(共28张PPT)
第1章
直角三角形
小结与复习
一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角_____.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的_____.
3.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____.
4.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜
边长为c，那么________.
互余
一半
一半
a2+b2=c2
二、直角三角形的判定
1.有一个角是_____的三角形是直角三角形.
2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足
________，那么这个三角形是直角三角形.
直角
a2+b2=c2
【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.有两个角互余的三角形是直角三角形. (
)
2.任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方. (
)
3.一个三角形中，30°角所对的边等于最长边的一半. (
)
√
×
×
热点考向一
直角三角形的性质
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 .
【思路点拨】根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠DBF，从而求得∠A的度数.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AE的长；再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，即可求得BE的长.
【自主解答】在Rt△FDB中，∵∠F=30°，∴∠DBF=60°.
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°.
在Rt△AED中，∵∠A=30°，DE=1，∴AE=2.
∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=2.
答案：2
【规律方法】直角三角形斜边上中线的作用
1.直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍、分问题的重要依据之一.
2.联想到直角三角形斜边上的中线，可以沟通角与角或线段与线段之间的关系，把题设与结论有机地结合起来，使问题得以圆满的解决.
3.重要辅助线——(1)遇直角三角形斜边的中点，添加斜边上的中线为辅助线.(2)构造直角三角形，凸显斜边上的中线.
【真题专练】
1.如图，一副分别含有30°角和45°角
的两个直角三角板，拼成如图所示图形，
其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，
则∠BFD的度数是( )
A.15° B.25° C.30° D.10°
2.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=8，
AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中
点，连接DE，则△CDE的周长为 ( )
A.20
B.18
C.14
D.13
【知识拓展】直角三角形的两个结论
(1)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(2)如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
热点考向二
勾股定理
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为 .
【思路点拨】利用勾股定理求出BC=4，设BE=x，则CE=4-x，在Rt△B′EC中，利用勾股定理解出x的值即可.
【自主解答】
，
由折叠的性质得BE=B′E，AB=AB′，
设BE=x，则B′E=x，CE=4-x，B′C=AC-AB′=AC-AB=2，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+22=(4-x)2，
解得：x=
.
答案：
【规律方法】勾股定理的应用
1.在直角三角形中，已知一边长和另外两边的关系时，常借助勾股定理列出方程求解，在解决折叠问题时，边长的计算经常用到上述方法.
2.作长度
为(n为正整数)的线段.
注意：在直角三角形中，已知两边利用勾股定理求第三边时，必须分清直角边和斜边，在条件不明确的条件下，要分类讨论.
【真题专练】
1.如图，点E在正方形ABCD内，
满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，
则阴影部分的面积是 ( )
A.48 B.60 C.76 D.80
2.如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m，两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 m.
热点考向三
勾股定理的逆定理
【例3】如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度.
【解题探究】(1)BE′是由BE旋转多少度得到？BE′与BE什么关系？
提示：BE′是由BE旋转90°得到的，BE′⊥BE且BE′=BE.
(2)若连接EE′，得到的△EBE′是一个什么特殊的三角形？
提示：△EBE′是等腰直角三角形.
(3)△EE′C是直角三角形吗？若是，是怎样得到的？
提示：△EE′C是直角三角形，根据勾股定理的逆定理得之.
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤
1.确定三角形的最长边.
2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和.
3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【知识归纳】判定直角三角形的两种方法
(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.
(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
命题新视角
用勾股定理解展开与折叠问题
【例】如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为 .
【审题视点】
创
新
点
图形的折叠与勾股定理的应用：
(1)由图形折叠，得到直角三角形
(2)利用勾股定理建立方程求解，体现数形结合思想与方程思想的应用
切
入
点
(1)由折叠知AE=A′E，于是求A′E的长
(2)在Rt△ABD中，由勾股定理求BD的长
(3)在Rt△A′EB中，利用勾股定理建立方程，求A′E的长
【规律方法】解图形折叠问题的思路
1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角).
2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理.
3.利用勾股定理建立方程求解.
【巧思妙解】巧用面积，事半功倍
【典例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ( )
A.
B.
C.
D.
【解法对比】本题的“常规解法”既证明相似三角形，又两次用到勾股定理，并且在求CD时计算比较复杂，容易出错；“巧妙解法”巧用两种不同的形式表示同一个三角形的面积，非常轻巧地求出了点C到AB的距离.
【技巧点拨】面积法是一种重要的处理几何问题方法，用不同形式表示同一个图形的面积，把已知量与未知量有机结合起来，轻松求出未知量，解题思路清晰，起到了事半功倍的效果.
课后作业
见《学练优》本章小结与复习1．4 角平分线的性质
1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)
2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等
【类型一】
利用角平分线的性质求线段长
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长为DE＋BD＋BE＝CD＋BD＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB.故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】
利用角平分线的性质求面积
如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC且交BC的延长线于点F.若AB＝18cm，BC＝12cm，DE＝2.4cm，求△ABC的面积．
解析：根据角平分线的性质得到DE＝DF，再将△ABC分成△BCD和△ADB两个三角形，分别求出它们的面积再求和．
解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BF，∴DE＝DF.∵S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝BC·DF＋AB·DE＝(BC＋AB)·DE＝×30×2.4＝36(cm2)．
方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】
利用角平分线的性质进行证明
如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD，求证：∠BAP＋∠BCP＝180°.
解析：过点P作PE⊥BA，根据已知条件得Rt△BPE≌RtBPD，再根据AB＋BC＝2BD得AE＝CD，可证Rt△APE和RtPDC，可得∠PCD＝∠PAE，根据邻补角互补可得∠BAP＋∠BCP＝180°.
证明：过P作PE⊥AB，交BA的延长线于E.∵PD⊥BC，∠1＝∠2，∴PE＝PD，在Rt△BPE和Rt△BPD中，∴Rt△BPE≌Rt△BPD(HL)，∴BE＝BD.∵AB＋BC＝2BD，BC＝CD＋BD，AB＝BE－AE，∴AE＝CD.∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEA＝∠PDC＝90°.在△PEA和△PDC中，
∴△PEA≌△PDC(SAS)，∴∠PCD＝∠PAE.∵∠BAP＋∠EAP＝180°，∴∠BAP＋∠BCP＝180°.
方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
如图所示，在△ABC中，PD垂直平分BC，PM⊥AB于点M，PN⊥AC交AC的延长线于点N，且BM＝CN.求证：∠1＝∠2.
