2017春学练优（湘教版）八年级下册数学 第2章四边形 教案+学案+课件 （56份打包）

课件19张PPT。2.1 多边形第2章 四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 多边形的内角情境引入1.了解并掌握多边形及有关概念;
2.对角线条数与多边形的边数的关系;（重点）
3.理解正多边形及其有关概念;（重点）
4.会用分割法探索多边形的内角和计算公式.（难点）导入新课1.什么是三角形？有几条边，几个内角？复习引入由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角.2．如果两个三角形能够拼成四边形，你能求出四边形的内角和吗？360°讲授新课问题1 观察画多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.想一想：比较多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内.问题2 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角．顶点边内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.n边形有n个顶点，n条边，n个内角，2n个外角．多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三角形是最简单的多边形.ABCDE定义：
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示.画一画：画出下列多边形的全部对角线想一想：
（1）从上面n边形的一个顶点可以作出几条对角线？
（2）n边形的对角线总条数与边数n有怎样的关系？(1) (n-3) (n≥3)ABCDABCD 我们现在研究的是如图1所示的多边形，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中.今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形.图1图2定义：
像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形.想一想：下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个图形不符合各边都相等.问题1 是否所有的四边形的内角和都可以“转化”为两个三角形的内角来求得呢？如何“转化”?如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.这种转化方法我们不妨称其为“对角线分割转化法”.ABCD问题2 类比推导四边形内角和的方法，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少吗？观察上图填：（1）从五边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将五边形分为 个三角形，五边形的内角和等于180°× .
（2）从六边形的一个顶点出发，可以作 条对角线，它们将六边形分为 个三角形，六边形的内角和等于180°× .233344问题3 n边形的内角和是否也可以用上面的方法？试一试. 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2)个三角形，n边形的内角和等于180 °×（n-2).多边形的内角和公式n边形内角和等于（n-2) ×180 °.其他分割方法欣赏练一练：（1）12边形的内角和等于 .
（2）如果一个多边形的内角和等于1440 °，那么这是 边形.1800 °十PP当堂练习1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ）B2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）
A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形A3.九边形的对角线有（ ）
A.25条 B.31条 C.27条 D.30条C4.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则这是 边形.十三5.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成 个三角形.六6.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °D7.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °D课堂小结多边形的内角定义前提条件是在一个平面内正多
边形定义既是判定也是性质内角和计算公式(n-2) × 180 °(n为整数，且n ≥3） 见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。 第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时 多边形的内角情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练你能从图2-1 中找出一些由线段首尾相连所组成的图形吗？图2-1情景引入 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形.组成多边形的各条线段叫作多边形的边.相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点.连接不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线. 相邻两边组成的角叫作多边形的内角，简称多边形的角.
例如在图2-2中，AB是边，E是顶点，BD是对角线，∠A是内角.在平面内，边相等、角也都相等的多边形叫正多边形. 多边形根据边数可以分为三角形，四边形，
五边形，……图2-2三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？ 如图2-3，四边形ABCD的一条对
角线AC 把它分成两个三角形，因此
四边形的内角和等于这两个三角形的
内角和， 即180°×2=360°. 在下列各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点
画出所有对角线，并完成下表.合作探究图形 边数可分成三角形的个数多边形的内角和4（6-2） × 180°（7-2） × 180°5（8-2） × 180°6n-2（n-2）×180° 如图2-4，n边形共有n个顶点A1，A2，A3，…，An. 与顶点A1不相邻的顶点有(n-3)个，因此从顶点A1出发有(n-3)条对角线，n边形被分成了(n-2)个三角形. n边形的内角和等于这(n-2)个三角形的内角和，因此n边形的内角和等于(n-2)·180°.图2-4n边形的内角和等于(n-2)· 180°由此得出：你还可以用其他方法探究n边形的内角和公式吗？例1（1）十边形的内角和是多少度？
（2）一个多边形的内角和等于1980°，
它是几边形？
（2）设这个多边形的边数为n，则
（n-2 )×180°= 1980°，
解得n = 13.
所以这是一个十三边形.（1）正十二边形的每一个内角是多少度？（2）一个多边形的内角和等于1800°，它是几边形？答：150°.
答：十二边形.随堂训练过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形
分成10个三角形，那么这个多边形是几边形？答：十二边形.3.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有两个钝角最多能有2个锐角1.本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.
即：n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.
2. n边形对角线条数： 条.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习第2章 四边形
2．1　多边形
第1课时　多边形的内角
1．了解多边形及其相关概念；
2．熟练运用多边形内角和公式进行简单计算．(重点)
一、情境导入
小学时我们学习过多边形，对它有了初步的了解．什么是多边形的内角，外角，对角线，如何计算对角线的条数，如何用字母表示它；三角形的内角和是180°，你想知道任意一个多边形的内角和是多少度吗？今天，我们就来探究一下多边形的内角和如何计算．
二、合作探究
探究点一：多边形及其有关概念
【类型一】 多边形的定义及概念
下列说法中，正确的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
(1)三角形是边数最少的多边形；
(2)由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；
(3)n边形有n条边、n个顶点、2n个内角；
(4)多边形分为凹多边形和凸多边形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：(2)的说法不严密，应点明三点：其一，“不在同一直线上”的线段；其二，是“平面图形”；其三，“线段首尾顺次相接”；(3)n边形的边数和顶点数、内角的个数都是一样的，即有n条边(或n个顶点或n个内角)就叫n边形．故(2)和(3)的说法不正确．因此，只有(1)、(4)的说法正确，故选B.21教育网
方法总结：理解多边形的概念需注意：(1)线段必须“不在同一直线上”且首尾顺次相连；(2)必须是“平面图形”；(3)n为边数，为不小于3的正整数．21cnjy.com
【类型二】 多边形的对角线
若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，则此多边形的边数为________．　　解析：可以设这个多边形有n个顶点，则就有n条边，过一个顶点可以引出(n－3)条对角线．故n＝2(n－3)，即n＝6.故答案为6.【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结：①n边形中，过一个顶点可引(n－3)条对角线；②一个n边形总共有条对角线．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：多边形的内角和
【类型一】 已知边数或对角线条数求内角和
一个多边形共有的对角线条数是它的边数的3倍，这个多边形的内角和是多少度？
解析：先求出多边形的边数，再根据边数来求内角和．
解：设这个多边形的边数为n，由题意得＝3n，所以n－3＝2×3，所以n＝9，所以(n－2)·180°＝(9－2)×180°＝1260°，所以这个多边形的内角和为1260°.
方法总结：n边形的对角线条数为，利用对角线条数的计算方法，知道多边形的边数或对角线条数其中一个，即可求出另一个数．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】 已知内角和求边数
已知两个多边形的内角和为1080°，且这两个多边形的边数之比为2∶3，求这两个多边形的边数．
解析：利用内角和公式，根据已知条件建立等量关系即可求解．
解：设这两个多边形的边数分别为2x和3x.由题意，得(2x－2)·180°＋(3x－2)·180°＝1080°.解得x＝2.故这两个多边形的边数分别是4和6.21世纪教育网版权所有
方法总结：运用多边形的内角和公式，建立方程模型来求多边形的边数是比较常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 少加的内角
如图所示，回答下列问题：
(1)小华是在求几边形的内角和？
(2)少加的那个内角为多少度？
解析：由多边形内角和公式(n－2)·180°知，多边形的内角和是180°的整数倍，而1125÷180的余数为45，这说明小华少加了一个135°的角．www.21-cn-jy.com
解：(1)因为1125÷180＝6，∴n－2≥6，n为整数，∴n－2＝7，n＝9，故小华求的是九边形的内角和；2·1·c·n·j·y
(2)因为1125÷180的余数为45，故小华少加的那个内角度数为180°－45°＝135°.
【类型四】 求不规则多边形的内角和
如图所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数．
解析：已知图形为不规则的图形，我们可尝试将这7个角的和转化为一个多边形的内角和求解，如果连接BF，则可得到一个五边形，借助五边形的内角和可解决问题．
解：如图所示，连接BF，则∠A＋∠G＋∠1＝∠2＋∠3＋∠4.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠G＝∠3＋∠4，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝∠D＋∠C＋∠CBF＋∠BFE＋∠E＝(5－2)×180°＝540°.21·世纪*教育网
方法总结：求不规则多边形的内角和时，通过添加辅助线将其转化为规则图形，是解答此类题目最常用的方法．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．多边形的定义及相关概念
2．多边形的对角线总条数的计算公式(n为边数)
3．多边形的内角和公式：(n－2)·180°
教学过程中，要让学生学会由特殊的图形推导出一般图形的相关性质，这是我们数学学习中经常会运用的基本能力，所以我们平时就应该有意识的培养学生这方面的能力
第2章 四边形
2.1 多边形
第1课时 多边形的内角
课前预习
预习目标：1、掌握多边形的内角和计算方法，并能用内角和知识解决一些实际问题.
2、通过多边形内角和计算公式的推导，培养探索与归纳能力.
3、通过经历数学知识的形成过程，体验转化等重要的数学思想
预习重点：理解多边形内角含义，多边形内角和公式.
预习难点：多边形内角和公式的探索过程；利用多边形内角和公式解决实际问题
预习提纲：
（一）探究主题
什么是多边形？试探究多边形的内角和公式.
（二）探究过程：
1、多边形的概念.
2、以五边形为例，用哪些方法可以推出其内角和？
3、由五边形进一步推广，以列表的方式推出多边形的内角和公式.
（三）典例设计
围绕多边形的内角和，自己设计或整理具有代表性的题目.
（四）预习疑惑
整理出预习过程中的疑惑.
二、预习释疑
师生共同交流预习过程中遇到的的问题，把握重点、难点.
三、合作交流
活动一：自由展示，
你能推出五边形的内角和吗？比比谁的方法好！
活动二：小组合作交流
你能用什么方法归纳出多边形的内角和？试试看！
四、基础练习
1．十边形的内角和为______
2．求下列图形中的x的值.
3．已知一个多边形的内角和为1080°,则它的边数为______ .
4．若一个四边形的四个角之比为1：2：3：4，则它的角分别为 .
5．正十二边形的每一个内角是__________度.
【思考题】李明同学采用将内角逐个相加的方法计算多边形的内角和，求得一多边内形的内角和为2570°，当他发现出错以后，重新检查，发现少加了一个内角，问这个角是多少度?这个多边形的边数多少?21世纪教育网版权所有
五、课堂小结
通过自主学习你的收获是_______________________________；
本节课你最感兴趣的是_____________________________；
你还想进一步研究的是___________________________.
六、课后拓展 巩固提高
第2课时　多边形的外角
1．理解和掌握多边形外角和定理的推导过程；(重点)
2．了解四边形的不稳定性及在生活和生产中的利与弊；
3．多边形内角和、外角和定理的综合运用．(难点)
一、情境导入
　　　　　　　　　　　　　　　
清晨，小明沿一个五边形广场的周围小跑，按逆时针方向跑步．
(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们．
(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
二、合作探究
探究点一：多边形的外角和定理
【类型一】 利用多边形的外角和定理求不规则图形的角度
如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的度数为(　　)
A．90° B．180° C．270° D．360°
解析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及多边形的外角和即可求解．∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，∠4＝∠G＋∠H，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4，又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°.故选D.
方法总结：本题考查了三角形的外角以及多边形的外角和定理，正确地将所求结论转化为多边形的外角和是解题的关键．21教育网
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型二】 利用四边形的外角和定理解决实际问题
如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走了(　　)2·1·c·n·j·y
A．60m B．100m C．90m D．120m
解析：小陈的行走路线围成的图形是一个正多边形，它的每条边长都是5m，每个外角都是20°，所以围成的正多边形的边数是360°÷20°＝18，故小陈行走的总路程为5×18＝90(m)．故选C.www.21-cn-jy.com
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用正多边形的外角和定理解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型三】 多边形内角和与外角和定理的综合运用
下列多边形中，内角和与外角和相等的是(　　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
解析：根据多边形的内角和为(n－2)·180°，多边形外角和为360°，∴(n－2)·180°＝360°，n＝4.故选A.21世纪教育网版权所有
方法总结：内角和为(n－2)×180°，而外角和为定值360°，根据两者等量关系求出n值．
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探究点二：四边形的不稳定性
如图，有一个四边形钢架，由4条钢管连接而成．为了使这一钢架稳固，应怎么做？
解析：钢架为四边形形状，因为四边形具有不稳定性，因此不能稳固．若用1条或2条钢管连接对角线，则把这个四边形完全转化为三角形了．而三角形具有稳定性，故钢架可以稳固，因此可以用1条或2条钢管连接对角线，从而使之保持稳固．
解：可以用1条钢管连接AC或BD，或者用2条钢管将AC、BD均连接．
方法总结：利用转化思想，把四边形转化为了三角形，随之四边形的不稳定性也转化成了三角形的稳定性．这种方法在生活、生产中经常使用．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
三、板书设计
1．任意多边形的外角和是360°
2．多边形具有不稳定性
通过学生反馈的情况，知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而在求解多边形的角的计算题，有时直接应用外角和计算会比较简单21cnjy.com
课件16张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学下（XJ）
教学课件2.1 多边形第2章 四边形第2课时 多边形的外角与外角和情境引入1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.运用多边形的外角和解决问题.（重点）导入新课提问引入1．多边形的内角和是什么？2．你还记得三角形的外角是怎样定义的吗？三角形的外角和是多少呢？n边形的内角和等于(n-2)· 180° 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角.其外角和为360°. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.讲授新课 如图，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.问题 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？互补900°五个平角和（900°）-五边形的内角和（540°）=外角和（360°）五边形外角和=360 °=5个平角－五边形内角和=5×180°－(5－2) × 180°结论：五边形的外角和等于360°.在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．n边形外角和n边形的外角和等于360°.－(n－2) × 180°=360 °=n个平角-n边形内角和= n×180 °多边形的外角和公式回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.六正八例1 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2)?180°，
多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)?180°=2× 360o.
解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.12例2 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,根据题意得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140 °，每个外角是40 °.360° ÷40 °=9.答：这个多边形是九边形.
还有其他解法吗？解：设这个多边形的边数为x ,根据题意得解得x=9.答：这个多边形是九边形.当堂练习1.判断．
（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加． ( )
（2）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加． ( )
（3）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( )
（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形． ( )2.五边形的内角和为 ，它的对角线有 条．540°53.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________,外角和增加_______.180°0°4.一个多边形的内角和不可能是（ ）
A.1800° B.540 ° C.720 ° D.810 °D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °D能力提升： 一个多边形所有内角与一个外角的和是2380°，则这个多边形的边数为___.15解析：设这个多边形的边数为x(x为正整数)，则这个多边形的内角和为（x-2）×180°，由题意可得：
2380-180<（x-2）×180°<2380,
解得：4.22因为x为正整数，所以x=15，即这个多边形的边数为13.课堂小结多边形的外角与外角和外角和多边形的外角和等于360°
特别注意：与边数无关。正多
边形见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。 第2课时 多边形的外角与外角和复习
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练复习引入1.　n边形的内角和等于(n-2)· 180°3、n边形的对角线一共有＿＿＿＿＿＿条2、n边形的一个顶点可以＿＿＿＿对角线（n—3）n(n—3)÷2 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。合作探究（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体
转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少度？
（3）在上图中，你能求出?1+?2+?3+?4+?5等
于多少吗？你是怎样得到的？ 如图2-6，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和. 多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角. 我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？ 如图2-7，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∴ ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4 × 180° - 360° = 360°∵ ∠1 +∠DAB = 180°，∠2 +∠ABC = 180°，
∠3 +∠BCD = 180°， ∠4 +∠ADC = 180°，
又 ∠DAB +∠ABC +∠BCD +∠ADC = 360°，∴ 四边形的外角和为360°. 三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？ 类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°. 因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n· 180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2 )×180°所得的差即为n边形的外角和.n· 180°-（n-2 )×180°
=［n-（n-2 )］· 180°
= 2×180°
= 360° .任意多边形的外角和等于360°.由此得出：例1 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？解 设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)· 180°.由题意得
(n-2)· 180°=5×360°，解得 n=12.因此这个多边形是十二边形. 三角形具有稳定性， 那么四边形呢？用4 根木条钉成如图2-8 的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？图2-8 我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了， 这说明四边形具有不稳定性. 在实际生活中，我们经常利用四边形的不稳定性，例如图2-9 （a）中的电动伸缩门、图2-9 （b）中的升降器.有时又要克服四边形的不稳定性，例如在图2-9 （c）中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了利用三角形的稳定性.
