2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（文科）（解析版）

2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（文科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={1，2}，B={1，2，4}，C={1，4，6}，则（A∩B）∪C=（　　）
A．{1}
B．{1，4，6}
C．{2，4，6}
D．{1，2，4，6}
2．在等差数列{an}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（　　）
A．﹣14
B．﹣7
C．7
D．14
3．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（　　）
A．2
B．3
C．6
D．9
5．函数的零点所在区间为（　　）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
6．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（　　）
A．7.5
B．7
C．6
D．5
7．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
8．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（　　）
A．y=±x
B．y=±x
C．y=±2x
D．y=±x
9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（　　）
A．6π+12
B．6π+24
C．12π+12
D．24π+12
10．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（　　）
A．（0，2）
B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2）
D．（2，+∞）
11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
12．已知函数的最大值为f（a），则a等于（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=　　．
14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=　　．
15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为　　．
16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．
（1）求C的大小；
（2）求的值．
19．已知等差数列{an}的公差d＞0，且a1 a6=11，a3+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn．
20．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？
21．已知曲线f（x）=x3+ax2+3x﹣（a＞﹣2）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴转成的三角形的面积为．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，且对 x1，x2∈[﹣1，1]，2＜恒成立，求实数m的取值范围．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m2﹣m＜f（x）， x∈R都成立，求实数m的取值范围．
　
2017年辽宁省抚顺市省重点高中协作校高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={1，2}，B={1，2，4}，C={1，4，6}，则（A∩B）∪C=（　　）
A．{1}
B．{1，4，6}
C．{2，4，6}
D．{1，2，4，6}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据题意，由交集的定义可得A∩B={1，2}，进而结合集合的并集的定义，计算可得（A∩B）∪C，即可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A={1，2}，B={1，2，4}，
则集合A∩B={1，2}，
又由C={1，4，6}，则（A∩B）∪C={1，2，4，6}；
故选：D．
　
2．在等差数列{an}中，a3+a6=11，a5+a8=39，则公差d为（　　）
A．﹣14
B．﹣7
C．7
D．14
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：∵a3+a6=11，a5+a8=39，则4d=28，解得d=7．
故选：C．
　
3．在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】茎叶图．
【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数．
【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则
第1组为，第2组为，
第3组为，第4组为，
第5组为，第6组为，
故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人．
故选：C．
　
4．若函数f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，则ω等于（　　）
A．2
B．3
C．6
D．9
【考点】余弦函数的图象．
【分析】由题意可得ω﹣=kπ，k∈Z，由此求得ω的值．
【解答】解：∵f（x）=3cos（ωx﹣）（1＜ω＜14）的图象关于x=对称，
∴ω﹣=kπ，k∈Z，即ω=12k+3．
∵1＜ω＜14，∴由此求得ω=3，
故选：B．
　
5．函数的零点所在区间为（　　）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断函数的单调性，利用函数的零点定理判断求解即可．
【解答】解：函数是单调减函数，因为f（1）=1＞0，f（2）=1﹣＜0，∴f（1）f（2）＜0，可知函数的零点所在区间为：（1，2）．
故选：B．
　
6．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcosA+acosB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（　　）
A．7.5
B．7
C．6
D．5
【考点】正弦定理．
【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．
【解答】解：∵bcosA+acosB=c2，a=b=2，
∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，
∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．
