课件14张PPT。八年级数学·下 新课标[冀教]第二十二章 四边形22.2 平行四边形的判定
（第1课时）问题思考在学习平移时,我们通过探究发现,平移时对应点的连线平行且相等(如图中AA'∥BB'∥CC'且AA'=BB'=CC').你明白它的道理了吗?活动1 判定定理的探究阅读教材第123~124页,回答下列问题:1.你知道平行四边形的判定方法吗?如何表示?(定义法):两组对边分别平行的四边形是平行四边形.几何语言表达定义法:
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.解析:一个四边形只要其两组对边分别平行,则可判定这个四边形是一个平行四边形.设问:若一个四边形有一组对边平行且相等,则能否判定这个四边形也是平行四边形呢?2.画两条互相平行的直线,在这两条直线上分别截取线段AB=CD.将线段AB沿BC方向平移,线段AB与CD能不能重合?你认为这样得到的四边形ABCD是不是平行四边形?
由此,你发现了什么结果?总结:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.设问:我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢?平行四边形的判定方法2:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.如图所示,用几何语言表述为:
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.3.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC.求证四边形ABCD是平行四边形.分析:要证明四边形ABCD是平行四边形,只能通过证四边形的两组对边分别平行,即利用平行四边形的定义加以证明.证明:如图所示,连接BD.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.∵AD=CB,BD=DB,∴△ABD≌△CDB.
∴∠ABD=∠CDB.∴AB∥DC.
∴四边形ABCD是平行四边形.(教材第124页例1)已知:如图所示,在?ABCD中,E为BA延长线上一点,F为DC延长线上一点,且AE=CF,连接BF,DE.
求证四边形BFDE是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.又∵AE=CF,
∴BE=BA+AE=DC+CF=DF,且BE∥DF.
∴四边形BFDE是平行四边形.(教材第124页例2)求证:平行线间的距离处处相等.已知:如图所示,EF∥MN,A,B为直线EF上任意两点,AD⊥MN,垂足为D,BC⊥MN,垂足为C.
求证AD=BC.想一想:两条平行线间的距离指的是什么?(平行线间所作垂线段的长度)证明:∵AD⊥MN,BC⊥MN,
∴AD∥BC.又∵EF∥MN,
∴四边形ADCB是平行四边形.
∴AD=BC.定理:有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.定理包含两个条件:
(1)对边平行;(2)对边相等.课堂小结2.本节知识的符号语言:
在四边形ABCD中,
∵AB=CD且AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.平行四边形的对边相等、对角相等以及它的判定是我们证明直线平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两条直线平行、两条线段相等两个角相等,可考虑将要证的直线、线段、角分别置于一个四边形的对边或对角的位置,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.运用定义,也可以判定某个四边形是平行四边形,这是常用的方法.不要忘记平行四边形的定义,有时用定义判定比用其他判定方法还简单.1.(2016·绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,她带了两块碎玻璃,其编号应该是 ( )
A.①② B.①④ C.③④ D.②③解析:∵只有②③中两个角的两边互相平行,∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.故选D.D2.如图所示,下面不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.∠B=∠D,∠BAD=∠BCD
B.AB∥CD,AD=BC
C.∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°
D.AB∥CD,AB=CD解析:∵∠B=∠D,∠BAD=∠BCD,∴四边形ABCD是平行四边形,A选项正确;∵AB∥CD,AD=BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不一定是平行四边形,B选项不正确;∵∠B+∠DAB=180°,∠B+∠BCD=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,C选项正确;∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,D选项正确.故选B.B3.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,添加下列一个条件后,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A.AD=BC B.AC=BD
C.∠A=∠C D.∠A=∠B解析:∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,当∠A=∠C时,有∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.故选C.C4.下面给出的是四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数比,其中能判断四边形是平行四边形的是 ( )
A.4∶3∶2∶1 B.3∶2∶3∶2
C.3∶3∶2∶2 D.3∶2∶2∶1解析:由平行四边形的两组对角分别相等,知只有选项B能判定是平行四边形.故选B.B5.如图所示,在平面直角坐标系中,以A(-1,0),B(2,0),C(0,1)为顶点构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是 ( )
A.(3,1) B.(-4,1) C.(1,-1) D.(-3,1)解析:如图所示:以AC为对角线,可以画出?AFCB,F(-3,1);以AB为对角线,可以画出?ACBE,E(1,-1);以BC为对角线,可以画出?ACDB,D(3,1).故选B.6.如图所示,已知在四边形ABCD中,AD=BC,
∠D=∠DCE.求证四边形ABCD是平行四边形.解析:由“内错角相等,两直线平行”得出AD∥BC,再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.证明:∵∠D=∠DCE,
∴AD∥BC.
又∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.B7.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF,DF∥BE.求证四边形ABCD为平行四边形.解析:首先证明△AEB≌△CFD可得AB=CD,再由条件AB∥CD,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD为平行四边形.证明:∵AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC.
∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC,
∴∠AEB=∠DFC.在△AEB和△CFD中,∴△AEB≌△CFD(ASA),
∴AB=CD.
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.8.如图所示,在边长为1的小正方形网格中,三角形的三个顶点均落在格点上.以三角形的其中两边为边画一个平行四边形,并在顶点处标上字母A,B,C,D.解析:过A点作AB∥CD,且AB=CD,即可得到平行四边形ABCD.解:如图所示,四边形ABCD为平行四边形.(答案不唯一)9.如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D,∠1=∠2.求证四边形ABCD是平行四边形.解析:根据三角形内角和定理求出∠DAC=∠ACB,从而推出AD∥BC,AB∥CD,再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形推出即可.证明:
∵∠1+∠B+∠ACB=180°,∠2+∠D+∠CAD=180°,∠B=∠D,∠1=∠2,
∴∠CAD=∠ACB,∴AD∥BC.
∵∠1=∠2,∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.10.如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AD∥BC,DF∥BE,AE=CF.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.解析:(1)根据“ASA”证明△AFD≌△CEB;(2)利用(1)中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB,由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得结论.证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠1=∠2.
∵DF∥BE,∴∠3=∠4.
又AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE.在△AFD与△CEB中,∴△AFD≌△CEB(ASA).(2)由△AFD≌△CEB,得AD=CB.
又∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.课件16张PPT。八年级数学·下 新课标[冀教]第二十二章 四边形22.2 平行四边形的判定
（第2课时）问题思考1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,需要什么条件?3.平行四边形的两组对边分别相等,平行四边形的对角线互相平分,它们的逆命题如何表达?是否是真命题?2.用所学的其他判定方法判定一个四边形是平行四边形的条件是什么?小亮和小芳分别按下列方法得到了各自的四边形.小亮的做法:用4根木条搭成如图所示的四边形,其中AB=CD,AC=BD.小芳的做法:画两条直线相交于点O,截取OA=OC,OB=OD;连接AB,BC,CD,DA,得到四边形ABCD.问题:
(1)小亮的做法满足怎样的条件?
(2)小芳的做法又具备怎样的条件?
(3)观察,你认为他们得到的四边形是平行四边形吗?判定定理的探究怎样证明两组对边分别相等的四边形是平行四边形?已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证四边形ABCD是平行四边形.证明:如图所示,连接BD.在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB.
∴△ABD≌△CDB.∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
∴AB∥CD,AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形.证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证四边形ABCD是平行四边形.证明这个四边形的方法有哪些?方法有:(1)两组对边分别平行:(2)一组对边平行且相等;(3)两组对边分别相等.平行四边形的判定定理:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.(教材第127页例3)已知:如图所示,?ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为OA,OC的中点.
求证四边形EBFD是平行四边形.分析:由题意可得OB=OD,OA=OC,再由OE= OA,OF= OC得出OE=OF,可证明四边形EBFD是平行四边形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.∵E,F分别是OA,OC的中点,
∴OE=OF.
∴四边形EBFD是平行四边形.在教材第127页例3的条件下,如果E,F分别是OA,OC的中点,请你谈谈:
(1)点E,F分别在OA,OC上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形?
