2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（ RN）=（　　）
A．{﹣1，2，2}
B．{1，2}
C．{4}
D．{x|﹣1≤x≤2}
2．复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
5．在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（　　）
A．此题没有考生得12分
B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分
D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．6
B．
C．7
D．
7．如图所示的程序框图，输出的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，
=3，
=λ（λ∈R），则λ=（　　）
A．2
B．
C．3
D．5
9．下列函数中，同时满足两个条件“① x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（　　）
A．f（x）=sin（2x+）
B．f（x）=cos（2x+）
C．f（x）=sin（2x﹣）
D．f（x）=cos（2x﹣）
10．二项式（x+）n（n∈N
）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
11．任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（　　）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上均有可能
12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0） f（1）≤0；②g（0） g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．
正确结论的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
　
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=　　．
14．已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．
15．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为　　．
16．已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使 =0，则双曲线离心率的取值范围是　　．
　
三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．
18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．
21．设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数
（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）
22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求 的取值范围．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）
（Ⅰ）求x0的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．
　
2017年广东省佛山市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x≥3}，则M∩（ RN）=（　　）
A．{﹣1，2，2}
B．{1，2}
C．{4}
D．{x|﹣1≤x≤2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】化简集合N，根据补集与交集的定义进行计算即可．
【解答】解：全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，
N={x|x2﹣2x≥3}={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≤﹣1或x≥3}，
∴ RN={x|﹣1＜x＜3}，
∴M∩（ RN）={1，2}．
故选：B．
　
2．复数z满足z（2+i）=3﹣i，则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由z（2+i）=3﹣i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：由z（2+i）=3﹣i，
得=，
则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（1，﹣1），位于第四象限．
故选：D．
　
3．设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据等比数列的前n项和为Sn．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3 2a1=6a1，
q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；
反之也成立，
故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，
故选：C．
　
4．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）
A．2
B．4
C．5
D．6
【考点】简单线性规划．
【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最大，只需求出直线z=x+3y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．
【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+3y可得y=﹣x+z．
则z为直线y=﹣x+z在y轴上的截距，截距越小，z越小，
作直线L：x+3y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小
由可得B（2，0），此时z=2
故选：A．
　
5．在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（　　）
A．此题没有考生得12分
B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏
C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分
D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差
【考点】频率分布折线图、密度曲线．
【分析】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，即可得出结论．
【解答】解：由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，
第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，
故选B．
　
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．6
B．
C．7
D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，即可求出该几何体的体积．
【解答】解：由题意，直观图是正方体切去一个三棱锥，
该几何体的体积为=，
故选D．
　
7．如图所示的程序框图，输出的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当i=1时，满足进行循环的条件，故S=，i=2，
当i=2时，满足进行循环的条件，故S=1，i=3，
当i=3时，满足进行循环的条件，故S=，i=4，
当i=4时，满足进行循环的条件，故S=，i=5，
当i=5时，不满足进行循环的条件，
故输出的S值为，
故选：C．
　
8．一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E、F，且交其对角线AC于K，若=2，
=3，
=λ（λ∈R），则λ=（　　）
A．2
B．
C．3
D．5
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】=λ =，由E，F，K三点共线可得，即可．
【解答】解：∵=2，
=3，
∴=λ∴=，
由E，F，K三点共线可得，∴λ=5
故选：D．
　
9．下列函数中，同时满足两个条件“① x∈R，f（）+f（）=0；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0”的一个函数是（　　）
A．f（x）=sin（2x+）
B．f（x）=cos（2x+）
C．f（x）=sin（2x﹣）
D．f（x）=cos（2x﹣）
【考点】函数的概念及其构成要素．
【分析】① x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称轴为x=；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，结合选项，可得结论．
【解答】解：① x∈R，f（）+f（）=0，函数的对称轴为x=；②当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，函数单调递增，
结合选项，可得D满足，
故选D．
　
10．二项式（x+）n（n∈N
）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由题意，展开式中项的系数为，系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，代入验证，即可得出结论．
【解答】解：由题意，展开式中项的系数为，
系数为有理数，n﹣r是2的倍数，r是3的倍数，
n=6，r=0，6不符合；n=7，r不存在；n=8，r=0，6不符合；n=9，r=3，符合题意，
故选D．
　
11．任意a∈R，曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是（　　）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上均有可能
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线l恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，即可得出结论．
【解答】解：∵y=ex（x2+ax+1﹣2a），
∴y′=ex（x2+ax+2x+1﹣a），
x=0时，y′=1﹣a，
∴曲线y=ex（x2+ax+1﹣2a）在点P（0，1﹣2a）处的切线y﹣1+2a=（1﹣a）x，
恒过定点（﹣2，﹣1），代入x2+2x+y2﹣12，可得4﹣4+1﹣12=﹣11＜0，即定点在圆内，
∴切线l与圆C：x2+2x+y2﹣12=0的位置关系是相交．
故选：A．
　
12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，g（x）=3x2+2ax+b（a，b，c是常数），若f（x）在（0，1）上单调递减，则下列结论中：①f（0） f（1）≤0；②g（0） g（1）≥0；③a2﹣3b有最小值．
正确结论的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】由f（x）在（0，1）上单调递减，可得g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，则3x2+2ax+b=0有两个不等的实根根，进而判断三个命题的真假，可得答案．
【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c在（0，1）上单调递减，
但f（0），f（1）的符号不能确定，
故①f（0） f（1）≤0不一定正确；
由f′（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
即g（x）=3x2+2ax+b≤0在（0，1）上恒成立，
故g（0）≤0，且g（1）≤0，
故②g（0） g（1）≥0一定正确；
此时3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，
故△=4a2﹣12b＞0，
即a2﹣3b＞0，
但a2﹣3b不一定有最小值，
故③不一定正确；
故选：B
　
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分
13．函数f（x）=﹣log2为奇函数，则实数a=　1　．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2，即可求出a的值．
【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣﹣log2=﹣+log2
