课题 平方差公式
【学习目标】
1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点．
2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用平方差公式分解因式．
【学习难点】
利用平方差公式时系数与指数的变化．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：平方差公式是由乘法公式逆变形而得来的，引导学生注意系数的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．因式分解：(1)a(y＋1)－b(y＋1)；(2)3x2－2x.
解：(1)原式＝(y＋1)(a－b)；
(2)原式＝x(3x－2)．
2．计算：(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2；
(4x－5y)(4x＋5y)＝16x2－25y2．
3．你能将x2－4，a2－9b2和16x2－25y2分解因式吗？
答：将2中计算反过来写即可．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P99的内容，回答下列问题：
1．什么是平方差公式？
答：把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来，就得到a2－b2＝(a＋b)(a－b)，运用这个公式可将一个二项式的平方差分解因式．
2．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．y2＋9 C．－16＋a2 D．－x2－y2
方法指导：
学习笔记：在计算中引入因式分解会使计算大大简化．注意因式分解的顺序，先提公因式，再用平方差公式分解．
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
3．(揭西期末)因式分解x2－9y2的正确结果是( B )
A．(x＋9y)(x－9y) B．(x＋3y)(x－3y)
C．(x－3y)2
D．(x－9y)2
4．(1)(苏州中考)因式分解：a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)；
(2)(葫芦岛中考)因式分解：4m2－9n2＝(2m＋3n)(2m－3n)．
归纳：引导学生观察多项式是否符合平方差的形式，且分解后系数要写成原系数的算术平方根．
范例：分解因式：
(1)3ax2－3ay2；
解：原式＝3a(x2－y2)
＝3a(x＋y)(x－y)； (2)x2(a－b)＋4(b－a)．
解：原式＝x2(a－b)－4(a－b)
＝(a－b)(x2－4)
＝(a－b)(x＋2)(x－2)．
仿例1：分解因式：
(1)a4－16；
解：原式＝(a2＋4)(a2－4)＝(a2＋4)(a＋2)(a－2)；
(2)－4(x－2y)2＋9(x＋y)2.
解：原式＝[3(x＋y)]2－[2(x－2y)]2＝[3(x＋y)＋2(x－2y)][3(x＋y)－2(x－2y)]＝(5x－y)(x＋7y)．
仿例2：计算：(1)7582－2582；(2)25×1012－992×25.
解：(1)原式＝(758＋258)(758－258)＝1
016×500＝508
000；
(2)原式＝25×(1012－992)＝25×(101＋99)(101－99)＝25×200×2＝10
000.
归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
【合作探究】
变例：248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．
解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 直接用平方差公式分解因式
知识模块二 运用提公因式法和平方差公式分解因式
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 提公因式法——公因式为多项式
【学习目标】
1．进一步理解因式分解的意义和公因式的意义．
2．熟练运用提公因式法分解因式．
【学习重点】
掌握公因式为多项式的提公因式法．
【学习难点】
熟练进行多项式变形后提取公因式．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
学习笔记：公因式为多项式，要注意将多项式进行变形，如y－x＝－(x－y)，(x－y)2＝(y－x)2，(x－y)3＝－(y－x)3.变形时要注意符号的变化．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是公因式？如何确定公因式？
答：多项式各项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式．确定公因式：系数取各项系数最大公约数，字母(或多项式)取相同字母(或多项式)的最低次幂．
2．什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种方法叫提公因式法．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P97的内容，回答下列问题：
范例1：分解因式：
(1)a(2－x)＋b(2－x)－c(x－2)；
(2)a(m－n)2＋b(n－m)2；
(3)a(a－b)3－(b－a)3.
解：(1)原式＝a(2－x)＋b(2－x)＋c(2－x)
＝(2－x)(a＋b＋c)；
(2)原式＝a(m－n)2＋b(m－n)2
＝(m－n)2(a＋b)；
(3)原式＝a(a－b)3＋(a－b)3
＝(a－b)3(a＋1)．
【合作探究】
仿例1：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2＝( B )
A．(x－y)(3m＋2x－2y) B．(x－y)(3m－2x＋2y)
C．(y－x)(2y－2x＋3m)
D．(y－x)(2x－2y＋3m)
解题思路：分解因式3m(x－y)－2(y－x)2要将(y－x)2变为(x－y)2.原式＝3m(x－y)－2(x－y)2＝(x－y)[3m－2(x－y)]＝(x－y)(3m－2x＋2y)．
仿例2：(1)因式分解：m(x－y)＋n(x－y)＝(x－y)(m＋n)；
(2)因式分解：8(a－b)2－12(b－a)＝4(a－b)(2a－2b＋3)．
归纳：当公因式是形如(a－b)n或(b－a)n时，要注意幂指数n的奇偶性：当n为偶数时，(a－b)n＝(b－a)n；当n为奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n.