解析：先根据中垂线性质得出PB＝PC，再根据HL证Rt△PBM≌Rt△PCN，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．
证明：连接PB、PC.∵PD垂直平分BC，∴PB＝PC.∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴∠PMB＝∠PNC＝90°.在Rt△PBM与Rt△PCN中，∵PB＝PC，BM＝CN，∴Rt△PBM≌Rt△PCN(HL)．∴PM＝PN.∴点P在∠BAC的平分线上，即∠1＝∠2.
方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用
如图所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB＝∠EAC，连接BE、CD相交于P点，AP的延长线交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以说明．
解析：首先猜想∠BPF＝∠CPF，即∠DPA＝∠EPA，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．
解：∠BPF＝∠CPF，理由如下：过A点作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N.∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△BAE和△DAC中，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝DC，S△BAE＝S△DAC.∵AM⊥DC，AN⊥BE，∴BE·AN＝DC·AM，∴AN＝AM，∴PA平分∠DPE，∴∠DPA＝∠APE.又∵∠DPA＝∠CPF，∠EPA＝∠BPF，∴∠BPF＝∠CPF.
方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
探究点四：利用角平分线的性质作图
如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等．请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为1∶20000)．
解：画出∠AOB的平分线OC，在射线OC上量出表示实际距离300m长度的图上距离线段OP，OP＝300×＝0.015(m)＝1.5(cm)．
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点P即是工厂在图中的位置．
方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程(共15张PPT)
第2课时
含30°锐角的直角三角形的
性质及其应用
复习
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
复习引入
1、直角三角形的两个锐角（
）.
2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的
（
）.
3、有两个角（
）的三角形是直角三角形.
一半
互余
互余
用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
合作探究
在Rt
△ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
分析：1.辅助线的常用作法有
：
30
°
B
C
A
作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线，
作相等的角等等。
2、你打算怎样作辅助线？
解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等的线段？
30
B
C
A
D
2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？
3.
△CBD是什么三角形
CD=BD=AD
∠B=60°
等边三角形
现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推理过程吗？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
性质定理：
问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？
30
B
C
A
D
小结归纳
如图，在Rt⊿ABC中，如果BC=
AB，那么∠A等于多少？
B
C
A
D
如图，取线段AB的中点D，连接CD
∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线
∴CD=
AB=BD
∵∠BCA=90°，且∠A=30°，∴∠B=60°
∴△CBD是等边三角形，∴BC=BD=
AB
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
归纳小结
提问：A岛可以看成一个点，轮船航行的路线可以看成一条线.点到线的距离，什么最短？
例：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
海里，如图所示.该船如果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
举
例
O
B
D
A
北
东
60°
解：由题意得，∠AOD=30°，在Rt△AOD中，
AO=
海里，
∴AD=
AO=
海里＞20海里，
该船如果保持航行不变，无触暗礁的危险.
A
C
B
1.Rt△ABC中，∠C=90，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
随堂训练
2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果∠C=90°，
∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.
B
A
C
1.直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
2.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
课堂小结
课后作业
见《学练优》本课时练习第1章
直角三角形
1．1 直角三角形的性质和判定(Ⅰ)
第1课时 直角三角形的性质和判定
1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)
2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)
一、情境导入
在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．
二、合作探究
探究点一：直角三角形两锐角互余
如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于( )
A．110°
B．100°
C．80°
D．70°
解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.
方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形
如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形．
解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝(180°－∠BCD)，∠F＝(180°－∠ABC)，由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，即问题得证．
证明：∵∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，∴∠F＝(180°－∠ABF)．同理，∠E＝(180°－∠ECD)．∴∠E＋∠F＝180°－(∠ABF＋∠ECD)．∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠ECD＝180°.∴∠E＋∠F＝180°－×180°＝90°，∴△EOF是直角三角形．
方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
(2)求证：EF垂直平分AD.
解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．
(1)解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E是AD的垂直平分线上的点，F是AD的垂直平分线上的点，∴EF垂直平分AD.
方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点四：直角三角形性质的综合运用
【类型一】
利用直角三角形的性质证明线段关系
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于F，交AB于点E.求证：FC＝2BF.
解析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形．又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明．
证明：如图，取CF的中点M，连接AF、AM.∵EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF.∴∠BAF＝∠B.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠BAF＝∠C＝(180°－120°)＝30°.∴∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，∴∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM.∴△AFM为等边三角形．∴AF＝AM＝FC.又∵BF＝AF，∴BF＝FC，即FC＝2BF.
方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型二】
利用直角三角形的性质解决实际问题
如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A、B、C、D处，球放在EF的中点O处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．
解析：游戏是否公平就是判断点A、B、C、D到点O的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点．连接OA、OB、OC、OD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA＝OB＝OC＝OD＝EF，即点A、B、C、D到O的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．
方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】
利用直角三角形性质解动态探究题
如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的数量关系；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
解析：(1)由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝BC；(2)由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝∠45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
解：(1)连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，∴OA＝BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC；
(2)△OMN是等腰直角三角形．理由如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，∴OA＝OB，∠NAO＝∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC，又AN＝BM，∴△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．
方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．直角三角形的性质
性质一：直角三角形的两锐角互余；
性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．直角三角形的判定
方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；
方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点(共13张PPT)
1.3
直角三角形全等的判定
第1章
直角三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
情境引入
学习目标
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”；（难点）
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．（重点）
导入新课
2.判别两个三角形全等的方法:
SSS
ASA
AAS
SAS
1.全等三角形的性质：
对应角相等，对应边相等.
复习引入
AAA
3.
SSA
A
D
B
C
两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等
注意
60°
60°
60°
60°
）
）
）
）
讲授新课
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
C
′
N
M
A
B
C
A
′
B
′
作法：
（1）画∠MC'N=90°；
（2）在射线C'M上截取B'C'=BC；
（3）以点B'为圆心，AB为半径画弧，交射线C'N于点A'；
（4）连接A'B'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A
′
B′
C
′
∴在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC
≌
Rt△
A′B′C′
(HL).
∵∠C=∠C′=90°,
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
典例精析
例
如图，AC⊥BC，
BD⊥AD，
AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：
∵
AC⊥BC，
BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD
.
在
Rt△ABC
和Rt△BAD
中，
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL).
∴
BC﹦AD(全等三角形的对应边相等).
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
当堂练习
1.
如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC
与△ADC全等，
还需要补充的条件是
（写出一个即可）.
答案：
AB=AD
或
BC=DC
或
∠BAC=∠DAC
或
∠ACB=∠ACD.
