2017中考数学二轮复习——分类讨论问题

2017中考数学二轮复习——分类讨论问题
齐鲁学校
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。
代数计算中的分类讨论（数学公式、性质引起的分类讨）
解：去分母，得：3（x+3）+ax=4（x-3）
（a-1）x=
-21
由题意可得
达标练习：
1．若
A．5或－1
B．－5或1
C．5或1
D．－5或－1
2．若a、b互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为
1，则的值是______．
（问题所涉及到的数学概念。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型。）
3.一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9，
则kb值为（
）
A．14
B．－6
C．－4或21
D．－6或14
（问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如讨论一次函数y=kx+b（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型。）
4．若关于x的函数y=k＋2x－1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为
．
5．已知关于
x的方程．
⑴
当k为何值时，此方程有实数根；
⑵
若此方程的两实数根x1，x2满足，求k的值．
6．已知
y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为
24，求其函数解析式。
（解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。这称为含参型。）
7．已知x、y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为______________。
8．已知抛物线=a＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数=x＋n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．
二、三角形、圆等几何图形中的分类讨论
例2．在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)
跟踪练习：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为
.
例3．(2015
黑龙江省牡丹江市)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD⊥y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，∠BAC=45°．
（1）求点A，C的坐标；
（2）反比例函数y=的图象经过点B，求k的值；
（3）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请写出满足条件的点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
达标练习：
1．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（
）
A．?5
B．?7
C．?5或7?
D．?6
2．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（
）
A．5cm
B．3cm
C．5cm或3cm
D．不确定
3．若等腰三角形的一个内角为50°，则其他两个内角为（
）
A．50°，80°
B．65°，65°
C．50°
，65°
D．50°,80°或65°，65°
4．若⊙O的弦
AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦
AB所对的圆周角的度数为（
）
A．300
B、600
C．1500
D．300或
1500
5．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．
6．(2014·凉山)已知⊙O的直径CD=10
cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8
cm，则AC的长为(
)
A.2cm
B.4cm
C.2cm或4cm
D.2cm或4cm
7．在Rt△ABC中，AC=3，BC=4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，那么半径r的取值范围是
．
8．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为 ___________，底边长为_____________．
9．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为____cm2．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有
个．
11.在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是
.
12．(2015
辽宁省本溪市)
如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），点B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（﹣4，0），点F与原点重合
（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；
（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；
（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
　
三、动点问题中的分类讨论
例4．(2015
辽宁省铁岭市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
　
达标练习：
1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝6，BC＝14，点M是线段BC上一定点，且MC＝8．动点P从C点出发沿C→D→A→B的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有________个．
2．如图，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在CD、AD上滑动。当DM＝
时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似。
3．如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝900，BC＝16，DC＝12，AD＝21，动点P从D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，经线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动时间为秒。
⑴设△BPQ的面积为S，求S与之间的函数关系式。
⑵当为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
4.(2015
湖北省黄冈市)
如图，在矩形OABC
中，OA=5，AB=4，点D
为边AB
上一点,将△BCD
沿直线CD
折叠,使点B
恰好落在OA边上的点E
处，分别以OC，OA
所在的直线为x
轴，y
轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE
的长；
(2)求经过O，D，C
三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P
从点C
出发，沿CB
以每秒2
个单位长的速度向点B
运动，同时动点Q
从E
点出发，沿EC
以每秒1
个单位长的速度向点C
运动，当点P
到达点B
时，两点同时停止运动.设运动时间为t
秒，当t为何值时，DP=DQ；
(4)
若点N
在(2)中的抛物线的对称轴上，点M
在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M
点的坐标;若不存在，请说明理由.
最后提醒同学们，分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，但它并非是解决问题的上策或良策，有时采用分类讨论方法反而导致解题的繁琐，所以，希望大家要对题目做深入探索，具体问题具体分析，灵活运用。