(共39张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
数列
数列
数列
数列
等比数列
a,b
等比中项
等比数列的综合应用
等比数列的性质
学业分层测评（七）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共35张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
第n项an
一定次序
每一个数
第1项
{an}
an＝f(n)
从小到大
正整数集N＋(或它的有限子集)
数列的概念
根据数列的前n项写出数列的通项公式
通项公式的应用
学业分层测评（一）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
cM2002
第一章数列
Beijing
⊙⊙○
名师指津
W目学业分层测评(七)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在正项等比数列{an}中，a3·a5＝4，则a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝( )
A．64
B．128
C．256
D．512
【解析】 a3·a5＝a1·a7＝a2·a6＝a＝4，∵an＞0，∴a4＝2，
∴a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7＝(a)3·a4＝a＝27＝128.
【答案】 B
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8＝( )
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4，∴b6·b8＝b＝16.
【答案】 D
3．(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】 不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，
则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，
∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
【答案】 D
4．等比数列{an}的各项均为正数，且a5·a6＋a4·a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于( )
A．12
B．10
C．8
D．2＋log35
【解析】 因为a5·a6＝a4·a7，又a5·a6＋a4·a7＝18
所以a5·a6＝9，∴a1·a10＝a2·a9＝a3·a8
＝a4·a7＝9，
log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3a1a2a3…a10
＝log3(a1·a10·a2·a9·a3·a8·a4·a7·a5·a6)
＝log395＝log3310
＝10.
【答案】 B
5．(2016·福州高二检测)在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝( )
A．3
B．
C．3或
D．－3或－
【解析】 ∵a5a11＝a3a13＝3，又a3＋a13＝4，
∴或，又＝q10＝，∴的值为3或.
【答案】 C
二、填空题
6．(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.
【解析】 ∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c
＝(5＋2)(5－2)＝1.
又b>0，∴b＝1.
【答案】 1
7．(2016·南昌高二检测)已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为________．
【解析】 由a＝a3a9，d＝－2，
可得[a1＋6×(－2)]2＝[a1＋2×(－2)]·[a1＋8×(－2)]，
即(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，
解得a1＝20，
所以S10＝10×20＋×(－2)＝110.
【答案】 110
8．已知{an}是公差不为零的等差数列，且a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，若b1＝3，则bn＝________.
【解析】 ∵{an}是公差不为零的等差数列，设首项为a1，公差为d，∵a7，a10，a15是等比数列{bn}的连续三项，
∴(a1＋9d)2＝(a1＋6d)(a1＋14d)，整理可得d＝－a1.
设数列{bn}的公比为q，则q＝＝＝，
∴bn＝b1qn－1＝3×n－1.
【答案】 3×n－1
三、解答题
9．(2016·淮北高二检测)设{an}是各项均为正数的等比数列，bn＝log2an，若b1＋b2＋b3＝3，b1·b2·b3＝－3，求此等比数列的通项公式an.
【导学号：67940017】
【解】 由b1＋b2＋b3＝3，
得log2(a1·a2·a3)＝3，
∴a1·a2·a3＝23＝8，
∵a＝a1·a3，∴a2＝2，又b1·b2·b3＝－3，
设等比数列{an}的公比为q，得
log2·log2(2q)＝－3，
解得q＝4或，
∴所求等比数列{an}的通项公式为
an＝a2·qn－2＝22n－3或an＝25－2n.
10．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
【解】 (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2.
由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)，
即q2－4q＋2＝0，
解得q1＝2＋，q2＝2－，
故{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)·(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0，
由a＞0得，Δ＝4a2＋4a＞0，故方程aq2－4aq＋3a－1＝0有两个不同的实根．由{an}唯一，故方程必有一根为0，代入上式得a＝.
[能力提升]
1．在数列{an}中，a1＝2，当n为奇数时，an＋1＝an＋2；当n为偶数时，an＋1＝2an－1，则a12等于( )
A．32
B．34
C．66
D．64
【解析】 依题意，a1，a3，a5，a7，a9，a11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a11＝a1×25＝64，a12＝a11＋2＝66.故选C.
【答案】 C
2．(2016·西安高二检测)数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5( )
A．成等比数列
B．成等差数列
C．每项的倒数成等差数列
D．每项的倒数成等比数列
【解析】 由题意可得
将①代入②得＝，④
将④代入③得：a＝a1a5，即a1，a3，a5成等比数列．
【答案】 A
3．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于________．
【解析】 设A＝a1·a4·a7…a28，
B＝a2·a5·a8·a29，
C＝a3·a6·a9…a30，则A、B、C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220.
【答案】 220
4．(2016·蚌埠高二检测)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)设数列{an}的公差为d，
依题意得，2,2＋d,2＋4d成等比数列，
故有(2＋d)2＝2(2＋4d)化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2.
从而得数列{an}的通项公式为
an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，
解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，
使得Sn＞60n＋800成立，
n的最小值为41.
综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；
当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，
其最小值为41.(共44张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
等间隔的点
公差d
等间隔的点
斜率
d
d＞0
递增数列
d＜0
递减数列
d＝0
常数列
等差数列
A
等差中项的应用
等差数列性质的应用
等差数列性质的综合应用
学业分层测评（四）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共35张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
列表法
图像法
解析法
大于
小于
相等
数列的图像
数列增减性的判断
数列增减性的应用
学业分层测评（二）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
W目(共51张PPT)
巩固层
提升层
拓展层
章末综合测评
等差、等比数列的判定
数列通项公式的求法
数列求和
转化与化归思想
章末综合测评（一）
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定义
数列的概念
通项公式
数列
数列的图像
数列的函数特征
数列的增减性
定义
通项公式:①
等差数列
性质
前n项和:②
数列
定义
通项公式:③
等比数列
性质
前n项和:④
零存整取模型
数列在日常经济生
活中的应用
定期自动转存模型
分期付款模型
巩固层·知识整合
知识体系反哺教材
提升层能力强化
)化整合探究提升。
主题
主题3
主题4
拓展层链授高考
真题链接探究提升
W目学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63
B．64
C．127
D．128
【解析】 ∵a5＝a1q4，∴q＝±2.∵q＞0，∴q＝2，
∴S7＝＝＝127.