图2-9（a）（c）（b）1. 一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？答：这个多边形是八边形，
每个内角是135°.随堂训练2. 如图，求图中x的值.答：x =60°.3. 举出日常生活中利用四边形不稳定性的一些例子.答：有种衣架是根据平行四边形的不稳定性，用同样
长的木条构成的几个相连的菱形，每个顶点处都
有一个挂钩，不仅美观，而且实用，如下图： 本节课我们探讨了多边形的外角及其外角和公式.知道多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°，因而，求解有关多边形的角的计算题；有时直接应用外角和公式会比较简便.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习第2课时 多边形的外角
【教学目标】
理解多边形的外角和并能应用21世纪教育网
【教学重难点】
多边形外角和的应用
【课前预习】
1、三角形的外角： .
2、根据下列条件，求中的度数.
（1）
（2）的度数之比为1:2:3.
3、五边形的内角和为______；8边形的内角和为_______；
内角和为1800°的多边形是_____边形
4、多边形的外角和为____________°
21世纪教育网
【课堂助学】
☆多边形的外角：多边形的一边与另一边的延长线所组成的角.
如图，∠ 即为五边形ABCDE的一个外角.
思考：三角形有 外角，四边形有 外角，五边形有 外角，n边形有 外角.
☆多边形每一顶点处有两个外角，这两个角是对顶角，n边形就有 个外角.
☆多边形的外角和：在每个顶点处分别取这个多边形的 个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
注：多边形的外角和并不是所有外角的和.
1、如图1，∠、 、 是△ABC的3个外角.
（1）依次剪下三角形的三个外角，让顶点A、B、C重合，把它们拼在一起，你发现了什么？
（2）在图中∠+∠1＝ ，∠+∠2＝ ，∠+∠3＝ ，∠1+∠2+∠3＝ 则∠+∠+∠＝ 21教育网
2、如图2，四边形的外角和等于 .
（1）依次剪下四角形的四个外角，让顶点A、B、C、D重合把它们拼在一起，你发现了什么？21世纪教育网21cnjy.com
（2）在图中∠+∠1＝ ，∠+∠2＝ ，∠+∠3＝ ，∠+∠4＝ ∠1+∠2+∠3+∠4＝ 则∠+∠+∠+∠＝
3、五边形的外角和等于 .
4、n边形的外角和等于 . 为什么？
☆ 结论：任意多边形的外角和是360°21世纪教育网
☆思考：多边形每增加一条边（或一个角），内角和增加 °，外角和 .
【课堂检测】
1、一个多边形每个外角都是60°，求这个多边形的边数；
[来源: 网21世纪教育网]
2、一个多边形每个内角都是135°，求这个多边形的边数；
3、一个多边形的每一个内角都比相邻的外角大36°，求这个多边形的边数.
【课后作业】21世纪教育网
1.（1）n边形的内角和等于 ，多边形的外角和都等于 ．
（2）一个多边形的内角和等于它的外角和，那么这个多边形是 边形．
（3）一个多边形的每个外角都是300， 则这个多边形是 边形．
（4）一个十边形所有内角都相等，它的每一个外角等于 度．
（5）一个五边形五个外角的比是2：3：4：5：6，则这个五边形五个外角的度数分别是 ．21世纪教育网版权所有
2. 一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.
3.一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数.
课件22张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.2 平行四边形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 平行四边形的边、角性质2.2 平行四边形1.理解平行四边形的定义及有关概念.
2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质.（重难点）
3.了解平行线间的距离的概念.
中国航母第一舰——辽宁号导入新课情景引入生活中，平行四边形无处不在，那么它有哪些性质呢？今天我们就一起来探讨一下吧！ 问题：如果将一个三角形的两边分别平移,会得到什么图形？ 请观察颜色相同的两组对边，它们有怎样的位置关系呢？讲授新课1.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 几何语言：
∵AB∥CD，AD∥BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形.如：线段AC就是□ABCD的一条对角线.3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.4.平行四边形中，相对的边称为对边，
相对的角称为对角.知识要点将两个全等的三角形纸片相等的边重合在一起，你能拼出平行四边形吗？你能拼出几个？与同学交流你的拼法，并把它展示出来.通过拼图你可以得到什么启示？平行四边形对边相等，对角相等1.有关四边形的问题常常转化为三角形问题解决；
2.平行四边形的一条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形；ABCD转化思想：四边形问题转化三角形问题证明：如图，连结AC
∵AD∥BC，AB ∥ CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌ △CDA
∴AB=CD，AD=CD，
∠B=∠D又∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
即∠BAD=∠DCB.典例精析 例2.不添加辅助线，你能否直接 运用平行四边形的定义，
证明其对角相等？
ABCD证明：∵AB∥DC
∠ABC+∠BCD=180°
AD∥BC
∴∠BAD+∠ABC=180°
∴∠BCD=∠BAD
同理 ∠ABC=∠ADC几 何 语 言边角文字叙述对边平行对边相等对角相等∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC ，AB∥DC.∴ AD=BC ，AB=DC.∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠ A=∠C，∠ B=∠D.∵ 四边形ABCD是平行四边形， 平行四边形的性质知识要点例3 有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？分析：利用平行四边形的性质解题解∵AE//BC，AB//CF∴四边形ABCD是平行四边形∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=60cm.∴ED=AD-AE=80-60=20cm.答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．这种现象说明了平行线的又一个性质：平行线之间的距离处处相等．探究AB 两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？abAB∟答：点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离. abABCD由上可知：如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点 到另一条直线的距离都相等。即如图：AB=CD
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.归纳总结思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.例4 如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .分析：根据平行线之间的距离处处相等.解：设高为h,则S△ABD= ·BD·h=16,h=4,
所以S △ACE= ×5 ×4=10.10典例精析1 .如图，在□ABCD中 (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ， ∠D=______. (2)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ ，∠B=______. (3)若∠A:∠B= 5:4，则∠C=______ ，∠D=______.
（4）若AB=3,BC=5,则它的周长= ______.
50°130°50°100°80°100°80°16当堂练习
2.如图，在 ABCD中，AB=8，周长等于24，求其余三条边的长.BCDA解：在 ABCD中，AB=DC,AD=BC(平行四边形的对边相等)
∵ AB=8，DC=8 又∵AB+BC+DC+AD=24,
∴AD=BC= (24-2AB)=43.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S □ABCD= .提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.40cm2(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是 .20cm2提示：△PBC与□ABCD是同底等高.平行四边形对边平行,对边相等，对角相等课堂小结两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质定义夹在两条平行线间的平行线段处处相等见《学练优》本课时练习课后作业课件13张PPT。2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入 在小学， 我们已经认识了平行四边形. 在图2-10 中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图2-10两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.读作：平行四边形ABCD记作： ABCD∴四边形ABCD是平行四边形∵四边形ABCD是
平行四边形合作探究两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的边、角有怎样的数量关系？用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不同的平行四边形？从拼图中可以得到什么启示？ 平行四边形可以由两个全等的三角形组成，因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连接对角线转化为两个全等的三角形进行解题. 在图2-13的□ABCD中，连接AC.∴ ∠1=∠2 ， ∠4=∠3.∴ AB∥DC ，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.∵ 四边形ABCD为平行四边形，又 AC =CA，∴ AB = CD，BC = DA，∠B =∠D.∴ △ABC≌△CDA. 又∠1+∠4=∠2+∠ 3. 即∠BAD=∠DCB.平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理：几何语言：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB＝CD，AD＝BC
（平行四边形的对边相等），∠A=∠C, ∠B=∠D
（平行四边形的对角相等）， 1、在 ABCD中，已知∠A=130°，则∠B=＿＿ ，∠C=＿＿＿ ，∠D＝＿＿＿.
 ????????????2、在 ABCD中，AB=2,BC=3，则这个平行四边形的周长是______. 50°50°130°10随堂训练3.如图所示，四边形ABCD是平行四边形
1）若周长为30㎝，CD＝6 ㎝，则AB＝ ㎝；
　 BC＝ ㎝；AD＝ ㎝.
2）若∠A＝70°，则∠B＝　 ,∠C＝ 　　； ∠D＝ .
3）若∠A＋∠C=80°，则∠A＝ ；
∠D＝ .1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习2．2　平行四边形
2．2.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角的性质
1．理解平行四边形的概念；(重点)
2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)
3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？21世纪教育网版权所有
二、合作探究
探究点一：平行四边形的定义
如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，从而可以推出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行四边形的定义即可推出结论．21教育网
证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．21cnjy.com
方法总结：平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．
探究点二：平行四边形的边、角的性质
【类型一】 利用平行四边形的性质求边长
如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．21·cn·jy·com
解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD＝EF，AD∥EF，DE＝AF＝2，∴∠ACB＝∠FEB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF，∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.故答案为7.www.21-cn-jy.com
方法总结：平行四边形对边平行且相等，根据该性质可解决和边有关的问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 利用平行四边形的性质求角度
　　　　　　　　　　　　　　　
如图，平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为(　　)
A．35° B．55°
C．25° D．30°
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A＝∠BCD＝125°.又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝∠ECD＝90°，∴∠BCE＝125°－90°＝35°.故选A.2·1·c·n·j·y
方法总结：平行四边形对角相等，对边平行，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型三】 利用平行四边形的性质证明线段相等
如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP.求证：FP＝EP.【来源：21·世纪·教育·网】
解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC＝∠GCB，再由等腰三角形性质求出∠DGC＝∠DCG，即可推出∠DCG＝∠GCB，根据等角的补角相等求出∠DCP＝∠FCP，根据SAS证出△PCF≌△PCE即可得出结论．21·世纪*教育网
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DGC＝∠GCB，∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠DCG，∴∠DCG＝∠GCB，∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，∴∠ECP＝∠FCP，在△PCF和△PCE中，∴△PCF≌△PCE(SAS)，∴PF＝PE.21*cnjy*com
方法总结：利用平行四边形的性质可得出相应的等量关系，进而通过证明三角形的全等得出结论．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型四】 判断直线的位置关系
如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，如图连接DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．www-2-1-cnjy-com
解析：由AB＝2AD，M是AB的中点的位置关系，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的角平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．【来源：21cnj*y.co*m】
解：DM与MC互相垂直，∵M是AB的中点，∴AB＝2AM，又∵AB＝2AD，∴AM＝AD，∴∠ADM＝∠AMD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠AMD＝∠MDC，∴∠ADM＝∠MDC，即∠MDC＝∠ADC，同理∠MCD＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠BCD＋∠ADC＝180°，∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，∴∠DMC＝90°，∴DM与MC互相垂直．【出处：21教育名师】
方法总结：根据平行四边形对边平行、对角相等，邻角互补等性质再结合三角形全等、等腰三角形的知识可证明线段垂直、平行等问题．【版权所有：21教育】
探究点三：两平行线间的距离
如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等．
解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴△EGO的面积等于△FHO的面积．2-1-c-n-j-y
方法总结：解题的关键是明确两平行线间的距离相等；同底等高的两个三角形的面积相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．平行四边形的定义
2．平行四边形的边、角的性质
3．两平行线间的距离
　　
从现实生活中抽象出图形，理解和掌握平行四边形边、角的性质，学生能很好的运用，只是在推理过程中不是很完美，在以后的数学中要根据不同的情况加强这方面的训练
2.2 平行四边形
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
一、本课学习目标与任务：
理解并掌握平行四边形的定义；
(2)掌握平行四边形的性质定理；
(3)理解两条平行线的距离的概念.
二、知识链接：
四边形中的“对边”和“对角”：
如图，四边形ABCD中，AB与CD是一组对边，则另一组对边是 ；21教育网
在四边形ABCD中，∠A与∠C是一组对角，则另一组对角是 .
三、自学任务（分层）与方法指导：
1、阅读教材，（1）默写平行四边形的定义： 的四边形叫平行四边形.2·1·c·n·j·y
（2）若AD∥HE，AH∥FC，BG∥DE，
用正确的方法表示下图中的平行四边形：
.
（3）平行四边形是一种特殊的四边形，由定义可知它的边有什么特殊性质？通过观察或测量，从边的角度看，平行四边形还有什么性质？从角的角度看，平行四边形还有什么性质？21·cn·jy·com
边： 21·世纪*教育网
角： www-2-1-cnjy-com
2、解读平行四边形的定义：
（1）定义中的关键词： 两组对边 分别平行 四边形
（2）几何语言表述定义： ∵ ∥ ， ∥ ， ∴四边形ABCD是平行四边形 .
（3）定义的双重作用： 具备“ 分别平行”的四边形，才是“平行四边形”
反过来，“平行四边形”就一定具有“两组对边分别 ”性质.
3、新知应用：
例1 如图，四边形AFCE和四边形BFDE都是平行四边形，AF、BE交于点G，DF、CE交于点H.求证：四边形EGFH为平行四边形.2-1-c-n-j-y
4、性质推导
（1）性质1 几何语言表示：∵□ABCD，∴
学生口述证明过程.
（2）性质2 几何语言表示：∵□ABCD，∴
学生口述证明过程.
（3）如图，l1∥l2,l3∥l4，你从中发现的平行四边形为 ，有哪几组线段相等？ 21cnjy.com
推论：夹在两条平行线间的
（4）两条平行线间的距离.
①两相交直线无距离可言
②与两点的距离、点到直线的距离的区别与联系
例2（1）在□ABCD中，∠A＝500，求∠B、∠C、∠D的度数.（2）在□ABCD中，∠A＝∠B＋24°，求∠A的邻角的度数.（3）平行四边形的两邻边的比是1：3，周长为36cm，求四边形的各边的长.www.21-cn-jy.com
小组合作探究问题与拓展
1、在□ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，求∠C、∠D的度数.
2、在□ABCD中，若AC＝8，AD＝6，求边AB的取值范围.
3、如图，在□ABCD中，AE＝CF，求证：AF＝CE．
自学与合作学习中产生的问题及记录
当堂检测题
1．在□ABCD中，∠A＝153°，则∠B＝ °，∠C＝ °，∠D＝ °．
2．如果□ABCD中，∠A—∠B＝37°，则∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，∠D＝ °．
3．如果□ABCD的周长为28cm，且AB：BC＝2∶5，那么AB＝ cm，BC＝ cm，CD＝ cm，AD＝ cm．【来源：21·世纪·教育·网】
4．若平行四边形的两个内角之比为1∶2，则其中较小的内角是（ ）度.
A、90 B、60 C、120 D、45
5．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（ ）．
A、对角相等 B、对角互补 C、邻角互补 D、内角和是360° E、不稳定
6．如图：在□ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）．21世纪教育网版权所有
A、4个 B、5个 C、8个 D、9个
7、如图AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB＝CE.
课件12张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.2 平行四边形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 平行四边形的对角线的性质2.2 平行四边形1.探索并掌握平行四边形对角线性质；
2.灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算.