一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等，但HL只能用于证明直角三角形的全等.
注意
C
A
B
D
2.如图
在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°.
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中，
CE=BD,
BC=CB
.
∴
Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
A
F
C
E
D
B
3.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明:
∵
BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90
°.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可
（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
见《学练优》本课时练习
课后作业第3课时
勾股定理的逆定理
学习目标：1
理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用．
2
会应用勾股逆定理解决实际问题．
学习重点：灵活应用勾股定理的逆定理解决实际问题。
学习难点：勾股定理的逆定理的证明
一、画图探究
1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
A：3、4、3
；B：3、4、5；C：3、4、6；D：6、8、10
2.测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下：
A：_______
B：_______
C：______
D:_______
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
A：______
B：_______
C：______
D：______
4.找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A：______
B：_______
C：______
D：______
5.猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
你的猜想是
归纳结论：
勾股定理的逆定理：
二、命题展示：
命题1：如果直角三角形两直角边长是a和b，斜边长是c,那么a2+b2=c2
命题2：如果三角形三边长满足a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
观察:命题1与命题2的题设和结论有何关系
思考并回答下列命题的逆命题：
原命题：
1，同位角相等两直线平行。
原命题的逆命题是：
原命题：2，如果天空在下雨，那么地面是湿的。
原命题的逆命题是：
原命题：3，对顶角相等。
原命题的逆命题是：
四：验证（勾股定理的逆定理的证明）
已知：如图,在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，满足a2+b2=c2
求证：∠C=90°
A
B
C
五：新知应用
例1：根据下列条件，分别判断a,b,c为边的三角形是不是直角三角形
（1）1
,2
,
3;
(2)
2,
3,
4
例2：已知的三边分别a,b,c
a=,
b=2mn,
c=(m>n,m,n是正整数)，是直角三角形吗？说明理由。
例3：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=BC，
求证：AF⊥EF．(点拨：要证AF⊥EF，需证△AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出AF2+EF2=AF2就可以了．）
六、随堂练习，巩固深化
1．课本练习
2．已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
（分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。）
3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。
4．如下图中分别以三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？
5．【探研时空】
若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC的形状．
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S33
B
A
B
C
a
b
c
S1
S2
S33
A
C
a
b
c
S1
S2
S333第2课时 勾股定理的实际应用
1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)
2．勾股定理的正确使用．(难点)
一、情境导入
如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
二、合作探究
探究点一：勾股定理在实际生活中的应用
【类型一】
勾股定理在实际问题中的简单应用
如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)
解析：开始时，AC＝5米，BC＝13米，即可求得AB的值，6秒后根据BC、AC长度即可求得AB的值，然后解答即可．
解：在Rt△ABC中，BC＝13米，AC＝5米，则AB＝＝12米，6秒后，BC＝13－0.5×6＝10米，则AB＝＝5米，则船向岸边移动距离为(12－5)米．
方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】
含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用
由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A市测得沙尘暴中心在A市的正西方向300km的B处，以10km/h的速度向南偏东60°的BF方向移动，距沙尘暴中心200km的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A市受沙尘暴影响的时间．
解析：过点A作AC⊥BF于C，然后求出∠ABC＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB，从而判断出A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，此时AD＝200km，利用勾股定理列式求出CD的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．
解：如图，过点A作AC⊥BF于C，由题意得，∠ABC＝90°－60°＝30°，∴AC＝AB＝×300＝150(km)，∵150＜200，∴A市受沙尘暴影响，设从D点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD＝＝＝50(km)，∴受影响的距离为2CD＝100km，受影响的时间位100÷10＝10(h)．
方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：勾股定理在几何图形中的应用
【类型一】
利用勾股定理解决最短距离问题
如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝＝5，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝＝25(cm)．∵5＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝＝5(cm).5＞25，∴最短距离为25cm.
答：需要爬行的最短距离是25cm.
方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型二】
运用勾股定理与方程解决有关计算问题
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )
A．1.5
B．2
C．2.25
D．2.5
解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.
方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】
勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
A.＋1
B．－＋1
C.－1
D.
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为＝，∴－1到A的距离是，那么点A所表示的数为－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
三、板书设计
1．勾股定理在实际生活中的应用
2．勾股定理在几何图形中的应用
就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高第3课时 勾股定理的逆定理
1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)
2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)
一、情境导入
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．
你知道这是什么道理吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的逆定理
【类型一】
勾股数
判断下列几组数中，一定是勾股数的是( )
A．1，，
B．8，15，17
C．7，14，15
D.，，1
解析：选项A不是，因为和不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为与不是正整数．故选B.
方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
【类型二】
判断三角形的形状
已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC的形状．
解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．
解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．
方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】
利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题
在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于( )
A．130°
B．135°
C．140°
D．145°
解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.
方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型四】
运用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．
解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．
解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
探究点二：勾股定理逆定理的实际应用
如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．
解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．
解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋()2＝122，得CE＝(海里)，∴÷13＝≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．
方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长
3．利用勾股定理逆定理解决实际问题
学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高1．2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第1课时 勾股定理
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)
2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)
3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理
【类型一】
直接运用勾股定理
已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝＝12(cm)；
(2)∵S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝30(cm2)；
(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝(cm)．
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】
分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．
解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．
解：此题应分两种情况：
(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9，在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝＝＝9.在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.
方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】
勾股定理与等腰三角形的综合
如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、F点，BD＝6，AE⊥BC于E，求AE的长．
解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．
解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝6，∴∠BAD＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(6)2，∴AE＝＝6.
方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：勾股定理与图形的面积
探索与研究：
方法1：如图：
对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？
解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．
解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝c2＋(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；
方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即b2＋ab＝c2＋a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.
方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
2．勾股定理的应用
3．勾股定理与图形的面积
课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)
2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．
二、合作探究
探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm，那么腰上的高是________cm，这个三角形的面积是________cm2.
解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A＝30°，BD⊥AC，AB＝4cm，所以BD＝2cm，S△ABC＝AC·BD＝×4×2＝4(cm2)．故答案为2，4.