故选：D．
　
7．设向量=（2tanα，tanβ），向量=（4，﹣3），且+=，则tan（α+β）等于（　　）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】利用两个向量坐标形式的运算法则，两角和的正切公式，求得tan（α+β）的值．
【解答】解：由题意可得+=（2tanα+4，tanβ﹣3
）=，∴tanα=﹣2，tanβ=3，
∴tan（α+β）===，
故选：A．
　
8．当双曲线M：﹣=1（﹣2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（　　）
A．y=±x
B．y=±x
C．y=±2x
D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，可得m=﹣1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．
【解答】解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，
可得当m=﹣1时，焦距2c取得最小值，
双曲线的方程为=1，
即有渐近线方程为y=±2x．
故选：C．
　
9．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（　　）
A．6π+12
B．6π+24
C．12π+12
D．24π+12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可得出结论．
【解答】解：由三视图可知几何体为半圆柱与直三棱柱的组合体，
V==6π+12，
故选A．
　
10．设正数x，y满足﹣1＜x﹣y＜2，则z=x﹣2y的取值范围为（　　）
A．（0，2）
B．（﹣∞，2）
C．（﹣2，2）
D．（2，+∞）
【考点】不等式的基本性质．
【分析】由约束条件作出可行域，z=x﹣2y，化为直线方程的斜截式，求出z的范围得答案．
【解答】解：由，得可行域如图：
令z=x﹣2y，由图可知，当z=x﹣2y过A（2，0）时，z有最大值2，
∴z＜2，
故选B．
　
11．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．
【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则g（x1）=g（x2）=3，则，结合x1，x2∈[﹣2π，2π]，可得答案．
【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，
再向上平移1个单位，得到g（x）=+1的图象．
若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，
则g（x1）=g（x2）=3，
则，
即，
由x1，x2∈[﹣2π，2π]，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，
}，
当x1=，x2=﹣时，2x1﹣x2取最大值，
故选：A
　
12．已知函数的最大值为f（a），则a等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】求出函数的导数，计算f′（1）的值，从而求出函数f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值点即可．
【解答】解：∵f′（x）=﹣ ﹣2x，
∴f′（1）=﹣f′（1）﹣2，
解得：f′（1）=﹣，
故f（x）=﹣x2，
f′（x）=，
令f′（x）＞0，解得：x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在[0，）递增，在（，+∞）递减，
故f（x）的最大值是f（），
a=，
故选：B．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．sin63°cos18°+cos63°cos108°=　　．
【考点】两角和与差的余弦函数．
【分析】利用诱导公式，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
【解答】解：sin63°cos18°+cos63°cos108°
=sin63°cos18°+cos63°cos（90°+18°）
=sin63°cos18°﹣cos63°sin18°
=sin（63°﹣18°）
=sin45°
=．
故答案为：．
　
14．设函数f（x）=，则f（3）+f（4）=　4　．
【考点】函数的值．
【分析】先分别求出f（3）=f（9）=1+log69，f（4）=1+log64，由此能求出f（3）+f（4）．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=f（9）=1+log69，
f（4）=1+log64，
∴f（3）+f（4）=2+log69+log64
=2+log636
=2+2
=4．
故答案为：4．
　
15．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为　　．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：设该女五第一天织布x尺，
则=5，
解得x=，
∴该女子前3天所织布的总尺数==．
故答案为：．
　
16．在Rt△AOB中，，，，AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，若，则向量在向量上的投影为　或　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由题意可得∠AOB=，建立如图所示的坐标系，利用三角形相似，求出AD的值，可得D、E的坐标，由，求得λ的值，可得向量在向量上的投影为ED=|﹣|的值．
【解答】解：在Rt△AOB中，，∴∠AOB=，
∵，，∴AB==5，
∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立如图所示的坐标系，
则A（，0）、B（0，2）、设D（m，n），
则△OAD∽△BAO，∴
=，∴AD=1，∴
=，
即（m﹣，n）=（﹣，2），求得m=，n=，∴D（，）．
则=λ =λ（，）=（λ，λ），=（﹣λ，﹣λ）．
∵=λ （﹣λ）﹣，∴λ=，或λ=，
则向量在向量上的投影为ED=|﹣|=|（，）﹣（λ，λ）|
=|（（1﹣λ），）（1﹣λ）|．
当λ=时，ED=|（，）|=；当λ=时，ED=|（，）|=，
故答案为：或．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设函数为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（a+1，+∞）上的单调性，并用定义法证明．
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
【分析】（1）利用为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），即可求实数a的值；
（2）利用函数单调性的定义进行证明．