∴a=1，
故答案为1
　
14．已知0＜x＜，且tan（x﹣）=﹣，则sinx+cosx=　　．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用两角差的正切公式求出tanx的值，又根据已知条件列出方程组，求解即可得到sinx，cosx的值，代入sinx+cosx计算得答案．
【解答】解：∵tan（x﹣）=﹣，
∴=，则tanx=
又0＜x＜，
∴，解得sinx=，cosx=，
则sinx+cosx=．
故答案为：．
　
15．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数（也称为完备数、玩美数），如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248，此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，如6=21+22，28=22+23+24，…，按此规律，8128可表示为　26+27+…+212　．
【考点】归纳推理．
【分析】依据定义，结合可以表示为2的一些连续正整数次幂之和，即可得出结论．
【解答】解：由题意，2n﹣1是质数，2n﹣1（2n﹣1）是完全数，
∴令n=7，可得一个四位完全数为64×=8128，
∴8128=26+27+…+212，
故答案为：26+27+…+212．
　
16．已知双曲线C：﹣=1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使 =0，则双曲线离心率的取值范围是　e＞　．
【考点】直线与双曲线的位置关系．
【分析】设焦点为F（c，0），设直线AB：y=k（x﹣c），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和双曲线方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k，代入判别式解不等式，即可得到离心率的范围．
【解答】解：设焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x﹣c），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0，
则△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，
x1+x2=，x1x2=，
则y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2 ，
由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，
即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0，
即有k2=，
代入判别式可得，
（a2b2c2﹣a4b2）+a2b4＞0，
化简可得，a2c2﹣a4+b2c2﹣a4＞0，
即有c4＞2a4，即有e＞．
∵b＞a，∴e＞，
综上所述e＞．
故答案为e＞．
　
三．解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C
（Ⅰ）求cosB；
（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；
（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，
又b=4c，所以cosC===，
所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；
（Ⅱ）因为c=5，
b=4c，所以b=，
由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB
则80=a2+25﹣2×a，
化简得，a2﹣6a﹣55=0，
解得a=11或a=﹣5（舍去），
由BD=6得，CD=5，
由cosC=得sinC==，
所以△ADC的面积S=
==10．
　
18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：
（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．
【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．
【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为．
（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则Xr可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．
【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：
健康状况
健康
基本健康
不健康尚能自理
不能自理
80岁及以上
20
45
20
15
80岁以下
200
225
50
25
从图表中知不能自理的80岁及以上长者占比为：
=，
故抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为16×．
（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：
，
用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，
P（X=0）=，
P（X=120）==，
P（X=200）==，
P（X=220）==，
P（X=300）==，
则随机变量X的分布列为：
X
0
120
200
220
300
P
EX==28，
全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．
政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．
　
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．
（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，
∵E是PB中点，∴EFAB，∴CDEF，
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DF∥CE，
又△PAD
为正三角形，
∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA 平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，
∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，
∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，
以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），
∴=（2，），=（0，2，0），
设平面ADE的法向量=（x，y，z），
则，取z=﹣4，得=（），
由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，
∴cos＜＞===﹣，
∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．
　
20．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：
+=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，
∴，又a2=b2+c2，
解得a=2，b=，
∴椭圆C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，
①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），
则，
∴S=|2x0| |y0|=|x0| |y0|=2≤=2，
当且仅当=2﹣，即|y0|=1时，取等号，
此时直线l的方程为y=±1．
②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，
由△=（8km）2﹣4（1+4k2） 4（m2﹣2）＞0，
解得8k2+2＞m2，（
）
，，
∴PQ中点为（﹣，），
∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，
结合（
）得0＜m＜6，
又O到直线l的距离d=，
|PQ|=|x1﹣x2|=，
∴S=|PQ| d= ==，
∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．
综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．
　
21．设函数f（x）=eax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数
（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；
（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（﹣，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），根据函数的单调性判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aeax+=，（x＞0），
令g（x）=axeax+λ，其中a＜0，x＞0，
求导得：g′（x）=aeax（1+ax），
令g′（x）=0，解得：x=﹣，
x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，
x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，
x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，
∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，
∴g（﹣）g（0）＜0，
∴函数f（x）有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
不妨令x2∈（﹣，+∞），
故ax2+λ=0，
故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），
令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），
h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0，
∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，
∴函数f（x）有唯一零点．
　
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）
22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求 的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；
（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；
椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；
（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），
∵E（0，﹣1），
∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），
∴ =﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，
∴ 的取值范围是[5﹣，5+]．
　
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）
（Ⅰ）求x0的值；
（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．
【考点】函数零点的判定定理；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，即可求x0的值；
（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．
【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，
解得x＞2，∴x0=2；
（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，
∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，
∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，
∴m+≤2，
∵m+≥2，
∴m+=2．
　
2017年1月23日