湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三（上）12月联考数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）12月联考数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合P={x|1≤2x＜4}，Q={1，2，3}，则P∩Q（　　）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
2．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．若向量数量积 ＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（　　）
A．（0，）
B．[0，）
C．（，π]
D．（，π）
4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，a4+a5=23，则S8=（　　）
A．72
B．88
C．92
D．98
6．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（　　）
A．﹣3
B．
C．﹣
D．2
7．已知函数f（x）=，则f（﹣2017）=（　　）
A．1
B．e
C．
D．e2
8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（　　）
A．4
B．（2）π+96
C．（4）π+64
D．（4+4）π+96
9．已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）
A．
B．2
C．4
D．8
10．函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（　　）
A．0
B．
C．0
D．
12．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知数列：的前n项和Sn=　　．
14．已知x为三角形中的最小角，则函数的值域为　　．
15．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序．己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时．又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元．根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为　　．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知△ABC的面积为S，且．
（1）求tanA的值；
（2）若B=，求△ABC的面积S．
18．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：
设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．
（1）求y关于x的表达式；
（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．
19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱锥G﹣BCEF的体积．
20．已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值．
21．已知函数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；
（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．
（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．
　
2016-2017学年湖南省五市十校教研教改共同体高三（上）12月联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合P={x|1≤2x＜4}，Q={1，2，3}，则P∩Q（　　）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，3}
D．{1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合P，根据交集的定义写出P∩Q即可．
【解答】解：集合P={x|1≤2x＜4}={x|0≤x＜2}，
Q={1，2，3}，
则P∩Q={1}．
故选：A．
　
2．“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由于复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，故a=0且b≠0，即“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件．
【解答】解：
依题意，
复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，
a=0且b≠0，
∴“a=0”是“复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数”的必要不充分条件，
故选B．
　
3．若向量数量积 ＜0则向量与的夹角θ的取值范围是（　　）
A．（0，）
B．[0，）
C．（，π]
D．（，π）
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】利用向量的数量积，转化求解向量的夹角即可．
【解答】解：向量数量积 ＜0，
可得||||cos＜，＞＜0，
可得cos＜，＞＜0，
＜，＞∈（，π]，
故选：C．
　
4．某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n﹣m的值（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】茎叶图．
【分析】利用茎叶图、平均数、中位数的性质，列出方程组，求出m，n，由此能求出结果．
【解答】解：由题意得：
，
解得m=3，n=9，
∴n﹣m=9﹣3=6．
故选：B．
　
5．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，a4+a5=23，则S8=（　　）
A．72
B．88
C．92
D．98
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】利用已知条件判断数列是等差数列，然后利用等差数列的性质求和求解即可．
【解答】解：Sn是数列{an}的前n项和，且Sn+1=Sn+an+3，
可得an+1=an+3，
所以数列{an}是等差数列，公差为3，
a4+a5=23，
S8=4（a4+a5）=92．
故选：C．
　
6．执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（　　）
A．﹣3
B．
C．﹣
D．2
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当i=1时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=﹣3，i=2；
当i=2时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=﹣，i=3；
当i=3时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=，i=4；
当i=4时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=2，i=5；
当i=5时，不满足退出循环的条件，执行循环体后，a=﹣3，i=6；
a的值是以4为周期的循环，
由2016÷4=504，
故当i=2017时，满足退出循环的条件，故输出的a值为2，
故选：D．
　