【答案】 C
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )
A.
B．－
C.
D．－
【解析】 由S3＝a2＋10a1，得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，
即a3＝9a1，即a1q2＝9a1，解得q2＝9.
又a5＝9，∴a1q4＝9，∴81a1＝9，a1＝.
【答案】 C
3．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，则a3＋a4＋a5＝( )
A．33
B．72
C．84
D．189
【解析】 a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝a1(1＋q＋q2)＝21，
∵a1＝3，
∴1＋q＋q2＝7，q＝－3(舍)或q＝2，
∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝4×21＝84.
【答案】 C
4．(2016·吉安高二检测)在数列{an}中，已知对任意正整数n，有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2
B．(2n－1)2
C．4n－1
D．(4n－1)
【解析】 由a1＋a2＋…＋an－1＋an＝2n－1，
得a1＋a2＋…＋an－1＝2n－1－1，
∴an＝2n－1，
∴a＝4n－1，
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．
【答案】 D
5．(2016·南昌高二检测)已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( )
A．31
B．33
C．35
D．37
【解析】 法一：S5＝＝＝1
∴a1＝，∴S10＝＝＝33，故选B.
法二：∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，
∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)·q5＝1×25＝32，
∴S10＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1＋32＝33.
【答案】 B
二、填空题
6．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
【解析】 法一：在等比数列{an}中，若q≠1，则
Sn＝＝－·qn，
令＝A，则Sn＝A－Aqn.
本题中Sn＝3n－1＋t＝·3n＋t，∴t＝－.
法二：a1＝S1＝t＋1，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.
∵{an}是等比数列，∴a＝a1·a3解得t＝－.
【答案】 －
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
【解析】 (1)显然公比q≠1，设首项为a1，则由S3＋3S2＝0，得＝－3×，即q3＋3q2－4＝0，即q3－q2＋4q2－4＝q2(q－1)＋4(q2－1)＝0，即(q－1)(q2＋4q＋4)＝0，所以q2＋4q＋4＝(q＋2)2＝0，解得q＝－2.
【答案】 －2
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S5＝40，S10＝80，则S15等于________．
【解析】 因为S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，
所以(S10－S5)2＝S5·(S15－S10)，即(80－40)2＝40·(S15－80)，
解得S15＝120.
【答案】 120
三、解答题
9．在等比数列中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.
【解】 由Sn＝及an＝a1·qn－1得
①÷②得
＝，
解得2n＝64，∴n＝6，代入①得a1＝3.
10．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13.
(1)求{an}，{bn}的通项公式．
(2)求数列的前n项和Sn.
【解】 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0，
且解得
所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1.
(2)＝，
Sn＝1＋＋＋…＋＋，①
2Sn＝2＋3＋＋…＋＋，②
②－①，得Sn＝2＋2＋＋＋…＋－
＝2＋2×－
＝2＋2×－＝6－.
[能力提升]
1．在等比数列{an}中，a1＝4，q＝5，使Sn＞107的最小n值是( )
A．11
B．10
C．12
D．9
【解析】 Sn＝＝＝5n－1＞107，
解得n＞log5(107＋1)．
∵10＜log5(107＋1)，n∈N＋，
∴n≥11.
【答案】 A
2．已知等比数列{an}中，an＝2×3n－1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为( )
【导学号：67940020】
A．3n－1
B．3(3n－1)
C.
D．
【解析】 依据等比数列的性质{a2n}也为等比数列，首项为6，公比为9，
∴Sn＝＝(9n－1)．
【答案】 D
3．等比数列的前n项和Sn＝m·3n＋2，则m＝________.
【解析】 设等比数列为{an}，则a1＝S1＝3m＋2，S2＝a1＋a2＝9m＋2，
所以a2＝6m，S3＝a1＋a2＋a3＝27m＋2，所以a3＝18m，
又a＝a1·a3，所以(6m)2＝(3m＋2)·18m，解得m＝－2或m＝0(舍)，
所以m＝－2.
【答案】 －2
4．(2016·南昌高二检测)已知数列{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝－6，a1·a2·a3＝64，(|q|＞1)
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn＝(2n＋1)·an，求数列{bn}的前n项和Sn.
【解】 (1)由a1＋a2＋a3＝－6，a1·a2·a3＝64，得
由于|q|＞1，解得a1＝－2，q＝－2，
所以an＝(－2)n.
(2)由(1)知bn＝(2n＋1)(－2)n，
Sn＝3·(－2)＋5·(－2)2＋7·(－2)3＋…
＋(2n－1)·(－2)n－1＋(2n＋1)·(－2)n，①
(－2)·Sn＝3·(－2)2＋5·(－2)3＋7·(－2)4＋…＋(2n－1)·(－2)n＋(2n＋1)·(－2)n＋1，②
①－②得：
3·Sn＝3·(－2)＋2·(－2)2＋2·(－2)3＋2·
(－2)4＋…＋2·(－2)n－(2n＋1)·(－2)n＋1，
即3·Sn＝(－2)＋2·[(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋
(－2)4＋…＋(－2)n]－(2n＋1)·(－2)n＋1，
3·Sn＝(－2)＋2·－(2n＋1)·
(－2)n＋1，
整理得：Sn＝－－·(－2)n＋1.学业分层测评(六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】 因为·n－1＝，所以n－1＝＝3，
所以n＝4.
【答案】 B
2．已知a，b，c，d是公比为2的等比数列，则＝( )
A．1
B．
C.
D．
【解析】 由题意知b＝2a，c＝4a，d＝8a，
所以＝＝.
【答案】 C
3．(2016·淮安高二检测)设等比数列的前三项依次为，，，则它的第四项是( )
A．1
B．
C.