方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数．
解析：根据题意得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论．
解：∵AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.∵AC＝BC，∴∠CBA＝30°.∵AD∥BC，∴∠BAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用
如图，某船于上午11时30分在A处观测到海岛B在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，观测到海岛B在北偏东30°方向；航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向；当船到达C处时恰与海岛B相距20海里．请你确定轮船到达C处和D处的时间．
解析：根据题意得出∠BAC，∠BCD，∠BDA的度数，根据直角三角形的性质求出BC、AC、CD的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．
解：由题意得∠BCD＝90°－30°＝60°，∠BDC＝90°－30°＝60°.∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形．在△ABD中，∵∠BAD＝90°－60°＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝90°，即△ABD为直角三角形，∴∠ABC＝30°.∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．∴AC＝AD－CD＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A处到C处的时间为＝2(h)，从A处到D处的时间为＝4(h)．∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．
方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
1．含30°锐角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；
(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．
在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误1.4
角平分线的性质
【教学目标】：
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
【教学重难点】：
掌握角平分线性质定理及其逆定理并进行证明。
【自学指导】：
作已知角的平分线的方法是什么？在作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
点到直线的距离是什么？（点到直线的垂线段长才叫距离）
如何证明角平分线的性质？证明几何命题的步骤，写出已知，求证并给予证明
运用角平分线的性质的符号语言：OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，.符号语言：
AP⊥OA，BP⊥OB，，点P在∠AOB的平分线上.
角平分线定理的作用是什么？应用该定理必须具备什么样的前提条件？
6.三角形三个内角平分线有什么特征？如何做简单的论证？
提高练习：
1.如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
（思考：到△ABC三边AB、BC、CA所在直线的距离相等的点共有几个？）
2．△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F,求证EB＝FC
3、点D、B分别在∠A的两边上，C在∠A内一点，AB＝AD，BC＝CD，CE⊥AD于点E，CF⊥AF于点F.求证：CE＝CF.
4、已知BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF和CE交于点D，且BE＝CF，求证：AD平分∠BAC.
l3
A
C
B1.2
直角三角形的性质和判定
第1课时
勾股定理
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习.
重点：勾股定理的内容及证明.
难点：勾股定理的证明.
学习过程：
一.预习新知（阅读教材，并完成预习内容.）
1正方形A、B
、C的面积有什么数量关系？
2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？
归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系.
(1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？
(2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积.
(3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？
对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示
方法一；
如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明.
S正方形＝_______________＝____________________
方法二；
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c.
求证：a2＋b2=c2.
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.
左边S=______________
右边S=_______________
左边和右边面积相等，
即
化简可得.
方法三：
以a、b
为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab.
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵
RtΔEAD
≌
RtΔCBE,
∴
∠ADE
=
∠BEC.
∵
∠AED
+
∠ADE
=
90 ,
∴
∠AED
+
∠BEC
=
90 .
∴
∠DEC
=
180 ―90 =
90 .
∴
ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于c2.
又∵
∠DAE
=
90 ,
∠EBC
=
90 ,
∴
AD∥BC.
∴
ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________
归纳：勾股定理的具体内容是
.
三.随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
⑴两锐角之间的关系：
；
(2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
(3)三边之间的关系：
2.完成书上P69习题1、2
四.课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则=________.
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c=
.（已知a、b，求c）
⑵a=
.（已知b、c，求a）
⑶b=
.（已知a、c，求b）
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________.
4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A、25
B、14
C、7
D、7或25
5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）
A、56
B、48
C、40
D、32
五.小结与反思
B
C
A(共16张PPT)
1.4
角平分线的性质
第1章
直角三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
第1课时
角平分线的性质定理
学习目标
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点）
2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
（重点）
导入新课
复习引入
1.角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
B
C
A
1
2
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是
.
线段PC的长
P
l
A
B
C
D
3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是
.
A
A
P
P
l1
l2
l1
l2
图1
图2
图1
角平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
PD=PE
作图探究
讲授新课
验证结论
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌
△PEO(AAS).
∴PD=PE.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵
如图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
典例精析
例
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
≌
Rt△CDF.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
当堂练习
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在△MOP和△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴△MOP≌△NOP（HL）.
∵△MOP≌△NOP，
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
见《学练优》本课时练习
课后作业1．3 直角三角形全等的判定
1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)
2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)
一、情境导入
前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？
二、合作探究
探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等
如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC.
解析：要利用“等角对等边”证明FA＝FC，需先证∠FAC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．
证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC.
方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用
【类型一】
解决线段相等问题
已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.
解析：根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA，∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°，在△CAE和△DBF中，∴△CAE≌△DBF(AAS)，∴CE＝DF.
方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】
灵活选用判定方法解决线段和差问题
已知，如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE＋CE.
解析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．
证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD，∴∠ABD＝∠CAE，又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点三：利用尺规作直角三角形
已知：线段a，如图．
求作：Rt△ABC，使BC＝a，AB＝a，∠C＝90°.
解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．
解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；
(2)在l1上截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，以a的长为半径画弧，交l2于点A；
(4)连接AB，Rt△ABC即为所求．
方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
三、板书设计
1．斜边、直角边定理
斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)
2．直角三角形判定方法的灵活应用
使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力(共17张PPT)
1.2
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1章
直角三角形
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
第1课时
勾股定理
情境引入
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的
数量关系．（重点）
2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
学习目标
导入新课
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
讲授新课
勾股定理
一
问题1：观察下面地板砖示意图：
你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
问题2：观察右边两幅图：
完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.
A的面积
B的面积
C的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形C的面积呢？
9
16
9
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
B的面积
C的面积
左图
4
9
13
右图
16
9
25
结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？
a
b
c
a
b
c
想一想
a2+b2=c2
（2）以5
cm、12
cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.
（1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
勾股定理
要点归纳
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.
名字的由来
在西方又称毕达哥拉斯定理
求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：
已知直角三角形两边，求第三边.
练一练
例
求斜边长为17
cm、一条直角边长为15
cm的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是x
cm.由勾股定理得:
152+
x2
=172，x2=172-152=289–225=64，
解得
x=±8（负值舍去），
所以另一直角边长为8
cm，
故直角三角形的面积是:
(cm2).
利用勾股定理进行计算
二
当堂练习
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积
为
.
8
cm
10
cm
36
cm
2.判断题.
①△RtABC的两直角边AB=5,AC=12,则斜边BC=13
(
)
②△ABC的两边a=6,b=8,则c=10
(
)
3.填空题
在△ABC中,
∠C=90°,AC=6,CB=8,则
△ABC的面积为_____,斜边上的高CD为______.
√
24
4.8
A
B
C
D
4.一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少
A
B
C
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：
BC2=AB2-AC2
=2.52-2.42
=0.49，
所以BC=0.7.
答：梯脚与墙的距离是0.7米.
勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为
c
，那么a2+b2=c2
课堂小结
利用勾股定理进行计算
见《学练优》本课时练习
课后作业(共13张PPT)
第2课时
勾股定理的实际应用
复习
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
A
B
C
如果在Rt△
ABC中，∠C=90°,
那么
下面，我们用面积计算来证明这个定理。
复习引入
请同学们画四个与右图全等的直角三角形，并把它剪下来。
∟
a
b
c
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
A
C
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗
Ａ
Ｏ
Ｂ
Ｃ
Ｏ
D
合作探究
●邮递员从车站O正东1km的邮局A出发，先向正北走了3km到B，又向正西走了4km到C，最后再向正南走了6km到D，那么最终该邮递员与邮局的距离为多少km？
A
B
C
D
O
下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米
,
则
x2=172-152
x2=64
答：正方形的面积是64平方厘米。
◆在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4,BC=3.求Rt△ABC斜边上的高．
A
B
C
D
随堂训练
如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑴若AB=12，BC=10，AC=8
,求：DE的长度.
A
C
E
D
B
如图，已知：△ABC中，AD是中线，AE⊥BC于E.
⑵求证：AB2
-
AC2＝2BC·DE.
A
C
E
D
B
在一个内腔长30cm、宽40cm、高50cm的木箱中放一根笔直的细玻璃管，这根玻璃管的长度至多为多少cm？
A
C
B
D
◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
C
D
A
.
B
.
应用勾股定理解决实际问题的思路：
（1）深刻理解题意；
（2）画出简图；
（3）将图画转化为直角三角形，并利用勾股定理进行计算.
课堂小结
课后作业
见《学练优》本课时练习(共18张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.2
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1章
直角三角形
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
第2课时
勾股定理的应用
情境引入
学习目标
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点）
2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.(重点,难点)
导入新课
观察与思考
两点之间,线段最短．
问题：从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．
讲授新课
立体图形中两点之间的最短距离
一
B
A
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
想一想：
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A→B的路线
若已知圆柱体高为12
cm，底面半径为3
cm，π取3，则:
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
方法归纳：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
'
'
'
'
'
A'
A'
例1
有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是2
m，高AB是5
m，π取3）
A
B
A
B
A'
B'
解：圆柱形油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA'=2×3×2=12,
A'B'=5,∴AB'=13.
答：梯子最短需13米.
典例精析
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
勾股定理的实际应用
二
问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
你能替他想办法完成任务吗？
连接对角线AC，只要分别量出
AB、BC、AC的长度即可.
AB2+BC2=AC2
△ABC为直角三角形
数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
例2：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
公路
B
C
A
400m
500m
解:由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，也就是5002=BC2+4002，所以BC=300.敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶的距离为300×6×60=108000（m），即它行驶的速度为108km/h.
当堂练习
1．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6
cm，BC＝8
cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（
）
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
B
2．有一个高为1.5
m，半径是1
m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5
m，问这根铁棒有多长？
解:设伸入油桶中的长度为x
m,则最长时:
最短时,x=1.5
所以最长是2.5+0.5=3(m).
答:这根铁棒的长应在2～3
m之间.
所以最短是1.5+0.5=2(m).
3.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得，BC2+AC2=AB2
即
52+
x2=
(x+1)2
25+
x2=
x2+2x+1，
2
x=24，
∴
x=12，
x+1=13.
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺.
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短距离
课堂小结
勾股定理的实际应用
见《学练优》本课时练习
课后作业(共17张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.2
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1章
直角三角形
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
第3课时
勾股定理的逆定理
情境引入
学习目标
1.掌握直角三角形的判定定理；（重点）
2.掌握勾股数的概念；
3.能够运用勾股定理的逆定理解决问题．（难点）
导入新课
问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第9个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形,
其直角在第1个结处.
讲授新课
勾股定理的逆定理
一
问题1：下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
回答下列问题:
1.这三组数都满足
a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
实验结果：
①
5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
②
7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③
8,15,17满足a2+b2=c2
,可以构成直角三角形.
问题2：从上述问题中，能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
有同学认为测量结果可能有误差,不同意
这个发现.你觉得这个发现正确吗 你能给
出一个更有说服力的理由吗
在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.你能否判断
△ABC是直角三角形？并说明理由.
下面我们一起来论证一下：
a
c
A
C
B
b
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在C1M上截取C1B1=a=CB,
在C1N上截取C1A1=b=CA,
连接A1B1.
在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2
.
∴
A1B1=AB
，∴
△ABC
≌△A1B1C1
.
（SSS）
∴
∠C=∠C1=90°，
∴
△ABC是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
典例精析
例1：一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A
和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如
图2所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD
是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD
是直角三角形，∠A是直角.
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c
那么这个三角形是直角三角形.
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
勾股数
二
概念学习
典例精析
例2：下列各组数是勾股数的是(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
当堂练习
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以
是
(
)
A.3:4:7
B.5:12:13
C.1:2:4
D.1:3:5
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形
(
)
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
B
A
4.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2,这三条线段组成的
三角形是直角三角形吗 为什么
解：是直角三角形.因为a2+b2=c2满足勾股定理的逆定理.
3.以△ABC的三条边为边长向外作正方形,
依次得到的面
积是25,
144
,
169,
则这个三角形是______三角形.
直角
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.
4
1
2
2
4
3
解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25,
∴BE2+EF2=BF2,
∴
△BEF是直角三角形.
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
课堂小结
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
见《学练优》本课时练习
课后作业(共13张PPT)
第3课时
勾股定理的逆定理
情景
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
直角三角形有哪些性质？
(1)有一个角是直角；
(2)两个锐角的和为90°(互余
)；
(3)两直角边的平方和等于斜边的平方.
反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢
情景引入
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；
(3)如果一个三角形的三边a
,b
,c满足a2
+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形吗？
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形
合作探究
试用小塑料棒拼出三边长度分别为如下数据的三角形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分类）
（1）3，4，4
（2）2，3，4
（3）3，4，5
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的平方之间的大小关系.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
32＋42
>
42
22＋32
<
42
32＋42
=
52
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
.
a2
+
b2
=
c2
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足
，那么这个三角形是直角三角形.
a2
+
b2
=
c2
反过来
判断由线段a、b
、c
组成的三角形是不是直角三角形：（1）a=15,
b=8,
c=17
（2）a=13,
b=14,c=15
解：（1）
（2）
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
以小组为单位，每位同学自己找一组
勾股数，那一组找的最快最多就算获胜。
3，
4，
5；
5，12，13；6，
8，10；
7，24，25；
8，15，17；9，40，41
9，12，15；10，24，26；……
1.下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？
(1)
a=6
b=8
c=10
____
_____
;
(2)
a=12
b=8
c=15
____;
(3)
a=8
b=6
c=5
_____;
是
不是
不是
是
∠C=900
∠B=900
(4)
a=1
b=2
c=
____
_______;
随堂训练
2.已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
A
B
C
D
3
4
12
13
5
∟
3.满足下列条件△ABC,
不是直角三角形的是(
)
A、b2
=
a2
-
c2
B、a:b:c=3:4:5
C、∠C=∠B-∠A
D、∠A:∠B
:∠C
=3:4:5
D
1.勾股定理的逆定理的内容；
２.判定一个三角形是直角三角形的方法（从角、边两个方面来考虑）；
３.勾股定理与它的逆定理之间的关系；
４.数形结合的数学思想.