【解答】解：（1）∵为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴，∴a=0．
（2）函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
证明：设1＜x1＜x2，
则．
∵1＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．
　
18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C为锐角且asinA=bsinBsinC，．
（1）求C的大小；
（2）求的值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，可求sinC=，结合C为锐角，可求C的值．
（2）由余弦定理即可解得的值．
【解答】解：（1）由已知，asinA=bsinBsinC，
利用正弦定理可得：a2=b2sinC=2a2sinC，
由于：sinC=，C为锐角，
解得：C=．
（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=3a2﹣2a×=3a2﹣a2，
故解得：．
　
19．已知等差数列{an}的公差d＞0，且a1 a6=11，a3+a4=12．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式及其性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．
（2）利用“累加求和”方法即可得出．
【解答】解：（1）∵a1 a6=11，a3+a4=12=a1+a6．
∴a1，a6是2x2﹣12x+11=0方程的两根，且a1＜a6，
解得a1=1，a6=11．
∴11﹣1=5d，即d=2，
∴an=2n﹣1．
（2）=﹣．
∴数列{}的前n项和Tn=++…+
=﹣．
　
20．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的建康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社会每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a（单位：万元）满足P=80+4，Q=a+120，设甲大棚的投入为x（单位：万元），每年两个大棚的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（50）的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f（x）最大？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）由甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，把a的值代入即可得出．
（2），依题意得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）∵甲大棚投入50万元，则乙大投棚入150万元，
∴万元．
（2），依题意得，
故．
令，则，
当，即x=128时，f（x）max=282万元．
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．
　
21．已知曲线f（x）=x3+ax2+3x﹣（a＞﹣2）在点（1，f（1））处的切线l与坐标轴转成的三角形的面积为．
（1）求实数a的值；
（2）若a＞0，且对 x1，x2∈[﹣1，1]，2＜恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，分别令x=0，y=0，求得与x，y轴的交点，运用三角形的面积公式，解方程可得a的值；
（2）对 x1，x2∈[﹣1，1]，2＜恒成立，即为（2）max＜，由f（x）在[﹣1，1]递增，可得最值，进而得到（2）max，即可得到m的范围．
【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+3x﹣的导数为f′（x）=x2+2ax+3，
在点（1，f（1））处的切线斜率为4+2a，切点为（1，a+），
即有在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（a+）=（4+2a）（x﹣1），
令x=0，得y=﹣a﹣；由y=0，得x=，
则有三角形的面积为 =，
解方程可得a=或a=﹣；
（2）对 x1，x2∈[﹣1，1]，2＜恒成立，
即为（2）max＜，
由f′（x）=x2+x+3＞0，即f（x）在[﹣1，1]递增，
即有f（x）的最大值为f（1）=3，最小值为f（﹣1）=﹣，
可得f（x1）﹣f（x2）≤3﹣（﹣）=，
即有（2）max==，
即＜，解得m＞4．
则m的取值范围是（4，+∞）．
　
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．
（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）直线l与直线C2交于M，N两点，若|MN|≥2，求实数a的取值范围．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，运用点到直线的距离公式和弦长公式，解不等式即可得到取值范围．
【解答】解：（1）根据题意，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，
曲线C1的极坐标方程ρ（ρ﹣4sinθ）=12，
可得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，
设点P（x′，y′），Q（x，y），
根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，
得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4；
（2）直线l的普通方程为：y=ax，
设圆心到直线的距离为d，
由弦长公式可得，|MN|=2≥2，
可得圆心（3，1）到直线的距离为d=≤，
即为4a2﹣3a≤0，
解得实数a的取值范围为：[0，]．
　
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若不等式m2﹣m＜f（x）， x∈R都成立，求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（1）原不等式等价于①，或②，或③．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为2，可得
m2﹣m＜2，由此解得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）原不等式等价于①，或②，或③．
解①求得，解②求得，解③求得，
因此不等式的解集为．
（2）∵f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣（2x﹣3）|=2，
∴m2﹣m＜2，解得﹣1＜m＜2，
即实数m的取值范围为（﹣1，2）．
　
2017年2月1日