江西省省级联考2017届高三（上）第二次联考数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年江西省省级联考高三（上）第二次联考数学试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈N|ex＜9}，其中e为自然对数的底数，e≈2.718281828，集合B={x|0＜x＜2}，则A∩（ RB）=（　　）
A．{0}
B．{0，1}
C．{2}
D．{0，2}
2．已知命题p： x0＜0，sinx0＞0且tanx0＞0，则命题p的否定为（　　）
A． x＜0，sinx≤0或tanx≤0
B． x＜0，sinx≤0且tanx≤0
C． x≥0，sinx≤0或tanx≤0
D． x≥0，sinx≤0且tanx≤0
3．已知等差数列{an}的前7项和为14，则=（　　）
A．e2
B．e4
C．e8
D．e16
4．已知tanα=3，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，则a=（　　）
A．1
B．2
C．1或9
D．2或8
6．函数在[2，4]上的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．3e﹣4
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以1为首项的等比数列
B．数列{an}的通项公式为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等比数列，且公比为
9．已知命题p：函数f（x）=图象的对称中心为（0，3）；命题q：若单位向量、满足|2﹣|=|+2|，则2⊥3，则下列命题是真命题的为（　　）
A．（￢p）∧q
B．p∧q
C．p∨（￢q）
D．（￢p）∧（￢q）
10．在△ABC中，，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A．
B．
C．2π
D．
11．已知点（x，y）满足，则的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知定义在R上函数f（x）的导函数为f'（x），且，若f（0）=0，则函数f（x）的单调减区间为（　　）
A．和
B．
C．和
D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知第一限象的点（m，n）在直线9x+y=1上，则的最小值为　　．
14．已知向量，若向量与共线，且m+n=1，则，
=　　．
15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　　．
16．若关于x的方程lnx+2=（a+1）x无解，则数实a的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．在△ABC中，sin2A+sinAsinB=6sin2B．
（1）求的值；
（2）若，求sinB的值．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=B1C=2AB=2AC=2，∠BAC=90°，∠BAA1=120°．
（1）求证：AB⊥平面AB1C；
（2）求多面体CAA1B1C1的体积．
20．已知命题；命题q：函数f（x）=x2﹣mx+3在（﹣1，1）上仅有1个零点．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
21．在△ABC中，sin2B=sinAsinC．
（1）若，，成等差数列，求cosB的值；
（2）若=4，求△ABC面积的最大值．
22．已知函数．
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的大致图象；
（2）将函数f（x）的图象向下平移一个单位得到函数g（x）的图象，点A是函数g（x）图象的上一点，B（4，﹣2），求|AB|的最小值．
23．已知函数f（x）=ex．
（1）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．
　
2016-2017学年江西省省级联考高三（上）第二次联考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈N|ex＜9}，其中e为自然对数的底数，e≈2.718281828，集合B={x|0＜x＜2}，则A∩（ RB）=（　　）
A．{0}
B．{0，1}
C．{2}
D．{0，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：集合A={x∈N|ex＜9}={0，1，2}，
∵B={x|0＜x＜2}，
∴ RB={x|x≤0或x≥2}，
∴A∩（ RB）={0，2}，
故选：D
　
2．已知命题p： x0＜0，sinx0＞0且tanx0＞0，则命题p的否定为（　　）
A． x＜0，sinx≤0或tanx≤0
B． x＜0，sinx≤0且tanx≤0
C． x≥0，sinx≤0或tanx≤0
D． x≥0，sinx≤0且tanx≤0
【考点】命题的否定．
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是 x＜0，sinx≤0或tanx≤0，
故选：A
　
3．已知等差数列{an}的前7项和为14，则=（　　）
A．e2
B．e4
C．e8
D．e16
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列{an}的前7项和为14，得a1+a7=4，从而利用等差数列通项公式得a2+a3+a5+a6=2（a1+a7）=8，由此能求出的值．
【解答】解：∵等差数列{an}的前7项和为14，
∴，解得a1+a7=4，
∴a2+a3+a5+a6=2（a1+a7）=8，
∴==e8．
故选：C．
　
4．已知tanα=3，则=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角的正弦函数公式、同角三角函数对分子进行变换，分子分母除以cos2α，然后由同角三角函数间的基本关系化简，然后将tanα的值代入．
【解答】解：∵tanα=3，
∴
=
=
=
=﹣．
故选：D．
　
5．已知直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，则a=（　　）
A．1
B．2
C．1或9
D．2或8
【考点】圆的切线方程．
【分析】由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
【解答】解：∵圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8圆心为（3，a），半径为2，
直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，
∴2=，即|5﹣a|=4
∴a=1或q=9．
故选：C．
　
6．函数在[2，4]上的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．3e﹣4