课堂小结
课后作业
见《学练优》本课时练习1.3
直角三角形全等的判定
学习目标：1、掌握了直角三角形的全等判定定理.
2、利用斜边、直角边定理解决数学问题.
3、了解角平分线的性质及其简单应用
学习重点：直角三角形全等的判定定“HL”.
学习过程：
一、旧知回顾
1、全等三角形判定定理：
（1）
简写
（2）
简写
（3）
简写
（4）
简写
2、如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）若AC//DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，
根据
（2）若AC//DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，
根据
（3）若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，
根据
（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF.则△ACE≌△BDF，
根据
二、自主学习、合作交流
1、斜边、直角边定理
（简称 或
）.
2、定理的理解：如下图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，
（1）、在Rt△ACE与Rt△BDF中： ＝
AE＝BF∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）（2）、在Rt△ACE与Rt△BDF中 ＝ AC＝BD∴
Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）
3、直角三角形全等的判定方法有：
4、三角形的三条角平分线的交点到 相等，
5、到一个角
的点，在
上.
三、知识运用
1、判断题：
（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（
）
（2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（3）一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（4）两直角边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（5）两边对应相等的两个直角三角形全等（
）
（6）两锐角对应相等的两个直角三角形全等（
）
（7）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等（
）
2．如图3-46，已知∠ACB=∠BDA=Rt∠，若要使△ACB
≌△BDA，还需要什么条件？
把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种)．
理由：(
)
(
)
(
)
(
)
3、如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由
答：
理由：∵
AF⊥BC，DE⊥BC
（已知）
∴
∠AFB=∠DEC=
（垂直的定义）
又∵BE=CF
∴BE+
=CF+
即： ＝
在
和
中
＝
＝
∴
≌
（
）
∴∠
=
∠
（
）
∴
（内错角相等，两直线平行）
如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形.
四、课后反思：这节课你学到了什么？(共15张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.4
角平分线的性质
第1章
直角三角形
第2课时
角平分线的性质定理的逆定理
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
学习目标
1.理解角平分线的性质定理的逆定理.(难点）
2.掌握角平分线性质定理的逆定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
导入新课
问题引入
O
D
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
几何语言描述：
∵
OC平分∠AOB，
且PD⊥OA，
PE⊥OB.
∴
PD=
PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
1.叙述角平分线的性质定理
不必再证全等
E
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
角平分线的性质定理的逆定理
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
逆定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.
典例精析
例1
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
典例精析
例2
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
A
B
C
P
N
M
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
当堂练习
1.
如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
2.
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
课堂小结
角平分线
的性质定理的逆定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
见《学练优》本课时练习
课后作业第2课时
含30°锐角的直角三角形的性质及其应用
学习目标
1、掌握有一个锐角是300的直角三角形的性质定理及应用.
2、在实际操作中，体会由“一般到特殊”的探索过程.
3、通过本节课的学习，渗透建立几何模型的数学思想方法和培养自己解决实际问题的能力.
一、回顾练习
直角三角形的性质有哪些？
直角三角形的判定定理是什么？
二、自主学习
1、阅读P4-6页的内容，思考以下几个问题：（1）如图：在Rt△ABC中，如果∠A=300，那么BC与斜边AB数量上有什么关系？为什么？
（2）如图，在Rt△ABC中，如果BC=
AB，那么∠A=
°，为什么？
三、合作探究
1、(1)画△ABC,使∠A=300，，
∠C=900,量出AB,BC的长，猜测:BC=
AB
(2)
论证：如图：在Rt△ABC中，如果∠A=300，那么BC=斜边AB的一半.
2、(1)画△ABC,使，∠C=900,AB=2BC,量出∠A的大小，猜测：∠A
=
.
（2）论证：如图，在Rt△ABC中，∠C=900，如果BC=
AB，那么∠A=
.
3、在A岛周围20海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距30海里，如图所示，该船如果保持航向不变，有触礁的危险吗？
四、巩固小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
五、当堂测评
1、如图是某商场的电梯示意图，电梯AB的倾斜角为300，大厅两层
之间距离BC为6m，求电梯AB的长度？
2、如图，在△ABC中，已知∠A=
∠B=∠C，它的最大边也
等于8cm，求它的最小边长.
3、如图：在直角三角形ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB，∠B=300，
AB=4cm，求AD的长.
A
B
C
A
B
C
D
B
C
A
C
D
A
B第1章
直角三角形
1.1
直角三角形的性质和判定
第1课时
直角三角形的性质和判定
学习目标
1、熟练掌握直角三角形的性质、判定和运用.
2、在实际的操作中去发现直角三角形的特性，并能自主探究证明方法.
一、自主学习
认真阅读教材P1-4页内容，掌握以下基础知识：
1、三角形的内角和是
.
2、在直角三角形中，两个锐角的和是
.
3、直角三角形的判定定理：
.
4、动手操作：如图，画出直角三角形ABC斜边的中线；猜一猜，量一量；这条中线与斜边在长度上有什么关系？
AB=
CD=
探究得出：在直角三角形中，斜边上的中线等于
.
写出证明过程：
二．合作探究
1、如图，在三角形ABC中，∠A+∠B=90°,求证：三角形ABC是一个直角三角形.
2、如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线.
（1）若AB=6cm,求CD的长；（2）若CD=6cm,求AB的长.
3、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形.
4、如图，AB//CD,∠BAC和∠ACD的平分线相交于点H,E为AC的中点.
求证：（1）△ACH是Rt△;（2）AC=2EH.
四、巩固小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
当堂测评
1、直角三角形中，到三个顶点的距离相等的点是
.
2、如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的中线.
