陕西省商洛中学2017届高三（上）摸底数学试卷（文科）（a卷）（解析版）

2016-2017学年陕西省商洛中学高三（上）摸底数学试卷（文科）（A卷）
　
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（　　）
A．{x|3＜x＜7}
B．{x|3＜x＜10}
C．{x|3＜x＜4}
D．{x|4＜x＜7}
2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（　　）
A．﹣1﹣3i
B．﹣1+3i
C．1+3i
D．1﹣3i
3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（　　）
A．
=﹣10x+200
B．
=10x+200
C．
=﹣10x﹣200
D．
=10x﹣200
4．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（　　）
A．2
B．3
C．11
D．18
5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．15
6．下列说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若“p或q”为假命题，则“p且q”为真命题
C．命题“存在x0∈R，使得x+x0+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（　　）
A．
B．
C．
D．
8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为（　　）
A．
B．1
C．2
D．4
9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图都是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的表面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
10．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．
12．对实数a与b，定义新运算“ ”：．设函数f（x）=（x2﹣2） （x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为　　．
14．棱长为2的正方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为　　．
15．已知向量=（cos
x，sin
x），向量=（1，），则|+|的最大值为　　．
16．记＜n＞表示正整数n的个位数，设Sn为数列{bn}的前n项和，an=＜2n＞，bn=an+2n，则S4n=　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．求：
（Ⅰ）△ABC的面积；
（Ⅱ）sinA的值．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分别是SB，SC的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱锥S﹣BCD的体积．
19．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．
20．已知函数f（x）=+x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．
21．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，
（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．
　
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM MB=DF DA．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．
（I）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
　
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．
　
2016-2017学年陕西省商洛中学高三（上）摸底数学试卷（文科）（A卷）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1．若集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q等于（　　）
A．{x|3＜x＜7}
B．{x|3＜x＜10}
C．{x|3＜x＜4}
D．{x|4＜x＜7}
【考点】并集及其运算．
【分析】直接利用集合的并集的运算法则，求出P∪Q即可．
【解答】解：集合P={x|4＜x＜10}，Q={x|3＜x＜7}，则P∪Q={x|3＜x＜10}，
故选：B．
　
2．设复数z=2+i，则复数z（1﹣z）的共轭复数为（　　）
A．﹣1﹣3i
B．﹣1+3i
C．1+3i
D．1﹣3i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把z=2+i代入z（1﹣z），利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得复数z（1﹣z）的共轭复数．
【解答】解：∵z=2+i，∴z（1﹣z）=（2+i）（﹣1﹣i）=﹣1﹣3i，
∴复数z（1﹣z）的共轭复数为﹣1+3i．
故选：B．
　
3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（　　）
A．
=﹣10x+200
B．
=10x+200
C．
=﹣10x﹣200
D．
=10x﹣200
【考点】回归分析．
【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．
【解答】解：由x与y负相关，
可排除B、D两项，
而C项中的=﹣10x﹣200＜0不符合题意．
故选A
　
4．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为（　　）
A．2
B．3
C．11
D．18
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+3y，得y=，
平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大．
由，解得，
即C（3，4）．
此时z的最大值为z=2×3+3×4=6+12=18，
故选：D．
　
5．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日所织尺数为（　　）
A．6
B．9
C．12
D．15
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d．利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【解答】解：设此数列为{an}，由题意可知为等差数列，公差为d．
则S7=21，a2+a5+a8=15，
则7a1+d=21，3a1+12d=15，
解得a1=﹣3，d=2．
∴a10=﹣3+9×2=15．
故选：D．
　
6．下列说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若“p或q”为假命题，则“p且q”为真命题
C．命题“存在x0∈R，使得x+x0+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A，命题的否命题既要否定结论，又要否定条件；
B，p或q”为假命题 p、q全假；
C，含有量词的命题的否定，选换量词，再否定结论；
D，A＞B a＞b 2RsinA＞2RsinB sinA＞sinB．
【解答】解：对于A，命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1，故错；
对于B，p或q”为假命题 p、q全假，则“p且q”为假命题，故错；
对于C，命题“存在x0∈R，使得有x02+x0+1＜0”的否定是：“对任意x0∈R，均有x02+x0+1≥0”，故错；
对于D，在△ABC中，若A＞B a＞b 2RsinA＞2RsinB sinA＞sinB，故正确．
故选：D．
　
7．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=600，i=1
执行循环体，S=600，i=2
不满足条件S＜1，执行循环体，S=300，i=3
不满足条件S＜1，执行循环体，S=100，i=4
不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5