范例2：下列变形正确的是①④⑤．(填序号)
①a－b＝－(b－a)；②a＋b＝－(a＋b)；③(b－a)2＝－(a－b)2；④(a－b)2＝(b－a)2；⑤(a－b)3＝－(b－a)3.
仿例：(娄底期中)因式分解：
(1)2x(a－b)＋3y(b－a)；
解：原式＝2x(a－b)－3y(a－b)
＝(a－b)(2x－3y)；
(2)x(x2－xy)－(4x2－4xy)．
解：原式＝x2(x－y)－4x(x－y)
＝x(x－y)(x－4)．
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：已知a＋b＝－5，ab＝7，求a2b＋ab2－a－b的值．
解：a2b＋ab2－a－b
＝ab(a＋b)－(a＋b)
＝(a＋b)(ab－1)，
当a＋b＝－5，ab＝7时，原式＝－5×(7－1)＝－30.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块 公因式为多项式的提公因式法
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________(共16张PPT)
义务教育教科书（北师版）八年级数学下册
再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。
2提公因式法
第1课时公因式为单项式
01自主预习案
①多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式
预习自测1(1)单项式2ax2与6a2x的公因式是2ax
名师
测控
册·BS
(2)多项式4m2+2m+6m各项的公因式是2m
②如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把
这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式
乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法
预习自测2(1)(2016·宁波中考)x2-xy
(.℃
(2)(2016·岳阳中考)6x2-3x=3x(2x-1)
02课堂导学
知识点公因式的概念
例1】多项式15a3b3+5a2b-20a2b3
中各项的公因式是
A
ab
b
azb
c
5ab
d
5a
bs
【分析】15,5,20的最大公因数是5,各
项中都含有a,b,故公因式中应含a,
b.a的最低指数是2,b的最低指数是
1,故公因式为5a2b
答案】C
点拨】系数取各项系数的最大公约
数,相同字母取最低次幂,把它们的积
作为公因式
知识点用提公因式法分解因式
例2】分解因式:
(1)3x2-6xy+x
(2)—4
16m2-26m
(3)
2
foxy
【分析】先确定各项的公因式,再提出
公因式进行分解,
【解】(1)3x2-6xy+x=x(3x-6y+
1);(2)-4
16m2-26m
(2m2-8m+13);(3)
12+2xy
x(x-4y+2x)
点拔】(1)题提出公因式x后,括号内
第三项的“1”不能漏掉,括号内多项式
的项数要与原多项式项数一样;(2)题
提出公因式-2m后,括号内各项都应
变号;(3)题提取的系数应元2
03当堂评价
对应练习
2x3y2与12x6y的公因式是
A
2xy
B.
2.
x
22
C.2x3
D.
2x
v2
2.多项式-6xy+3xy2-9x2y的公因式是
A.-3
B
3.
r2
D.3xy
3.指出下列各多项式的公因式
(1)3ny-6y2;(2)(a+b)2y+(a+b)
解:(1)3ny
(2)(a+b)y
对应练习
(1)(淮安中考)分解因式:ax2-ax=ax(x-1)
(2)(福州中考)分解因式:ma+mb=m(a+b)
(3)(广州中考)因式分解:3ab2+a2b=ab(3b+a)
5.(武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的是
a(a
C.a(a2-2)
D.a(2-a)(共11张PPT)
义务教育教科书（北师版）八年级数学下册
人生就像弈棋，一步失误，全盘皆输。
第四章重难点突破
重难点一因式分解的概念
下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(D)
a(.