(2)点E,F分别在OA,OC的延长线上,怎样确定点E,F的位置,可使四边形EBFD是平行四边形?1.平行四边形的判定与性质:课堂小结2.在判定平行四边形时,如有对角线相交可考虑用关于对角线的判定方法,有时需要添加辅助线,即连接对角线,当已知条件给出四边形的对边时,可考虑采用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”这一判定方法.1.(2016·湘西中考)下列说法错误的是 ( )
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形解析:一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形.故选D.D 2.已知四边形ABCD中,AC与BD交于点O,如果只给出条件“AB∥CD”,那么可以判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
①再加上条件“BC=AD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
②再加上条件“∠BAD=∠BCD”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
③再加上条件“AO=CO”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
④再加上条件“∠DBA=∠CAB”,则四边形ABCD一定是平行四边形.
A.①和② B.①③和④ C.②和③ D.②③和④解析:∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,∴①不正确;∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴②正确;∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=CO,∴BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∴③正确;∵∠DBA=∠CAB,∴AO=BO,∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD,∴AO∶CO=BO∶DO,∵AO=BO,∴CO=DO,∴四边形ABCD不一定是平行四边形,∴④不正确.故选C.C3.如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E,∠CBD=90°,BC=4,BE=ED=3,AC=10,则四边形ABCD的面积为 ( )
A.6 B.12 C.20 D.24解析:在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE= =5.∵AC=10,∴AE=CE=5,∵BE=DE=3,∴四边形ABCD是平行四边形.四边形ABCD的面积为BC·BD=4×(3+3)=24.故选D.D4.如图所示,四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=10 cm,BC=30 cm,E是边CD的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于点F.求证四边形BDFC是平行四边形.解析:根据同旁内角互补两直线平行可得BC∥AD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CBE=∠DFE,然后利用“AAS”证明△BEC和△FED全等,根据全等三角形的对应边相等可得BE=EF,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.证明:∵∠A=∠ABC=90°,
∴BC∥AD,∴∠CBE=∠DFE.
又∵E是边CD的中点,∴CE=DE.在△BEC与△FED中,∴△BEC≌△FED(AAS),∴BE=FE.
∴四边形BDFC是平行四边形.5.如图所示,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至点F,使得CF= BC,连接CD,DE,EF.
(1)求证四边形CDEF是平行四边形;
(2)若四边形CDEF的面积为8,求△DBC的面积.解析:(1)欲证明四边形CDEF是平行四边形,只需证得DE∥CF,DE=CF即可;(2)在四边形CDEF与△DBC中,CF= BC,且它们的高相等,即可求出△DBC的面积.证明:(1)∵在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,
∴DE∥BC且DE= BC.
又∵CF= BC,∴DE=CF.
∴四边形CDEF是平行四边形.解:(2)∵DE∥BC,
∴四边形CDEF与△DBC的高相等,设为h.
∵CF= BC,= BC·h=CF·h=8,6.已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,点E,F在AC上,且AF=CE.求证四边形BEDF是平行四边形.解析:连接BD交AC于点O,首先由AB=CD,BC=AD,可得四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质可得AO=CO,BO=DO,再由AF=CE可得EO=FO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形.证明:连接BD交AC于点O,
∵AB=CD,BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO.∵AF=CE,
∴AF-AO=CE-CO,即EO=FO,
∴四边形BEDF是平行四边形.7.嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB= .?
求证:四边形ABCD是 四边形.?
(1)补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明;
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为 .?解析:(1)命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”,结论是“这个四边形是平行四边形”,根据题设和结论可得已知和求证.(2)连接BD,利用“SSS”证明△ABD≌△CDB可得∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,进而可得AD∥CB,AB∥CD,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形;(3)把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形的两组对边分别相等.解:(1)已知:如图所示,在四边形ABCD中,BC=AD,AB=CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.(2)证明:连接BD,在△ABD和△CDB中,∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠CDB,
∴AD∥CB,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.(3)用文字叙述所证命题的逆命题为:平行四边形的两组对边分别相等.8.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC.求证四边形ADCE是平行四边形.解析:首先利用“AAS”得出△AOD≌△COE,进而得出DO=EO,即可得出四边形ADCE是平行四边形.证明:∵CE∥AB,∴∠ADE=∠CED.在△AOD与△COE中,
∴△AOD≌△COE(AAS),∴OD=OE.
∴四边形ADCE是平行四边形.
