湖南省株洲市长鸿实验学校、南方中学、醴陵一中2016-2017学年高一（上）12月联考数学试卷（解析版）

2016-2017学年湖南省株洲市长鸿实验学校、南方中学、醴陵一中高一（上）12月联考数学试卷
　
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（ UB）等于（　　）
A．{1，2，3，4，5}
B．{3，4}
C．{1，3，4}
D．{2，3，4，5}
2．有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α：
②若直线a在平面α外．则a∥α：
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α：
④若直线a∥b．b∥α．则a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．函数f（x）=+log2（x+1）的定义域为（　　）
A．[1，3）
B．（
1，3）
C．（﹣1，3]
D．[﹣1，3]
4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（　　）
A．16
B．16+16
C．32
D．16+32
5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣l，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．设二次函数f（x）=﹣x2+x+a（a＜0），若f（m）＞0，则f（m+1）的值为（　　）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．正数、负数或零都有可能
8．如图是正方体的侧面展开图，L1、L2是两条侧面对角线，则在正方体中，L1与L2（　　）
A．互相平行
B．相交
C．异面且互相垂直
D．异面且夹角为60°
9．已知f（x）=是（﹣，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（，2）
B．（1，2]
C．[，2]
D．（1，2）
10．一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）
A．①、②
B．①、③
C．②、③
D．②、④
12．对于集合M、N，定义M﹣N={x|x∈M，且x N}，M N=（M﹣N）∪（N﹣M）．设A={y|y=x2﹣3x，x∈R}，B={y|y=﹣2x，x∈R}，则A B=（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．）
13．f（x）=，若f（x）=1，则x=　　．
14．若三棱锥P﹣ABC的侧棱长PA=PB=PC，则点P在底面的射影O是△ABC的　　心．
15．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（a b）=f（a）+f（b），f（3）=1则不等式：f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集为　　．
16．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（2）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象求：当实数k为何值时，函数g（x）有三个零点．
18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}．
（1）求A∩ UB；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C A∪B，求实数a的取值范围．
19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底面
ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
20．已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（3）求证：AC⊥平面PAB．
21．已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣），2≤x≤4
（1）求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．
22．定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年湖南省株洲市长鸿实验学校、南方中学、醴陵一中高一（上）12月联考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，那么集合A∪（ UB）等于（　　）
A．{1，2，3，4，5}
B．{3，4}
C．{1，3，4}
D．{2，3，4，5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5}，集合A={3，4}，B={2，3，5}，根据补集的定义可得C∪B={1，4}，再根据并集的定义计算A∪（C∪B）．
【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，B={2，3，5}，
∴C∪B={1，4}，
∵集合A={3，4}，
∴A∪（C∪B）={1，3，4}，
故选C．
　
2．有下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α：
②若直线a在平面α外．则a∥α：
③若直线a∥b，b∥α，则a∥α：
④若直线a∥b．b∥α．则a平行于平面α内的无数条直线．
其中真命题的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】在①中，直线l与α相交、平行或l α：在②中，a与α平行或相交；在③中，a∥α或a α；在④中，a∥α或a α，故a平行于平面α内的无数条直线．
【解答】解：在①中，若直线l平行于平面α内的无数条直线，当这无数条直线不相交时，
则直线l与α相交、平行或l α，故①错误：
在②中，若直线a在平面α外．则a与α平行或相交，故②错误；
在③中，若直线a∥b，b∥a，则a∥α或a α，故③错误；
在④中，若直线a∥b．b∥a，则a∥α或a α，
∴a平行于平面α内的无数条直线，故④正确．
故选：A．
　
3．函数f（x）=+log2（x+1）的定义域为（　　）
A．[1，3）
B．（
1，3）
C．（﹣1，3]
D．[﹣1，3]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】函数f（x）=+log2（x+1）有意义，只需3﹣x≥0，且x+1＞0，解不等式即可得到所求定义域．