导入新课情境引入如图， ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O.
(1)图中有哪些三角形是全等的?有哪些线段是相等的?
(2)能设法验证你的猜想吗? 如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O 旋转180°，你发现了什么? 讲授新课平行四边形的对角线的性质一你有什么猜想？平行四边形的对角线互相平分.O例1 已知：如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC. ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA=OC，OB=OD.3241典例精析1 . △ABO≌ △CDO， △AOD ≌ △COB， △ ABD ≌ △CDB， △ ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.平行四边形的对角线互相平分.知识要点 例2 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=5∴AB⊥AC∴△ABC是直角三角形AO= AC=2∴BD=2BO= 典例精析1.如图在□ABCD中，AC、BD相交于点O.（1）已知BC=10，AC=8，BD=14，则△AOD的周长是 ； △DBC 比△ABC的周长大 .216△DBC 与△ABC的周长差实为BD与AC之差.当堂练习2.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长.810解：∴△ABC是直角三角形又∵AC⊥BC∴BC=AD=8，CD=AB=10又∵OA=OC∴∴？？？∵四边形ABCD是平行四边形.平行四边形对角线互相平分课堂小结对角线的性质见《学练优》本课时练习课后作业课件15张PPT。第2课时 平行四边形的对角线的性质情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的： 老大老二老三老四 当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 如图2-16，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O. 比较OA ，OC ，OB ，OD 的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？合作探究 从而 ∠1=∠2，∠3=∠4.所以 △OAB≌△OCD.(ASA)于是 OA=OC，OB=OD. 这个猜测对吗？下面我们来进行证明.如图2-17，由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AB=CD，且AB∥CD.图 2-17几何语言表示：由此得到平行四边形的性质定理：(3)平行四边形的对角线互相平分.O●老大老四老三老二M老人分地合理吗？解决问题结论：平行四边形被两条对角线分成面积相等的四等份。例1:如图2-18，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8. 试求△COD的周长.又∵ CD = 4.8，∴ △COD的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8.图2-18354.8例2:如图2-19，在□ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.∵ AD∥BC，
∴ ∠MAO =∠NCO.又∠AOM=∠CON，∴ △AOM≌△CON(ASA)∴ OM= ON.∴ 点O是线段MN的中点.1、在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，指出图形中相等的线段.随堂训练2、平行四边形不具有的性质是 （ ）
A.对角相等 B. 对角线相等且互相平分
C.对边平行且相等 D.对角线互相平分B3、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？ 解：在平行四边形ABCD中，
∵AB＝6，AO+BO+AB＝15，
∴　AO+BO＝15-6＝9．
又∵　AO＝OC， BO＝OD
(平行四边形对角线互相平分)，
∴　AC+BD＝2AO+2BO＝2(AO+BO)
＝２×９＝184.如图所示, □ABCD的对角线相交于O,AC⊥BC于C,已知AC=6,BC=4,求BD的长.==ABCDABCDABCDO课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习第2课时　平行四边形的对角线的性质
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点)
2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？【出处：21教育名师】
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线的性质
【类型一】 利用平行四边形对角线的性质求线段长
　　　　　　　　　　　　　　　
已知：?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．21世纪教育网版权所有
解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．21教育网
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵?ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝cm，AD＝BC＝cm.www-2-1-cnjy-com
方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】 利用平行四边形对角线的性质证明线段或角相等
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F，求证：OE＝OF.www.21-cn-jy.com
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出结论．【来源：21cnj*y.co*m】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【版权所有：21教育】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
【类型三】 判断直线的位置关系
如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．21·世纪*教育网
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再证△BOE≌△DOF，从而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，在△OFD和△OEB中，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.2·1·c·n·j·y
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果条件中有对角线时，可利用三角形全等解决．
探究点二：平行四边形的面积
在?ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．21cnjy.com
　　
解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底同高的三角形的面积相等解答；
(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底同高的三角形的面积相等解答．
(1)证明：在?ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，∴S△ABO＝S△CBO；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)解：S△ABP＝S△CBP.在?ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.21·cn·jy·com
方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．2-1-c-n-j-y
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分
2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长21*cnjy*com
第2课时 平行四边形的对角线的性质
学习目标：使学生进一步掌握平行四边形的性质--平行四边形的对角线互相平分.
学习重点：平行四边形对角线性质的推导.
学习难点：平行四边形对角线性质的应用.
学习过程：
一、复习提问
1. 什么叫平行四边形？
（有两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.）
2.到目前为止，我们知道了它的哪些性质？
（平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等.）
二、问题导入：
平行四边形除了对边相等，对角相等之外，还有什么性质呢?下面，我们一起来探讨.
自主探究：
（1）量一量教材中的线段OA、OC、OB、OD的长，并比较OA、OC、OB、OD的大小,由此你能得到什么结论？ AC和BD的长度相等吗？
探究交流：
探究点拨：
你的结论是：
（2）是否对于任何平行四边形对角线的交点就是每一条对角线的中点？如果是，请说明理由.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥DC（ ）
∴∠ =∠ ，∠ =∠
又∵AB=DC
∴ ≌ （ ）
∴ （ ）
（3）用一句话把平行四边形的这条性质表达出来.
估计学生会想到：（1）平行四边形的对角线互相平分,（3）平行四边形的对角线的交点是每条对角线的中点.(3)平行四边的对角线不一定相等.21世纪教育网版权所有
得出结论 平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.
即：如果四边形ABCD是平四边形，那么OA=OC，OB=OD.
三、实践应用：
例1.
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．21教育网
学生解答
交流汇报
老师点拨规范解答
思路点拨：
由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积． 21cnjy.com
例2
已知：如图2， □ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．试探究OE与OF的大小关系，并说明理由．www.21-cn-jy.com
学生解答
1.交流汇报
2.老师点拨规范解答
思路点拨：
由平行四边形的对角线互相平分可得OB与OD相等，
再根据△OBE≌△ODF，从而得出OE与OF相等.
四、课堂小结：
1.到目前为止，你知道了平行四边形的哪些性质？
2.这些性质的简单应用，你会了吗？
五、达标检测：
必做题
1.判断对错
（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ）
（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ）
（4）平行四边形是轴对称图形． （ ）
2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ．2·1·c·n·j·y
4.□ABCD中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________.
5.□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是__________.
6.如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？【来源：21·世纪·教育·网】
7.在平行四边形中，周长等于48，
已知一边长12，求各边的长
已知AB=2BC，求各边的长
已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长.
8．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15m，AD＝12m，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．21·世纪*教育网
选做题：
1.在□ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，求AC＋BD的值.21·cn·jy·com
2. 已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．
求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．
3.如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，求△OBC的周长.
课件16张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时 平行四边形的判定定理1,22.2.2 平行四边形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件2.2 平行四边形 学习目标1.运用类比的方法，探索平行四边形的判定方法;
2.理解平行四边形的判定方法，并会简单运用; 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等.平行四边形的对角线互相平分.既是平行四边形的性质也是平行四边形的判定. 你能说出这三个性质的逆命题吗？知识链接两个命题的题设、结论正好相反，这样的两个命题叫做互逆命题.复习引入 性质： 通过前面的学习，我们知道，平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 你能根据平行四边形的定义证明它们吗？观察与思考作对角线构造全等三角形两组对应角相等两组对边分别平行四边形ABCD是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.问题：已知：四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边 形ABCD是平行四边形.讲授新课连接AC，
∵AB∥CD， ∴∠2=∠3
在△ABC和△CDA中,AB=CD (已知)AC=AC（公共边）∠3=∠2∴△ABC≌△CDA(SAS)∴ ∠1=∠4， 又 ∠ 2=∠3∴AB∥ CD , AD∥ BC∴四边形ABCD是平行四边形.例1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形． 证明：∵在平行四边形ABCD中，
AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线
∴∠B=∠D,AB=CD,
∠BAE=∠DCF= ∠DAB= ∠BCD 典例精析∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF∴AF=CE ∵AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.例2 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.问题：已知：四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.作对角线构造全等三角形两组对应角相等两组对边分别平行四边形ABCD是平行四边形连结AC，在△ABC和△CDA中,AB=CD (已知)BC=DA(已知)AC=CA (公共边)∴△ABC≌△CDA(SSS)∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3∴AB∥ CD , AD∥ BC∴四边形ABCD是平行四边形.例3 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.
求证：四边形AECF为平行四边形解：可求得△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
又∵AF=CE
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形∴AD ∥ BC且AD =BC∠EAD= ∠FCB∴△AED ≌ △ CFB(SAS)∴DE=BF∴四边形BFDE是平行四边形在△AED和△CFB中同理可证：BE=DF1.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形当堂练习2.已知：如图，E,F分别是 平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点.
求证：BE=DF.D证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD AD=BC∵E,F分别是AD,BC的中点，∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等).平行四边形的判定方法：定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形.判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.知识要点课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。2.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定定理1、2情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练实验室有一块平行四边形的玻璃片（记作:□ABCD),在做实验时,小明不小心碰碎了一部分(如图所示),他想配一块一模一样的赔给学校，如果把剩下的玻璃带去玻璃店，他能做到吗？情景引入 从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB 出发，画出一个平行四边形呢？图2-20合作探究 如图2-20， 把线段AB平移到某一位置，得到线段DC， 则可知AB∥DC ，且AB=DC. 由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质: 两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC. 由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.图2-20 实际上，上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图2-21，已知AB∥DC ， 且AB=DC ，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.图2-21由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC.因此BE=FD.又 BE∥FD，∴四边形BEDF是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)例1 如图2-23，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
把上述问题抽象出来就是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？图2-23∴ ∠1=∠2.下面我们来证明这个结论.如图2-24，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC.∵ AB=CD，BC=DA，AC=CA ，∴ △ABC≌△CDA.∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的
四边形是平行四边形）.则 AD∥BC.图2-24由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.例2
∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB=DC ，AD=BC .随堂训练 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F
分别是边BC，AD的中点. 找出图中所有的平行四边形，
并且说出理由.
解：□ABCD：两组对边分别相等的
四边形是平行四边形.
□ABEF 和□ FECD ：一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形.
3.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形.4.已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点.求证：EF//AD//BC.5.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形.1、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.平行四边形的判断定理：课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习2．2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1、2
1．掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
2．掌握“对边分别相等的四边形是平行四边形”的判定方法；(重点)
3．平行四边形判定定理的综合应用．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它就具有如下的一些性质：
1．两组对边分别平行且相等；
2．两组对角分别相等；
3．两条对角线互相平分．
那么，怎样判定一个四边形是否是平行四边形呢？当然，我们可以根据平行四边形的原始定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形加以判定．那么是否存在其他的判定方法呢？21cnjy.com
二、合作探究
探究点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．2·1·c·n·j·y
解析：首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，可证出AD∥CB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
解：四边形ABCD是平行四边形，证明：∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB，又∵AF＝CE、DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．www.21-cn-jy.com
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出三角形全等．21教育网
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：四边形PONM是平行四边形．
解析：在Rt△MON中，由勾股定理建立方程，求出x的值，进而得出四边形PONM各边的长，然后再根据平行四边形的判定定理即可得证．【来源：21·世纪·教育·网】
证明：Rt△MON中，由勾股定理，得(x－5)2＋42＝(x－3)2，解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN.∴四边形PONM是平行四边形．
方法总结：要依据图形的特点及已知条件选择适当的方法来证明一个四边形是平行四边形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
探究点三：平行四边形的判定定理与性质的综合应用
【类型一】 利用性质与判定证明
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
解析：(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF，再利用已知得出△ADE≌△BCF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．www-2-1-cnjy-com
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(AAS)；2-1-c-n-j-y
(2)解：四边形BFDE是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB.∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，21*cnjy*com
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
方法总结：平行四边形对边相等，对角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．【出处：21教育名师】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
【类型二】 利用性质与判定计算
如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm.试求此六边形的周长．21世纪教育网版权所有
解析：由∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，联想到它们的邻补角(即外角)均为60°，如果能够组成三角形的话，则必为等边三角形．事实上，设BC、ED的延长线交于点N，则△DCN为等边三角形．由∠E＝120°，∠N＝60°，可知EF∥BN.同理可知ED∥AB，于是从平行四边形入手，找出解题思路．【来源：21cnj*y.co*m】
解：延长ED、BC交于点N，延长 EF、BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°，∴∠NDC＝∠NCD＝60°.∴∠N＝60°.同理，∠M＝60°.∴△DCN、△FMA均为等边三角形．∴∠E＋∠N＝180°.同理∠E＋∠M＝180°.∴EM∥BN，EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形．∴BN＝EM，MB＝EN.∵CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF＝5cm，∴CN＝DN＝2cm，AM＝FM＝5cm.∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)．∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39cm.21·世纪*教育网
方法总结：解此题的关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，从而利用平行四边形的知识来解决．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
三、板书设计
1．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
本节课，学习了平行四边形的两种判定方法，对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环
第1课时 平行四边形的判定定理1、2
学习水平
知识目标细化
识
记
领
悟
运
用
分
析
综
合
评
价
目标一
掌握平行四边形的判定方法（1，2）
√
目标二
能根据条件判定一个四边形是平行四边形
√
目标三
综合利用平行四边形的性质和判定解决问题
√
[来源: 网]
重、难点
?重点：平行四边形的判定定理（一，二）及应用．
?难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
导 学 过 程 设 计
自学
认真阅读教材, 通过阅读课本，初步了解平行四边形从边的判定方法. 完成定理1的证明.
1.一组对边____________________的四边形是平行四边形.
2.两组___________________的四边形是平行四边形.
3.在下列条件中,不能判定四边形是平行四边形的是( )
AB∥CD,AD∥BC （B） AB=CD,AD=BC
(C)AB∥CD,AB=CD (D) AB∥CD,AD=BC
4. 四边形ABCD中，AD∥BC，要使它平行四边形，需要增加条件 （只需填一个条件即可）.
5. □ABCD中，已知AB=CD=4，BC=6,则当AD=------时，四边形ABCD是平行四边形.
6、把两个全等的非等腰三角形拼成平行四边形，可拼成不同的平行四边形的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
议学
一个四边形，从边的角度去考虑，需要具备哪些条件就可以判定它为平行四边形？

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例1 已知在 ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点.
求证：EF//AD
悟学提高
已知：如图 在□ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点．
（1）连接AF、EC分别交BE、DF于点G、点H，你能得出什么论？
小组同学讨论.
（2）连接GH，你又能 得出什么结论？
课后练习
1.已知：如图，E,F分别是 ABCD 的边AD,BC的中点.
求证：BE=DF
21世纪教育网
2.已知：如图，AD⊥AC,BD⊥AD,且AB=CD.
求证：AB∥CD.
3．已知：如图，E和F是ABCD对角钱AC上两点，AE＝CF．
求证：四边形BFDE是平行四边形．21世纪教育网
4．如图，平行四边形ABCD中，EF为边AD、BC上的点，且AE=CF，
连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：MFNE是平行四边形
课件15张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 平行四边形的判定定理32.2.2 平行四边形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件2.2 平行四边形 学习目标1.利用对角线互相平分判定平行四边形;（重点）
2.利用两组对角分别相等判定平行四边形.平行四边形的判定方法：判定定理1 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.复习引入导入新课讲授新课工具：两支长度不相等的铅笔.动手：能利用这两支笔摆出一个平行
四边形吗？试试看！合作探究问题： 已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：对顶角相等.在△AOB和△COD中,OA=OC (已知)OB=OD (已知)∠AOB=∠COD (对顶角相等)∴△AOB≌△COD(SAS)∴ ∠BAO=∠OCD , ∠ ABO=∠CDO∴AB∥ CD , AD∥ BC∴四边形ABCD是平行四边形. 以上活动事实，蕴含了一个怎样的数学结论？平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是
平行四边形.∵OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行 四边形）思考：归纳：几何语言：典例精析例1 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，
并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.O证明：连接BD在ABCD中，AO=CO，BO=DO∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF∴EO=FO
又 ∵BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形.(对角线互相平分的四边形是平行四边形）例2 已知：四边形ABCD中, ∠A=∠C ，∠B=∠D.
