋1)2＝16，
最小值为B到直线x－y－1＝0的距离的平方，即2＝2.
【答案】 [2,16]
4．设O为坐标原点，A(1,1)，若点B(x，y)满足试求O·O的最大值．
【解】 不等式x2＋y2－2x－2y＋1≥0 (x－1)2＋(y－1)2≥1.
先作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．
O·O＝(1,1)·(x，y)＝x＋y，令z＝x＋y，化为y＝－x＋z，
则将直线y＝－x向右上方平移时，z随之增大，
当平移至通过可行域内的点B(2,2)时，z最大，
∴zmax＝2＋2＝4，即O·O的最大值为4.(共45张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
最大值或最小值
一次不等式组
二元线性规划
解(x，y)
组成的集合
最大值或最小值的解
可行域
ax＋by＝0
平移方向
最优解
求线性目标函数的最值
已知最值求参数
非线性目标函数的最值
学业分层测评（二十一）
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阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
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类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目
x-y+1=0
10
x+y-1=0
y=2x-4学业分层测评(十七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．不等式＜2的解集为( )
A．{x|x≠－2}
B．R
C．
D．{x|x＜－2或x＞2}
【解析】 ∵x2＋x＋1＝2＋＞0，
∴原不等式可化为x2－2x－2＜2(x2＋x＋1)，
化简得x2＋4x＋4＞0，
即(x＋2)2＞0，x≠－2.
【答案】 A
2．若不等式(x－2a)(x＋1)(x－3)＜0的解集为(－∞，－1)∪(3,4)，则a的值为( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
【解析】 当2a＝4时，用穿针引线法，易知不等式的解集满足题意，∴a＝2.
【答案】 D
3．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，
f(1)＝1＋a2－1＋a－2
＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)＜0，
∴－2＜a＜1.
【答案】 C
4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3
000＋20x－0.1x2(0＜x＜240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
【解析】 依题意得25x≥3
000＋20x－0.1x2，
整理得x2＋50x－3
0000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
因为0＜x＜240，所以150≤x＜240，
即最低产量是150台．
【答案】 C
5．函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图3 2 1所示，则不等式＜0的解集是( )
图3 2 1
A.
B.∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪
D.
【解析】 由图知，1和2是ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－＝3且＝2，∴b＝－3a，c＝2a且a＞0.
不等式＜0等价于(ax＋b)(cx＋a)＜0，
即(x－3)(2x＋1)＜0，所以－＜x＜3.
【答案】 A
二、填空题
6．不等式≤1的解集是________．
【解析】 ≤1 －1≤0 ≤0
{x|－2≤x＜1}．
【答案】 {x|－2≤x＜1}
7．不等式＞0的解集是________．
【解析】 不等式等价于(x－3)(x＋3)(x－2)＞0，利用穿针引线法．
易知x＞3或－3＜x＜2.
【答案】 {x|－3＜x＜2或x＞3}
8．(2016·芜湖高二检测)若ax2＋x＋a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：67940060】
【解析】 当a＝0时，不等式化为x≥0，并不对任意实数x恒成立，故a＝0舍去．当a≠0时，由于ax2＋x＋a≥0恒成立，命题等价于：
即
解之得a≥.
【答案】 a≥
三、解答题
9．解关于x的不等式＞x(a∈R)．
【解】 原不等式 ＞0 x(ax－1)＞0.
当a＞0时，不等式的解集为，
当a＜0时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}．
10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10
000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【解】 (1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10
000(1＋0.6x)(0＜x＜1)，
整理得y＝－6
000x2＋2
000x＋20
000(0＜x＜1)．
(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有
即解得0＜x＜，
所以投入成本增加的比例应在范围内．
[能力提升]
1．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )
A．1
B．－1
C．－3
D．3
【解析】 由不等式得
m≤x2－4x
令g(x)＝－4x＋x2，x∈(0,1]，
则g(x)min＝g(1)＝－3，所以m≤－3，即m的最大值为－3.
【答案】 C
2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，售价所在的范围应是( )
A．(90,100)
B．(90,110)
C．(100,110)
D．(80,100)
【解析】 设每个涨价x元，则y表示涨价后的利润与原利润之差，则y＝(10＋x)(400－20x)－10×400＝－20x2＋200x.
要使商家利润有所增加，则必须使y>0，即x2
－10x<0，
解得0∴售价应在(90,100)范围之内．
【答案】 A
3．不等式≥m对任意实数x都成立，则m的取值范围是________.
【导学号：67940060】
【解析】 ∵x2＋x＋1＞0对任意实数x恒成立，
∴原不等式可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，
即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0.
当m＝3时，x＋1≤0不合题意，∴m≠3；
当m≠3时，需满足
即
∴m≤2.
【答案】 m≤2
4．已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
【解】 设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，它的图像如图所示：
则
解得－＜m＜－.学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A.
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D.∪(1，＋∞)
【解析】 方程2x2－x－1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－.
函数y＝2x2－x－1的图像为开口向上的抛物线，
∴2x2－x－1＞0的解集是.