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．
【分析】求出函数的导数，求出函数的在闭区间的单调性，从而求出函数的最大值即可．
【解答】解：f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＞，
令f′（x）＜0，解得：x＜，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
故函数在[2，4]递增，
f（x）最大值=f（4）=﹣4，
故选：C．
　
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．利用表面积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．
∴该几何体的表面积=+2π×1×1+42×6﹣π×12=（）π+96．
故选：D．
　
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以1为首项的等比数列
B．数列{an}的通项公式为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等比数列，且公比为
【考点】等比关系的确定．
【分析】由an=得到数列{an}的递推式，
【解答】解：当n=1时，有S1+3a1=4a1=4，得：a1=1，
当n≥2，时，由nSn+（n+2）an=4n，即Sn+an=4①，得：
Sn﹣1+an﹣1=4②，
①﹣②得：an+an﹣an﹣1=0，
即=，
∴= … = … = n，
即an=．
∴=，
∴数列是等比数列，且公比为．
故选：C．
　
9．已知命题p：函数f（x）=图象的对称中心为（0，3）；命题q：若单位向量、满足|2﹣|=|+2|，则2⊥3，则下列命题是真命题的为（　　）
A．（￢p）∧q
B．p∧q
C．p∨（￢q）
D．（￢p）∧（￢q）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分析出命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．
【解答】解：函数f（x）==+2，
其图象由函数y=的图象向上平移两个单位得到，
故图象的对称中心为（0，2）；
故命题p为假命题，
命题q：若单位向量、满足|2﹣|=|+2|，
则|2﹣|2=|+2|2，进而可得：
=0，
故2⊥3，故命题q为真命题，
故命题（￢p）∧q为真命题，
命题p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题，
故选：A．
　
10．在△ABC中，，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A．
B．
C．2π
D．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】在△ABC中由正弦定理，及 R=，即可求得面积．
【解答】解：在△ABC中由正弦定理，
及
R=，则△ABC的外接圆面积为
故选：B
　
11．已知点（x，y）满足，则的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用z的几何意义：区域内的点与（﹣1，1）连接直线的斜率的倒数，因此求最值即可．
【解答】解：由已知得到平面区域如图：表示区域内的点与（﹣1，1）连接的直线斜率的倒数，当与A（2，3）连接时直线斜率最大为，与B（4，2）连接时直线斜率最小为，
所以的最大值为5，最小值为，所以的取值范围为[，5]；
故选：A．
　
12．已知定义在R上函数f（x）的导函数为f'（x），且，若f（0）=0，则函数f（x）的单调减区间为（　　）
A．和
B．
C．和
D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先构造函数设g（x）=exf（x），再求导，得到g′（x）=2x+1，根据f（0）=0，求出g（x），即可求出f（x），再根据导数和函数的单调性即可求出答案．
【解答】解：由，得ex（f（x）+f′（x））=2x﹣1，
设g（x）=exf（x），
∴g′（x）=ex（f（x）+f′（x））=2x﹣1，
可设g（x）=x2﹣x+c，
∵f（0）=0，
∴g（0）=0，
∴c=0，
∴g（x）=x2﹣x，
∴f（x）==，
∴f′（x）=，
当f′（x）≤0时，即﹣x2+3x﹣1≤0，解得x≤或x≥，
故选：A
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知第一限象的点（m，n）在直线9x+y=1上，则的最小值为　16　．
【考点】基本不等式．
【分析】9m+n=1，m，n＞0．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵9m+n=1，m，n＞0．
∴=（9m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当n=3m=时取等号．
故答案为：16．
　
14．已知向量，若向量与共线，且m+n=1，则，
=　﹣12　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先求出，并且，这样根据与共线即可得出一个关于m，n的方程为3m+2n=0，从而联立m+n=1即可求出m，n的值，从而得出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
【解答】解：；
∵与共线；
∴﹣7m+2（2m﹣n）=0；
即3m+2n=0，联立m+n=1解得m=﹣2，n=3；
∴；
∴．
故答案为：﹣12．
　
15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　﹣　．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由从点A到点B正好经过了半个周期，求出ω，把A、B的坐标代入函数解析式求出sinφ的值，再根据五点法作图，求得φ
的值．
【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，且，
可得从点A到点B正好经过了半个周期，即=π﹣，∴ω=2．
再把点A、B的坐标代入可得
2sin（2 +φ
）=﹣2sinφ=1，2sin（2 π+φ
）=2sinφ=﹣1，
∴sinφ=﹣，∴φ=2kπ﹣，或φ=2kπ﹣，k∈Z．
再结合五点法作图，可得φ=﹣，
故答案为：．
　
16．若关于x的方程lnx+2=（a+1）x无解，则数实a的取值范围为　（e﹣1，+∞）　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】方程lnx+2=（a+1）x无解可化为y=lnx+2与直线y=（a+1）x的图象没有交点，从而求实数a的取值范围
【解答】解：由题意，方程lnx+2=（a+1）x无解可化为y=lnx+2与直线y=（a+1）x的图象没有交点，
当直线y=（a+1）x与y=lnx+2相切时，切点为（x0，y0），