试问：四边 形ABCD是平行四边形吗？请说明理由。解：是平行四边形.理由如下：∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°又∵∠A=∠C，∠B=∠D∴2∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴ AD∥ BC同理得 ：AB∥ CD∴四边形ABCD是平行四边形。同理得 ：AB∥ CD∴四边形ABCD是平行四边形。∴2∠A+2∠B=3600即∠A+∠B=1800∴ AD∥ BC同理得 ：AB∥ CD∴四边形ABCD是平行四边形。由上述证明可以得到平行四边形的判定定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.几何语言描述判定：∠A=∠C
∠B=∠D归纳总结当堂练习Ａ．１：２：３：４　Ｃ．２：３：２：３　　　Ｂ．２：２：３：３ 需要两组对角分别相等.Ｄ．２：３：３：２C1.下面给出了四边形ＡＢＣＤ中 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ
的度数之比，其中能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是（ ）2.下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.∠A=∠C，∠B=∠D
B.∠A=∠B=∠C=900
C.∠A+∠B=1800 ，∠B+∠C=1800
D.∠A+∠B=1800 ，∠C+∠D=1800D 若一组对边平行,另一组对边相等，这个四边形是平行四边形吗？C4.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．

∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，课堂小结 判定 1 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定定理：见《学练优》本课时练习课后作业课件14张PPT。情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练第2课时 平行四边形的判定定理3定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形说一说：我们已经学过平行四边形的哪些判定方法?定义: 两组对边分别平行的四边形是
平行四边形定理1: 一组对边平行且相等的四边形 平行四边形 情景引入工具：两支长度不相等的铅笔.动手：能利用这两支笔摆出一个平行
四边形吗？试试看！合作探究ABCDO已知:四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
试说明：四边形ABCD是平行四边形. 以上活动事实，蕴含了一个怎样的数学结论？平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是
平行四边形.∵OA=OC，OB=OD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行 四边形）思考：归纳：几何语言：例1.已知：如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，点E、F在BD上，且OE=OF.CBODAFE求证：四边形BFDE也是平行四边形.典例精析证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC.
又∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形.例2.已知：如图，在四边形ABCD中，
∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D求证：四边形ABCD是平行四边形.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.归纳：证明：∵ ∠A= ∠ C, ∠ B= ∠ D，
∠A+∠ B+∠ C+∠ D=360°，
∴ ∠A+∠ B=360°/2=180°.
∴AD//BC,
同理，AB//DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.1.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.O随堂训练2.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形.ABCDEF3.已知：如图,在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形.4.如图，在△ABC中，AB=14，BC=18，AD是AC边上的中线，求AC的取值范围.课堂小结平行四边形的判定：
两组对角分别相等；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.课后作业 见《学练优》本课时练习第2课时　平行四边形的判定定理3
1．掌握平行四边形的判定定理3；(重点)
2．综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．(难点)
一、情境导入
我们已经学习了哪些平行四边形的判定方法？
平行四边形的对角线互相平分的逆命题是什么？是否是真命题．
是否存在其他的判定方法？
二、合作探究
探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；
(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，只需证OE＝OF就可以了．
证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D，在△AOC和△BOD中.∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO.∴四边形AFBE是平行四边形．21世纪教育网版权所有
方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．21cnjy.com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解析：(1)可根据三角形的内角和为180°得出∠D的大小；(2)根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形证明即可．2·1·c·n·j·y
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四边形ABCD是平行四边形．www.21-cn-jy.com
方法总结：根据已知条件判定角相等，从而判断四边形是平行四边形，是解题的常用思路．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点三：平行四边形性质和判定的综合应用
如图，在?ABCD中，点E、F在AC上，且AE＝CF，点G、H分别在AB、CD上，且AG＝CH，AC与GH相交于点O.求证：21·世纪*教育网
(1)EG∥FH；
(2)EF与GH互相平分．
解析：(1)欲证EG∥FH，需证∠OEG＝∠OFH.欲证∠OEG＝∠OFH，需证∠AEG＝∠CFH，故可先证△AGE≌△CFH；(2)要证EF与GH互相平分，只需证四边形GFHE是平行四边形即可由其性质得证．21·cn·jy·com
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GAE＝∠HCF.又∵AE＝CF，AG＝CH，∴△AGE≌△CHF.∴∠AEG＝∠CFH.∴180°－∠AEG＝180°－∠CFH，即∠OEG＝∠OFH.∴EG∥FH；2-1-c-n-j-y
(2)连接FG、EH.∵△AGE≌△CHF，∴EG＝FH.又∵EG∥FH，∴四边形GFHE是平行四边形．∴EF与GH互相平分．21教育网
方法总结：综合运用平行四边形的性质和判定定理时，一般先判定一个四边形是平行四边形，然后再根据平行四边形的性质解决有关角相等或互补、线段的相等或倍分、两直线平行等问题．21*cnjy*com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
如图所示，AD、BC垂直且相交于点O，AB∥CD，BC＝8，AD＝6，求AB＋CD的长．
解析：过点C作CE∥AD交BA的延长线于E，根据平行四边形的知识把两条线段转化到一条线段上，然后通过勾股定理求解．【来源：21cnj*y.co*m】
解：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，∵AB∥CD，AD∥CE，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD，CE＝AD＝6，由CE∥AD得∠BCE＝∠BOA＝90°，∴BE＝＝＝10.∵BE＝AB＋AE＝AB＋CD，∴AB＋CD＝10.
方法总结：求线段长度之和时，如果不能求出各条线段的长度，一般通过作辅助线，将两条线段转化到同一条线段上，再放到一个直角三角形内，利用勾股定理求解．
三、板书设计
1．对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
大部分学生都能根据已知条件判断平行四边形，但对于平行四边形的性质与判定在综合运用过程中所表现出来的灵活度还不够，特别是少数同学还不知从何处着手，在今后的教学中，应适时专项重点强化，使学生不断提高www-2-1-cnjy-com
第2课时 平行四边形的判定定理3
学习水平
知识目标细化
识
记
领
悟
运
用
分
析
综合
评
价
目标一
掌握平行四边形的判定方法（3）
√
目标二
能根据条件判定一个四边形是平行四边形
√
目标三
综合利用平行四边形的性质和判定解决问题
√
重、难点
?重点：平行四边形的判定定理（3）及应用．
?难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．
导 学 过 程 设 计
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认真阅读教材, 通过阅读课本，了解平行四边形从对角线的判定方法.完成定理的证明.
1.对角线____________________的四边形是平行四边形.
2. 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件是： （只需填一个你认为正确的条件即可）.[来源: 网]
3.在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，且OA=OC,OB=OD,下列结论不一定成立的是（ ）
A. AD=BC B. AB//CD C. ∠DAB=∠BCD D. ∠DAB=∠ABC

议学
判定一个四边形是平行四边形，我们有哪些方法？请把它都写下来.
2.已知：如图，E，F是 ABCD的对角线BD上的两点，且∠BAE=∠DCF.求证：四边形AECF是平行四边形.
悟学提高
在平面直角坐标系中，
四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.
课后练习
1. 下列两个图形，可以组成平行四边形的是（ ）
A.两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个锐角三角形D. 两个全等三角形
2. .如图，在 平行四边形ABCD中P1,P2是对角线BD的三等分点.
求证：四边形AP1CP2是平行四边形.
变式1： 已知：如图，在 平行四边形ABCD中，Ｅ，Ｆ是对角线ＢＤ
上的两点，且BＥ＝ＤＦ．
求证：四边形AECF是平行四边
3、已知：如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F是对角线 BD上的两点，且OE=OF求证：四边形AECF是平行四边形
4:已知：如图,在平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点,且BE=DF.M,N分别是AD和BC边上的中点.求证：四边形ENFM是平行四边形.
X&X&K]
任意画一个三角形和三角形一边上的中线.比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么?再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗?试证明你的发现21世纪教育网
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课件21张PPT。2.3 中心对称和中心对称图形第2章 四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结学练优八年级数学下（XJ）
教学课件第1课时 中心对称及其性质1.理解中心对称的定义.
2.探究中心对称的性质.(难点）
3.掌握中心对称的性质及其应用.（重点）导入新课1.从A旋转到B,旋转中心
是?旋转角是多少度呢?oABCD2.从A旋转到C呢?3.从A旋转到D呢?观察与思考讲授新课 重 合O重 合AＯDBC 像这样，把一个图形绕某一个点旋转180o，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心；这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
填一填：
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则____是对称中心，点A与_____是对称点， 点B与____是对称点.OCD归纳总结1.中心对称是一种特殊的旋转.特殊在其旋转角是180 °.2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.如图，旋转三角尺，画出△ABC关于点O中心对称的△A′B′C′ .A′CABB′C′找一找:下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系?(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′（2）△ABC≌△A′B′C′归纳总结 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中
心，而且被对称中心所平分.
（即对称点与对称中心三点共线） 2.中心对称的两个图形是全等形.中心对称的性质AOA'第一步：连接AO，第二步：延长AO至A'，使OA'=OA，
例1 (1)已知A点和O点，画出点A关于点O的对称点A'.则A'是所求的点.典例精析 (2)已知线段AB和O点，画出线段AB关于点O的对称线段A' B' .B'A'ABO简记为:一连接;二延长;三截取等长;四连线.(3)如图，选择点O为对称中心,画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.A′C′B′△A′B′C′为所求作的三角形BAC 考考你
如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O. 解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）.OO解法2：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求（如图）.
注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法2.轴 对 称中心对称123翻转后和另一个图形重合旋转后和另一个图形重合1当堂练习1.判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（ ）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ） √√× 2.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有
（ ）  A.1组 B.2组 C.3组 D.4组D3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（　　）
A.2　　　 B.4　　　　　　
C.6　　 D.8
　　　 BA′B′C′4.如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.课堂小结中心对称概念旋转角是180°性质1.对称中心与两对称点三点共线；
2.成中心对称的两个图形是全等形作图应用1：作中心对称图形；
应用2：找出对称中心.见《学练优》本课时练习课后作业课件28张PPT。2.3 中心对称与中心对称图形第1课时 中心对称及其性质情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练观察下面的图形，你有什么发现？情景引入下面各组图形，通过怎样变换可以使它们重合?（1）（2）OO合作探究(1) 这些图形有什么共同的特征？(2) 你能将上图中的“风车”绕其上的一点旋转180o，使旋转前后的图形完全重合吗？正六边形呢？都可由一个基本图形旋转而成ABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’OABCA’C’B’O把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称,也称这两个图形成中心对称这个点叫作对称中心2个图形中的对应点叫做对称点 把一个图形绕某一点旋转1800,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称,这个点叫做对称中心,两个图形中的对应点叫做对称点.中心对称 性质1：关于中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质. 中心对称还有哪些性质呢？中心对称有什么性质呢？即关于中心对称的两个图形是全等形 性质2：成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
D'C'B'A'ABCDOAO1.已知点A和点O，画出点A关于点O的对称点A ′2.已知线段AB和点O，画出线段AB关于点O的对称图形OB ′A′随堂训练3.判断两个全等的图形是否关于某一点对称1.中心对称及对称中心的概念
2.中心对称的两条基本性质：
（1）关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习2．3　中心对称和中心对称图形
第1课时　中心对称及其性质
1．掌握中心对称和中心对称图形的概念和基本性质；(重点)
2．会运用中心对称的性质作图．(难点)
一、情境导入
剪纸，又叫刻纸，是中国汉族最古老的民间艺术之一，它的历史可追溯到公元6世纪．如图剪纸中两个金鱼之间有什么关系呢？21·cn·jy·com
二、合作探究
探究点一：中心对称的识别
下列各组中的△ABC与△A′B′C′是否成中心对称？
解析：①③中，找不到一个点，使其中一个三角形绕该点旋转180°后与另一个三角形重合，∴△ABC与△A′B′C′不成中心对称；②中，设点C是对称中心，发现CA绕点C旋转180°到达C′A′，CB绕点C旋转180°到达C′B′，点A、B与点A′、B′分别关于点C对称，∴△ABC与△A′B′C′关于点C成中心对称；④中，连接BB′交AC于点O，显然OA绕点O旋转180°能到达OA′，OB绕点O旋转180°能到达OB′，即点A(C′)、B与点C(A′)、B′分别关于点O对称，∴△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称．www.21-cn-jy.com
解：①③中的△ABC与△A′B′C′不成中心对称，②④中的△ABC与△A′B′C′成中心对称．
方法总结：确认两个图形关于某点成中心对称的依据是：能否使各个点绕某一点旋转180°到达各自的对应点．如果能，那么这两个图形就关于该点成中心对称，否则就不成中心对称．【来源：21·世纪·教育·网】
探究点二：中心对称的性质
如图，已知△ABC与△DEF是成中心对称的两个图形，试找出它们的对称中心，并找出图中的等量关系．2·1·c·n·j·y
解析：因为成中心对称的两个图形可以是其中一个图形绕某一点旋转180°得到，因此对称中心在对称点的连线上，并且到对应点的距离相等．21教育网
解：如图，分别连接AD、CF交于点O，点O就是对称中心. 相等的线段：AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE.相等的角：∠CAB＝∠FDE，∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
方法总结：在成中心对称的两个图形中寻找对称点的规律：①对称点与对称中心在一条直线上；②对称点分别位于对称中心的两侧；③对称点到对称中心的距离相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点三：中心对称的作图
按下列要求作一个与图中所示四边形ABCD成中心对称的四边形．
(1)以顶点A为对称中心；
(2)以BC的中点O为对称中心．
解析：根据中心对称的性质，将四边形各顶点与对称中心连接并延长，使对应线段分别相等，即可找出各顶点的对应点，连接对应顶点得到的即是与已知四边形ABCD成中心对称的四边形．21世纪教育网版权所有
解：(1)如图①所示；
(2)如图②所示．
方法总结：作一个图形关于某点成中心对称的图形，关键是作出已知图形中特殊点的对应点．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．中心对称的概念
2．中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
3．根据性质作图的关键是做出已知图形中特殊点的对应点
通过练习的情况来看，学生对于中心对称的作图掌握较好，解题也相当熟练，而对于中心对称、对称中心等概念的理解上还不透彻，有些模棱两可，在以后的教学中要通过实例或图形不断加以强化21cnjy.com
2.3 中心对称和中心对称图形
第1课时 中心对称及其性质
学习目标：
1、掌握中心对称的定义以及相关概念.理解中心对称的性质，能够利用性质解决相关问题.
2、能够依据中心对称的性质解决相关作图问题.
重点：作图以及利用性质解决问题.
难点：利用性质解决问题.
学习过程：
一、自学教材回答下列问题.
1、自学教材思考，解答：有何__________________________.
2、把一个图形__________________________________________那么就说这两个图形关于这个点中心对称.这个点叫_______.21教育网
二、自学教材探究，回答下列问题：
1、利用旋转的性质——对应点到_________的距离相等，可知中心对称的两个图形的对称点到______的距离相等，亦即对称点的连线被__________平分.对称点的连线经过_________.
2、由旋转的性质——旋转前后对应的线段___________,可知中心对称的两个图形的对称线段_______，由此可得到，中心对称的两个图形是__________.21cnjy.com
三、利用上述性质解答：（可参看教材例题）
例（1）如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′.