D．
【解析】 ∵a1＝，a2＝，则q＝，
∴a4＝a1·q3＝·＝1.
【答案】 A
4．(2016·吉安高二检测)已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝( )
A．64
B．81
C．128
D．243
【解析】 ∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，
∴设等比数列的公比为q，
则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2，
∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1，
∴a7＝a1q6＝26＝64.
【答案】 A
5．若等比数列{an}满足an·an＋1＝16n，则公比为( )
A．2
B．4
C．8
D．16
【解析】
令n＝1，得a1a2＝16①，令n＝2，得a2a3＝162②，
得＝16，所以q2＝16，所以q＝±4，又由①知q＞0，
∴q＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________．
【解析】 由题意知b＝3a，c＝9a，又a，b＋8，c成等差数列
所以2(b＋8)＝a＋c，即2(3a＋8)＝a＋9a，
解得a＝4，∴b＝12，c＝36.
【答案】 4,12,36
7．已知数列{an}为等比数列，若a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________.
【解】 由已知得由得＝，
∴q＝或q＝2.当q＝时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4；
当q＝2时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.
【答案】 4或－4
8．各项都是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则＝________.
【导学号：67940014】
【解析】 设{an}公比为q，∵a2，a3，a1成等差数列，
∴a3＝a1＋a2，
∴a1q2＝a1＋a1q，
∵a1≠0，
∴q2－q－1＝0，
解得q＝.
∵数列各项都是正数，∴q＞0，∴q＝，
∴＝q＝.
【答案】
三、解答题
9．已知等比数列{an}中，a1＝，a7＝27，求an.
【解】 由a7＝a1q6，得27＝·q6，
∴q6＝272＝36，∴q＝±3.
当q＝3时，an＝a1qn－1＝×3n－1＝3n－4；
当q＝－3时，an＝a1qn－1＝×(－3)n－1
＝－(－3)－3·(－3)n－1＝－(－3)n－4.
故an＝3n－4或an＝－(－3)n－4.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an＋1)(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
【解】 (1)由S1＝(a1＋1)，得a1＝(a1＋1)
∴a1＝.
又S2＝(a2＋1)，即a1＋a2＝(a2＋1)，
解得a2＝－.
(2)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋1)－(an－1＋1)，
解得an＝－an－1，
即＝－，当n＝1时a1＝，a2＝－，∴＝－，故{an}是以为首项，公比为－的等比数列．
[能力提升]
1．(2014·天津高考)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
A．2
B．－2
C.
D．－
【解析】 因为等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以S＝S1·S4，即(2a1－1)2＝a1，解得a1＝－.
【答案】 D
2．已知数列{xn}满足lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝( )
A．200
B．100
C．－200
D．－100
【解析】 由lgxn＋1＝1＋lgxn(n∈N＋)得lgxn＋1－lgxn＝1，
所以＝10，所以数列{xn}是公比为10的等比数列，
所以xn＋100＝xn·10100，所以x101＋x102＋…＋x200
＝10100(x1＋x2＋…＋x100)＝10100，所以lg(x101＋x102＋…＋x200)
＝lg10100＝100.
【答案】 B
3．(2016·苏州高二检测)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N＋)，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】 由题设an＋1＝4an－3n＋1，
得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)(n∈N＋)．
又a1－1＝1，
所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列，所以an－n＝4n－1，
于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
【答案】 an＝4n－1＋n
4．(2016·南昌高二检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝，∴{an－1}是等比数列．
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
又cn＝an－1，
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n，
∴当n≥2时，bn＝an－an－1
＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，
∴bn＝n.学业分层测评(三)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·西安高二检测)等差数列，－，－，…的第10项为( )
A．－
B．－
C.
D．
【解析】 由a1＝，d＝－－＝－2，得an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋.
当n＝10时，a10＝－2×10＋＝－.
【答案】 B
2．等差数列的前三项依次是x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公式为( )
A．an＝2n－5
B．an＝2n－3
C．an＝2n－1
D．an＝2n＋1
【解析】 ∵x－1，x＋1,2x＋3是等差数列的前三项，
∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得x＝0.
∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3，
∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
【答案】 B
3．(2015·重庆高考)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．6
【解析】 由题意有∴
∴a11＝5＋(n－1)(－1)＝6－n，
∴a6＝6－6＝0.
【答案】 B
4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( )
【导学号：67940007】
A．－2
B．－3
C．－4
D．－6
【解析】 设an＝23＋(n－1)d，则
，即，解得－4＜d＜－3，
又因为d∈Z，所以d＝－4.
【答案】 C
5．已知{an}为等差数列，a2＋a3＋a4＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于( )
A．－1
B．1
C．3
D．7
【解析】 由题意可得，
即
解得所以an＝a1＋(n－1)d＝39＋(－2)(n－1)＝41－2n，
故a20＝41－2×20＝1.
【答案】 B
二、填空题
6．已知{an}为等差数列，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5＝________.
【解析】 由题意知
即
解得∴a5＝a1＋4d＝47－32＝15.
【答案】 15
7．(2016·苏州高二检测)已知数列{an}为等差数列，且a9－2a5＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
【解析】 a9－a5＝4d，a5＝a3＋2d，
∴a9－2a5＝(a9－a5)－(a3＋2d)＝－1，
∴4d－2d＝－1，即d＝－.
【答案】 －
8．若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________.
【解析】 ∵数列x，a1，a2，y成等差数列，
∴y－x＝3(a2－a1)，∴a2－a1＝(y－x)，
∵x、b1、b2、b3、y成等差数列，
∴y－x＝4(b2－b1) b2－b1＝(y－x)，
∴＝＝.
【答案】
三、解答题
9．在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
【解】 (1)由题意知解得
(2)∵∴
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴a9＝2×9－1＝17.
10．在数列{an}中，an＋1＝2an＋2n，a1＝1，设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【解】 (1)证明：将an＋1＝2an＋2n两边同除以2n，得
＝＋1，
∴bn＋1＝bn＋1，
bn＋1－bn＝1，
∴数列{bn}为等差数列，公差为1.