（1）若DB=5cm,则CD=
；
（2）若CD=12cm,则AB=
;
（3）若∠A=40°，则∠BDC=
;
(4)若AB+CD=15cm,则AB=
,CD=
.(共12张PPT)
1.2
直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
第1课时
勾股定理
情景
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
1、回顾直角三角形的有关定义.
2、我们曾经利用图形面积探索过数学公式，大家还记得在哪用过吗？
单项式乘多项式：a(b+c+d)
=___________
多项式乘多项式：(a+b)
(c+d)=__________
ab+ac+ad
ac+ad+bc+bd
情景引入
平方差公式：(a+b)(a-b)=_____________
完全平方公式
=________________
a2-b2
a2+2ab+b2
1、如图，邮票图案的三个正方形小方格中间是一个直角三角形，如果1个小方格为1个单位面积，那么直角三角形的两直角边长分别是____和____，斜边长是____；
2.三个正方形的面积分别是_____、_____和____.
4
3
5
16
9
25
合作探究
3、把上题三个正方形的面积关系，转化为直角三角形三边的关系，则得到什么结论？
结论：直角三角形两直角边的
_______
等于___________________________.
命题1（勾股定理）
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
.
平方的和
斜边的平方
a2+b2=c2
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
解：由勾股定理得
62+b2=102
b=8
解：由勾股定理得
52+122=102
c=13
解：由勾股定理得
a2+152=252
a=20
a
c
b
1、赵爽弦图利用了_______关系进行勾股定理的证明.
2、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的小正方形的边长为________，利用面积证明勾股定理.
∵
S大正方形
＝4S直角三角形+S小正方形
＝4×_______+
（____
）2
＝_______________________
＝_______________________
又∵S大正方形＝C2
∴______2+______2=_______2
面积
b-a
b-a
2ab+b2-2ab+a2
a2
+b2
a
b
c
如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12，求最大正方形E的面积.
A
B
C
D
E
F
G
K
H
解：如图所示
正方形A、B、C、D的边长分别是12,16,9,12,
设直角三角形的斜边长为c
,由勾股定理知122+162=c2，c=20
，即正方形F边长为20，同理可得，正方形G的边长为15，故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它的斜边长为k，由勾股定理知202+152=k2k=25
正方形E的边长为25，
S正方形E=25×25=625
例题
1、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44，求斜边的长.
2、在直角三角形中，两边的长为5，4，求第三边的平方.
解:设斜边长为x,
由勾股定理得
x
=
33
+
44
=
55
所以
x
=
55
解：1.如果5为斜边，设第三边为x
5
=
x
+
4
所以x
=
9
2.如果5为直角边，设第三边为x
x
=
5
+
4
所以
x
=
41
随堂训练
3、如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB
于D，
AC=12，BC=9，
求：CD的长.
B
A
C
D
解：在三角形ABC中
AC
=
12
，BC
=
9
由勾股定理得：
AB
=
12
+
9
所以
AB
=
25
由三角形ABC的面积
=
AC
BC/2
=
AB
CD/2
即
：12
9
=
25
CD
所以
CD
=
4.32
1.勾股定理；
2.至少了解一种勾股定理的验证方法；除了掌握勾股定理外，还应初步学会构造直角三角形，以便应用勾股定理.
课堂小结
课后作业
见《学练优》本课时练习(共13张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
含30°角的直角三角形的性质及其应用
1.1
直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1章
直角三角形
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用;（重点）
2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生
逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．（难点）
学习目标
导入新课
旧知回顾
问题：回顾一下，上节课学了三角形的哪些性质和判定？
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
动手：用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直
角边，比较它们之间的数量关系.
结论：短直角边=斜边
讲授新课
含30°角的直角三角形的性质
活动探究
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
）
30°
B
C
几何语言：在Rt△ABC中，
∵∠A＝30°，
∴BC=
AC或AC＝2BC.
┓
归纳结论
解：如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=
AB=BD=AD,即△BDC为等边三角形,
∴∠B=60°.∵∠B+∠A=90°，∴∠A=30°，
如图，在Rt△ABC中，如果BC=
AB，那么∠A等于多少？
B
C
A
D
问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍然成立吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
典例精析
例
一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午
8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：（1）如图,以B为顶点，向北偏西60°作角，
这角一边与AM交于点C,
则C为礁石所在地；
M
（2）∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
∠BAC=30
°，
∠DBC=60°，
∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB
，(
等角对等边)
即
BC=AB=10×2=20(海里）.
答：B处到礁石C的距离为20海里.
B
C
30°
60°
A
D
M
1.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立
柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，
∠A=30
°
，求立柱BC，DE的长.
A
B
C
D
E
当堂练习
解:在△ABC中，
∵
BC⊥AC
，∠A＝30°，
∴BC＝
AB=
×7.4＝3.7(m).
∵
点D是AB的中点
，
∴
AD＝
AB=3.7(m).
在△ADE中，
∵
DE⊥AC
，∠A＝30°，
∴DE＝
AD＝
×3.7=1.85(m).
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
2.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植.如果∠
C=90
°，∠
B=30
°
，要使这三家农户所得土地的大小、形
状都相同，请你试着分一分，在图上画出来.
B
A
C
解：如图所示.
课堂小结
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
直角三角形中30°角的性质定理：
见《学练优》本课时练习
课后作业第2课时
勾股定理的实际应用
学习目标：
1．会把立体图形展开成平面图形
2．运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的生活实际问题
重点：运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的生活实际问题
学习过程：
一、课前准备
1．知识链接
(1)勾股定理：
它的作用：
(2)如何判断一个三角形是直角三角形？
（3）长方体的侧面展开图形状是_______，展开图相邻的两边中其中一边长是长方体的___________，另一边是长方体的__________。
（4）在同一平面内，两点之间______最短。
（5）圆柱体的侧面展开图形状是______，展开图相邻的两边中其中一边长是圆柱体的_____________，另一边是圆柱体的__________。
2．预习检测
(1)将直角三角形三边扩大同样的倍数，得到的三角形（
）
A、直角三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
（2）观察下列几组数据：①8,15,17
②7,12,15
③12,15,20
④0.3,0.4,0.5其中是勾股数的有（
）组
A、1组
B、2组
C、3组
D、4组
(3)三角形的三边长a、b、c，满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（
）
A、等边三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、直角三角形
(4)如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可能是（
）
A、1:2:4
B、1:3:5
C、3:4:7
D、5：12:13
(5)△ABC中，a：b：c=3:4:5，且a+b+c=24，则a=
b=
c=
(6)已知直角三角形两直角边的长分别为3cm，4cm，第三边上的高为
.