)=away
B.x2+2x+1=x(x+2)+1
C.(x+1)(x+3)
2
4.3
D
x=x(x+1)(x-1)
2.下列各式从左到右的变形,是因式分解的是
A.x2-9+6x=(x-3)(x+3)+6x
B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10
C.x2-8x+16=(x-4)2
D.(x-4)(x+3)=(x+3)(x-4)
名师
测控
册·BS
重难点二提公因式法分解因式
3.多项式6a3b2-3a2b2-18a2b3因式分解时,应提取
的公因式是
a.
b
B.
3ab2
C.3a
b2
4.观察下列各式:①2a+b和a+b;②5m(a-b)和-a
b;③3(a+b)和-a-b;④x2-y2和x2+y2.其中
有公因式的是
D.①④
5.因式分解(x-y)2-(y-x)的结果为
A.(x-y)(x-y-1)
B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)
)(y-x
重难点三公式法分解因式
6.下列多项式中,能用公式法分解因式的是(C)
Aaab
B
arab
2
b
D
a2+b2
7将x2-2xy+y2分解因式,结果正确的是(D)
A(xty(x-y
Bx(x=2y)+y
D(x-y
8.(2016·台州中考)分解因式:x2-6x+9=(x
3)
9.(2016·黄石中考)分解因式:x2-36=(x+6)(x
6)
10.(2016·株洲中考)分解因式:(x-8)(x+2)
6.3
(x+4)(x-4)
11.(2016·荆门中考)分解因式:(m+1)(n-9)+8m
(m+3)(m-3)
重难点四因式分解方法的综合应用
12.(2016·凉山中考)分解因式:tb-9ab=ab(a+
3)(a-3)
13.(2016·孝感中考)分解因式:2x2-8y2
2(x
2y)(x-2y)
14.把下列多项式分解因式:
(1)4x2-16
解:原式=4(x2-4y2)=4(x+2y)(x-2y);
(2)(x2+1)2-4x
解:原式=(x2+1+2x)(x2+1-2x)=(x+1)2(x
(3)(a-b)(
)-(b-a)(x+y)
解:原式=(a-b)(x-y+x+y)=2x(a-b);(共19张PPT)
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我们总是对陌生人太客气，而对亲密的人太苛刻。
公式法
第1课时平方差公式
01自主预习采
①把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来
就得到a2-b2=(a+b)(a-b).运用这一公式,可将一个
名师
测控
册·BS
二项式的平方差分解因式
预习自测1
(1)(2016·苏州中考)分解因式:x2-1=(x+1)(x-1)
(2)(2016·泉州中考)分解因式:1-x2=(1+x)(1-x)
②运用平方差公式分解因式的时候,如果有公因式先
提公因式,提公因式之后,如果恰好可以表示成两项
平方差的形式,那么就考虑运用平方差公式分解因式
预习自测2
(1)(2016·襄阳中考)分解因式:2a2-2=2(a+1)(a-1)
(2)(2016·长沙中考)分解因式:x2y-4y=y(x+2)(x-2)
02课堂导学采
知识点1运用平方差公式分解因式
例1】把下列多项式分解因式
4
(1)16
2;(2)-m2-0.01n
25
【分析】首先观察每个多项式是否符合
平方差公式的特点,再分析公式中的
a,b在各多项式中分别是什么,最后按
公式写成积的形式
答案】(1)16
42
25
(4+m)(4
4
(2)
0.01n=(
)2-(0.1n)
(m+0.1n)(m-0.1n)
点拔】关键是化成()2—()2的形
式,明确相当于公式中的a和b的式子.
知识点提公因式与平方差公式
综合应用
例2】把下列各式分解因式:
(1)9(m+n)2-(m-n)2;(2)2x3-8x
【分析】注意(1)中的3(m+n)、(m-n)
相当于公式中的a、b.在分解因式的过
程中,如果有的多项式在形式上不符合
公式的形式,先观察各项是否有公因式
可提,然后再考虑是否符合公式的形式
解】(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m
72
)[3(m+n)-(m-n)]=(4m+2n)
(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)
2)2x3-8x=2.x(x2-4)=2x(x+2)
(x-2
点拨】因式分解的一般思路是:
“提”,二“套”,平方差公式可连续
用,因式分解必须进行到每个多项式
因式不能再分解为止
03当堂评价
对应练习
(湛江中考)分解因式:x2-4=(x+2)(x-2)
2.(荆门中考)分解因式:x2-64=(x+8)(x-8)
3.(邵阳中考)分解因式:x2-9y2=(x+3y)(x-3y)
4.(贵阳中考)下列多项式中,能用公式法分解因式的是
C.