(2)∵{bn}的首项b1＝＝1.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝1＋n－1＝n，
∴＝n，∴an＝n·2n－1.
[能力提升]
1．已知{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a10＋b10＝101，则数列{an＋bn}的第20项为( )
A．20 B．190
C．191 D．
121
【解析】 设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，
由an＋1＋bn＋1－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)
＝d1＋d2，
∴{an＋bn}为等差数列，其公差设为d.
则d＝＝＝9，
∴a20＋b20＝(a1＋b1)＋19×d＝20＋19×9＝191.
【答案】 C
2．在圆x2＋y2＝5x内，过点P有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差d∈，那么n的取值集合为( )
A．{4,5,6,7}
B．{4,5,6}
C．{3,4,5,6}
D．{3,4,5}
【解析】 圆x2＋y2＝5x的圆心为C，半径为r＝，过点P最短弦的弦长为a1＝2＝4，
过点P最长弦长为圆的直径长an＝5，
所以4＋(n－1)d＝5，d＝，
因为d∈，所以≤≤，
所以4≤n≤7.
【答案】 A
3．(2016·南昌高二检测)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________.
【解析】 ∵点(，)在直线x－y－＝0上，∴－－＝0，即－＝(n≥2)．则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2.
【答案】 3n2
4．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，依次类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，问去哪一家商场购买花费较少．
【解】 设某单位需购买电视机n台．
在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝－20n＋800.
由an＝－20n＋800≥440，得n≤18，
即购买电视机台数不超过18台时，每台售价为
800－20n元；购买电视机台数不少于18台时，每台售价为440元．
到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600元．
比较在甲、乙两家商场的费用
(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
①当n＜10时，(800－20n)n＞600n；
②当n＝10时，(800－20n)n＝600n；
③当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n；
④当n＞18时，440n＜600n.
即当购买电视机台数少于10台时，到乙商场花费较少；当购买电视机10台时，到两商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少．学业分层测评(四)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·广州高二检测)在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( )
A．40
B．42
C．43
D．45
【解析】 法一：a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝13，
又∵a1＝2，
∴d＝3，a4＋a5＋a6＝a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＝3a1＋12d＝3×2＋12×3＝42.
法二：a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，d＝3，a5＝a1＋4d＝14.
∴a4＋a5＋a6＝3a5＝3×14＝42.
【答案】 B
2．在－1和8之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则( )
A．a＝2，b＝5
B．a＝－2，b＝5
C．a＝2，b＝－5
D．a＝－2，b＝－5
【解析】 由等差中项知解得
【答案】 A
3．(2016·阜阳高二检测)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m为( )
A．12
B．8
C．6
D．4
【解析】 由等差数列性质a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.
【答案】 B
4．(2016·吉安高二检测)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－a8的值为( )
A．4
B．6
C．8
D．10
【解析】 由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，
∴a6＝16，∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
【答案】 C
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A．1
B．2
C．4
D．6
【解析】 由题意知，a1＋a2＋a3＝3a2＝12，
∴a2＝4，
又a1·a2·a3＝48，∴a1·a3＝12，即a1·(a1＋2d)＝12.
又a1＝4－d，∴(4－d)(4＋d)＝12，∴d＝±2，
又{an}为递增数列，∴d＞0，∴d＝2.∴a1＝4－d＝2.
【答案】 B
二、填空题
6．(2015·陕西高考)中位数为1
010的一组数构成等差数列，其末项为2
015，则该数列的首项为__________．
【解析】 设数列首项为a1，则＝1
010，故a1＝5.
【答案】 5
7．(2016·西安高二检测)若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
【解析】 ∵a60＝a15＋45d，∴d＝，∴a75＝a60＋15d＝20＋4＝24.
【答案】 24
8．一个直角三角形三边长a，b，c成等差数列且数列是递增的，面积为12，则它的周长是________．
【解析】 易知c为斜边，公差为d(d＞0)，则a＝b－d，c＝b＋d，
所以
解得b＝4，d＝，
从而a＝3，c＝5，a＋b＋c＝12.
【答案】 12
三、解答题
9．(1)已知{an}是等差数列，且a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13的值；
(2)已知在等差数列{an}中，若a49＝80，a59＝100，求a79.
【解】 (1)∵{an}是等差数列，∴a1＋a15＝a4＋a12＝a3＋a13＝2a8.
又∵a1－a4＋a8－a12＋a15＝2，
∴a8＝2，即a3＋a13＝2a8＝2×2＝4.
(2)∵{an}是等差数列，可设公差为d.
由a59＝a49＋10d，知10d＝100－80，解得d＝2.
又∵a79＝a59＋20d，
∴a79＝100＋20×2＝140.
10．已知a，b，c成等差数列，证明：a2(b＋c)，b2(a＋c)，c2(a＋b)成等差数列．
【证明】 ∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)
＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)
＝a2c＋c2a－2abc
＝ac(a＋c－2b)＝0，
∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)能构成等差数列．
[能力提升]
1．已知等差数列{an}单调递增且满足a1＋a10＝4，则a8的取值范围是( )
A．(2,4)
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(4，＋∞)
【解析】 设公差为d，则由a1＋a10＝4得2a1＋9d＝4，
所以a1＝2－d，所以a8＝a1＋7d＝2＋d，
因为d＞0，所以a8＝2＋d＞2.
【答案】 C
2．(2016·南昌高二检测)设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于( )
【导学号：67940010】
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
【解析】 a3＋a6＋a9＋…＋a99
＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)
＝(a1＋a4＋…＋a97)＋2d×33
＝50＋2×(－2)×33
＝－82.
【答案】 D
3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a13＝________.
【解析】 由题意可得＝，＝，设等差数列的公差为d，
则有＝＋4d，解得d＝，故＝＋6d＝＋6×＝1，
所以a13－1＝1，即a13＝2.
【答案】 2
4．已知f(x)＝x2－2x－3，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
(2)通项an.