则，解得a=e﹣1，
所以要使关于x的方程lnx+2=（a+1）x无解，只要直线斜率a+1＞e即a＞e﹣1；
故答案为：（e﹣1，+∞）
　
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列的性质求出公比q，再求出首项，即可得到数列的通项公式，
（2）根据等比数列的求和公式和裂项求和分组求出即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q：因为a2，a3+1，a4成等差数列，
故a2+a4=2（a3+1），
即a4=2a3，
故q=2；
因为，
即an=2n﹣1．
（2）因为Sn=n2+n，
故当n=1时，b1=S1=2，
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，
综上所述bn=2n，
故==﹣，
故数列的前n项和为．
　
18．在△ABC中，sin2A+sinAsinB=6sin2B．
（1）求的值；
（2）若，求sinB的值．
【考点】正弦定理．
【分析】（1）由已知可得，解得，利用正弦定理即可得解．
（2）由余弦定理及a=2b得5b2﹣c2=3b2，解得，利用余弦定理可求cosB，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值．
【解答】解：（1）∵sin2A+sinAsinB﹣6sin2B=0，
故，
解得或﹣3（舍去）；
由正弦定理．
（2）记角A、B、C的边分别为a、b、c，由余弦定理得，
将，即a=2b代入，得5b2﹣c2=3b2，解得，
由余弦定理得，，
则．
　
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=B1C=2AB=2AC=2，∠BAC=90°，∠BAA1=120°．
（1）求证：AB⊥平面AB1C；
（2）求多面体CAA1B1C1的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出AB1⊥AB．AC⊥AB．由此能证明AB⊥平面AB1C．
（2）多面体CAA1B1C1的体积：．由此能求出结果．
【解答】证明：（1）依题意，∠BAA1=120°，
故∠ABB1=60°，
在△ABB1中，AB=1，BB1=AA1=2，∠ABB1=60°，
由余弦定理得，
∴，∴，
∴AB1⊥AB．又∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB．
又∵AC∩AB1=A，
∴AB⊥平面AB1C．
解：（2）∵，故AB1⊥AC，
∵AB1⊥AB，AC∩AB=A，故AB1⊥平面ABC，
依题意，多面体CAA1B1C1的体积：
．
　
20．已知命题；命题q：函数f（x）=x2﹣mx+3在（﹣1，1）上仅有1个零点．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，（1）由（￢p）∧q为真命题，得到p假q真，求出m的范围即可；（2）由p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假；
求出m的范围即可．
【解答】解：依题意，，解得m＞1；
对于函数f（x）=x2﹣mx+3，若△=0，则函数f（x）的零点不在（﹣1，1）上，
故只需f（﹣1）f（1）＜0，解得m＜﹣4或m＞4，
（显然x=﹣1或1时，f（x）=x2﹣mx+3≠0，否则在区间（﹣1，1）上无零点）．
（1）若（ p）∧q为真，则实数m满足，
故m＜﹣4，即实数m的取值范围为
（﹣∞，﹣4）．
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；
若p真q假，则实数m满足，即1＜m≤4；
若p假q真，由（1）知，故m＜﹣4，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（1，4]．
　
21．在△ABC中，sin2B=sinAsinC．
（1）若，，成等差数列，求cosB的值；
（2）若=4，求△ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB，从而求出cosB的值即可；
（2）求出三角形的面积的解析式，令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可．
【解答】解：（1））若，，成等差数列，
则=+===，
故sinB=，cosB=±；
（2）若=4，即=4，b2=16sin2B，
∵sin2B=sinAsinC，
∴ac=b2，
∴S△ABC=b2sinB=8sin3B，（0＜B＜π），
令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），
则f′（x）=24sin2xcosx，
令f′（x）＞0，解得：x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，π）递增，
故f（x）在（0，）递增，在（，π）递减，
f（x）max=f（）=8，
故三角形面积的最大值是8．
　
22．已知函数．
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的大致图象；
（2）将函数f（x）的图象向下平移一个单位得到函数g（x）的图象，点A是函数g（x）图象的上一点，B（4，﹣2），求|AB|的最小值．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）因为，故把函数y=的图象向上平移1个单位，可得函数的图象，如图所示．
（2）计算|AB|2=，令，可得|AB|2=t2﹣4t+16，利用二次函数的性质求得它的最小值．
【解答】解：（1）因为，故把函数y=的图象向上平移1个单位，
可得函数的图象，故函数的大致图象如图所示：
（2）依题意，函数，设，因为B（4，﹣2），
故=，
令，故|AB|2=t2﹣4t+16=（t﹣2）2+12≥12，当且仅当t=2时，
此时方程有解，|AB|2取得最小值为12，故|AB|的最小值为．
　
23．已知函数f（x）=ex．
（1）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
【分析】（1）求导数，可得切线的斜率，即可求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则，求出函数的最小值，即可证明：f（x）＞lnx+2，在（0，+∞）上恒成立．
【解答】解：（1）依题意，f'（x）=ex，故f'（1）=e，故所求切线方程为y﹣e=e（x﹣1），即y=ex．
（2）设g（x）=ex﹣lnx﹣2，则，
设，则，所以函数在（0，+∞）上单调递增．
因为，
所以函数在（0，+∞）上有唯一零点x0，且．
因为g'（x0）=0时，所以，即lnx0=﹣x0．
当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0．
所以当x=x0时，g（x）取得最小值g（x0）．
故．
综上可知，不等式f（x）＞lnx+2在（0，+∞）上恒成立．
　
2017年1月20日