x2+y2
D.
x2(共20张PPT)
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好学则老而不衰，可免好得之患。
第2课时公因式为多项式
01自主预习案
①若多项式的首项的系数是负数,则公因式的符号取
这样可使括号内的第一项系数为正,在提出
名师
测控
册·BS
“-”时,多项式的各项都要变号
2当n为偶数时,(a-b)=(b-a)
当n为奇数时,(a-b)
(b-a)
预习自测下列变形正确的是①④⑤(填序号)
①a-b=-(b-a);②a+b=-(a+b)
③(b-a)2=-(a-b)2;④(a-b)2=(b-a)
⑤(a-b)3=-(b-a)3
02课堂导学
知识点公因式为多项式的因式
分解
例1】把下列各式分解因式
(1)6x(x+y)-4y(x+y)
(2)10a(x-y)2-5b(y-x)
分析】此题要准确地找出公因式,有
的需要变符号后才能找出公因式
【解】(1)6(x+y)-4y(x+y)=(x+
)(6x-4y)=2(x+y)(3x-2y);
(2)10a(x-y)2-56(y-x)=10a(x
y)2+5b(x-y)=5(x-y)[2a(x
y)+b]=5(x-y)(2ax-2ay+b)
点拨】注意两个变形:(a-b)2n=(b
)2n,(a-b)2m+
(b
(n为
整数)
知识点利用因式分解求值
2.r
【例2】已知x,y满足方程组
求代数式7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值
【分析】先利用因式分解化简代数式
根据化简的结果进行观察,看是否需
解方程组求出x,y的值
【解】7y(x-3y)2-2(3y-x)3
7y(x-3y)2+2(x-3y)3
(x-3y)2[7y+2(x-3y)
(x-3y)2(2x+y)
又"x-3y=2,2x
原式=22×6=24
点拔】在解题过程中,巧妙地运用了
转化思想,用提公因式法分解因式作
为桥梁,把题中方程组和所求多项式
结合起来,体现了思维的广阔性
03当堂评价亲
对应练习
1.(2016·南京中考)分解因式:2a(b+c)-3(b+c)的结果是(b+c)
(2a-3)
2.因式分解:(x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x+y-3)
3.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的部
分是
A.m+1
B.
2m
C.2
D.m+2
4.多项式(a-b)+c(a-b)因式分解的结果是
A.(a-b)(c+1)
B.(a-b)(1-c)
C.(a-b)(c-1)
D.c(ab课题 完全平方公式
【学习目标】
1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点．
2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．
【学习重点】
熟练应用完全平方公式分解因式．
【学习难点】
完全平方式的确定及分解后系数指数的变化．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
方法指导：引导学生辨别完全平方式，要符合两数的平方和，加上或减去两数积的2倍，正确分解因式．
学习笔记：
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(x－3)2＝x2－6x＋9；(y＋1)2＝y2＋2y＋1；(2x－3y)2＝4x2－12xy＋9y2．
2．将1计算反过来，你会将以下式子分解因式吗？
(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2；(3)x2－6x＋9；(4)y2＋2y＋1；(5)4x2－12xy＋9y2.
解：(1)原式＝(a＋b)2；(2)原式＝(a－b)2；(3)原式＝(x－3)2；(4)原式＝(y＋1)2；(5)原式＝(2x－3y)2.
自学互研 生成能力
【自主探究】
什么是完全平方公式？什么是公式法？
答：将乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2，把乘法公式反过来，就可以用来把其他多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做运用公式法．
范例1：下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1 C．x2－1 D．x2－6x＋9
仿例1：若多项式x2＋mx＋4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是( D )
A．4
B．－4
C．±2
D．±4
仿例2：小明同学利用完全平方公式对下列式子进行因式分解，你认为正确的是( D )
A．x2＋4x＋4＝(x＋4)2
B．4x2－2x＋1＝(2x－1)2
C．9－6(m－n)＋(m－n)2＝(3－m－n)2
D．－a2－b2＋2ab＝－(a－b)2
归纳：能运用完全平方公式分解因式的条件：①三项式；②两项可化为两个数(或整式)的平方；③另一项为这两个数(或整式)积的2倍．
仿例3：分解因式：
(1)y2－y＋；(2)9a2－30a＋25；(3)(x－y)2－6(x－y)＋9.