【解】 (1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，又因为{an}为等差数列，
所以2a2＝a1＋a3.
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3.
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3).(共33张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
2
差
同一个常数
公差
d
an－an－1＝d(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d.
等差数列的判定
等差数列的通项公式
等差数列的实际应用
学业分层测评（三）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点
综合关
名师指津
码上扫一扫
看精彩微课
W目(共44张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
与Sn有关的基本量的计算
等差数列前n项和公式在实际中的应用
等差数列前n项和的性质
等差数列前n项和的最值
学业分层测评（五）
点击图标进入…
阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
励志案
学习目标导航
类型1
素能关
类型
素能关
探究点2
综合关
名师指津
回袭回
百怎成
码上扫一扫
看精彩微课
口
码上扫一扫
看精彩微课
探究点1
综合关
W目学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )
A．5
B．7
C．9
D．11
【解析】 法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，
∴S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
∴a1＋2d＝1，
∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
【答案】 A
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝( )
A.
B．
C．10
D．12
【解析】 ∵公差为1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故选B.
【答案】 B
3．在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为( )
A．14
B．15
C．16
D．17
【解析】 S9＝＝9a5＝18，所以a5＝2，
Sn＝＝＝240，
∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.
【答案】 B
4．(2016·西安高二检测)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．
∵＝.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴S12－S9＝4，故S12＝10，
∴＝.
【答案】 A
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取得最小值时，n等于( )
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】 设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，
得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，
∴Sn＝－11n＋×2＝n2－12n，
∴当n＝6时，Sn取得最小值．
【答案】 A
二、填空题
6．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.
【解析】 根据已知条件，得a3＋a4＋a5＋a6＝0，又a3＋a6＝a4＋a5所以a4＋a5＝0，又a4＝1，所以a5＝－1.
【答案】 －1
7．等差数列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和Sn＝100，则n＝________.
【解析】 设等差数列{an}的公差为d，
由题意，得解得d＝2.
又Sn＝na1＋×d，
∴100＝n＋×2，
解得n＝10.
【答案】 10
8．等差数列{an}的前9项的和等于前4项的和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.
【导学号：67940012】
【解析】 设{an}的公差为d，由S9＝S4及a1＝1得9×1＋×d＝4×1＋×d，所以d＝－，又ak＋a4＝0，所以＋＝0，即k＝10.
【答案】 10
三、解答题
9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
【解】 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋d.
由已知得
①×10－②，整理得d＝－，
代入①，得a1＝，
所以S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
10．已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
【解】 (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n.
(2)a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
[能力提升]
1．在项数为2n＋1项的等差数列{an}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝( )
A．9
B．10
C．11
D．
12
【解析】 ∵等差数列有2n＋1项，
∴S奇＝，S偶＝.
又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，
∴＝＝，
∴n＝10.
【答案】 B
2．(2016·南昌高二检测)已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 ＝＝＝＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.
【答案】 D
3．在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于________．
【解析】 因为Sn＝na1＋d，所以35＝na1＋×2＝na1＋n(n－1)①，又an＝a1＋(n－1)·d＝a1＋2(n－1)，
∴a1＋2(n－1)＝11②，由①②可得a－2a1－3＝0，
解得a1＝3或－1.
【答案】 3或－1
4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．
(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为an，求an；
(2)求4月份的总销售量；
(3)按规律，当该商场销售此服装超过1
200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？
【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{an}，(n∈{1,2，…，30})
依题意，数列a1，a2，…，a12是首项为10，公差为15的等差数列，
∴an＝15n－5(1≤n≤12)．
a13，a14，a15，…，a30是首项为a13＝a12－10＝165，公差为－10的等差数列，
∴an＝165＋(n－13)(－10)＝－10n＋295(13≤n≤30)，
∴an＝
(2)4月份的总销售量为
＋18×165＋＝2
550(件)，
(3)4月1日至4月12日销售总数为
＝＝1
110＜1
200，
∴4月12日前还没有流行．由－10n＋295＜100得n＞，
∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．§3 等比数列(共34张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
2
比
同一个常数
公比
公比
a1qn－1
孤立的点
等比数列的定义及应用
等比数列的通项公式及应用
等比数列的实际应用
学业分层测评（六）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
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素能关
类型
素能关
探究点
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W目学业分层测评(九)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．数列{1＋2n－1}的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
【解析】 Sn＝n＋＝n＋2n－1.
【答案】 C
2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( )
A．15 B．12
C．－12 D．－15
【解析】 设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15.
【答案】 A
3．数列1，3，5，7，…的前n项和Sn为( )
A．n2＋1－
B．n2＋2－
C．n2＋1－
D．n2＋2－
【解析】 由题意知数列的通项为an＝2n－1＋，则Sn＝＋＝n2＋1－.
【答案】 C
4．已知数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为( )
A．11
B．99
C．120
D．121
【解析】 ∵an＝＝－，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.
【答案】 C
5．数列1，，，…，的前n项和为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 该数列的通项为an＝，
分裂为两项差的形式为an＝2，
则Sn＝2，
∴Sn＝2＝.
【答案】 B
二、填空题
6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N
)的值为________．
【解析】 由题意可得，第n天种树的棵数an是以2为首项，以2为公比的等比数列，
Sn＝
＝2n＋1－2≥100，
∴2n＋1≥102.
∵n∈N
，
∴n＋1≥7，
∴n≥6，即n的最小值为6.
【答案】 6
7．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝__________________.
【解析】 ∵an＝n·2n，
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
∴2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
①－②得
－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1.
∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.
【答案】 (n－1)·2n＋1＋2
8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3，所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－，
则Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
【答案】
三、解答题
9．已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N
)，求数列{bn}的前n项和Sn.
【导学号：67940023】
【解】 (1)设{an}的公差为d，则由已知得
即
解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n(n∈N
)．
(2)由(1)知，bn＝n·qn－1，
于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，
若q≠1，上式两边同乘以q，
qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，
两式相减得(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn＝－n·qn.