【答案】 D
2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－2x－3≤0}，则 UM＝( )
A．{x|－1≤x≤3}
B．{x|－3≤x≤1}
C．{x|x＜－3或x＞1}
D．{x|x＜－1或x＞3}
【解析】 M＝{x|－1≤x≤3}，全集U＝R，所以 UM＝{x|x＜－1或x＞3}．
【答案】 D
3．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a－b的值等于( )
A．－14
B．14
C．－10
D．10
【解析】 由条件可知
解得
∴a－b＝－12＋2＝－10.
【答案】 C
4．若0＜t＜1，则不等式(x－1)＜0的解集为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 当0＜t＜1时，＞1，
y＝(x－1)的图像开口向上，
故(x－1)＜0的解集为1＜x＜.
【答案】 D
5．若a2－a＋1＜0，则不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的范围是( )
A．{x|x≥3或x≤1}
B.
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|x≤－3或x＞1}
【解析】 由a2－a＋1＜0得a∈.
不等式x2＋(a－2)x＋1－a＞0可化为(x－1)[x－(1－a)]＞0，
∴x＜1－a或x＞1，∴x≤－3或x＞1.
【答案】 D
二、填空题
6．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1的解集为 ，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵x2－2x－(a2－2a－4)≤0的解集为 ，
∴Δ＝4＋4(a2－2a－4)＜0，
∴a2－2a－3＜0，∴－1＜a＜3.
【答案】 (－1,3)
7．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(1，m)，则实数m＝________.
【解析】 1，m是关于x的方程ax2－6x＋a2＝0的两根，
则 解得m＝2或m＝－3(舍)．
【答案】 2
8．(2016·宝鸡高二检测)若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是________．
【解析】 ∵2x2＋1≤x－2＝2－2x＋4，
∴x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，
解得－3≤x≤1，∴≤y≤2，∴y＝2x的值域为.
【答案】
三、解答题
9．解不等式－2≤3x2－5x≤2.
【解】 原不等式等价于3x2－5x＋2≥0，且3x2－5x－2≤0，
方程3x2－5x＋2＝0的解为x1＝，x2＝1，
∴3x2－5x＋2≥0的解集为.
方程3x2－5x－2＝0的解为x1＝－，x2＝2，
∴3x2－5x－2≤0的解集为，
∴原不等式解集为.
10．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
【导学号：67940057】
【解】 若a＝0，则原不等式等价于－x＋1＜0 x＞1.
若a＜0，则原不等式等价于(x－1)＞0 x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，得x∈ ；
②当a＞1时，＜1，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，得1＜x＜.
综上所述：当a＜0时，解集为；当a＝0时，解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为 ；当a＞1时，解集为.
[能力提升]
1．设A＝{x|x2－2x－3＞0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则a＋b等于( )
A．7
B．－1
C．1
D．－7
【解析】 A＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，
∵A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，
∴B＝[－1,4]，∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4，∴a＋b＝－7.
【答案】 D
2．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是( )
A．(0,2)
B．(－2,1)
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D．(－1,2)
【解析】 由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，
∴x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.
【答案】 B
3．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．
【解析】 构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．
由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，
∴
m≤－5.
【答案】 (－∞，－5]
4．关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围．
【解】 原不等式等价于(ax－1)(x－1)＜0，分类讨论：
(1)当a＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)，整数不止3个；
(2)当a≠0时，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为和1，－1＝.
①当0＜a＜1时，不等式的解集为，当4＜≤5时满足条件，得≤a＜；
②当a＝1时，不等式的解集为 ；
③当a＞1时，不等式的解集为，显然不满足题意．
④当a＜0时，不等式的解集为∪(1，＋∞)整数不止3个．
综上所述，a的取值范围是.(共35张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
＞
＜
≥
≤
≤
≥
≥
≤
a－b＞0
a－b＝0
a－b＜0
0
差a－b
用不等式(组)表示不等关系
比较两个数(式)的大小
不等式的性质
学业分层测评（十五）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
cM2002
B
第三章不等式
B
名师指津
W目(共44张PPT)
巩固层
提升层
拓展层
章末综合测评
不等式恒成立问题
利用基本不等式求最值
线性规划问题
分类讨论思想
章末综合测评（三）
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用不等式表示实际
问题中的不等关系
不等关系
比较大小
元二次不等式的解法
元二次不等式
元二次不等式的应用
不等式一
①与②
基本不等式
利用③求最值
实际应用
④
简单线性规划
简单线性规划
简单线性规划的应用
学思心
巩固层·知识整合
知识体系反哺教材
提升层能力强化
)化整合探究提升。
主题
主题3
主题4
拓展层链授高考
真题链接探究提升
x+2y-2=0
x-y+2m=0
B
D
A
x+y-2=0
W目(共38张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
ax＋by＋c＝0
＜
＞
ax0＋by0＋c
公共部分
实线
虚线
相同
符号
坐标原点
交集
公共部分
二元一次不等式表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式(组)的实际应用
学业分层测评（二十）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
10
86420
18x+15y=66
4x+y=10
x-y+4=0
B
x=1
W目学业分层测评(十九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A.