【解答】解：函数f（x）=+log2（x+1）有意义，
只需3﹣x≥0，且x+1＞0，
解得﹣1＜x≤3，
定义域为（﹣1，3]．
故选：C．
　
4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（　　）
A．16
B．16+16
C．32
D．16+32
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，求出各个面的面积，相加可得答案．
【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，
棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，
棱锥的高为2，故侧面的高为：2，
则每个侧面的面积为：
=4，
故棱锥的表面积为：16+16，
故选：B
　
5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在区间是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）
B．（﹣l，0）
C．（0，1）
D．（1，2）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】据函数零点的判定定理，判断f（﹣1），f（0），f（1），f（2）的符号，即可求得结论．
【解答】解：f（﹣1）=2﹣1+1﹣2=﹣＜0，
f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，f（2）=4＞0，
故有f（0） f（1）＜0，由零点的存在性定理可知：
函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的区间是（0，1）
故选：C．
　
6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平面图形的直观图．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出原来的平面图形的上底与下底、高，从而求出它的面积．
【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示；
则原来的平面图形上底是1，下底是1+，高是2，
∴它的面积是×（1+1+）×2=2+．
故选：D．
　
7．设二次函数f（x）=﹣x2+x+a（a＜0），若f（m）＞0，则f（m+1）的值为（　　）
A．正数
B．负数
C．非负数
D．正数、负数或零都有可能
【考点】二次函数的性质．
【分析】由f（x）=﹣x2+x+a（a＜0），可知f（0）=（1）=a＜0，再判断出0＜m＜1，从而解出问题．
【解答】解：∵f（x）=﹣x2+x+a（a＜0），
∴f（0）=（1）=a＜0，又∵f（m）＞0，
则0＜m＜1，
则m+1＞1，
则f（m+1）＜f（1）＜0，
故为负数，
故选B．
　
8．如图是正方体的侧面展开图，L1、L2是两条侧面对角线，则在正方体中，L1与L2（　　）
A．互相平行
B．相交
C．异面且互相垂直
D．异面且夹角为60°
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．
【分析】以涂有红色的正方形为下底面，并且使l1所在侧面正对着我们，可得l1与l2是相交直线．
【解答】解：如图，以涂有红色的正方形为下底面，
并且使l1所在侧面正对着我们，
可得l2所在的面是上底面，且两条直线有一个公共点
∴在正方体中，l1与l2是相交直线．
故选：B．
　
9．已知f（x）=是（﹣，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　）
A．（，2）
B．（1，2]
C．[，2]
D．（1，2）
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据分段函数在（﹣，+∞）上是增函数，y1=ax﹣a，x＞1必须是增函数，即a＞1，（1，+∞）单调递增，那么y2=，其对称轴x=，在[，1]必须是单调递增．结合单调递增的性质，y1≥y2可得结论．
【解答】解：分段函数在（﹣，+∞）上是增函数，y1=ax﹣a，x＞1必须是增函数，即a＞1，（1，+∞）单调递增，
那么y2=，其对称轴x=，在[，1]必须是单调递增．
∴，解得：．
在（﹣，+∞）上是增函数，那么y1的最小值要大于y2的最大值，即1，
解得：a≤2
∴a的取值范围是[，2]．
故选：C．
　
10．一高为H、满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为V，则函数的大致图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的．
【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数．
据四个选项提供的信息，
当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，
这样每当h增加一个单位增量△h时，
根据鱼缸形状可知，函数V的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小，
故V关于h的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，
故选B．
　
11．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）
A．①、②
B．①、③
C．②、③
D．②、④
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】分别利用线面平行的判定定理，在平面MNP中能否寻找一条直线和AB平行即可．
【解答】解：在①中NP平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行AB，所以AB∥平面MNP；
在③中设过点B且垂直于上底面的棱与上底面交点为C，
则由NP∥CB，MN∥AC可知平面MNP∥平行平面ABC，
即AB∥平面MNP．
故选B．
　
12．对于集合M、N，定义M﹣N={x|x∈M，且x N}，M N=（M﹣N）∪（N﹣M）．设A={y|y=x2﹣3x，x∈R}，B={y|y=﹣2x，x∈R}，则A B=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由题设条件求出A=[﹣，+∞），B=（﹣∞，0），从而得到A﹣B=[0，+∞），B﹣A=，由此能求出A B．