A O

（2）如图，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′.
(3)、如图，已知△ABC与△A’B’C’中心对称，求出它们的对称中心O.
四、随堂检测：
1、下列说法错误的是?(? ?)
A．中心对称图形一定是旋转对称图形
B．轴对称图形不一定是中心对称图形??C．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都被对称中心平分
D．旋转对称图形一定是中心对称图形.
2、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是(???? )?(A) 平行?? (B) 相等?? (C) 平行且相等?? (D) 相等且平行或在同一直线上
3、 如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，并且被平分，则这两个图形一定关于这一点成____________对称．21世纪教育网版权所有
? 4、ΔABC和ΔA’B’C’关于点O中心对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积为6cm2,则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________.
5、下图中②③④⑤分别由①图顺时针旋转180°变换而成的是____________.
6、在下面四个图形中，图形①与_______成轴对称，图形①与图形________成中心对称．
7、如下图所示的四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称__________组.

课件21张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.3 中心对称和中心对称图形第2章 四边形学练优八年级数学下（XJ）
教学课件第2课时 中心对称图形1.会识别中心对称图形.（难点）
2.会运用中心对称图形的性质解决实际问题.（重点）
魔术时间 桌上有四张牌，将其中一张牌旋转180度后，你很快能猜出是哪一张吗？导入新课讲授新课（1）线段（2）平行四边形AB问题：将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？O共同点：（1）都绕一点旋转了180度；（2）都与原图形完全重合.如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形；这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对称点. OBACD中心对称图形的定义归纳总结√√(1)(2)(3)√（4）判一判：下列图形中哪些是中心对称图形？×等边三角形不是中心对称图形！等边三角形是不是中心对称图形？探究与归纳ABDCO（1）中心对称图形的对称点连线都经过________（2）中心对称图形的对称点连线被____________对称中心对称中心平分 中心对称图形上的每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分．如何寻找中心对称图形的对称中心？画一画
1.下图是中心对称图形的一部分及对称中心，请你补全它的另一部分.FEDCBAGH 2.如图，有一个平行四边形请你用无刻度的直尺画一条直线把他们分成面积相等的两部分，你怎么画？ 过对称中心的直线可以把中心对称图形分成面积相等的两部分.例1 请你用无刻度的直尺画一条直线把他们分成面积相等的两部分，你怎样画？典例精析割法1割法2补法图(1)图(2)解密魔术在生活中，有许多中心对称图形，你能举出一些例子吗？ 当堂练习1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A . 角 B. 等边三角形 C . 线段 D . 平行四边形C 2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ）
A . 平行四边形 B. 矩形 C . 菱形 D . 正方形A3.世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心对称性. 请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .4.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合?O课堂小结中心对称图形定义性质应用绕着内部一点旋转180度能与本身重合的图形经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分美丽的中心对称图形在建筑物和工艺品等领域非常常见见《学练优》本课时练习课后作业课件16张PPT。第2课时 中心对称图形复习
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练1.中心对称的定义:把一个图形绕着某一点旋转1800
如果它能与另一个图形重合,就说这两个图形关于这个点对称. 2.中心对称的性质:
⑴关于中心对称的两个图形是全等形
⑵关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过
对称中心且被对称中心平分复习引入 如图2-34，将线段AB绕它的中点O旋转180°，
你有什么发现？图2-34合作探究 像这样，如果一个图形绕一个点O 旋转180°，
所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作
中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心. 由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是
它的对称中心.1.下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）B 2.已知□ABCD的对角线BD=4cm，
将?ABCD绕其对称中心O旋转180°，
则点D所转过的途径长为（ ）
A.4πcm B.3πcm
C.2πcm D.πcmC （1）点A的像是 ；（2）点B的像是 ；（3）边AB的像是 ；（4）点C的像是 ；（5）边BC的像是 ；（6）点D的像 ；（7）边CD的像是 ；（8）边DA的像是 .点C点D边CD点A边DA点B边AB边BC 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180° ，它的像与自身重合，因此 你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕
对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？ 下面是计算机键盘上某一行的英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？中心对称与中心对称图形是两个既有联系又有区别的概念:区别:中心对称指两个全等图形的相互位置关系
中心对称图形指一个图形本身成中心对称.联系: (1)如果将中心对称图形的两个图形看成一个整体,则它们是中心对称图形.(2)如果将中心对称图形,把对称的部分看成两个图形,则它们是关于中心对称.选择题
1.下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形C2.下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形A随堂训练2.下列图形哪些是中心对称图形?
1.中心对称图形的定义；
2.中心对称图形的性质；
3.我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形；
4.中心对称图形的应用.课堂小结课后作业 见《学练优》本课时练习第2课时　中心对称图形
1．理解和掌握中心对称图形的概念和基本性质；(重点)
2．能利用中心对称图形的性质作图和解决实际问题．(难点)
一、情境导入
1．观察下列三幅图形，看它们有何共同点和不同点？
这三个图形都是绕着中心点旋转一定的角度后能与自身图形重合，它们都是旋转图形；
2．它们旋转的角度一样吗？它们旋转的角度分别是多少？
其中图②的旋转角度是180度，它就是我们今天要探究的图形——中心对称图形．
二、合作探究
探究点：中心对称图形
【类型一】 中心对称图形的识别
下列图形是中心对称图形吗？如果是中心对称图形，在图中用点O标出对称中心．
解析：根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中的中心对称图形，再标出它们的对称中心．
解：这些图形中：图形①，图形③，图形④，图形⑤，图形⑧为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O.
方法总结：识别图形的中心对称性时要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后重合．21世纪教育网版权所有
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 补全中心对称图形
在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是________．21教育网
解析：先找到题图中横着的三个阴影正方形的对称中心，即中间的小正方形的中心，根据此中心及中心对称图形的概念，可得到其上面一行的阴影小正方形关于此对称中心对称的图形是标有序号②的小正方形．故答案为②.21cnjy.com
方法总结：补全中心对称图形时可先找出部分图形的对称中心，再根据对称中心和中心对称的性质补全其他图形的对称图形．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
探究点二：中心对称图形的性质及其应用
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
(1)画出△ACD关于点D成中心对称的三角形；
(2)探究AB＋AC与2AD之间的大小关系；
(3)若AB＝3，AC＝5，求AD的取值范围．
解析：通过加倍中线构造中心对称图形，把AB、AC和2AD置于同一个三角形中，利用三角形三边关系可比较大小，并可利用三角形三边关系求得AD的取值范围．
解：(1)延长AD到E，使DE＝AD.连接BE，则△EBD与△ACD关于点D成中心对称；
(2)AB＋AC>2AD.理由：∵BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝DE，∴△ACD≌△EBD，∴BE＝AC.在△ABE中，AB＋BE>AE，即AB＋AC>2AD；2·1·c·n·j·y
(3)AB＝3，AC＝5，即AB＝3，BE＝5.在△ABE中，∵BE－AB方法总结：遇到有线段中点的问题时，我们可以考虑先找或构建中心对称图形，然后运用成中心对称的两个图形全等的性质把分散的线段放在一起来解决问题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
三、板书设计
1．中心对称图形的概念
2．中心对称图形的性质
本节课都是让学生自己操作，独立思考进而得出中心对称图形的性质，本节课的练习部分是以生活中最常见的图形为例的，可激发学生的学习兴趣，增强学生的参与意识
第2课时 中心对称图形
学习目标
1、经历对生活中旋转现象观察、分析过程，引导学生用数学的眼光看待生活中的有关问题；
2、通过具体实例认识旋转，知道旋转的性质.
教学重点
旋转图形的性质
教学难点
旋转图形的画法
教 学 程 序
学 习 中 的 困 惑
一．知识互动
一、课前预习与导学
判断题（对的打“√”，错的打“×”）：
（1）如果一个图形绕某个点旋转，能与另一个图形重合，那么这两个图形组合在一起就是一个中心对称图形； （ ）
（2）中心对称图形一定是轴对称图形． （ ）
二、新课
1．欣赏图片：

问题：这些图形有什么共同的特征？
共同回顾轴对称图形，某图形沿某条轴对折能重合，那么有没有什么图形绕着某点旋转也能重合呢？
有没有什么图形绕着某点旋转180能够重合呢？
3．合作探究
（1）根究观察总结的特征，试着说明中心对称图形的定义：
如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心.
（2）两个图形成中心对称和中心对称图形的区别和联系
二．例题解析：
【例1】下列哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形，请画出它们的对称中心或对称轴
【例2】平行四边形是中心对称图形，现过对称中心任意画一直线将其分成两部分，这两部分面积有何关系？
【例3】张老汉有一块田地如图所示，他想田分给两个儿子，儿子提出：⑴分割的面积应相等；⑵最好把分割线做成一条水渠，便于灌溉，你能帮助张老汉画出这条分割线吗？
三．随堂演练：
1．下列扑克图案中，不是中心对称图形的有_______个.
2．把26个英文大写字母看成图案，其中是中心对称图形的有
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
3．下列几组图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 （ ? ）
A.正方形、长方形、平行四边形
B.正三角形、正方形、等腰梯形
C.长方形、正方形、圆
D.平行四边形、正方形、等边三角形
4．如图，有一块长方形田地，田地内有一口井，现将这块土地平分给两家农户，要求两家合用这口井浇地，请问应如何分？在图中画出分界线.
四．学后反思：
1．中心对称图形的概念
2．常见的中心对称图形.
3．中心对称图形的识别方法.
五．课后作业：
1．下列几何图形中：（1）两条互相平分的线段；（2）两个互相交叉的圆；（3）两个有公共顶点的角；（4）有一个公共顶点的两个正方形.其中一定是中心对称图形的有 （ ? ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2．用一副扑克牌做实验，选其中的黑桃5和方块4，是中心对称图形是 ( )
A.黑桃5 B.方块4 C.黑桃5和方块4 D.以上都不对
3．观察“一、羊、口、王、田、旦”这6个汉字，它们都是________________图形，其中_______________字可看成中心对称图形.
4．在线段、角、.平行四边形、长方形、等腰梯形、圆、等边三角形中，是中心对称图形的是___________________________，一定是轴对称图形的有_____________________，既是中心对称图形又是轴对称图形的是_______________.
2．4　三角形的中位线
1．了解三角形中位线的定义；
2．掌握三角形的中位线定理；(重点)
3．综合运用平行四边形的判定及三角形的中位线定理解决问题．(难点)
一、情境导入
如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？www.21-cn-jy.com
二、合作探究
探究点：三角形的中位线
【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长
如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
　　　　　　　　　　　　　　　
A. B．3 C．6 D．9
　　　
解析：如图，∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝2DF＝6.故选C.
方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是熟记性质并熟练应用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用三角形中位线定理求角
如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(　　)
A．80° B．90° C．100° D．110°
解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD，∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝∠2＝80°，故选A.
方法总结：根据三角形中位线定理可得出平行关系，所以利用三角形中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第　题
【类型三】 运用三角形的中位线定理进行证明
如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：∠ONM＝∠OMN.
解析：图中有两个中点，但不在同一个三角形中，取AD的中点P，连接EP、FP，利用三角形的中位线定理即可证明．21世纪教育网版权所有
证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为△ABD的中位线．∴EP∥BD，EP＝BD，∴∠PEF＝∠ONM，同理可知PF为△ADC的中位线，∴FP∥AC，FP＝AC，∴∠PFE＝∠OMN，∵AC＝BD，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠ONM＝∠OMN.
方法总结：在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型四】 构造三角形中位线解题
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.21教育网
解析：直接找CD与CE之间的数量关系较困难，可取AC的中点F，间接找CD与CE之间的数量关系．
证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.∴CE＝BF，∴CD＝2CE.2·1·c·n·j·y
方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．三角形的中位线的概念
2．三角形的中位线定理
本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环21cnjy.com
课件15张PPT。2.4 三角形的中位线情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。情景引入ADEFBC1、剪一个三角形，记为△ABC2、分别取AB、AC的中点D、E，连接DE3、沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°后得到△CFE的位置，得四边形BCFD合作探究 并且有：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.数学语言：∵点D、E分别是AB、AC的中点
∴DE∥BC，DE=位置关系数量关系 请你谈谈三角形的中位线和中线的异同：1.相同点：两者都是线段.2.不同点：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段.前者和两个中点有关；后者只与一个中点有关.1、 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？等于原三角形周长的一半等于原三角形面积的四分之一 F
（中点）(中点)DE(中点)ABC 如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案。典例精析 例题 1、已知：如图，点 D、E、F 分别是 △ABC的 三边AB、BC、AC 的中点.
（1）若AB=8cm，则EF= cm;
（2）若DF=5cm，则BC= cm；
（3）若∠ADF=50°，则∠B= °
（4）已知：△ABC周长为30，
则：△ DEF的周长为 .
（5）若△ABC的面积为24，△DEF的面积是____
504 10 1561.如图：D、E、F分别是△ABC各边的中点，DE和AF交于点O，试说明DE和AF互相平分.随堂训练2.如图：在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF.
①求证：EF∥BC；
②若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积.C3.顺次连接以下四边形各边的中点，可以得到什么四边形？①平行四边形; ②矩形;③菱形;④正方形. 4.在ΔABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点。
求证：四边形DECF是平行四边形。思考：若连结EF，则图中有多少个平行四边形？5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3
（1）求证：BN=DN
（2）求△ABC的周长.
10153106课堂小结1.熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线；
2.理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半；
3.能应用三角形中位线的性质解决有关问题.课后作业 见《学练优》本课时练习2.4 三角形的中位线
学习目标：
了解三角形的中位线的概念；
2、探索三角形的中位线的性质并会利用三角形中位线性质解决实际问题.
学习重难点：
重点：三角形中位线的性质及运用.
难点：三角形中位线性质的证明.
一【创设情景，导入新课】
1 复习回顾
（1）什么叫做平行四边形？平行四边形有什么性质？
（2）平行四边形的判定方法有哪些？
二【合作交流，探究新知】
1 三角形中位线概念
（1）如图，连结△ABC的两条边AB、AC的中点的线段DE叫三角形的中位线.你能说说什么叫三角形的中位线吗？ 21cnjy.com
连结三角形_______________叫三角形的中位线.
（2）一个三角形有____条中位线.
（3）三角形的中位线与三角形的中线有什么区别？
2 三角形中位线的性质
探究：
任意画一个三角形ABC，作出它的一条中位线EF，量一量图中中位线EF和边BC的长.它们有什么关系？ 21·cn·jy·com
（2）它们平行吗？
（3）你发现了什么？
猜想：_________________________________________________________
推理： 已知：如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证：EF∥BC，
EF=BC.
交流讨论：
（用两种不同的方法进行证明）
形成结论：
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于 ，并且等于 .
用几何语言表示为：∵______________________________
∴______________________________
【抢答】看我的 我能行！
如图5，点E、F、H分别是三边上的中点，则有：
（1）的中位线有
（2）HF// ，HF= = =
（3）HE// ，HE= = =
（4）EF// ，EF= = =
三【应用迁移，巩固提高】
1实际运用?（开头ppt）
2几何中的运用?
例1已知：如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
四、【当堂检测】：
1、如图7，设四边形EFHM的两条对角线EH、FM的长分别为12、10，A、B、C、D分别是边EF、FH、HM、ME的中点，求的周长.21世纪教育网版权所有
2.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．21教育网
3．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
五?【反思小结】
这节课我收获了_________________________________________________
课件20张PPT。2.5 矩 形第2章 四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5.1 矩形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）
3.应用矩形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标活动:观察下面的图形,它们都含有平行四边形,请把它们全部找出来.问题：上面的平行四边形有什么共同的特征？导入新课活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形讲授新课 矩形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质,但平行四边形不一定是矩形.平行四边形矩形集合平行四边形集合活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结果.（2）根据测量的结果,猜想结论.当矩形的大小不断变化时,
发现的结论是否仍然成立？
（3）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ABCDO物体测量（实物）（形象图）填一填 根据上面探究出来结论填在下面横线上.