∴Sn＝－＝.
若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Sn＝
10．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)求＋＋…＋.
【解】 (1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.
依题意有
解得或(舍去)
故an＝3＋2(n－1)
＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－.
[能力提升]
1．(2016·金华高二检测)已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝( )
A．35 B．33 C．31 D．29
【解析】 设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2·a3＝a1·a4＝2a1，即a4＝2.由a4与2a7的等差中项为知，a4＋2a7＝2×，
∴a7＝＝，
∴q3＝＝，即q＝，a4＝a1q3＝a1×＝2，
∴a1＝16，S5＝＝31.
【答案】 C
2．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2
016项的和等于( )
A．1
509 B．3
018
C．1
512 D．2
016
【解析】 因为a1＝，又an＋1＝＋，
所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，即得an＝故数列的前2
016项的和等于S2
016＝1
008×＝1
512.
【答案】 C
3．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为________．
【解析】 由已知条件可得数列{an}的通项为
an＝＝，
∴bn＝＝＝4.
Sn＝4
＝4＝.
【答案】
4．(2014·湖南高考)已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N
.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
【解】 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.
故数列{an}的通项公式为an＝n.
(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.
记数列{bn}的前2n项和为T2n，则
T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．
记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则
A＝＝22n＋1－2，
B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，
故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.学业分层测评(十)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．某工厂2015年底制定生产计划，要使工厂的年产值到2025年在原有基础上翻两番，则年总产值的平均增长率为( )
A．4－1
B．5－1
C．3－1
D．4－1
【解析】 设生产计划为a，(a＞0)，设年平均增长率为x，
则到2025年底的总产值为a(1＋x)10，
由题意可得a(1＋x)10＝4a，解之得x＝4－1.
【答案】 A
2．(2016·蚌埠高二检测)某林厂年初有森林木材存量S立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末都砍伐固定的木材量x立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x的值是( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 一次砍伐后木材的存量为S(1＋25%)－x；二次砍伐后木材存量为[S(1＋25%)－x](1＋25%)－x＝S－x－x＝S(1＋50%)，解得x＝.
【答案】 C
3．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为r，从今年年末开始偿还一定金额，预计n年还清，则每年应偿还( )
A.万元
B．万元
C.万元
D．
万元
【解析】 设每年应偿还x万元，则
x[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋1]＝a(1＋r)n，
x·＝a(1＋r)n，
x＝万元．
【答案】 B
4．某储蓄所计划从2013年起，每年储蓄量比前一年增长8%，则2016年的储蓄量比2013年的储蓄量增长的百分比约为( )
A．24%
B．32%
C．26%
D．36%
【解析】 设2013年的储蓄量为a，则2016年的储蓄量b＝a(1＋8%)3，所以增长率p＝×100%＝(1.083－1)×100%≈26%.
【答案】 C
5．(2016·南昌高二检测)某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲商品因供不应求，连续两次提价10%，而乙商品由于外观过时而滞销，只得连续两次降价10%，最后甲、乙两种电脑均以9
801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台，与价格不升不降比较，商场赢利情况是( )
A．少赚598元
B．前后相同
C．多赚980.1元
D．多赚490.05元
【解析】 设甲、乙两种电脑的原价分别为m，n，则m(1＋10%)2＝9
801 m＝，n(1－10%)2＝9
801 n＝，(m＋n)－2×9
801＝9
801×－19
602＝20
200－19
602＝598.故选A.
【答案】 A
二、填空题
6．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为________小时．
【解析】 由题意，第n小时内有2n人得知消息，此时得知消息的总人数为1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1≥55，即2n＋1≥56，所以n＋1≥6，所以n≥5.
【答案】 5
7．(2016·上饶高二检测)一个工厂的生产总值月平均增长率是p，那么年平均增长率为________．
【解析】 一年12个月，故1月至12月产值构成公比为1＋p的等比数列，设去年年底产值为a，∴a12＝a(1＋p)12，∴年平均增长率为＝(1＋p)12－1.
【答案】 (1＋p)12－1
8．今年，某公司投入资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，以后每年投入资金比上一年增加30%，那么7年后该公司共投入资金________万元．
【解析】 设第n年投入的资金为an万元，
则an＋1＝an＋an×30%＝1.3an，则＝1.3，
所以数列{an}是首项为500，公比为1.3的等比数列，
所以7年后该公司共投入资金S7＝＝＝(1.37－1)(万元)．
【答案】 (1.37－1)
三、解答题
9．用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？
【导学号：67940027】
【解】 购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列{an}，则a1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)；a3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)，…，an＝2＋[25－5－(n－1)·2]·10%＝(万元)(n＝1,2，…，10)．因而数列{an}是首项为4，公差为－的等差数列．
a5＝4－＝3.2(万元)．
S10＝10×4＋＝31(万元)．
因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元．
10．家用电器一件，现价2
000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．
【解】 设每期应付款x元．
第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)11(元)．
第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x(1＋0.008)10(元)，…
第12期付款没有利息．
所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋…＋1.00811)＝x，
又所购电器的现价及其利息之和为2
000×1.00812，
于是有x＝2
000×1.00812，
解得x＝＝176(元)．
即每期应付款176元．
[能力提升]
1．一群羊中，每只羊的质量数均为整千克数，其总质量为65千克，已知最轻的一只羊质量为7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能构成一等差数列，则这群羊共有( )
A．6只
B．5只
C．8只
D．7只
【解析】 依题意除去一只羊外，其余n－1只羊的质量从小到大依次排列构成等差数列，设a1＝7，d＞0，Sn－1＝65－10＝55，
所以有(n－1)a1＋·d＝55，
即7(n－1)＋d＝55，
所以(n－1)＝55.
因为55＝11×5且(n－1)为正整数，为正整数，
所以解得n＝6.
