年广东省五校协作体2017届高三（上）第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年年广东省五校协作体高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（　　）
A．1
B．0
C．1+i
D．1﹣i
3．下列命题错误的是（　　）
A．若p∨q为假命题，则p∧q为假命题
B．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是
C．命题“ x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“ x∈R，x2+x+1≥0”
D．已知函数f（x）可导，则“f′（x0）=0”是“x0是函数f（x）极值点”的充要条件
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．设D是△ABC所在平面内一点，
=2，则（　　）
A．
=﹣
B．
=﹣
C．
=﹣
D．
=﹣
6．已知点F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若 ＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．（，
+1）
B．（1，
+1）
C．（1，）
D．
7．已知α∈（，），a=（cosα）cosα，b=（sinα）cosα，c=（cosα）sinα，则（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
8．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1： （x，y）∈D，2x+3y≥﹣1；
p2： （x，y）∈D，2x﹣5y≥﹣3；
p3： （x，y）∈D，≤；
p4： （x，y）∈D，x2+y2+2y≤1．
其中的真命题是（　　）
A．p1，p2
B．p2，p3
C．p2，p4
D．p3，p4
9．已知函数f（x）=ax3+x2，在x=﹣1处取得极大值，记g（x）=，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）
A．n≤2016？
B．n≤2017？
C．n＞2016？
D．n＞2017？
10．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（　　）
A．tan（α+）=
B．tan（α+）=
C．tan（β+）=
D．tan（β+）=
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，）
B．（0，）
C．（﹣∞，]
D．（0，]
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为　　．
14．已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为　　．
15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=　　．
16．x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为　　．
　
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．
（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．
　
选考题请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
22．在平面直角坐标系下，直线l：（t为参数），以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．
　
（选修4-5：不等式选讲）
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，
+=a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．
　
2016-2017学年年广东省五校协作体高三（上）第一次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【考点】交集及其运算．
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断．
【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）≤0，
解得：﹣≤x≤3，即A={x|﹣≤x≤3}，
∵B={x∈Z|x≤2}={2，1，0，﹣1，…}，
∴A∩B={0，1，2}，即有3个元素，
故选：B．
　
2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，则的值为（　　）
A．1
B．0
C．1+i
D．1﹣i
【考点】复数代数形式的混合运算．
【分析】利用复数是纯虚数求出a，然后利用复数的幂运算以及复数的除法运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z=（a2﹣1）+（a+1）i为纯虚数，可得a=1，
===1﹣i．
故选：D．
　
3．下列命题错误的是（　　）
A．若p∨q为假命题，则p∧q为假命题
B．若a，b∈[0，1]，则不等式a2+b2＜成立的概率是
C．命题“ x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“ x∈R，x2+x+1≥0”
D．已知函数f（x）可导，则“f′（x0）=0”是“x0是函数f（x）极值点”的充要条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据复合命题真假关系进行判断．
B．根据几何概型的概率公式进行计算即可．
C．根据含有量词的命题的否定进行判断．
D．根据函数取得极值的定义进行判断．
【解答】解：A．若p∨q为假，则p，q同时为假，则p∧q为假，故A正确，
B．若a，b∈[0，1]，则不等式成立的概率是．如图．故B正确，
C．命题“ x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“ x∈R，x2+x+1≥0”，故C正确，
D．函数f（x）=x3，函数的导数f′（x）=3x2，满足f′（0）=0，但函数f（x）为增函数，则0不是函数f（x）极值点，
则充分性不成立，故D错误，
故选：D
　
4．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的平均数是5的概率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数的基本事件总数，再用列举法求出这七个数的平均数是5包含的基本事件的个数，由此能求出这七个数的平均数是5的概率．
【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，
基本事件总数n==36，
这七个数的平均数是5包含的基本事件有：（2，3，4，5，6，7，8），