B．4
C.
D．5
【解析】 ∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝且a＋b＝2时，取“＝”．
【答案】 C
2．如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为( )
A．4
B．4
C．9
D．18
【解析】 ∵m＞0，n＞0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4，
∴mn＝81，∴m＋n≥2＝18，当且仅当m＝n＝9时等号成立．
【答案】 D
3．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋
B．1＋
C．3
D．4
【解析】 f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.
∵x＞2，∴x－2＞0，
∴f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．
又f(x)在x＝a处取最小值，∴a＝3.
【答案】 C
4．(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A.
B．2
C．2
D．4
【解析】 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
【答案】 C
5．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是( )
A．[6，＋∞)
B．[9，＋∞)
C．(0,9]
D．(0,6]
【解析】 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(当a＝b时取“＝”)，即ab－2－3≥0，
∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9.
【答案】 B
二、填空题
6．函数y＝a1－x(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小值为________．
【解析】 由题意知A(1,1)，∴m＋n＝1，
∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4，
当且仅当m＝n时“＝”成立．
【答案】 4
7．(2016·泉州高二检测)已知两个正数x、y满足x＋y＝4，则使不等式＋≥m恒成立的实数m的取值范围是________．
【解析】 ∵x＋y＝4，
∴＋＝1，
∴＋＝·＝＋＋＋1＝＋＋≥＋2＝＋2×＝，当且仅当 即时，
取“＝”，要使＋≥m恒成立，只需m≤即可，故m的取值范围是.
【答案】
8．某校要建造一个容积为8
m3，深为2
m的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为________元．
【解析】 设底面的长为x
m，宽为y
m，水池总造价为z元，根据题意，有2xy＝8，∴xy＝4，且
z＝240×＋160(2×2x＋2×2y)
＝120×8＋640(x＋y)
≥120×8＋1
280
＝120×8＋1
280×2
＝3
520.
【答案】 3
520
三、解答题
9．(1)当x＜时，求函数y＝x＋的最大值；
(2)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．
【解】 (1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋，
∵当x＜时，3－2x＞0，
∴＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号，
于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.
(2)∵x＞0，y＞0，∴由x＋3y＝5xy得＋＝1，
∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋2＝5，
当且仅当即时等号成立，
∴3x＋4y的最小值是5.
10．某开发商用9
000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2
000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4
000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)；
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建多少层？
【导学号：67940066】
【解】 (1)由已知，写字楼最下面一层的总建筑费用为：
4
000×2
000＝8
000
000(元)＝800(万元)，
从第二层开始，每层的建筑总费用比其下面一层多：
100×2
000＝200
000(元)＝20(万元)，
写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项，20为公差的等差数列，所以函数表达式为：
y＝f(x)＝800x＋×20＋9
000
＝10x2＋790x＋9
000(x∈N
)．
(2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为：
g(x)＝×10
000＝
＝50≥50×(2＋79)＝6
950(元)，
当且仅当x＝，即x＝30时等号成立，
故该写字楼应建30层．
[能力提升]
1．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是( )
A．2
B．2
C．4
D．5
【解析】 ∵＋＋2≥2＋2＝2≥2×2＝4，
当且仅当
即a＝b＝1时等号成立．
【答案】 C
2．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0
B．
C．2
D．
【解析】 ＝＝＋－3≥2－3＝1，
当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，
所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.
【答案】 C
3．(2015·山东高考)定义运算“ ”：x y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x y＋(2y) x的最小值为________．
【解析】 因为x?y＝，所以(2y)?x＝.又x>0，y>0，故x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
【答案】
4．已知A、B两地相距200
km，一只船从A地逆水到B地，水速为8
km/h，船在静水中的速度为v
km/h(8＜v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12
km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度v应为多少？(v0＞16)
【解】 设每小时燃料费为y1，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2.
当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5.
设全程燃料费为y，依题意得：
y＝y1·＝＝1
000·
＝1
000＝1
000
≥1
000＝32
000.
当且仅当v－8＝即v＝16时，y有最小值32
000.
∵8＜v≤v0，v0＞16，∴v＝16成立，即等号成立．
所以全程燃料费最省时，船的静水速度为16
km/h.(共41张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
一个
最高
2
ax2＋bx＋c＞0(≥0)
ax2＋bx＋c＜0(≤0)
x的值
所有解组成的集合
a≠0
{x|x＜x1或x＞x2}
{x|x1＜x＜x2}
R
一元二次不等式的解法
三个“二次”之间的关系
含参数的一元二次不等式的解法
学业分层测评（十六）
点击图标进入…
阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共29张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
≥
算术平均数
几何平均数
不小于
不小于
等差
等比
利用基本不等式比较大小
含条件的不等式证明
基本不等式≥的几何解释
学业分层测评（十八）
点击图标进入…
阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目