【答案】 A
2．(2016·西安高二检测)根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )
A．5月、6月
B．6月、7月
C．7月、8月
D．8月、9月
【解析】 ∵n个月累积的需求量为Sn，∴第n个月的需求量为
an＝Sn－Sn－1＝(21n－n2－5)－[21(n－1)－(n－1)2－5]＝(－n2＋15n－9)．
an＞1.5，即满足条件，∴(－n2＋15n－9)＞1.5，
6＜n＜9(n＝1,2,3，…，12)，
所以n＝7或8.
【答案】 C
3．(2016·宝鸡高二检测)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)，确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
【解析】 由已知，有(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，即(c－a)2＝(b－c)(b－a)，把c＝a＋x(b－a)代入上式，得x2(b－a)2＝[b－a－x(b－a)](b－a)，即
x2(b－a)2＝(1－x)(b－a)2，∵b＞a，b－a≠0，∴x2＝1－x，
即x2＋x－1＝0，解得x＝，因为0＜x＜1，所以最佳乐观系数x的值等于.
【答案】
4．某企业投资1
000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg
2＝0.3)
【解】 设该项目逐年的项目资金数依次为
a1，a2，a3，…，an.
则由已知an＋1＝an(1＋25%)－200(n∈N＋)，
即an＋1＝an－200.
令an＋1－x＝(an－x)，即an＋1＝an－，
由＝200，∴x＝800.
∴an＋1－800＝(an－800)(n∈N＋)
故数列{an－800}是以a1－800为首项，为公比的等比数列．
∵a1＝1
000(1＋25%)－200＝1
050，
∴a1－800＝250，∴an－800＝250n－1，
∴an＝800＋250n－1(n∈N＋)．
由题意an≥4
000，∴800＋250n－1≥4
000，即n≥16.
两边取常用对数得nlg≥lg
16，即n(1－3lg
2)≥4lg
2.
∵lg
2＝0.3，∴0.1n≥1.2，∴n≥12.
即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．(共50张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
分组求和法
错位相减法
等比数列的实际应用
裂项求和
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W目(共44张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
等比数列前n项和的基本运算
错位相减法求和
等比数列前n项和的性质
学业分层测评（八）
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一、选择题
1．数列－，，－，，…的一个通项公式是( )
A．an＝－
B．an＝
C．an＝
D．an＝
【解析】 项的符号可以用(－1)n调节，项的绝对值可以写成
，，，，…∴通项公式为an＝.
【答案】 B
2．数列，，，，…的第10项为( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 数列的通项公式为an＝，所以a10＝＝.
【答案】 C
3．数列{an}中，an＝n＋(－1)n，则a4＋a5＝( )
A．7
B．8
C．9
D．10
【解析】 因为an＝n＋(－1)n，所以a4＝4＋(－1)4＝5.
a5＝5＋(－1)5＝4，所以a4＋a5＝9.
【答案】 C
4．已知数列1，，，，…，，…则3是它的( )
A．第22项
B．第23项
C．第24项
D．第28项
【解析】 由题意知an＝，由＝3得n＝23.
【答案】 B
5．用火柴棒按如图1 1 1的方法搭三角形：
图1 1 1
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是( )
A．an＝2n－1
B．an＝2n＋1
C．an＝2n＋3
D．an＝2n－3
【解析】 当n＝1时，a1＝3；当n＝2时，a2＝5；当n＝3时，a3＝7；当n＝4时，a4＝9，…，依次类推an＝2n＋1，因此火柴棒数{an}与所搭三角形个数n的关系式为an＝2n＋1.
【答案】 B
二、填空题
6．已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋7n＋9，则其第3、4项分别是________，________.
【解析】 a3＝－32＋7×3＋9＝21.
a4＝－42＋7×4＋9＝21.
【答案】 21 21
7．数列，，，，，…的一个通项公式是________．
【解析】 数列，，，，，…即数列，，，，，…故an＝.
【答案】 an＝
8．已知数列{an}，an＝kn－5，且a8＝1，则7为该数列的第________项．
【解析】 由a8＝8k－5＝1，解得k＝，∴an＝n－5，∴令n－5＝7，解得n＝16.
【答案】 16
三、解答题
9．根据数列的前四项的规律，写出下列数列的一个通项公式．
(1)－1,1，－1,1；
(2)－3,12，－27,48；
(3)1,11,111,1111，…；
(4)，，，.
【解】 (1)各项绝对值为1，奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an＝(－1)n.
(2)各项绝对值可以写成3×12,3×22,3×32,3×42，…，又因为奇数项为负，偶数项为正，故通项公式为an＝(－1)n3n2.
(3)将数列变形为(10－1)，(102－1)，(103－1)，(104－1)，…，
所以an＝(10n－1)．
(4)因为分母3,15,35,63可看作22－1,42－1,62－1,82－1，故通项公式为an＝＝.
10．在数列{an}中通项公式是an＝(－1)n－1·，写出该数列的前5项，并判断是否是该数列中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．
【解】 a1＝(－1)0·＝，
a2＝(－1)1·＝－，a3＝(－1)2·＝.
a4＝(－1)3·＝－，a5＝(－1)4·＝.
所以该数列前5项分别为，－，，－，.
令(－1)n－1·＝得
所以n＝9.所以是该数列中的第9项．
[能力提升]
1．已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式a1·a2·a3…an＝n2给出，则a3＋a5等于( )
A.
B．
C.
D．
【解析】 由a1a2＝22，a1·a2·a3＝32，得a3＝，
又a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52，
所以42·a5＝52，即a5＝.
所以a3＋a5＝＋＝.
【答案】 C
2．(2016·泰州高二检测)在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4中第25项为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
【解析】 数字共有n个，当数字n＝6时，有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21项，所以第22项起数字为7至28项为止，故25项为7.
【答案】 B
3．(2016·厦门高二检测)数列，，，，…中有序数对(a，b)可以是________.