（1，3，4，5，6，7，9），（1，2，4，5，6，8，9），（1，2，3，5，7，8，9），共4个，
∴这七个数的平均数是5的概率为p=．
故选：C．
　
5．设D是△ABC所在平面内一点，
=2，则（　　）
A．
=﹣
B．
=﹣
C．
=﹣
D．
=﹣
【考点】向量加减混合运算及其几何意义．
【分析】根据平面向量线性运算的几何意义用表示出．
【解答】解：，，
∴==．
故选：D．
　
6．已知点F1，F2分别是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若 ＞0，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A．（，
+1）
B．（1，
+1）
C．（1，）
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出交点M，N的坐标，若 ＞0，则只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．
【解答】解：当x=c时，﹣=1，得=﹣1==，
则y2=，则y=±，
则M（c，），N（c，﹣），F1（﹣c，0），
若 ＞0，
则只要∠MF1F2＜45°即可，
则tan∠MF1F2＜tan45°=1，
即=＜1，即b2＜2ac，
则c2﹣a2＜2ac，
即c2﹣2ac﹣a2＜0，
则e2﹣2e﹣1＜0，
得1﹣＜e＜1+，
∵e＞1，
∴1＜e＜1+，
故选：B
　
7．已知α∈（，），a=（cosα）cosα，b=（sinα）cosα，c=（cosα）sinα，则（　　）
A．a＜b＜c
B．a＜c＜b
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
【考点】三角函数线．
【分析】由题意，0＜cosα＜，cosα＜sinα，利用指数函数，幂函数的单调性，可得结论．
【解答】解：由题意，0＜cosα＜，cosα＜sinα，
∴b＞a＞c，
故选D．
　
8．不等式组的解集记为D，有下面四个命题：
p1： （x，y）∈D，2x+3y≥﹣1；
p2： （x，y）∈D，2x﹣5y≥﹣3；
p3： （x，y）∈D，≤；
p4： （x，y）∈D，x2+y2+2y≤1．
其中的真命题是（　　）
A．p1，p2
B．p2，p3
C．p2，p4
D．p3，p4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】画出约束条件不是的可行域，利用目标函数的几何意义，求出范围，判断选项的正误即可．
【解答】解：不等式组的可行域如图：
p1：B（﹣1，0）点，2x+3y=﹣2，
故 （x，y）∈D，2x+3y≥﹣1为假命题；
p2：B（﹣1，0）点，2x﹣5y=﹣2，
故 （x，y）∈D，2x﹣5y≥﹣3为真命题；
p3：A（0，3）点，
=1，
故 （x，y）∈D，≤为假命题；
p4：B（﹣1，0）点，x2+y2+2y=1
故 （x，y）∈D，x2+y2+2y≤1为真命题．
可得选项p2，p4正确．
故选：C
　
9．已知函数f（x）=ax3+x2，在x=﹣1处取得极大值，记g（x）=，程序框图如图所示，若输出的结果，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）
A．n≤2016？
B．n≤2017？
C．n＞2016？
D．n＞2017？
【考点】函数在某点取得极值的条件；程序框图．
【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：函数f（x）=ax3+x2，在x=﹣1处取得极大值，
即f′（x）=3ax2+x的零点为﹣1，
即
3a﹣a=0，解得：a=，
故f′（x）=x2+x，
故g（x）==，
则S=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（k）=1=，
若输出的结果，则k＞2017，
故进行循环的条件应为n≤2017？，
故选：B．
　
10．已知方程=k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（　　）
A．tan（α+）=
B．tan（α+）=
C．tan（β+）=
D．tan（β+）=
【考点】余弦函数的图象．
【分析】利用x的范围化简方程，通过方程的解转化为
函数的图象的交点问题，利用相切求出β的正切值，通过两角和的正切函数求解即可．
【解答】解：方程=k在（0，+∞）上有两个不同的
解α，β（α＜β），
所以直线y=kx与y=|cosx|在（，π）内相切，
且切于点（β，cosβ）．
再根据=﹣sinβ，可得tanβ=﹣，
∴tan（β+）==，
故选：D．
　
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．根据数据即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．
∴该几何体的表面积=++π×12+2π×1×2+=+1．
故选：C．
　
12．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，）
B．（0，）
C．（﹣∞，]
D．（0，]
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，得到函数f（x）的单调性，从而确定a的范围即可．
【解答】解：f（x）=xlnx﹣ax2（x＞0），f′（x）=lnx+1﹣2ax．
令g（x）=lnx+1﹣2ax，
∵函数f（x）=x（lnx﹣ax）有极值，则g（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根．
g′（x）=﹣2a=，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→+∞，
故存在x0∈（0，+∞），使得f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，
故f（x）的极大值是f（x0），符合题意；
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→﹣∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有实数根，则g（）=ln＞0，解得0＜a＜．
综上：实数a的取值范围是（﹣∞，）．
故选：A．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知n=x3dx，则（x﹣）n的展开式中常数项为　　．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用定积分求出n，利用展开式求出常数项．
【解答】解：n=x3dx=x4|=4，
（x﹣）4的展开式中常数项为（﹣）4=，
故答案为．
　
14．已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为　　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．
【解答】解：∵在方向上的投影为3，
且||==2，
=3+m；
∴||×cosθ=||×==3；
解得m=，