解：(1)原式＝；(2)原式＝(3a－5)2；(3)原式＝(x－y－3)2.
范例2：分解因式：
(1)3x3－6x2y＋3xy2；(2)4x2y－4xy2－x3；(3)(x－1)2－6(x－1)＋9；(4)(x－2y)2＋8xy.
解：(1)原式＝3x(x2－2xy＋y2)＝3x(x－y)2；
(2)原式＝－x(x2－4xy＋4y2)＝－x(x－2y)2；
(3)原式＝(x－1－3)2＝(x－4)2；
(4)原式＝x2－4xy＋4y2＋8xy＝x2＋4xy＋4y2＝(x＋2y)2.
仿例1：(东台期中)已知代数式－a2＋2a－1，无论a取任何值，它的值一定是( B )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例2：(路南区二模)计算1252－50×125＋252的结果为( C )
A．100 B．150 C．10
000 D．22
500
仿例3：已知ab＝2，a－b＝3，则a3b－2a2b2＋ab3＝18．
仿例4：(平谷区期末)多项式x2－mxy＋9y2能用完全平方公式分解，则m的值是( D )
A．3 B．6 C．±3 D．±6
归纳：分解因式要注意以下问题：首先提取公因式，然后考虑运用分式法，看能否用平方差公式或完全平方公式分解因式．分解因式要使每一个因式都不能再分解为止．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 运用完全平方公式分解因式
知识模块二 用提公因式法，运用公式法分解因式
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________(共17张PPT)
义务教育教科书（北师版）八年级数学下册
人生就像弈棋，一步失误，全盘皆输。
第2课时完全平方公式
01自主预习亲
把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2
反过来,就得到a2+2ab+b2=(a+b)2,a2
名师
测控
册·BS
2abtb'
(a-b)2
预习自测
(2016·长春中考)把多项式x2-6x+9分解因式,结果正确的是
A.(x-3)
B.(x-9)
C.(x+3)(x-3)
D.(x+9)(x-9)
02课堂导学
知识点完全平方式
例1】已知+x2+bx+9是完全平方
式,求b的值
(分析】
4t
bx
b.
t
32,由完全平方式的意义可得b
×3=±3
解】∵∴1x2+bx+9
bx3
4
2××3
知识点用完全平方公式分解
因式
例2】把下列各式分解因式
(1)a2+8a+16
(2)4a3-4
(3)9(x-y)2-12(x-y)+4
分析】(1)可以直接利用完全平方公
式分解因式;(2)先提取公因式a,再利
用完全平方公式分解因式;(3)把
(x-y)看作一个整体,利用完全平方
公式分解因式
解】(1)a2+8a+16=a2+2·a·4
42=(a+4)2;(2)4a3-4a2
C=(4
4a+1)=a(2
1)2;(3)9(x-y)
12(
)+4=[3(x-y)
2×2
3(x-y)+22=[3(x-y)-2
(3x-3y-2)
03当堂评价系
对应练习
1.若多项式x2+mx+4是一个完全平方式,则m=±4
2.若多项式x2-my+4y2是一个完全平方式,则m-=±4
3.(南通中考)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于(A)
A.64
B.48
D.16
4.已知多项式x2-6x+m2是一个完全平方式,则m的值为(D)
B.+9
C
对应练习
5.(威海中考)将下列多项式分解因式,结果中不含因式x-1的是
C
B.x(x-2)+(2-x)
C.x2-2x+1
D.x2+2x+1
6.(常德中考)下面分解因式正确的是
A.x2+2x+1=x(x+2)+1B.(x2-4)x
4
C
axfr=(a+bx
D
mnn
n+7
7.(毕节中考)下列因式分解正确的是
(A)
A.2x2-2=2(x+1)(x-1)B
2x-1=(x-1)2
C.x2+1=(x+1)2
2
尤
c(C
8.(安徽中考)下列四个多项式中,能因式分解的是
A
B.a2-6
Ca2+5y
D.