【导学号：67940002】
【解析】 从上面的规律可以看出分母呈现以下特点：3＝22－1,8＝32－1,24＝52－1，即a＋b＝42－1＝15，又被开方数5,10,17，a－b后一项比前一项多5,7,9，故a－b＝17＋9＝26，
∴解得
【答案】
4．已知无穷数列，，，，…，
(1)求出这个数列的一个通项公式；
(2)该数列在区间内有无项？若有，有几项？若没有，请说明理由．
【解】 (1)因为数列的分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以通项公式的分母可以为(n＋1)2＋1.所以数列的一个通项公式为an＝(n＝1,2，…)．
(2)当≤an≤时，可得≤≤.
由≥，解得(n＋1)2≥9，可得n≥2.
由≤，解得(n＋1)2≤36，可得n≤5.
所以2≤n≤5.
综上所述，该数列在内有项，并且有4项.学业分层测评(二)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2016·佛山高二检测)已知数列{an}的通项公式是an＝，则这个数列是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
【解析】 数列{an}的通项公式是
an＝＝＝1＋，an＋1－an＝－＝，∵n∈N＋，∴an＋1＜an，即数列{an}为递减数列．
【答案】 B
2．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}中第几项最大( )
A．第6项
B．第7项
C．第6项或第7项
D．第5项
【解析】 an＝－n2＋10n＋11＝－(n－5)2＋36，由n∈N＋，所以n＝5时，an有最大值．
【答案】 D
3．已知在数列{an}中，a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2
014＝( )
A．3
B．－3
C．6
D．－6
【解析】 由题意知：a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，
a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，
a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，
a9＝a8－a7＝3，a10＝a9－a8＝－3，
…
故知{an}是周期为6的数列，
所以a2
014＝a4＝－3.
【答案】 B
4．一给定函数y＝f(x)的图像在下列图中，并且对任意a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}满足an＋1＞an，则该函数的图像是( )
【解析】 由an＋1＝f(an)，an＋1＞an得f(an)＞an，
即f(x)＞x，结合图像知A正确．
【答案】 A
5．(2016·九江高二检测)设函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是( )
【导学号：67940005】
A．(1,3)
B．(2,3)
C.
D．(1,2)
【解析】 ∵函数f(x)＝，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N＋，且数列{an}是递增数列，
∴，解得，
即＜a＜3.
【答案】 C
二、填空题
6．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋50，则数列中的最小项是________．
【解析】 数列an＝n2－7n＋50＝2＋，因为n∈N＋，所以n＝3,4时，a3＝a4＝38.
【答案】 38
7．若数列中的最大项是第k项，则k＝________.
【解析】 由ak＋1≤ak，且ak≥ak－1，
得k(k＋4)k≥(k＋1)(k＋5)k＋1且k(k＋4)·
k≥(k－1)(k＋3)k－1，
化简得k2≥10且k2－2k－9≤0，
解得≤k≤＋1，
由于k是正整数，所以k＝4，
即数列最大项是第4项．
【答案】 4
8．(2016·吉安高二检测)数列{an}满足an＝n2＋kn＋2，若不等式an≥a4恒成立，则实数k的取值范围是________．
【解析】 an＝n2＋kn＋2＝2＋2－，
∵不等式an≥a4恒成立，
∴3.5≤－≤4.5，
解得－9≤k≤－7.
【答案】 [－9，－7]
三、解答题
9．(2016·宝鸡高二检测)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20.
(1)－60是否是该数列中的项，若是，求出项数；该数列中有小于0的项吗？有多少项？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
【解】 (1)由n2－21n＋20＝－60得n＝5或n＝16；所以数列的第5项，第16项都为60.由n2－21n＋20＜0，得1＜k＜20，所以共有18项．
(2)因为an＝n2－21n＋20＝2－，可知对称轴方程为n＝＝10.5.又因n∈N＋，故n＝10或n＝11时，an有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.
10．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明数列{an}是递减数列．
【解】 (1)∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
∴2log2an－2－log2an＝－2n，
∴an－＝－2n，
∴a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
∵an＞0，∴an＝－n，n∈N＋.
(2)证明：＝
＝＜1.
∵an＞0，∴an＋1＜an，
∴数列{an}是递减数列．
[能力提升]
1．已知数列an的通项公式为an＝n＋，若对任意n∈N＋，都有an≥a3，则实数k的取值范围为( )
A．[6,12]
B．(6,12)
C．[5,12]
D．(5,12)
【解析】 由题意知n＋≥3＋对任意n∈N＋恒成立．
所以k≥3－n，即k≥3－n，
当n≥4时，k≤3n，所以k≤12，
当n＝1时，k≥3，当n＝2时，k≥6，
以上三式都成立，故取交集得6≤k≤12.
【答案】 A
2．若数列{an}的通项公式为an＝7·2n－2－3·n－1，则数列{an}的( )
A．最大项为a5，最小项为a6
B．最大项为a6，最小项为a7
C．最大项为a1，最小项为a6
D．最大项为a7，最小项为a6
【解析】 令t＝n－1，n∈N＋，则t∈(0,1]，且2n－2＝2＝t2.从而an＝7t2－3t＝72－.函数f(t)＝7t2－3t在上是减函数，在上是增函数，所以a1是最大项，故选C.
【答案】 C
3．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数n(n≥1)，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围为________．
【解析】 由{an}为递增数列，得
an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ＞0恒成立，
即λ＞－2n－1在n≥1时恒成立，
令f(n)＝－2n－1，f(n)max＝－3.
只需λ＞f(n)max＝－3即可．
【答案】 (－3，＋∞)
4．已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，试求数列{an}的最大项．
【解】 假设第n项an为最大项，则
即
解得即4≤n≤5，
所以n＝4或5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.(共45张PPT)
阶段一
阶段二
阶段三
学业分层测评
本利和
本利和
P(1＋r)n
p(1＋nr)
N(1＋r)x
等差数列模型(单利问题)
等比数列模型(复利问题)
分期付款问题
学业分层测评（十）
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阶卫认知预习质疑
教材梳理知识初探
阶段2探究可动通关
史论互证疑难细究
阶段3体验落实评价
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