∴||=2；
∴cosθ==，
由θ∈[0，π]，
∴、的夹角θ为．
故答案为：．
　
15．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=　﹣1　．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，则cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD．
【解答】解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得，即，
∴BD=25（）．
在△BCD中，由正弦定理得，即，
∴sin∠BCD=．
∴cosθ=sin（π﹣∠BCD）=sin∠BCD=．
故答案为：．
　
16．x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则的最小值为　　．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】先将圆的方程配方得出圆心坐标与半径，根据x2+y2+2ax+a4﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，得出两圆外切，圆心距等于两半径之和，得出a，b的关系式；a2+4b2=25，再利用基本不等式即可求得的最小值．
【解答】解：∵x2+y2+2ax+a2﹣4=0和x2+y2﹣4by﹣1+4b2=0恰有三条公切线，
∴两圆外切，
∴圆心距等于两半径之和，即得：a2+4b2=9，
∴
=（5++）≥（5+4）=1
当且仅当a=2b时取等号，
则的最小值为1
故答案为：1
　
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（I）由Sn=2an﹣a1，利用递推可得：an=2an﹣1．由a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）=a1+a3，代入解出即可．
（II）an+1=2n+1，可得Sn，bn=，利用“裂项求和”即可得出．
【解答】解：（I）由Sn=2an﹣a1，
当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣a1，
∴an=2an﹣2an﹣1，
化为an=2an﹣1．
由a1，a2+1，a3成等差数列．
∴2（a2+1）=a1+a3，
∴2（2a1+1）=a1+4a1，
解得a1=2．
∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴an=2n．
（II）an+1=2n+1，Sn==2n+1﹣2，Sn+1=2n+2﹣2．
bn===．
∴数列{bn}的前n项和Tn=++…+
=．
　
18．如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．
【分析】（1）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”依题意知p（Ai）=，设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，由此能求出此人到达当日空气质量重度污染的概率．
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和ξ的期望．
【解答】解：（1）设Ai表示事件“此人于2月i日到达该市”（i=1，2，…，12）．
依题意知，p（Ai）=，且Ai∩Aj=Φ（i≠j）．
设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，
则B=A1∪A2∪A3∪A7∪A12，
所以P（B）=（A1∪A2∪A3∪A7∪A12）
=P（A1）+P（A2）+P（A3）+P（A7）+P（A12）=．
即此人到达当日空气质量重度污染的概率为．
（2）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=P（A4∪A8∪A9）=P（A4）+P（A8）+P（A9）=，
P（ξ=2）=P（A2∪A11）=P（A2）+P（A11）=，
P（ξ=3）=P（A1∪A12）=P（A1）+P（A12）=，
P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=1﹣=，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
P
故ξ的期望Eξ=．
　
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=AE=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACFE；
（Ⅱ）当直线FO与平面BED所成角为45°时，求异面直线OF与BE所成的角的余弦值大小．
【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）由菱形性质，得BD⊥AC，由线面垂直得BD⊥AE，由此能证明BD⊥平面ACFE．
（Ⅱ）以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线所成的角余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵AE⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴BD⊥AE．
∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面ACFE．
解：（Ⅱ）以O为原点，OA，OB为x，y轴正向，z轴过O且平行于CF，建立空间直角坐标系，
则，，E（1，0，2），F（﹣1，0，a）（a＞0），﹣﹣﹣
设平面EBD的法向量为=（x，y，z），
则有，即，令z=1，则=（﹣2，0，1），
由题意得，
解得a=3或．
由a＞0，得a=3，
，
=（1，﹣，2），
cos＜＞===．
即所求的异面直线所成的角余弦值为．
　
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P为椭圆上一点，若过点M（2，0）的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）写出满足条件的圆的方程，再由直线与圆相切得到d=a，再由等腰直角三角形得到b=c，解方程即可得到a，b的值；
（2）设P（x0，y0），设出直线l：y=k（x﹣2），联立椭圆方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量加法运算得到x0，y0的关系，代入椭圆方程，结合判别式大于0，即可得到t的范围．
【解答】解：（1）由题意得，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径
的圆的方程为（x﹣c）2+y2=a2，
∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=
，
∵椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，