9.(2016·大庆中考)知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3
的值
导学号:48852072
解第四章小结与复习
【学习目标】
1．对本章知识进行巩固复习，形成熟练性认识．
2．进一步熟悉提公因式法，运用公式法分解因式．
【学习重点】
根据多项式特征，选择适当方法分解因式．
【学习难点】
熟练应用提公因式法、运用公式法分解因式．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．
情景导入 生成问题
知识结构框图
因式分解因式分解的概念公式法平方差公式—a2－b2＝(a＋b)(a－b)完全平方差公式a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2提公因式法
自学互研 生成能力
范例1：若a为有理数，是整式a(a－1)－a＋1的值是( A )
A．非负数 B．正数 C．负数 D．0
学习笔记：
行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．
学习笔记：
检测可当堂完成．
仿例1：(江西模拟)已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝20．
仿例2：△ABC的三边长为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC是( B )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
范例2：(禅城中考)下列多项式中不能用公式法分解的是( D )
A．－a2－b2＋2ab B．a2＋a＋
C．－a2＋25b2
D．－4－b2
仿例1：(1)(南通中考)因式分解：4m2－n2＝(2m＋n)(2m－n)；
(2)(东营中考)分解因式：4＋12(x－y)＋9(x－y)2＝(3x－3y＋2)2．
仿例2：因式分解或利用因式分解进行简便计算：
(1)9x2－16y2； (2)(y＋1)(y＋2)＋；
(3)662＋652－130×66;
(4)4x2－(y2－2y＋1)．
解：(1)原式＝(3x＋4y)(3x－4y)；
(2)原式＝；
(3)原式＝662＋652－2×65×66＝(66－65)2＝1；
(4)原式＝4x2－(y－1)2＝(2x＋y－1)(2x－y＋1)．
范例3：因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2)(a2＋4)2－16a2；
(3)a2(a－b)3＋b2(b－a)3;
(4)(a＋3)(a－7)＋25.
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)＝(a＋2)2(a－2)2；
(3)原式＝a2(a－b)3－b2(a－b)3＝(a－b)3(a2－b2)＝(a－b)4(a＋b)；
(4)原式＝(a＋3)(a－7)＋25＝a2－4a－21＋25＝a2－4a＋4＝(a－2)2.
归纳：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
仿例1：无论x，y取任何值时，多项式x2＋y2－2x－4y＋6的值总是( A )
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
仿例2：(甘南中考)已知a2－a－1＝0，则a3－a2－a＋2
015＝2__015．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 提公因式法
知识模块二 公式法
知识模块三 提公因式法和公式法的综合
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________(共21张PPT)
义务教育教科书（北师版）八年级数学下册
多一分心力去注意别人，就少一分心力反省自己。
第四章因式分解
1因式分解
01自主预习采
①把一个多项式化成几个整式的积的形式,
这种变形叫做把这个多项式因式分解
名师
测控
册·BS
预习自测1
式子(x+1)(x+2)=x2+3x+2从左到右的变形属于
整式乘法运算;式子x2-4=(x+2)(x
2)从左到右的变形属于因式分解
②因式分解与整式乘法是互逆的
预习自测2
因为(x+1)(x-1)=x2-1,所以x2-1=(x+1)(x-1)
02课堂导学采
知识点因式分解的概念
例1】下列从左到右的变形中,是因式
分解的是
A.(x+1)(x-1)=x2-1
B.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)
C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
D.m2-2m-3=m(m-2-)
【分析】根据因式分解的定义进行判断,
选项A、B、D都不符合因式分解的定
义,特别是D中等号右边括号里的式子
不是整式
答案】C
知识点2分解因式与整式乘法的
关系
例2】已知x2-3x+m可以分解为
(x+2)(x-5),求出m的值
【分析】根据分解因式的定义可知x2
3x+m=(x+2)(x-5)
解】由题意,得x2-3x+m=(x+2)
(x-5),又有(x+2)(x-5)=x2
3x-10,故x2-3x+m=x2-3x-10
所以
10.