不满足条件S＜1，执行循环体，S=5，i=6
不满足条件S＜1，执行循环体，S=，i=7
满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．
故选：C．
　
8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，则p的值为（　　）
A．
B．1
C．2
D．4
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，
因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，
所以；
故选C．
　
9．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图都是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的圆，则该几何体的表面积是（　　）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体为一个圆锥．利用表面积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个圆锥．
其表面积S=π×12+2π×1×2=3π．
故选：C．
　
10．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数， x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（　　）
A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）
B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）
C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）
D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．
【解答】解：∵ x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，
∴当x≥0时函数f（x）为减函数，
∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴f（3）＜f（2）＜f（1），
即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），
故选：D
　
11．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（　　）
A．
B．
C．﹣
D．
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．
【解答】解：由图象可得A=3，
=4（﹣），解得ω=2，
故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，
故sin（+φ）=﹣1，
+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z
结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），
∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，
∵α∈（0，），∴2α+∈（，），
∴cos（2）=﹣=﹣，
故选：C．
　
12．对实数a与b，定义新运算“ ”：．设函数f（x）=（x2﹣2） （x﹣x2），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2） （x﹣x2）的解析式，并求出f（x）的取值范围，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f（x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．
【解答】解：∵，
∴函数f（x）=（x2﹣2） （x﹣x2）=，
由图可知，当c∈
函数f（x）
与y=c的图象有两个公共点，
∴c的取值范围是，
故选B．
　
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为　（0，+∞）　．
【考点】对数函数的定义域；指数函数单调性的应用．
【分析】根据对数函数定义得2x﹣1＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵f（x）=lg（2x﹣1）
根据对数函数定义得2x﹣1＞0，
解得：x＞0
故答案为：（0，+∞）
　
14．棱长为2的正方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的体积为　4π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可．
【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，
所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：2．
所以球的半径为：．
所求球的体积为：
=4π．
故答案为：4π．
　
15．已知向量=（cos
x，sin
x），向量=（1，），则|+|的最大值为　3　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意知+=（cosx+1，sinx+），根据向量模长公式以及三角化简即可得|+|的最大值；
【解答】解：由题意：
+=（cosx+1，sinx+）
|+|=
=
令h=2cosx+2sinx
=4×（cosx+sinx）
=4sin（x+），故h的最大为4；
所以，|+|的最大值为3；
故答案为：3
　
16．记＜n＞表示正整数n的个位数，设Sn为数列{bn}的前n项和，an=＜2n＞，bn=an+2n，则S4n=　24n+1+20n﹣2　．
【考点】数列的求和．
【分析】先判断出{an}的周期为4，再根据的数列的求和公式计算即可．
【解答】解：∵an=＜2n＞，
∴a1=a5=2，a2=a6=4，a3=a7=8，a4=a8=6，
∴{an}的周期为4，
∴S4n=a1+21+a2+22+…+an+2n=（a1+a2+…+a4n）+（21+22+…+24n）=（2+4+8+6）n+=24n+1+20n﹣2，
故答案为：24n+1+20n﹣2
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，b=2，cosC=．求：
（Ⅰ）△ABC的面积；
（Ⅱ）sinA的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（I）在△ABC中，cosC=．k可得sinC==，利用S△ABC=absinC即可得出．
（II）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，解得c．由正弦定理可得：
=，可得sinA．
【解答】解：（I）∵在△ABC中，cosC=．
∴sinC==，
∴S△ABC=absinC==．
（II）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣3=2，∴c=．
由正弦定理可得：
=，可得sinA==．
　
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，BC∥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，M，N分别是SB，SC的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求三棱锥S﹣BCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）由M，N分别为SB，SC的中点，得四边形ADNM是平行四边形，即可证得AM∥平面SCD；
（Ⅱ）由侧棱SA⊥底面ABCD，利用锥体的体积公式，可求三棱锥S﹣BCD的体积．
【解答】证明：（Ⅰ）∵M，N分别为SB，SC的中点，
∴MN∥BC，且MN=BC，
又∵AD∥BC，且AD=BC，∴MN∥AD，MN=AD，
∴四边形ADNM是平行四边形，∴AM∥ND，
又∵AM 平面SCD，ND 平面SCD，
∴AM∥平面SCD．
解：（Ⅱ）∵SA⊥底面ABCD，
∴三棱锥S﹣BCD的高为SA，
∵S梯形ABCD=（AD+BC） AB=3，S△ABD==1
∴S△BCD=S梯形ABCD﹣S△ABD=2．
∴V三棱锥S﹣BCD=S△BCD SA==．
　