【解答】解：∵A={y|y=x2﹣3x，x∈R}={x|y=（x﹣）2﹣}={y|y}=[﹣，+∞），
B={y|y=﹣2x，x∈R}={y|y＜0}=（﹣∞，0），
∴A﹣B=[0，+∞），B﹣A=．
∴，
故选C．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．）
13．f（x）=，若f（x）=1，则x=　2　．
【考点】函数的值．
【分析】当x＜2时，f（x）=3x﹣2=1；当x≥2时，f（x）=．由此能求出结果．
【解答】解：∵f（x）=，f（x）=1，
∴当x＜2时，f（x）=3x﹣2=1，解得x=2，不成立；
当x≥2时，f（x）=，解得x=2或x=﹣2（舍）．
综上，x=2．
故答案为：2．
　
14．若三棱锥P﹣ABC的侧棱长PA=PB=PC，则点P在底面的射影O是△ABC的　外　心．
【考点】平行投影及平行投影作图法．
【分析】根据从一点出发的斜线段，如果斜线段长相等，那么它们的射影长也相等得到，点P在底面的射影O到三角形三个顶点的距离相等，从而即可选出答案．
【解答】解：如图，由题意得：
PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，
即O点是三角形ABC的外心，
故答案为外．
　
15．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（a b）=f（a）+f（b），f（3）=1则不等式：f（x）﹣f（x﹣2）＞3的解集为　（2，）　．
【考点】抽象函数及其应用．
【分析】由题意知f（2×2）=f（2）+f（2）=2，f（2×4）=f（2）+f（4）=3，f（x）＞f（8x﹣16），再由f（x）的定义域为（0，+∞），且在其上为增函数得得到不等式组，即可解得答案．
【解答】解：∵f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
∴f（3×3）=f（3）+f（3）=2，
f（3×9）=f（3）+f（9）=3，
∵f（x）﹣f（x﹣2）＞3，
∴f（x）＞f（x﹣2）+f（27）=f（27x﹣54）
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数解得，
解得，2＜x＜．
所以不等式f（x）﹣f（x﹣2）＜3的解集为（2，）．
故答案为：（2，）．
　
16．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　32π　．
【考点】球内接多面体．
【分析】根据题意，结合图形，利用直角三角形的边角关系，求出内接圆柱的侧面积以及面积最大值，再求出S球﹣S圆柱侧的值．
【解答】解：如图所示，
设∠OAO′=θ，半径O′A=4cosθ=r，OO′=4sinθ；
∴S圆柱侧=2πr 2OO′
=2π 4cosθ 2 4sinθ
=64πsinθcosθ
=32πsin2θ，
∴当sin2θ=1，即θ=45°时，圆柱的侧面积取得最大值32π，
此时S球=4π×16=64π，
S球﹣S圆柱侧=32π．
故答案为：32π．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x．
（1）求f（x）的解析式，并画出的f（x）图象；
（2）设g（x）=f（x）﹣k，利用图象求：当实数k为何值时，函数g（x）有三个零点．
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，由条件求得f（x）的解析式，再根据奇函数的性质求出f（x）的解析式．
（2）由题意可得f（x）的图象和直线y=k有3个交点，数形结合求得k的范围．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，由当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，可得f（﹣x）=x2
+2x，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（﹣x）=x2
+2x=﹣f（x），
∴f（x）=﹣x2
﹣2x，∴f（x）=．
（2）g（x）=f（x）﹣k有三个零点，即f（x）的图象和直线y=k有3个交点．
由于函数f（x）的极大值为f（﹣1）=1，极小值
f（1）=﹣1，如图：
故﹣1＜k＜1．
　
18．设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜3}．
（1）求A∩ UB；
（2）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若C A∪B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．
【分析】（1）由题目所给的条件，可以分别解出集合A与集合B，由补集的知识，可得 UB，即可求得A∩ UB；
（2）求出A∪B，通过分类讨论，对a进行分类，可以确定C是否为空集，进而可以讨论的a的取值范围．
【解答】解：（1）集合A={x|（x+3）（4﹣x）≤0}={x|x≤﹣3或x≥4}，…．
对于集合B={x|log2（x+2）＜3}．，有x+2＞0且x+2＜8，即﹣2＜x＜6，…．
即B=（﹣2，6），∴CUB=（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞），
所以A∩ UB=（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）．…
（2）因为A∪B=（﹣∞，﹣3]∪[﹣2，+∞）．…
①当2a≥a+!，即a≥1时，C= ，满足题意．…
②当2a＜a+1，即a＜1时，有a+1≤﹣3或2a≥﹣2，
即a≤﹣4或﹣1≤a＜1．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣1，+∞）．…
　
19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底面
ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）取PB中点Q，连结MQ、NQ，利用三角形中位线定理和菱形的性质，证出DN∥MQ．利用线面平行判定定理，即可证出DN∥平面PMB；
（2）由菱形ABCD中∠A=60°，得到△ABD是正三角形，从而MB⊥AD．由PD⊥底ABCD得到PD⊥MB，利用线面垂直的判定定理，证出MB⊥平面PAD，结合面面垂直判定定理可得平面PMB⊥平面PAD；
（3）证明△BCD为等边三角形，设CD中点为E，连接PE，DE，可得∠PBE为直线PB与平面PCD所成角．
【解答】（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