点拨】整式的乘法与分解因式为恒等变形
例3】20053—205能被206整除吗
分析】此式化成2006与另一个数相
乘的积的形式即可
解】20053-2005=2005×(20052—1)
2005×(2005+1)(2005—1)
2005×2006×2004
能被2006整除
点拔】可逆用乘法分配律进行变形,
然后看是否含有这个数
03当堂评价亲
对应练习
在等式①8(x+y)=8x+8y,②8x+8y=8(x+y)中,属于因式分解
的是②,属于整式乘法的是①.(填序号)
2.下列式子是因式分解的是
A.x2-x-2=x(x-2)-2
B.(a+b)(a-b)=a2-b2
D.x-1=x(1
对应练习
3.已知x2+bx+c可以分解为(x+2)(x-5),则b
10
4.已知关于x的二次三项式2x2+mx+n分解因式的结果为(2x-1)
),则m,n值分别为
4
121
4
4
4(共20张PPT)
义务教育教科书（北师版）八年级数学下册
好学则老而不衰，可免好得之患。
各师第四章达标测试题|年级下册
测控A时间:120分钟满分:10分数学·BS
·6···●·······●·······●······●······●····●····●····6··●········●·····●······················●
选择题(每小题3分,共30分)
下列从左到右的变形是因式分解的是
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.x2-4+4x=(x+2)(x-2)+4x
16
4
2.多项式x2-mx+25可以分解因式为完全平方式,则m的值是
25
A.10
B.-10
C.±10
3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是
(-b)2B
2Ommn
c
4.观察下列各式:①2a+b和a+b;②5m(a-b)和(-a+b);③3(a
b)和-a-b;④x2-y2和x2+y2,其中有公因式的是(C
A.①②
B.①③
D.④
5.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后,余下的
部分是
A
B.
2m
C.2
D
6.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b),再
沿虚线剪开(如图①),然后拼成一个等腰梯形(如图②),根据这
两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是
(A)
b
b
b
①
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B
(a+b)=a
2ab+b2
C.
(a-b)
abb
D.a2-b2=(a-b)
7.代数式x-16,x2-4x+4,x2-4的公因式是
8.对于任何整数m,多项式(4m+5)2—9都能
(A)
A.被8整除
B.被m整除
C.被(m-1)整除
D.被(2m-1)整除
9在多项式①x2+xy-y2;②-x2+2xy-y2;③xy+x2+y2;④1
4
中,能用完全平方公式分解因式的是
A.①②
B.①③
C.②④
D.①④
10.若a、b、c为一个三角形的三边长,则式子(a-c)2-b2的值
A.一定为正数
B.一定为负数
C.可能是正数,也可能是负数D.可能为0
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.(连云港中考)若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是15
12.(淄博中考)分解因式:8(a2+1)-16a=8(a-1)2
13.(株洲中考)把多项式x十mx+5因式分解得(x+5)(x+n),则
14.已知长方形的面积是49a2-4b2,一边长是7a-26,则另一边长
是7a+2b第四章
因式分解
课题 因式分解
【学习目标】
1．理解因式分解的意义以及因式分解与整式乘法的关系．
2．对因式分解作出正确判断，培养观察能力．
【学习重点】
因式分解的意义及因式分解与整式乘法的关系．
【学习难点】
对因式分解及整式乘法关系的理解．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：因式分解必须把一个多项式分成几个单项式与多项式相乘的形式，并且不能与整式乘法混淆．
学习笔记：因式分解是整式乘法的逆变形，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式，用这种方法可检测因式分解的结果是否正确．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算下面各式：
m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(x＋2)(x－2)＝x2－4；(a－b)2＝a2－2ab＋b2．
2．根据左边的结果填空：
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；x2－4＝(x＋2)(x－2)；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．
很显然第1题中各式属于整式乘法，第2题中各式的变形属于什么呢？
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P92－93的内容，回答下列问题：
1．你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
答：a3－a＝a(a2－a)＝a(a＋1)(a－1)．
2．什么叫因式分解？
答：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可以称为分解因式．
范例1：下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是( C )
A．a(x＋y)＝ax＋ay B．x2－4x＋4＝x(x－4)＋4
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋16x＝(x＋4)(x－4)＋6x
仿例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有( B )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
仿例2：通过计算说明992＋99不能被( D )
A．9整除
B．99整除
C．100整除
D．101整除
归纳：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式，因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
【自主探究】
范例2：如果多项式3x2－mx＋n因式分解的结果为(3x＋2)(x－1)，求m，n的值．
解：∵(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2，∴－m＝－1，n＝－2，∴m＝1.