19．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94）
[94，98）
[98，102）
[102，106）
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．
【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．
【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．
（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．
【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3
∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42
∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；
（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，
∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，
即X的分布列为
X
﹣2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．
　
20．已知函数f（x）=+x在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，建立方程组求实数a，b的值；
（Ⅱ）g（x）在其定义域上是增函数，即g′（x）≥0在其定义域上有解，分离参数求最值，即可求实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+x，
∴f′（x）=+1，
∵f（x）在x=1处的切线方程为2x﹣y+b=0，
∴+1=2，2﹣1+b=0，
∴a=1，b=﹣1；
（Ⅱ）f（x）=lnx+x，g（x）=x2﹣kx+lnx+x，
∴g′（x）=x﹣k++1，
∵g（x）在其定义域（0，+∞）上是增函数，
∴g′（x）≥0在其定义域上恒成立，
∴x﹣k++1≥0在其定义域上恒成立，
∴k≤x++1在其定义域上恒成立，
而x++1≥2+1=3，当且仅当x=1时“=”成立，
∴k≤3．
　
21．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，
（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；
（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．
【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，
即有a=，b=，c==2，
由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，
可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），
代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，
即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，
由弦长公式可得|PQ|=
= =，
由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，
可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，
则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；
（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，
消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，
则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）
=12（6k2﹣m2+2）＞0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，
∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，
∴ ==k2，
即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，
由于m≠0，故k2=，
∴直线PQ的斜率k为±．
　
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
22．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AM MB=DF DA．
【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明；圆的切线的性质定理的证明．
【分析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；
（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AM MB，再利用切割线定理得到DC2=DF DA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．
【解答】证明：（1）连接OC，∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA，
∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AD．…
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．…
（2）连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AM MB．
又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF DA．
∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC
∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，
∴AM MB=DF DA…
　
[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）
23．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．
（I）求C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（I）利用即可得出直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．利用弦长|AB|=|t1﹣t2|即可得出．
【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，即ρ2sin2θ=8ρcosθ，化为y2=8x．
（II）把直线l的参数方程为（t为参数）代入y2=8x化为3t2﹣16t﹣64=0．
解得t1=8，t2=．
∴弦长|AB|=|t1﹣t2|==．
　
[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）
24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，求实数a的取值范围．
【考点】带绝对值的函数；其他不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）不等式等价于①，或②，或③．
分别求出这3个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由绝对值不等式的性质求出f（x）的最小值等于4，故有|a﹣1|＞4，解此不等式求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6
即|2x+1|+|2x﹣3|≤6，
∴①，或②，或③．
解①得﹣1≤x＜﹣，解②得﹣≤x≤，解③得＜x≤2．
故由不等式可得，
即不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，即f（x）的最小值等于4，
∴|a﹣1|＞4，解此不等式得a＜﹣3或a＞5．
故实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）．
　
2017年1月20日