角： .
对角线： .ABCD四个角为90°相等O证明：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角线)
AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC = 90°,
∴∠BCD = 90°.证明性质:已知：如右图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线 AC与DB相较于点O.
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
（2）AC=DB.ABCDO∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC(矩形的对边相等).
在△ABC和△DCB中,
∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC= CB,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=DB. 1.矩形的四个角都是直角.
2.矩形的对角线相等.ABCDO做一做：请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.??
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?矩形的性质：
对称性： .
对称轴： .轴对称图形2条归纳结论 矩形是特殊的平行四边形,它除具有平行四边形的所有性质外,还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.
角：四条角都是90°.
对角线：相等. 角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.矩形的特殊性质平行四边形的性质例1：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD(矩形的对角线相等).
OA= OC= AC,OB = OD = BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.ABCDO典例精析∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.提示：∠AOD=120° → ∠AOB=60°→ OA=OB=AB → AC=2OA
=2×2.5=5.你还有其他解法吗？例2：如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.
求证：DF=DC.ABCDEF证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.又∵DE= DE,
∴△DFE≌△DCE,
∴DF=DC.1.如图,在矩形ABCD中,对角线AC , BD交于点O ,已知∠AOB=60° , AC=16,则图中长度为8的线段有（ ）

A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 DABCDO60°当堂练习2.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.ABCDOE（1）证明：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= (4+8)× = .ABCDOE平行四边形1.矩形是轴对称图形和中心对称图形2.矩形四个角都是直角3.矩形的对角线相等且相互平分矩形性质有一个角是直角转换直角三角形等腰三角形课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件20张PPT。2.5 矩 形
2.5.1 矩形的性质情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练在小学，我们初步认识了长方形，观察图2-41 中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？图2-41情景引入 这些四边形的四个角都是直角.合作探究有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.平行四边形矩形 矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分.可以知道： 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.由于矩形是平行四边形，因此 如图2-42，四边形ABCD为矩形，那么对角线AC与DB相等吗？图2-42图2-42如图，四边形ABCD是矩形，于是有 AB=DC，
∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.因此 △CBA≌△BCD. (SAS)从而AC=BD.即矩形的对角线相等.图2-42矩形的对角线相等.由此得到矩形的性质：例1：如图2-43，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交于点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°.
求BC的长.图2-43举
例解：∵ □ABCD是矩形，∴ △AOB是等边三角形.∴ AB=OA=2cm.又∠AOB = 60°，∵ ∠ABC = 90°，图2-43 在纸上画一个矩形ABCD(如图2-44)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
图2-44 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.O 过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC ，AD相交于点E，F.由于 ，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.由于AD∥BC，因此EF⊥AD. 同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于
直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形
ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称
图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴. 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.由此得到：已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的
一个夹角为60°，求矩形的各边长. 1. 随堂训练2. 如图，四边形ABCD 为矩形，试利用矩形的性质
说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于
斜边的一半.课堂小结1.矩形与平行四边形的性质对比?；
2.直角三角形斜边中线的性质；?
3.矩形中常利用直角三角形的性质进行计算和证明.课后作业 见《学练优》本课时练习2．5　矩　形
2．5.1　矩形的性质
1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)
2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)
3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明计算．(难点)
一、情境导入
如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？
　　　
可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．
我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．21教育网
二、合作探究
探究点一：矩形的性质
【类型一】 运用矩形的性质求线段长
矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB的长为(　　)21·cn·jy·com
　　　　　　　　　　　　　　　
A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm
解析：矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm，得24＝2AB＋2×2AB，解得AB＝4cm.故选D.
方法总结：本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．www.21-cn-jy.com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 运用矩形的性质解决面积问题
如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的(　　)2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
解析：∵矩形ABCD的边AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，在矩形ABCD中，OB＝OD，在△BOE和△DOF中，∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S△BOE＝S△DOF，∴阴影部分的面积＝S△AOB＝S矩形ABCD.故选B.www-2-1-cnjy-com
方法总结：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出阴影部分的面积＝S△AOB是解题的关键．2-1-c-n-j-y
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等
如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.21·世纪*教育网
解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出结论．21*cnjy*com
证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°，由作图可知，BC＝BE，在△BFC和△EAB中，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴BF＝AE.【来源：21cnj*y.co*m】
方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△BFC≌△EAB是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型四】 运用矩形的性质证明角相等
已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.
求证：AE平分∠BAD.
解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE，又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，可确定BE＝CD，即求证．21cnjy.com
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED.∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE中，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠EAD，即AE平分∠BAD.
方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决．【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
三、板书设计
矩形的性质；
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
平行四边形变形为矩形的过程的演示；生活中给人以矩形形象物体的播放；学生画矩形；学生探究矩形性质时看、猜、比、量、折、写、说等，让学生在体验、实践的过程中，扩大认知结构，发展能力，完善人格，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂矩形教学真正落实到学生的发展上21世纪教育网版权所有
2.5 矩 形
2.5.1 矩形的性质
学习目标：1、理解矩形的意义，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2、掌握矩形的性质定理，会用性质定理进行有关的计算与证明.
学习重点：矩形的性质.
学习难点：用性质定理进行有关的计算与证明.
教学方法：练讲练
学习过程：
1.知识回顾：如下图：
（1）左图是一个平行四边形，回忆平行四边形有哪些性质？
（2）四边形具有不稳定性，即当一个四边形的四条边长保持不变时，它的形状是可以变化的.现在使左图的平行四边形保持边长不变，而将一个内角的度数不断变化，那么在变化过程中，何时平行四边形的面积最大？这时这个平行四边形的内角是多少度？为什么
（3）总结：矩形的定义：有一个角是 的平行四边形，叫做矩形.
（4）练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？
2.一起探究：在上述变化过程中，当一个内角是90°时，其余三个内角各是多少度？
它的两条对角线长又具有什么关系？
（1）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质.如图，同学们研究矩形的性质，填写下表：21世纪教育网版权所有
矩形的性质
边
角
对角线
对称性
具有平行四边形的所有性质
具有平行四边形不具有的特殊性质
（2）你能证明以下性质的正确性吗？
⑴矩形的四个角都是直角
⑵矩形的对角线相等
3.巩固练习
（1）矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
（2）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AB=3,BC=4,
则矩形ABCD的对角行长是 ，周长是 ，
面积是 .
变式：右图中，如果矩形ABCD的两条对角线相交于点O,
∠AOB=60°,AB=4cm,求矩形对角线的长，周长和面积.
（3）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，
交AB于点F，DE=2，矩形的周长为16.且CE=EF.求AE的长.
4.能力提升：
（1）已知，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E.求证：BD=BE.
(2)在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P为AD上一点，
过点P作PE⊥AC，PF⊥BD,垂足分别为E,F.求PE+PF的值.
（3）在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E为CD的中点，
连接AE并延长，交BC的延长线与点F，连接DF.求DF的长.
课堂小结
课后作业
课件15张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.5 矩 形第2章 四边形2.5.2 矩形的判定学练优八年级数学下（XJ）
教学课件1．理解并掌握矩形的判定方法．（重点）
2．能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点)学习目标问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？ABCDO矩形：有一个角是直角的平行四边形.
矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角;
③对角线相等且平分.导入新课活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？α讲授新课已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形.活动2: 李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.①②③④问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形？你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.猜想:当三个角都是直角,该四边形可能是矩形.证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形.例1：如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA= OC,OB = OD.
又∵△ABO是等边三角形,
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.典例精析∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB2 + BC2 =AC2 ,
∴BC= .
∴S□ABCD=AB·BC=4× =例2：如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC.
（1）求证：△ADC≌△ECD;
（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,
∴∠B=∠ACB.
又∵四边形ABDE是平行四边形,
∴∠B=∠EDC,AB=DE,
∴∠ACB=∠EDC,
∴△ADC≌△ECD.(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）

A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定C当堂练习2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.DABCEO解：四边形CEDO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形.
∴四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.有一个角是直角的平行四边形是矩形.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.运用定理进行计算和证明.矩形的判定定义定理课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.5.2 矩形的判定情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练 矩形的四个角是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？情景引入如图2-46，四边形ABCD 的四个角都是直角. 由于“同旁内角互补， 两直线平行”，因此AB∥DC，AD∥BC，从而四边形ABCD 是平行四边形. 所以□ABCD是矩形. 由此得到四个角是直角的四边形是矩形.图2-46合作探究三个角是直角的四边形是矩形. 三个角是直角的四边形，容易知道另一个角也
是直角，由此得到： 四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形： 从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？2cm2cm图2-47你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？ 如图2-47，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，因此 △ABC≌△DCB. (SSS)从而 ∠ABC=∠DCB.又∠ABC+∠DCB =180°，于是 ∠ABC=90°.所以 □ABCD是矩形.图2-47对角线相等的平行四边形是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的四边形是矩形吗？如图2-48，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样
的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么
□ABCD是矩形吗？图2-48（2） ∵ △OBC是等腰三角形，其中OB = OC， ∴ AC与DB相等且互相平分.∴ △OBC是等腰三角形.∴ AC = 2OC = 2OB = BD.∴ □ABCD是矩形.图2-481. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形. 证明：因为四边形中，∠A=∠B=∠C=∠D ，
四边形的内角和为360°，
所以∠A=∠B=∠C=∠D= 90° ，
所以四边形ABCD是矩形.
(三个角是直角的四边形是矩形.)随堂训练2. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， ∠AOB = 60°，AB= 2，AC= 4，求□ABCD的面积.
∴ △OAB是等腰三角形.∴ △OAB是等边三角形.
又∠AOB = 60°，∴ OA=OB=2， ∴ AC=BD=4.∴ □ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形.)
作OE⊥AD于点E.E课堂小结矩形的判定：
1、对角线相等的平行四边形是矩形；
2、有三个角是直角的四边形是矩形. 课后作业 见《学练优》本课时练习2．5.2　矩形的判定
1．掌握矩形的判定方法；(重点)
2．矩形的判定及性质的综合应用．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形．这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是矩形．除此之外，我们能否找到其他的判定矩形的方法呢？
矩形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线相等且互相平分；
2．四个内角都是直角．
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
二、合作探究
探究点一：有一角是直角的平行四边形是矩形
已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．21教育网
解析：首先利用等边对等角性质得出∠B＝∠ACB；再根据外角和外角平分线性质得出∠FAE＝∠ACB，进而得到AE∥CD，即可推出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质推出四边形ADCE是平行四边形，即可推出四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠FAE＝∠EAC，∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且相等BD，又∵BD＝DC，∴AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．21·cn·jy·com
方法总结：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活应用平行四边形的判定得出四边形AEDB、四边形ADCE是平行四边形是解题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：对角线相等的平行四边形是矩形
如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.www.21-cn-jy.com
求证：四边形NDMB为矩形．
解析：首先由平行四边形ABCD可得OA＝OC、OB＝OD；若ON＝OB，那么ON＝OD；而CM＝AN，即ON＝OM，由此可证得四边形NDMB的对角线相等且互相平分，即可得证．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO＝OC，OD＝OB，∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD，∴平行四边形NDMB为矩形．21cnjy.com
方法总结：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等且互相平分．【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
探究点三：有三个角是直角的四边形是矩形
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形．21·世纪*教育网
解析：本题的垂直关系较多，所以利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明比较简便．
证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝∠BAC.又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠CAE＝∠CAM.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝180°×＝90°.又AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°.∴四边形ADCE为矩形．www-2-1-cnjy-com
方法总结：题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
探究点四：矩形的性质和判定的综合应用
【类型一】 利用矩形的判定和性质证明和计算
如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.2-1-c-n-j-y
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．21*cnjy*com
解析：(1)首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF＝EG；
(2)根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求解．
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO－AE＝OB－BF＝CO－CG＝DO－DH，即OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；
(2)解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4(cm)，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16(cm2)．
方法总结：要证明四边形是矩形，首先可判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等．
【类型二】 矩形判定与动点问题
如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．21世纪教育网版权所有
(1)经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
解析：(1)四边形PQCD是平行四边形，可根据DP＝CQ，列出方程后求解即可；
(2)四边形PQBA是矩形，可根据AP＝BQ，列出相应方程求解即可．
解：(1)设经过xs，四边形PQCD为平行四边形，即PD＝CQ，所以24－x＝3x，解得x＝6，即经过6秒，四边形PQCD是平行四边形；2·1·c·n·j·y
(2)设经过ys，四边形PQBA为矩形，即AP＝BQ，所以y＝26－3y，解得y＝，即经过6.5秒，四边形PQBA是矩形．【来源：21cnj*y.co*m】
方法总结：①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等；②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“有三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【出处：21教育名师】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
三、板书设计
1．矩形的判定
有一角是直角的平行四边形是矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形．
2．矩形的性质和判定综合应用
在本节课的教学中，不仅要求学生掌握矩形判定的几种方法，更要注重学生在教学的过程中是否真正掌握了探究问题的基本思路和方法，着眼于让学生不仅懂得验证定理，也要懂得提出问题探究问题．教师在例题练习的教学中，若能适当地多做一些变式练习，引导学生类比、迁移地思考、做题，就能进一步拓展学生的思维，提高课堂教学的有效性
2.5.2 矩形的判定
学习目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
重点、难点
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
【课前预习】
1．知识准备
（1）矩形概念：
（2）矩形性质：
边：
角：
对角线：
（3）矩形与平行四边形之间的关系？
2．探究：一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。21世纪教育网版权所有
甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。
乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形”。
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：（ ）．
矩形判定方法2：（ ）．
3．判定方法的证明
判定1：
已知：在ABCD中,AC=BD
求证：四边形ABCD是矩形
几何语言：
已知：如图?，在△ABC中，∠ACB＝90°，?CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．21·cn·jy·com
推论： 的四边形是矩形。
判定2：
已知：∠A=∠B=∠C=90°
求证：四边形ABCD是矩形
证明：
几何语言：
4．概括矩形的判定方法：
定义：
判定1：
判定2：
【课堂活动】
例1下列各句判定矩形的说法正确的是
（1）对角线相等的四边形是矩形 （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）四个角都相等的四边形是矩形?（4）有三个角都相等的四边形是矩形
（5）有三个角是直角的四边形是矩形（6）一组对角互补的平行四边形是矩形；
例2已知：ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4m，求这个平行四边形的面积．21教育网
变式：已知在ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且∠OBC=∠OCB.
求证：四边形ABCD是矩形
例3已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．(多种方法)
【能力提升】
1．下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形
（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
2.如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是（ ） 21cnjy.com
（A）一组对边平行而另一组对边不平行 （B）对角线相等
（C）对角线互相垂直 （D）对角线互相平分
3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 www.21-cn-jy.com
4．已知：如图，在□ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED为直角．求证：四边形ABCD是矩形．2·1·c·n·j·y
课件20张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.6 菱 形第2章 四边形2.6.1 菱形的性质学练优八年级数学下（XJ）
教学课件1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）
3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.
角：对角相等,邻角互补.导入新课活动: 观察下列图片，?找出你所熟悉的图形. 问题1: 观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.讲授新课 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题2: 菱形与平行四边形有什么关系？平行四边形菱形集合平行四边形集合1.做一做:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
问题1:菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？ 问题2:菱形中有哪些相等的线段？2.发现菱形的性质：
菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).
菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).
菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).ABCOD已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.
求证:(1）AB = BC = CD =AD；
（2）AC⊥BD. 3.证明菱形性质:证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD;
∴AB = BC = CD =AD.（2）∵AB = AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是菱形,
∴OB = OD . （菱形的对角线互相平分）
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD,
∴AO⊥BD,
即AC⊥BD.4.归纳结论 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补.
边：对边平行且相等.
对角线：相交并相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质ABDCah(1)菱形的面积计算公式：S = a·h.
(2)菱形的面积计算公式：S = S△ABD+S△BCD
= AO·DB + CO·DB
= AC·DB. O例1：如右图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求：
（1）对角线AC的长度；
（2）菱形ABCD的面积.解: (1) ∵四边形ABCD是菱形,AC与BD相交
于点E.
∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直),
DE= BD = ×10 = 5(cm) .
(菱形的对角线互相平分)∴ AE= =12(cm).
∴AC=2AE=2 ×12= 24(cm)（菱形的对角
线互相平分）.
(2)如图，菱形ABCD的面积
= BD ×AC
=120(cm2).例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB = BD = 6. 在RtΔAOB中，由勾股定理，得
OA2+OB2=AB2，
∴OA = = =
∴AC=2OA= （菱形的对角线相互平分）.
1.填一填：根据右图填空
（1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
（2）菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______.
（3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm3cm30°C当堂练习2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD (菱形的两条对角线互相垂直).
∴∠AOB=90°.
∴BO= =3(cm).
∴BD=2BO=2×3=6(cm).平行四边形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.1.菱形是轴对称图形.2.菱形的四条边相等.3.菱形的对角线互相垂直平分.菱形定义性质课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件18张PPT。2.6 菱 形
2.6.1 菱形的性质情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入1、（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？?
2、平行四边形的性质：
边：对边平行且相等；角：对角相等、邻角互补；对角线：互相平分
对称性：中心对称图形
3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？
4、矩形是从角得到，那么从边通过满足什么条件可以得到什么特殊的四边形呢？今天我们一起来研究特殊的平行四边形菱形.下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？图2-49合作探究平行四边形菱形一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
如图2-50，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交于点O. 对角线AC⊥DB 吗？你的理由是什么？∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，∴ AC⊥DB.
菱形的对角线互相垂直.由此得到菱形的性质： 把图2-50中的菱形ABCD沿直线DB对折
（即作关于直线DB的轴反射），点A的像是 ，
点C的像是 ， 点D的像是 ，点B的像
是 ，边AD的像是 ，边CD的像是 ，
边AB的像是 ，边CB的像是 .图2-50点C点A边DC点D点B边DA边BC边AB 从上述结果看出，在关于直线DB的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.同理，在关于直线AC的轴反射下，菱形ABCD的像与它自身重合.
菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.由此得到：又 AC⊥DB（菱形的对角线互相垂直），例1 如图2-51，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD
的面积和周长.图2-51所以 AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25.从而 AB = 2.5(cm).图2-511.菱形ABCD的两条对角线的交点为O.已知AB=5cm，OB=3cm.求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积.随堂训练答：两条对角线的长分别为6cm和8cm，
面积为24cm2.2.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点， PE⊥AD 于点E，PE=4cm，求点P到AB的距离.答：4cm.课堂小结有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.?
菱形的性质：?
（1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；?
（2）菱形的四条边都相等；?
（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；?
（4）菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半.?课后作业 见《学练优》本课时练习2．6　菱　形
2．6.1　菱形的性质
1．掌握菱形的定义和性质；(重点)
2．掌握菱形面积的求法；(重点)
3．灵活运用菱形的性质解决问题．(难点)
一、情境导入
将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？这就是另一类特殊的平行四边形，即菱形．21教育网
二、合作探究
探究点一：菱形的性质
【类型一】 利用菱形的性质证明线段相等
如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AD交AD的延长线于F.求证：CE＝CF.21世纪教育网版权所有
解析：连接AC，根据菱形的性质可得AC平分
∠DAE，再根据角平分线的性质可得CE＝FC.
证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝FC.21cnjy.com
方法总结：关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．21·cn·jy·com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 利用菱形的性质进行有关的计算
如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E.2·1·c·n·j·y
(1)求OC的长；
(2)求四边形OBEC的面积．
解析：(1)在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；
(2)先证明四边形OBEC为矩形，再利用矩形的面积公式即可直接求解．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在直角△OCD中，OC＝＝＝4(cm)；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，∴平行四边形OBEC为矩形，∵OB＝OD＝4cm，∴S矩形OBEC＝OB·OC＝4×3＝12(cm2)．
方法总结：菱形的对角线互相垂直，则菱形对角线将菱形分成四个直角三角形，所以可以利用勾股定理解决一些计算问题．www.21-cn-jy.com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】 运用菱形的性质解决探究性问题
已知：如图①，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE＝DF，易知△ADE≌△DBF.www-2-1-cnjy-com
探究：如图②，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE＝DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
拓展：如图③，在?ABCD中，AD＝BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE＝DF，∠ADB＝50°，∠AFB＝32°，求∠ADE的度数．21*cnjy*com
解析：探究：△ADE和△DBF全等，利用菱形的性质首先证明三角形ABD为等边三角形，再利用全等三角形的判定方法即可证明△ADE≌△DBF；【来源：21cnj*y.co*m】
拓展：因为点O在AD的垂直平分线上，所以OA＝OD，再通过证明△ADE≌△DBF，利用全等三角形的性质即可求出∠ADE的度数．【出处：21教育名师】
解：探究：△ADE和△DBF全等．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵AB＝BD，∴AB＝AD＝BD.∴△ABD为等边三角形．∴∠DAB＝∠ADB＝60°.∵AE＝DF，∴△ADE≌△DBF；【版权所有：21教育】
拓展：∵点O在AD的垂直平分线上，∴OA＝OD.∴∠DAO＝∠ADB＝50°.∴∠EAD＝∠FDB.∵AE＝DF，AD＝DB，∴△ADE≌△DBF.∴∠DEA＝∠AFB＝32°.∴∠EDA＝50°－32°＝18°.【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结：本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，比较综合，但难度不大，一定要熟悉相关的基础知识，才能更快地解决问题．
探究点二：菱形的面积
已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是(　　)21教育名师原创作品
A．16 B．8
C．4 D．8
解析：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，OA＝AC＝2，OB＝BD，AC⊥BD，∠BAD＋∠ABC＝180°，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝4，∴OB＝＝＝2，∴BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×4×4＝8；故选B.2-1-c-n-j-y
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
方法总结：菱形的面积为两对角线长的积的一半，菱形的对角线平分对角．
三、板书设计
1．菱形的性质
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2．菱形的面积
S菱形＝边长×对应高＝ab(a，b分别是两条对角线的长)
通过折纸活动让学生主动探索菱形的性质，大多数学生能全部得到结论，少数的我们加以引导．在整个新知生成过程中，这个活动起了重要的作用．学生始终处于观察、比较、概括、总结和积极思维的状态，切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础，更增强了敢于实践，勇于探索，不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气21·世纪*教育网
2.6 菱 形
2.6.1 菱形的性质
学习目标
1.记住菱形的概念及其与平行四边形的关系；
2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，得出菱形的特殊性质.
学习过程
准备开始呀！
观察课本第二页的图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？
定义：
想一想呀！
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？
②你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流.
做一做呀！
请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
（2）菱形中有哪些相等的线段？
四、 我们要共同完成呀！
已知：如图1，在菱形ABCD中，AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.
定理 菱形的四条边相等
定理 菱形的对角线互相垂直
五、看看自己能完成呀？
1、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.21世纪教育网版权所有
2、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.
已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长.
六、我们一块总结呀！
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分.21教育网
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理.
课件18张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.6 菱 形第2章 四边形2.6.2 菱形的判定学练优八年级数学下（XJ）
教学课件1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）学习目标问题：什么是菱形？菱形有哪些性质？菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形.
菱形的性质：1. 轴对称图形.
2. 四边相等.
3. 对角线互相垂直平分.导入新课思考与动手:
1.在一张纸上用尺规作图作出边长为10cm的菱形;
2.想办法用一张长方形纸剪出一个菱形;
3.利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法？
请向同学们展示你的作品,全班交流.做一做：先将一张长方形的纸对折,再对折,然后沿图中的虚线剪下,将纸展开,就得到了一个菱形.(1)(2)(3)(4)你能说说这样做的道理吗? 问题：根据菱形的定义,邻边相等的平行四边形是菱形.除此之外,你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形?1.小明的想法 平行四边形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题.受此启发,我猜想:四边相等的四边形是菱形,对角线垂直的平行四边形是菱形.讲授新课2.小颖的想法 我觉得,对角线互相垂直的平行四边形有可能是菱形.但“四边相等的平行四边形是菱形”实际上与“邻边
相等的平行四边形是菱形”一样. 你是怎么想的?你认为小明的想法如何?已知：右图中四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交 于点O ,AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.试一试:对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?定理运用格式：∵四边形ABCD是平行四边形,
又∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
(对角线互相垂直的平行四边形为菱形)小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条 弧分别相较于点B , D,依次
连接A、B、C、D四点.议一议：已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AB为菱形的一条对角线？CABD想一想：1.你是怎么做的,你认为小刚的作法对吗？
2.怎么验证四边形ABCD是菱形？提示：AB = BC=CD =AD证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD , BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的判定）.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形 (菱形的定义).已知：右图中四边形ABCD,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形. 四边相等的四边形是菱形.定理的运用格式∵AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形
(四边相等的四边形为菱形).证明：在△AOB中.
∵AB= , OA=2,OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).例1：已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,
AB= ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.典例精析2例2：已知：如图,在△ABC, AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF = ED.
求证：四边形CDEF是菱形. ACBEDF证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,
∴ △ACD≌ △AED (SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS) .
∴CD=ED, CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.11.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）．
A. AC⊥BD ,AC与BD互相平分
B. AB=BC=CD=DA
C. AB=BC,AD=CD,AC ⊥BD
D. AB=CD,AD=BC,AC ⊥BDC当堂练习2.如下图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形． ABCDEFO12证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴AO = OC . ∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形.运用定理进行计算和证明.菱形的判定定义定理课堂小结见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.6.2 菱形的判定情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
菱形的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角；
4．菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形.
这些性质对我们寻找判定菱形的方法有什么启示？ 如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
图2-52合作探究 下面我们来证明这个结论.∵AD=BC，AB=DC，如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是菱形.又AB=AD，四条边都相等的四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理1：图2-54证明 由于线段BD垂直平分AC ，因此BA=BC，DA=DC，OA=OC.
在△AOB和△COD中，有
∠1 =∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC.所以△OAB≌△OCD.从而AB=CD.因此四边形ABCD是菱形.
(四条边都相等的四边形是菱形)所以BA=BC=DA=DC.图2-54 菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？ 过点O画两条互相垂直的线段AC
和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？我们来进行证明.又由于DB是线段AC的垂直平分线，由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.因此，DA=DC.从而平行四边形ABCD是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由此得到菱形的判定定理2：
∴ AB=AD=5 .解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ △DAO是直角三角形.∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）图2-56 1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.随堂训练2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.课堂小结判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．课后作业 见《学练优》本课时练习2．6.2　菱形的判定
1．理解和掌握菱形的判定方法；(重点)
2．合理利用菱形的判定方法进行论证和计算．(难点)
一、情境导入
我们已经知道，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．这是菱形的定义，我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形．除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质：
1．两条对角线互相垂直平分；
2．四条边都相等；
3．每条对角线平分一组对角．
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
二、合作探究
探究点一：菱形的判定
【类型一】 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定
已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.21教育网
求证：四边形BCFE是菱形．
解析：由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．21cnjy.com
证明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分别是AB、AC的中点，∴BC＝2DE且DE∥BC.∴EF＝BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形．www.21-cn-jy.com
方法总结：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型二】 利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，求证：21世纪教育网版权所有
(1)AC⊥BD；
(2)四边形ABCD是菱形．
解析：(1)证得△BAC是等腰三角形后利用三线合一的性质得到AC⊥BD即可；
(2)首先证得四边形ABCD是平行四边形，然后根据对角线互相垂直得到平行四边形是菱形．
证明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；
(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB，又∵BC∥AD，∴∠CBD＝∠ABD＝∠BDA，∴△ABD也是等腰三角形，∴AB＝AD，∴DA＝CB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．2-1-c-n-j-y
方法总结：判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的前提条件是平行四边形，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．21*cnjy*com
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 利用“四条边相等的四边形是菱形”判定
如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF.
(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形．
解析：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，从而得到AE＝CE，AD＝CD，然后根据CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用ASA证得两三角形全等即可；
(2)根据全等得到AE＝CF，再由EF为线段AC的垂直平分线，得到EC＝EA，FC＝FA，从而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用四边相等的四边形是菱形判定四边形AECF为菱形．
解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD；21·cn·jy·com
(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形．2·1·c·n·j·y
方法总结：判定一个四边形是菱形可分为两种情况：(1)以四边形为起点进行判定；(2)以平行四边形为起点进行判定．【来源：21·世纪·教育·网】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：菱形的判定的应用
【类型一】 菱形判定中的开放性问题
如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是__________．(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB，∵AF是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理ED＝CD，∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵对角线互相垂直的四边形是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF.21·世纪*教育网
方法总结：菱形的判定方法常用的是三种：(1)定义；(2)四边相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
【类型二】 菱形的性质和判定的综合应用
在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F.
(1)如图①，求证：CE＝CF；
(2)如图②所示，若∠ABC＝90°，G是EF的中点，分别连接DB、DG，求∠BDG的度数；
(3)如图③所示，若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG，求∠BDG的度数．www-2-1-cnjy-com
解析：(1)根据AF平分∠BAD，可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，证明∠CEF＝∠F即可；(2)如图④所示，分别连接GB、GC，根据∠ABC＝90°，可得△ABE，△ECF均为等腰直角三角形，再证明△BEG≌△DCG，然后即可求得答案．(3)如图⑤所示，分别延长AB、FG交于H，连接HD，求得四边形AHFD是平行四边形．由∠ABC＝120°，可求得△DHF为等边三角形．再由条件证得△BHD≌△GFD，然后即可求得答案．
(1)证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF；
(2)解：连接GC、BG，如图④所示，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°，∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF的中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，又∵∠ABC＝90°，∠BAF＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝BE.又AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°，在△BEG与△DCG中，∵∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠BGA＝∠DGC.∵CG⊥EF，∴∠DGC＋∠DGA＝90°，∴∠BGE＋∠DGE＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°；【出处：21教育名师】
(3)解：延长AB、FG交于H，连接HD，如图所示，∵AD∥CE∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形．∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝60°，又∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∴∠DFA＝30°.∴△DAF为等腰三角形．∴AD＝DF，∴平行四边形AHFD为菱形．∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形．∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°.∵AD∥BC，∴∠CEF＝∠DAF＝30°，∴∠CEF＝∠CFA，∴CE＝CF.∵AH－AB＝DF－CD，∴BH＝CF.又∵FG＝CE，∴BH＝GF.在△BHD与△GFD中，∵∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF.∴∠BDG＝∠BDH＋∠HDG＝∠GDF＋∠HDG＝60°.【版权所有：21教育】
方法总结：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．菱形的判定
有一组邻边相等的四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边相等的四边形是菱形．
2．菱形的性质和判定的综合应用
在运用判定时，要遵循先易后难的原则，让学生先会运用判定解决简单的证明题，再由浅入深，学会灵活运用．通过做不同形式的练习题，让学生能准确掌握菱形的判定并会灵活运用
2.6.2 菱形的判定
教学目标：
（1）理解并掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；
（2）理解并掌握“四边都相等的四边形是菱形．”
（3）会用判定方法进行有关的论证和计算；
（4）在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力与逻辑思维能力．
教学重点：菱形的两个判定方法．
教学难点：判定方法的证明方法及综合运用.