则b=c，，代入
式得b=c=1即a=b=，
故所求椭圆方程为+y2=1；
（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=k（x﹣2），设P（x0，y0），
将直线方程代入椭圆方程得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0，
∴△=64k4﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）=﹣16k2+8＞0
∴，
设S（x1，y1），T（x2，y2）则，
当k=0时，直线l的方程为y=0，此时t=0，成立，故t=0符合题意．
当t≠0时
得tx0=x1+x2=，ty0=y1+y2=k（x1+x2）﹣4k=，
∴，，
将上式代入椭圆方程得：，
整理得：
由知0＜t2＜4，
所以t∈（﹣2，2）．
　
21．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=．
（Ⅰ）记F（x）=f（x）﹣g（x），判断F（x）在区间（1，2）内零点个数并说明理由；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），判断x1+x2与2x0的大小，并给出对应的证明．
【考点】利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系．
【分析】（Ⅰ）对F（x）求导，利用x∈（1，2）判定导函数的符号，进而得到函数的单调性，在利用零点存在定理进行证明．
（Ⅱ）先由x的范围讨论f（x），g（x）的大小，确定之间的关系式m（x），在判断x1+x2与2x0的大小，可以利用分析法对其进行证明．
【解答】解：由题意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣．定义域为（0，+∞）
F′（x）=1+lnx+，由题设x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在区间（1，2）上是增函数．（1，2）是单调增区间．那么：F（1）=ln1﹣=＜0，F（2）=2ln2﹣＞0，并且F（x）在（1，2）上连续的，故根据零点定理，有F（x）在区间（1，2）有且仅有唯一实根，即一个零点．
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）内的零点为x0，由f（x）=xlnx，当0＜x≤1时，f（x）≤0，而g（x）=＞0，故f（x）＜g（x）；
由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+，当x＞1时，F′（x）＞0，存在零点x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0时，f（x）＜g（x）；当x＞x0时，f（x）＞g（x）；
而此得到m（x）=，
显然：当1＜x＜x0时，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是单增函数．
当x＞x0时，m′（x）=恒小于0，m（x）是单减函数．
m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有两个不等实根x1，x2（x1＜x2），则x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
显然：当x2→+∞时，x1+x2＞2x0．
要证明x1+x2＞2x0，即可证明x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在x＞x0时是单减函数．故证m（x2）＜m（2x0﹣x1）．
又由m（x1）=m（x2），即可证：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜，（构造思想）
令h（x）=xlnx﹣，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，
那么：h′（x）=1+lnx+﹣，
记φ（t）=，则φ′（t）=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＞0；当t＞1时，φ′（t）＜0；故φ（t）max=；
而φ（t）＞0；故＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，从而有：＜0；
因此：h′（x）=1+lnx+﹣＞0，即h（x）单增，从而1＜x＜x0时，h（x）＜h（x0）=0．
即x1lnx1＜成立．
故得：x1+x2＞2x0．
　
选考题请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）
22．在平面直角坐标系下，直线l：（t为参数），以原点O为极点，以x轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）消去参数得到直线l的普通方程，利用ρ2﹣4ρcosθ=0，得出曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，利用参数的几何意义求|AB|的值．
【解答】解：（Ⅰ）直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0，…
由ρ﹣4cosθ=0 ρ2﹣4ρcosθ=0 x2+y2﹣4x=0 （x﹣2）2+y2=4，
即曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，…
（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得，即，
设方程的两根分别为t1，t2，则．…
　
（选修4-5：不等式选讲）
23．已知函数f（x）=|x﹣a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4﹣|x﹣1|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，
+=a（m＞0，n＞0），求mn的最小值．
【考点】基本不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简不等式，去绝对值即可求解．
（Ⅱ）根据不等式的解集求出a的值，利用基本不等式的性质求解最小值．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣a|．
当a=1时，不等式为|x﹣1|≥4﹣|x﹣1|，即|x﹣1|≥2，
解得：x﹣1≥2或x﹣1≤﹣2，即x≥3或x≤﹣1，
∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）；
（Ⅱ）f（x）≤1的解集为[0，2]，
即f（x）≤1
|x﹣a|≤1
﹣1≤x﹣a≤1
a﹣1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集为[0，2]
∴．
∴，
∴mn≥2，
（当且仅当即m=2，n=1时取等号）
∴mn的最小值为2．
　
2017年1月20日