7．已知函数f（x）=，则f（﹣2017）=（　　）
A．1
B．e
C．
D．e2
【考点】函数的值．
【分析】由函数性质得f（﹣2017）=f，由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（﹣2017）=f=e．
故选：B．
　
8．如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（　　）
A．4
B．（2）π+96
C．（4）π+64
D．（4+4）π+96
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】得到原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，即可得出结论．
【解答】解：原几何体是底面半径是2、高为4的圆锥和棱长是4的正方体，
故几何体的体积是：π 22++6 42=4（+4）π+96，
故选：D．
　
9．已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（　　）
A．
B．2
C．4
D．8
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=2x的准线方程为x=﹣，
根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，
∴，
∵y12=2x1，
∴解得y1=或y1=2，
∵|AF|＞2，
∴y1=2，A（2，2）．
∴A点到原点的距离为：
=2，
故选：B．
　
10．函数的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】分析函数令的零点个数，利用排除法，可得函数图象．
【解答】解：令=0，则x=2，
故函数只有一个零点2，
故排除B，C，D，
故选：A．
　
11．圆锥的母线长为L，过顶点的最大截面的面积为，则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是（　　）
A．0
B．
C．0
D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱锥的结构特征．
【分析】过圆锥顶点的截面面积是最大值为，其中l为圆锥母线长，就是两条母线夹角为90°时的截面面积，求出底面弦长，然后推出他/她与底面半径的关系，即可得到的范围．
【解答】解：过圆锥顶点的截面面积是最大值为，其中L为圆锥母线长，就是两条母线夹角为90°时的截面面积，此时底面弦长为：
L，所以L≤2r，
因为L＞r，所以＜1．
故选D．
　
12．已知函数f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．
【分析】判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣（x+sinx）=﹣f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，
∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）=f[﹣（x2﹣4x+1）]，
由f'（x）=1﹣cosx≥0，
∴函数单调递增．
∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），
即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，
∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，
∵y≥1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．
的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．
设k=，（k＞0）
则y=kx+k，即kx﹣y+k=0．
当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=，
即8k2﹣6k=0，解得k=．此时直线斜率最大．
当直线kx﹣y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，
此时3k﹣1+k=0，即4k=1，解得k=，
∴，
故选：A．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知数列：的前n项和Sn=　　．
【考点】数列的求和．
【分析】将Sn=分组为1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（），再分别利用等差数列，等比数列求和公式计算．
【解答】解：Sn=
=1+3+5+7+…+（2n﹣1）+（）
=+
=
故答案为：
　
14．已知x为三角形中的最小角，则函数的值域为　[，3]　．
【考点】三角函数的最值．
【分析】由x为三角形中的最小内角，可得0＜x≤，而=2sin（x+）+1，结合已知所求的x的范围可求y的范围．
【解答】解：x为三角形中的最小内角，由三角形的内角和定理可知：
0＜x≤，
=2sin（x+）+1，
由0＜x≤，即＜x+≤，
∴≤sin（x+）≤1，
+1≤2sin（x+）+1≤3，
函数的值域[，3]
故答案为：[，3]．
　
15．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序．己知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时．又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元．根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】先设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为P千元，根据题意抽象出x，y满足的条件，建立约束条件，作出可行域，再根据目标函数P═15x+20y，利用截距模型，平移直线找到最优解，即可．
【解答】解：设每天生产桌子x张，椅子y张，利润总额为p，目标函数为：p=15x+20y
则作出可行域：
把直线l：3x+4y=0向右上方平移至l'的位置时，直线经过可行域上的点B，此时p=15x+20y取最大值，
解方程得B的坐标为．
p=15×200+20×900=21000．
答：每天应生产桌子200张，椅子900张才能获得最大利润．
　
16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为　　．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】取PF2的中点A，由，可得，由OA是△PF1F2的中位线，得到PF1⊥PF2，由双曲线的定义求出|PF1|和|PF2|的值，进而在△PF1F2中，由勾股定理可得结论．
【解答】解：取PF2的中点A，则
∵，
∴2 =0，
∴，
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=PF1．
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，
∵|PF1|=|PF2|，
∴|PF2|=，|PF1|=．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（）2+（）2=4c2，
∴e=．
故答案为：．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．已知△ABC的面积为S，且．
（1）求tanA的值；
（2）若B=，求△ABC的面积S．
【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）设出三角形的边长，利用三角形的面积以及向量的数量积，转化求解A的正切函数值．
（2）利用两角和与差的三角函数转化求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）由，设三角形的边长为：a，b，c，则：bccosA═bcsinA，