教学过程：
引入
知识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
问题：我们可经根据菱形的定义判断是否为菱形，但除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
探究：
活动一演示实验中发现规律
【探究】（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？21cnjy.com
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1　 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.
求证: □ABCD是菱形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC
又∵AC⊥BD ∴BD是线段AC的垂直平分线
∴BA=BC ∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2　 四边都相等的四边形是菱形．
活动二
总结
例题
例1、已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.
求证: 四边形AECF是菱形
随堂练习1、已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．21世纪教育网版权所有
求证：四边形CEHF为菱形．
略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．21教育网
所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．
课件26张PPT。导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2.7 正方形第2章 四边形学练优八年级数学下（XJ）
教学课件1．掌握正方形的性质及判定方法．（重点）
2．会运用正方形的性质及判定条件进行有关的论证和
计算 .(难点)学习目标活动:观察这些图片，你什么发现？正方形四条边有什么关系？四个角呢？导入新课活动1：准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，得到一个四边形.问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？正方形讲授新课活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 正方形ABCD填一填：
角：
边：
对角线：
对称性： 四个角都是直角.四条边相等.对角线相等且互相垂直平分.aaaa轴对称图形（4条对称轴）. 1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知：如右图,四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角.ABCD证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义）
又∵正方形是平行四边形.
∴正方形是矩形, （矩形的定义）
正方形是菱形.(菱形的定义)
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
AB= BC=CD=AD.定理证明已知：如右图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO请同学们动手完成以上证明？提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理来完成该题.想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？ 矩形菱形正方形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.归纳结论正方形对角线边边对角线对角线角对边平行且相等相互平分相等四个角相等都是90°相互垂直且
平分对角四边相等对称性轴对称图形（4条对称轴）例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.典例精析解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE =90° .
（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）
∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFEABDFE∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF ,
∴∠CBE =∠CDF.
∵∠DCF =90° ,
∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.
∴BE⊥DF.CM动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DC∥AB , BC∥AD ,得四边形ABCD.AMNBDC问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形
展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）菱形问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形.
2.对角线垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.正方形判定的两条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直例2：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.典例精析FABECD解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；45°45°FABECD证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形DC当堂练习3．在正方形ABC中,∠ADB= ,∠DAC= , ∠BOC= .
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 .45°90°22.5°第3题第4题45°3.如图，已知正方形ABCD ,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE 、 CE ,求∠DEC的度数. DAEBC解：∵△ABE是等边三角形.
∴AB =AE=BE,
∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°.
又∵四边形ABCD是正方形.
∴AD=BC=AE=BE,
∠DAB=∠ABC=90°.
∴∠DAE=∠CBE=150°.
∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.
∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.4.已知：如图所示,在Rt△ABC中, ∠C=90° , ∠BAC , ∠ABC的平分线于点D , DE⊥BC于点E , DF⊥AC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.证明: 如图所示,过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC , DE⊥BC ,
∴∠DFC=∠DEC=90°.
又∠C=90°,
∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.
∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB.
∴DF=DG. 同理可得 DE=DG , ∴DE=DF.
∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.CEBAFDG1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形课堂小结有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角
（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是90°
（或对角线互相垂直）有一对邻边相等
（或对角线相等） 见《学练优》本课时练习课后作业课件17张PPT。2.7 正方形情景
引入合作
探究课堂
小结随堂
训练情景引入矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形.装修房子铺地板的砖（如下图）大都是正方形的形状，它是什么样的四边形呢？它与平行四边形、矩形、菱形有什么关系？矩形呢？图2-57合作探究 我们把有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.图2-58
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
正方形的对角线相等，且互相垂直平分.
可以知道： 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 由于正方形既是菱形，又是矩形，因此：∴ AD = CD， ∠A =∠DCF = 90°.∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即∠1 +∠3 = 90°，图2-59又 ∵ ∠2 +∠3 = 90°，∴ ∠1 =∠2.∴ △AED≌△CFD （ASA）.∴ DE = DF.图2-59 观察示意图2-58，说一说如何判断一个四边形是正方形？图2-60∴ AB = BC = CD = DA.又∵ AA′ = BB′ = CC′ = DD′，∴ D′A = A′B = B′C = C′D.又∵ ∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，∴ △AA′D′≌△BB′A′
≌△CC′B′≌△DD′C′.图2-60∴ A′D′= B′A′= C′B′= D′C′.又∵ ∠1 =∠3， ∠1 +∠2 = 90°，∴ ∠2 +∠3 = 90°.∴ ∠D′A′B′= 90°.图2-601.已知正方形的一条对角线长为4cm，求它的边长和面积.随堂训练2.如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？课堂小结1、正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2、正方形的性质：
课后作业 见《学练优》本课时练习2．7　正方形
1．掌握正方形的概念、性质，并会运用；(重点)
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别；(难点)
3．掌握正方形的判定条件；(重点)
4．合理地利用正方形的判定进行有关的论证和计算．(难点)
一、情境导入
做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手过程中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？
二、合作探究
探究点一：正方形的性质
【类型一】 利用正方形的性质求线段长或证明
如图所示，正方形ABCD的边长为1，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC于点F.
(1)求证：BE＝CF；
(2)求BE的长．
解析：(1)由角平分线的性质可得到BE＝EF，再证明△CEF为等腰直角三角形，可证明BE＝CF；
(2)设BE＝x，在△CEF中可表示出CE，由BC＝1，可列出方程，可求得BE.
(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∵EF⊥AC，∴∠EFA＝90°，∵AE平分∠BAC，∴BE＝EF，又∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°，∴∠FEC＝∠FCE，∴EF＝FC，∴BE＝CF；21世纪教育网版权所有
(2)解：设BE＝x，则EF＝CF＝x，在Rt△CEF中，CE＝＝x，∵BC＝1，∴x＋x＝1，解得x＝－1，即BE的长为－1.21教育网
方法总结：矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰直角三角形，因此正方形的计算问题可以转化到直角三角形和等腰直角三角形中去解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 利用正方形的性质求角度或证明
在正方形ABCD中，点F是边AB上一点，连接DF，点E为DF中点．连接BE、CE、AE.
(1)求证：△AEB≌△DEC；
(2)当EB＝BC时，求∠AFD的度数．
解析：(1)根据正方形的四条边都相等可得AB＝CD，每一个角都是直角可得∠BAD＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝EF＝DE＝DF，根据等边对等角可得∠EAD＝∠EDA，再求出∠BAE＝∠CDE，然后利用“边角边”证明即可；www.21-cn-jy.com
(2)根据全等三角形对应边相等可得EB＝EC，再求出△BCE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠EBC＝60°，然后求出∠ABE＝30°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BAE，然后根据等边对等角可得∠AFD＝∠BAE.2·1·c·n·j·y
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵点E为DF的中点，∴AE＝EF＝DE＝DF，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠BAE＝∠BAD－∠EAD，∠CDE＝∠ADC－∠EDA，∴∠BAE＝∠CDE，在△AEB和△DEC中，
∴△AEB≌△DEC(SAS)；
(2)解：∵△AEB≌△DEC，∴EB＝EC，∵EB＝BC，∴EB＝BC＝EC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝90°－60°＝30°，∵EB＝BC＝AB，∴∠BAE＝(180°－30°)＝75°，又∵AE＝EF，∴∠AFD＝∠BAE＝75°.【来源：21·世纪·教育·网】
方法总结：正方形是最特殊的平行四边形，在正方形中进行计算时，要注意计算出相关的角的度数，要注意分析图形中有哪些相等的线段．【来源：21cnj*y.co*m】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
探究点二：正方形的判定
【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”判定
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.21*cnjy*com
求证：四边形CEDF是正方形．
解析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，再证明一组邻边相等即可．
证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝90°，∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形DECF是正方形．
方法总结：要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”判定
如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；21·cn·jy·com
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
　　　
解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，又因为CF＝AE，可得出BE＝EC＝BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；21cnjy.com
(2)由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC＝45°时，∠EBF＝90°，得出菱形EBFC为正方形，根据直角三角形中两个锐角互余得∠A＝45°.
解：(1)四边形BECF是菱形．理由如下：∵EF垂直平分BC，∴BF＝FC，BE＝EC，∴∠3＝∠1，∵∠ACB＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC＝AE，∴BE＝AE，∵CF＝AE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．www-2-1-cnjy-com
方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．【出处：21教育名师】
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
探究点三：正方形的性质与判定的综合
已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足条件：________________________，则四边形AECF为正方形．(直接添加条件，无需证明)2-1-c-n-j-y
解析：(1)由已知CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠BCE＝∠OCE，∠GCF＝∠OCF，所以得∠ECF＝90°；【版权所有：21教育】
(2)由(1)可得出EO＝CO＝FO，点O运动到AC的中点时，则有EO＝CO＝FO＝AO，所以这时四边形AECF是矩形；21教育名师原创作品
(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．
(1)证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠ECF＝×180°＝90°；21*cnjy*com
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF，又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF.又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形；
(3)解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，已知MN∥BC，当∠ACB＝90°，则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．故答案为：∠ACB为直角．
方法总结：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO＝FO，确定(2)(3)的条件．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
如图，AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求证：21·世纪*教育网
(1)BE＝BF；
(2)OF＝CE.
解析：(1)根据正方形的性质可求得∠ABE＝∠AOF＝90°.由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，根据“等角的余角相等”即可求得∠AFO＝∠AEB.根据“对顶角相等”即可求得∠BFE＝∠AEB，BE＝BF；(2)连接O和AE的中点G.根据三角形的中位线的性质即可证得OG∥BC，OG＝CE.根据平行线的性质即可求得∠OGF＝∠FEB，从而证得∠OGF＝∠AFO，OG＝OF，进而证得OF＝CE.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABE＝∠AOF＝90°.∵∠CAE＝∠BAE，∴∠AFO＝∠AEB，又∵∠AFO＝∠BFE，∴∠BFE＝∠AEB，∴BE＝BF；
(2)连接O和AE的中点G.∵AO＝CO，AG＝EG，∴OG∥BC，OG＝CE，∴∠OGF＝∠FEB.∵∠AFO＝∠AEB，∴∠OGF＝∠AFO，∴OG＝OF，∴OF＝CE.
方法总结：在正方形的条件下证明线段的关系，通常的方法是连接对角线构造垂直平分线，利用垂直平分线的性质、中位线定理、角平分线、等腰三角形等知识来证明，有时也利用全等三角形来解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
三、板书设计
1．正方形的性质
对边平行，四条边都相等；
四个角都是直角；
对角线互相垂直、平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
2．正方形的判定方法
一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形．
本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手动脑的机会，变被动学习为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯
2.7 正方形
学习目标：
1、理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．
2、掌握正方形的有关性质和判定方法．
3、能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题．
教学重点：正方形的定义和性质
教学难点：四边形成为正方形的条件
教具准备：用纸做的矩形模板、活动的菱形等
教学过程：
（一）温故互查：
同学们，这节课已经开始了，前面我们学习的知识你还记得吗？
边
平行四边形 角
对角线
边 边
矩形 角 菱形 角
对角线 对角线

（二）设问导读：
Ⅰ、正方形的判定1
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？并请你把刚才所做的实验用图形表示出来．然后与邻位同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
正方形的判定2
操作2 你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？请演示并画出图形．
总结：菱形+（ ）=正方形的判定3
思考：如果是平行四边形呢？
（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.
填图：
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
Ⅱ、正方形的性质
[交流]根据上述关系可知，正方形既是特殊的矩形、又是特殊的菱形，更是的特殊的平行四边形，你能说出正方形的性质吗？21世纪教育网版权所有
从边来说：
从角来说：
从对角线来说：
[交流] 为什么说正方形是完美的图形呢？（从对称来说）
（三）自主检测：
1、正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四条边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
（凡是图形所具有的性质，在表中相应的空格中填上“√”，没有的性质不要填写)
2、例题：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
知识体系：

课件22张PPT。第2章 四边形
小结与复习1.多边形的内角和与外角和:任意n边形(n≥3)内角和等于　 　 ;外角和等于　 　.?
2.从n边形的一个顶点出发可以引　 　条对角线,n边形对角线总条数为　 　条.?
3.正多边形的定义:　 多边形.
4.正n边形每个内角为　 　.?
(n-2)·180° 360°n-3各边都相等,各内角都相等的知识点:多边形的有关概念及性质平行四边形☆定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形☆性质：
1、平行四边形对边
2、平行四边形对角
邻角
3、平行四边形对角线平行相等互相平分平行且相等4、平行四边形是中心对称图形互补ＡＢＣＤＯ平行四边形的判定方法边：角对角线1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形5.对角线互相平分的四边形是平行四边形知识点:矩形的性质与判定直角中心对称直角直角相等平分一半轴对称相等平行四边形平行四边形知识点:菱形的性质与判定直角垂直平分平方平行四边形矩形菱形互相垂直平分知识点:正方形的性质与判定边角对角线四个角都是直角四边相等四边相等四个角都是直角相等ABCDOABCDOABCDO互相垂直每一条对角线平分一组对角相等互相垂直每一条对角线平分一组对角区别于平行四边形的特殊性质几种常见的平行四边形辅助线的画法：1.对角线2.构建新的平行四边形3.构建全等三角形4.构建等腰三角形几种常见的梯形的辅助线画法：1.构建平行四边形(平行一腰)2.平移一条对角线(若对角线垂直或相等)EE构建全等三角形(取一腰的中点)F4.构建矩形(作底的垂线)例１ 已知: 如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF? AE于F，若AE＝BC，求证: CE＝FE.ＡＢＣＤＥＦ分析：从求证入手，要证CE＝FE，由已知AE＝BC可知，只要证AF＝BE即可，而AF、BE分别在△AFD、△EBA中，即要证明△AFD≌△EBA .证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AD＝BC＝AE， ? B＝90? ， AD∥BC 。 ∴ ? DAE＝ ? AEB。
又∵ DF ? AE于F， ∴ ? AFD＝ 90? ＝? B 。∴ △AFD≌△EBA . ∴ AF＝BE ,
∵ AE＝BC ∴ AE－AF＝BC－BE 即 CE＝FE 例２ 已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点。求证：AF＝1/2 FC.ABCDEFGH 证明：过点D作DH∥BF
交AC于点H。
∵AD是△ABC的中线。
∴D是BC的中点。
∴CH＝HF＝1/2 CF。
∵E是AD的中点，EF∥DH。
∴AF＝FH。
∴AF＝1/2 FC。
１．矩形边长分别为45cm，20cm，其中一个内角平分线把较长边分成两部分，这两部分长是＿＿＿＿＿＿；45202025２.若三角形的三边之比为 6 : 5 : 4 ,周长是 45 cm,那么该三角形中最长的中位线长是＿＿＿;６x＋５x＋４x＝４５x＝３最长边６x＝１８９cm3.在△ABC中，P 是BC上一动点，过点P作 PE∥AC ，交AB于E ，过P作PF∥AB 交AC于F，当点P 运动到什么位置时，四边形AEPF是菱形？4．正方形ABCD对角线AC．BD交于O，P是BD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，连OE，OF.
求证:(1)OE＝OF；
(2)OE⊥OF.ＡＢＣＤＯＥＦ１２３４Ｐ５5．田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖鱼池建养鱼苗，想使池塘面积扩大一倍，又想保持 核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．课后作业 见《学练优》本章小结与复习