仿例1：若m2－n2＝8，且m－n＝2，则m＋n＝4．
仿例2：(2x＋a)(2x－a)是哪个多项式因式分解的结果( B )
A．4x2＋a2 B．4x2－a2 C．－4x2＋a2 D．－4x2－a2
范例3：利用因式分解计算：2
016×45＋2
016×56－2
016×100.
解：原式＝2
016×(45＋56－100)
＝2
016.
仿例：利用因式分解计算：2
0163－2
0162－2
014×2
0162.
解：原式＝2
0162×2
016－2
0162×1－2
0162×2
014
＝2
0162(2
016－1－2
014)
＝2
0162×1
＝2
0162.
行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．
学习笔记：
检测可当堂完成．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 因式分解的意义
知识模块二 因式分解的简单应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________课题 提公因式法——公因式为单项式
【学习目标】
1．理解公因式的概念，能熟练确定多项式各项的公因式．
2．掌握用直接提公因式法分解因式的基本方法．
【学习重点】
掌握公因式为单项式类型提公因式法的基本方法．
【学习难点】
熟练确定多项式各项的公因式．
INCLUDEPICTURE
"../../../教学环节指导.TIF"
\
MERGEFORMAT
行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．
行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．
方法指导：对于多项式类型的公因式，应注意a－b和b－a这种互为相反数类型可变为相同形式，所以也属于公因式．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是因式分解？
答：把一个多项式分成几个整式积的形式叫因式分解．
2．你能把下列多项式分解因式吗？你是怎样想到的？
ax＋ay＋az；4x＋8；x2－x.
解：ax＋ay＋az＝a(x＋y＋z)；4x＋8＝4(x＋2)；x2－x＝x(x－1)；
运用乘法分配律．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P95的内容，回答下列问题：
什么叫公因式？如何确定？举例说明．
答：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．以8a3b2c＋12abc为例，其公因式为4abc.公因式确定方法是：系数取各系数最大公约数；字母取相同字母的最低次幂，组成公因式．
范例1：多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( D )
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
仿例1：多项式－6ab2＋18ab2－12a3b2c的公因式是( C )
A．－6ab2c
B．－ab2
C．－6ab2
D．－6a3b2c
仿例2：下列各组代数式中，没有公因式的是( A )
A．ax＋y和x＋y
B．2x和4y
C．2(a－b)和3(b－a)
D．－x2＋xy和y－x
仿例3：指出下列多项式中各项的公因式：
(1)2n－2n＋1的公因式是2n；
(2)4x(y－1)2－8x(y－1)3的公因式是4x(y－1)2．
学习笔记：
行为提示：当多项式首项系数为负数，通常先提出“－”号．
行为提示：在群学后期教师可有意安排每组的展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．有展示
、有补充、有质疑、有评价穿插其中．
学习笔记：
检测可当堂完成．
归纳：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式
(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【自主探究】
阅读教材P95－96的内容，回答下列问题：
什么是提公因式法？
答：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式．这种分解因式的方法叫做提公因式法． 范例2：因式分解：(1)4a2＋6ab＋2a；
(2)－5x3＋10x2－15x；
(3)a3b2－2a2b3.
解：(1)原式＝2a·2a＋2a·3b＋2a·1
＝2a(2a＋3b＋1)；
(2)原式＝－5x·x2＋(－5x)·(－2x)＋(－5x)·3
＝－5x(x2－2x＋3)；
(3)原式＝(a3b2－8a2b3)
＝a2b2(a－b)．
【合作探究】
仿例1：将－axy－ax2y2＋2axz提公因式后，另一因式是( D )
A．xy＋x2y2－2xz B．－y＋x2y－2z
C．y－xy2＋2z
D．y＋xy2－2z
仿例2：(大连中考)若a＝49，b＝109，则ab－9a的值为4__900．
归纳：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)把多项式各项写成公因式与另一项乘积的形式；(3)提公因式并确定另一因式．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 确定公因式
知识模块二 用提公因式法分解因式
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