可得tanA=2．
（2）由（1）可知A∈（0，），则sinA=，cosA=，B=，
可得cosC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB═=，…
b===2．
故S=bcsinA==12．…
　
18．某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：
设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．
（1）求y关于x的表达式；
（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．
【考点】频率分布直方图；函数模型的选择与应用；古典概型及其概率计算公式．
【分析】（1）利用频率分布直方图，列出函数的关系式即可．
（2）求出销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，从这5天中任取2天，列出事件情况，求解概率即可．
【解答】解：（1）
（2）由（1）可知：日销售量不少于20杯时，日利润不少于96元，日销售量为21杯时，日利润为97元，从条形图可以看出，销量为20杯的有3天，记为a，b，c，销量为21杯的有2天，记为A，B，从这5天中任取2天，包括（a，b），（a，c），（a，A），（a，B），（b，c），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（A，B），共10种情况，
其中选出的2天销量都为21天的情况只有1种，故其概率为．
　
19．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与ADEF是边长均为a的正方形，四边形ABGH是直角梯形，AB⊥AF，且FA=2FG=4FH．
（1）求证：平面BCG⊥平面EHG；
（2）若a=4，求四棱锥G﹣BCEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）连接BH，推导出HG⊥GB，从而CB⊥平面ABGF，进而CB⊥HG，由此能证明HG⊥平面BCG，从而平面EHG⊥平面BCG．
（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，连接AP、FB交于点O，过G作GK⊥FB于K，由此能求出四棱锥G﹣BCEF的体积．
【解答】证明：（1）连接BH，由AH=，AB=a，
知：HB==，
HG==，
GB==，
∴HB2=HG2+GB2，从而HG⊥GB，…
∵DA⊥AF，DA⊥AB，∴DA⊥平面ABGH，
又∵CB∥DA，∴CB⊥平面ABGF，
∴CB⊥HG，∴HG⊥平面BCG，
∵HG⊥平面EHG，∴平面EHG⊥平面BCG．…
解：（2）过B作AF的平行线交于FG的延长线于点P，
连接AP、FB交于点O，
过G作GK⊥FB于K，
则GK=PO=，…
∴四边形BCEF的面积S=4×，…
故VG﹣BCEF==．…
　
20．已知椭圆的离心率为，过左焦点F且垂直于长轴的弦长为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A、B两点，证明：|PA|2+|PB|2为定值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）根据离心率及通径构造方程组，求得a，b．
（2）直线与椭圆联立，根据韦达定理，弦长公式，采用设而不求法，证明|PA|2+|PB|2为定值．
【解答】解：（1）由题意可得方程组
解得
故椭圆标准方程为．…
（2）设l的方程为，代入
并整理得：25y2+20my+8（m2﹣25）=0…
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
又∵=，同理…
则
=
=
=41．
所以|PA|2+|PB|2是定值…
　
21．已知函数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）﹣（ax﹣1），求函数g（x）的极值；
（3）若a=﹣2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；
（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；
（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．
【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），
又f′（x）=+1，则切线斜率k=f′（1）=2，
故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0；
（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，无极值；
当a＞0时，g′（x）=，
令g′（x）=0，得x=，
所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，
当a＞0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞），
∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna，
综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；
当a＞0时，函数g（x）有极大值﹣lna，无极小值；
（3）由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．
令t=x1x2，则由x1＞0，x2＞0得，φ′（t）=，t＞0，
可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
所以φ（t）≥φ（1）=1，
所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，
又因为x1＞0，x2＞0，
因此x1+x2≥成立．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣6sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．
（1）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用极坐标化为直角坐标的方法，写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；
（2）若弦长|PQ|=4，所以=3，即可求直线l的斜率．
【解答】解：（1）由ρ=4cosθ﹣6sinθ，得圆C的直角坐标方程x2+y2﹣4x+6y=0，
配方，得（x﹣2）2+（y+3）2=13，所以圆心为（2，﹣3），半径为…
（2）由直线l的参数方程知直线过定点M（4，0），则由题意，知直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为y=k（x﹣4），因为弦长|PQ|=4，所以=3，
解得k=0或k=﹣…
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣2|x+a|．
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）＞0，在x∈[2，3]上恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（1）当a=1时，由不等式．分别求得解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，从而求得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵a=1，f（x）＞1 |x﹣1|﹣2|x+1|＞1，
，
∴解集为…
（2）f（x）＞0在x∈[2，3]上恒成立 |x﹣1|﹣2|x+a|＞0在x∈[2，3]上恒成立
1﹣3x＜2a＜﹣x﹣1在x∈[2，3]上恒成立，
∴a的范围为…
　
2017年1月20日