二、学习过程
探究1
如图，有一个圆柱形的盒子，它的底面半径为3厘米，高为8厘米，在盒子下底面的A点处有一只蚂蚁沿圆柱形盒子的表面爬行，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？
变式：如果将底面半径为3厘米改为底面周长为12厘米，其他条件不变呢？
2.
一只蚂蚁从圆柱体的底面上一点A爬到另一底面上与A相对的点B，已知圆柱体的底面半径为r，高为h，则爬行的最短距离为AB2
=
(
_____
)2
+
(
______
)2
3.
如图，要在一个圆柱体盒子里放一根吸管AB，已知圆柱体的半径为2㎝，高为3㎝，则最长可放置多长的吸管？
三、达标测试
1.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口90分钟后相距（
）
A、30海里
B、40海里
C、
25海里
D、45海里
2.一架长为25dm的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯距墙底端7dm，若梯子顶端下滑4dm，梯子平移滑过
dm.
3.旗杆于离地面3m处断裂，杆顶落于离杆底4m处，旗杆断前高
m.
4.
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
5.
有一根长24㎝的筷子，置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长为h，则求h的取值范围.(共14张PPT)
1.3
直角三角形全等的判定
情景
引入
合作
探究
课堂
小结
随堂
训练
（1）说出判断一般三角形全等的方法有哪些？它们有什么共同点？
情景引入
判
断
（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等.
（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
（3）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.
﹙√﹚
﹙×﹚
﹙√﹚
AAS或者ASA
SAS
A
B
C
A’
B’
C’
（A’）
（C’）
（B’）
如图在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°,那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗
合作探究
解:因为∠ACB=90°
∠ACB‘=
∠A’C’B’=90°
所以∠BCB’=
∠ACB+
∠ACB’=180
°
故B，C（C’），B’在同一直线上
因为AB=A’B’=AB’
所以∠B
=∠B’（等边对等角）
在Rt ABC和Rt A’B’C’中
∠B
=∠B’（已证）
AB=A’B’（已知）
所以Rt ABC≌Rt A’B’C’（AAS）
B’
A（A’）
C(C’)
B
如图,已知AB=A’B’,AC=A’C’,∠ACB=∠A’C’B’=90°那么Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？
斜边、直角边公理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”
或“HL”
斜边、直角边公理
(HL)
A
B
C
A
′
B′
C
′
∴在Rt△ABC和Rt△
中
AB=
BC=
∴Rt△ABC≌
∵∠C=∠C′=90°
有斜边和一条直角边对应相等的两个
直角三角形全等.
几何语言
举
例
例1
如图，
BD
，CE分别是△ABC的高，且BE
=
CD.求证：
Rt△BEC
≌
Rt△CDB.
证明：
∵
BD
，
CE是△ABC的高，
∴
∠BEC
=∠CDB
=
90°.
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵
BC
=
CB，BE
=
CD，
∴
Rt△BEC
≌
Rt△CDB
（HL）.
1．如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明.（DB＝AC就不要证明了）
随堂训练
2.如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形.
3.如图，∠ABD=∠ACD=90 ，∠1=∠2，则AD平分∠BAC.请说明理由.
2
1
B
C
A
D
4.如图，AC⊥CB，BD⊥BC，AB=DC，AB与CD平行吗？为什么？
1.判定直角三角形全等的特殊判定“HL”定理：
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:
SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
课堂小结
课后作业
见《学练优》本课时练习(共19张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
直角三角形的性质和判定
1.1
直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第1章
直角三角形
学练优八年级数学下（XJ）
教学课件
1.理解和掌握直角三角形的性质和判定及斜边上中线的性质;
（重点）
2.会运用直角三角形的性质和判定解决基本问题．（难点）
学习目标
三角形顶点与对边中点的连线段.
问题1
直角三角形的定义是什么？
问题2
三角形内角和的性质是什么？
有一个是直角的三角形叫直角三角形.
三角形内角和等于180°.
这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质.
导入新课
复习引入
问题3
三角形中线的定义是什么？
如图1-1，在Rt△ABC中，
∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
图1-1
在Rt△ABC中，因为
∠C=90°，由三角形内角和定理，可得∠A
+∠B=90°.
讲授新课
直角三角形的两个锐角互余
一
结论
直角三角形的两个锐角互余.
由此得到：
问题：有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？
如图1-2，在△ABC中，
∠A
+∠B=90°
，
那么△ABC
是直角三角形吗？
在△ABC中，因为
∠A
+∠B
+∠C=180°，
又∠A
+∠B=90°，所以∠C=90°.
于是△ABC是直角三角形.
图1-2
有两个锐角互余的三角形是直角三角形
二
结论
有两个角互余的三角形是直角三角形.
由此得到：
例
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中
线，且
.
求证：△ABC是直角三角形.
典例精析
证明：
因为
，
所以
∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B
.
根据三角形内角和性质，有
∠A+∠B+∠ACB
=180°，
即得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以
∠A+∠B
=90°.
根据直角三角形判定定理，所以△ABC是直角三角形.
问题：
如图1-3，画一个Rt△ABC，
并作出斜边AB上的中线CD，比较线段CD
与线段AB
之间的数量关系，你能得出什么结论？
图1-3
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
三
我测量后发现CD
=
AB.
线段CD
比线段AB短.
图1-3
是否对于任意一个Rt△ABC，都有
CD
=
成立呢？
图1-4
如图1-3，
如果中线CD
=
AB，则有∠DCA
=
∠A
.
由此受到启发，在图1-4
的Rt△ABC中，过直角顶点C作射线
交AB于
，使
，
∠
=
∠A
则
.
图1-3
∠A
+∠B=90°
，
又∵
，
∴
∴
故得
∴
点
是斜边上的中点，即
是斜边
的中线.
从而
CD与
重合，且
图1-4
结论
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
由此得到：
1.在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm
，则斜边
AB的长是多少？
解:
AB=2CD=2×2.5=5(cm).
当堂练习
2.如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.
那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解:
因为
AB∥CD，所以
∠BAC+∠DCA=180°.
又
，
，
所以
所以△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，
所以有
，
由EH=2易知AC=4.
3.如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数.
解：因为BE，CD是ABC的高，
所以∠BDP=90°，∠BEA=90°.
又∠A=50°，
所以∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
所以∠BPC
=∠ABE
+∠BDP
=
90°+
40°=
130°.
直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
直角三角形的性质和判定：
见《学练优》本课时练习
课后作业