∵MQ 平面PMB，DN 平面PMB
∴DN∥平面PMB；…
（2）证明：∵PD⊥底ABCD，MB 平面ABCD，
∴PD⊥MB
又∵底面ABCD为菱形，∠A=60°且M为AD中点，
∴MB⊥AD．
又∵AD、PD是平面PAD内的相交直线，∴MB⊥平面PAD．
∵MB 平面PMB，∴平面PMB⊥平面PAD；
…
（3）解：设CD中点为E，连接PE，DE，
∵底面ABCD是∠A=60°、边长为a
的菱形
∴△BCD是等边三角形，
∴BE⊥DC，
∵PD⊥底面
ABCD，
∴PD⊥BE，
∴BE⊥平面PCD，
∴∠PBE为直线PB与平面PCD所成角，
∵BE=a，PA=，
∴sin∠BPE=…
　
20．已知四棱锥P﹣ABCD（图1）的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．
（1）求正视图的面积；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（3）求证：AC⊥平面PAB．
【考点】直线与平面垂直的判定；由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）过A作AE∥CD，可得E是BC的中点，且BE=CE=AE=CD=1．正三角形PBC中，算出中线PE=，由PA⊥平面ABCD，在Rt△PAE中，算出PA=即为正视图三角形的高长，由此结合BC=2即可求出正视图的面积；
（2）由（1）的证明，结合题意可得四棱锥P﹣ABCD是以PA为高、底面ABCD是直角梯形的四棱锥，结合题中的数据即可算出四棱锥P﹣ABCD的体积；
（3）分别在Rt△ABE、Rt△ADC中，算出AB=AC=，结合BC=2利用勾股定理的逆定理证出AC⊥AB，再由PA⊥平面ABCD得PA⊥AC，根据线面垂直的判定定理即可证出AC⊥平面PAB．
【解答】解：（1）过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，（1
分）
且BE=CE=1，AE=CD=1（2
分）
又∵△PBC为正三角形，∴BC=PB=PC=2，且PE⊥BC
∴PE2=PC2﹣CE2=3（3
分）
∵PA⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PA⊥AE（4
分）
可得PA2=PE2﹣AE2=2，即（5
分）
因此，正视图的面积为（6
分）
（2）由（1）可知，四棱锥P﹣ABCD的高为PA，，（7
分）
底面积为
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为（10
分）
（3）∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PA⊥AC（11
分）
∵在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=2，在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2（12
分）
∴BC2=4=AB2+AC2，可得△BAC是直角三角形
（13
分）
∴AC⊥AB．
由此结合AB∩PA=A，可得AC⊥平面PAB（14
分）
　
21．已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣），2≤x≤4
（1）求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；函数的值域；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）=，2≤x≤4令t=log2x，则y==，由此能求出函数的值域．
（2）令t=log2x，得对于1≤t≤2恒成立，从而得到m≥对于t∈[1，2]恒成立，构造函数g（t）=，t∈[1，2]，能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）
=，2≤x≤4
令t=log2x，则y==，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
当t=时，ymin=﹣，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[﹣]．
（2）令t=log2x，得对于1≤t≤2恒成立．
∴m≥对于t∈[1，2]恒成立，
设g（t）=，t∈[1，2]，
∴g（t）==，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）max=0，∴m≥0．
故m的取值范围是[0，+∞）．
　
22．定义：若函数y=f（x）在某一区间D上任取两个实数x1、x2，且x1≠x2，都有，则称函数y=f（x）在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）对于函数，判断其在区间（0，+∞）上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间（0，1）上具有性质L，求实数a的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（1）写出的函数是下凹的函数即可；
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．根据定义，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
只需要证明＞0即可；
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2则＞0，只需要2﹣a x1 x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，即，故可求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）（或其它底在（0，1）上的对数函数）．…
（2）函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…
证明：任取x1、x2∈（0，+∞），且x1≠x2
则==
∵x1、x2∈（0，+∞）且x1≠x2，
∴（x1﹣x2）2＞0，2x1 x2（x1+x2）＞0
即＞0，
∴
所以函数在区间（0，+∞）上具有性质L．…
（3）任取x1、x2∈（0，1），且x1≠x2
则===
∵x1、x2∈（0，1）且x1≠x2，
∴（x1﹣x2）2＞0，4x1 x2（x1+x2）＞0
要使上式大于零，必须2﹣a x1 x2（x1+x2）＞0在x1、x2∈（0，1）上恒成立，
即，
∴a≤1，
即实数a的取值范围为（﹣∞，1]…
　
2017年1月20日