《幂的乘方与积的乘方》教案
教学目标
一、知识与技能
1．经历探索幂的乘方与积的乘方性质，进一步体会幂的乘方与积的乘方；
2．理解幂的乘方与积的乘方运算性质并能解决一些实际问题；
二、过程与方法
1．在探究幂的乘方与积的乘方的运算法则的过程中，发展推理能力和有条理地表达的能力；
2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；
三、情感态度和价值观
1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；
2．通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；
教学重点
幂的乘方与积的乘方运算；
教学难点
幂的乘方与积的乘方公式的推导及公式的逆用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
2课时
教学过程
一、导入
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
二、新课
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的103
倍！
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的
(102)
3倍！那么，你知道
(102)
3等于多少吗？
(102)
3=
102×102
×102=102+2+2=106
通过问题的研究：(102)
3=106
，让学生清楚运算之间的关系，题目中所描述的是10的2次幂的三次方，其底数是幂的形式，然后根据幂的意义展开运算，去探究运算过程.
计算下列各式，并说明理由．
（1）(62)
4；
（2）(a2)3；
（3）(am)2．
解：
（1）(62)4
=
62×62×62×62
=
62+2+2+2
=
68；
（2）(102)
3=
102×102
×102=102+2+2=106
；
（3）(am)2=
am×am
=
am+m=
a2m；
仿照前面，来研究运算情况，实际上做到(am)2就能猜想（am）n的结果，也为后面幂的乘方的法则带来指导性，完成本节课的主要教学任务.
猜想（am）n等于什么？你的猜想正确吗？
(am)n=am·am…am=am+m+…+
m=amn
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是
正整数）
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×10３km，它的体积大约是多少立方千米？
你会计算(ab)2，(ab)３和(ab)4吗？
(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3
(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4
(ab)m=am·bm的证明
(ab)m
=
ab·ab·……·ab(乘方的意义)
=(a·a·……·a)
(b·b·……·b)(乘法运算律)
=am·bm
(乘方的意义)
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质 怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
三、例题
例1
计算：
（1）(102)3
；（2）(b5
)5
；（3）(an)3；（4）-
(x2)m
；（5）(y2)3·y；（6）2(a2)6-
(a3)4
.
解：
（1）
(102)3
=102×3=106
；
（2）
(b5
)5
=
b5×5=b25
；
（3）
(an)3=
an×3=a3n；
（4）
-
(x2)m=
-x2×m=
-
x2m；
（5）
(y2)3·y
=
y2×3·y=
y6·y
=y7；
（6）
2(a2)6
-
(a3)4=
2a2×6-
a3×4
=2a12
-
a12
=a12
．
例2：
（1）(3x)2
；（2）(-2b)5
；（3）(-2xy)4
；（4）(
3a2
)n．
解：
（1）(3x)2=
32x2=9x2；
（2）(-2b)5
=
(-2)5
b5
=
-32b5；
（3）(-2xy)4
=
(-2x)4y4=
(-2)4x4y4=16x4y4；
（4）(3a2)n=
3n(a2)n=3na2n．
四、习题
1．计算：
（1）(103)3；
（2）-
(a2)5
；
（3）(x3)4·x2
．
解：
（1）(103)3
=109
；
（2）-
(a2)5=
-a10；
（3）(x3)4·x2=
x12·x2
=
x14
．
2．计算：
（1）(
-
3
n
)3
；
（2）(
5xy)3
；
（3）-
a3+(-4a)2a．
解：
（1）(
-
3
n
)3
=
(
-
3
)3
n3
=
-
27n3
；
（2）(
5xy)3
=
53x3y3
=
53x3y3
=
125x3y3
；
（3）-
a3+(-4a)2a
=
-
a3+42a2a=
-
a3+16a3=15a3．
五、拓展
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是正整数）
注意：
1．公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式。
2．注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加。
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
逆运算使用:an·bn
=
(ab)n
六、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
幂的乘方的运算性质
(am)n=amn（m，n都是正整数）
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方的运算性质
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
(ab)m=am·bm（m为正整数）(共20张PPT)
初中数学北师大版七年级下册
第一章
整式的乘除
2
幂的乘方与积的乘方
地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
导入
木星的半径是地球的10倍，它的体积是地球的10
3
倍！
新课
太阳的半径是地球的102倍，它的体积是地球的
(102)
3
倍！那么，你知道
(102)
3等于多少吗？
(102)
3=
102×102
×102
=102+2+2=106
计算下列各式，并说明理由．
（1）(62)
4
；
（2）(a2)3
；（3）(am)2
．
新课
解：
（1）(62)
4
=
62×
62
×62
×62
=
62
+2+2+2+2
=
68
；
（2）(a2)3
=
a2×a2×a2
=
a2+2+2
=
a6
；
（3）(am)2
=
am×am
=
am+m
=
a2m
．
新课
猜想（am）n等于什么？你的猜想正确吗？
一般地有
(am)n=
n个am
n个m
am·am…am
=am+m+…+
m
=amn
新课
(am)n=amn（m，n都是
正整数）
幂的乘方的运算性质
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
例1
计算：
（1）(102)3
；
（2）(b5)5
；
（3）(an)3
；
（4）-
(x2)m
；
（5）(y2)3·y；
（6）2(a2)6
-
(a3)4
．
例题
解：
（1）
(102)3
=102×3=106
；
（2）
(b5)5
=
b5×5=b25
；
（3）
(an)3
=
an×3=a3n
；
（4）
-
(x2)m
=
-x2×m
=
-
x2m
；
（5）
(y2)3·y
=
y2×3·y=
y6·y
=y7
；
（6）
2(a2)6
-
(a3)4
=
2a2×6
-
a3×4
=2a12
-
a12
=a12
．
例题
新课
地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为
6×103km，它的体积大约是多少立方千米？
解：
新课
你会计算(ab)2，(ab)3和(ab)4吗？
(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)
=a3b3
(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)
=(a·a·a·a)·(b·b·b·b)=a4b4
新课
在下面的推导中，说明每一步(变形)的依据：
(ab)m
=
ab·ab·……·ab
(
)
=(a·a·……·a)
(b·b·……·b)(
)
=am·bm
(乘方的意义)
乘方的意义
乘法运算律
m个ab
m个a
m个b
(ab)m
=am·bm的证明
新课
(ab)m=am·bm（m为
正整数）
积的乘方的运算性质
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质
怎样用公式表示
(abc)n=an·bn·cn
例2：
（1）(3x)2
；
（2）(-2b)5
；
（3）(-2xy)4
；
（4）(
3a2
)n
．
例题
解：
（1）(3x)2
=
32x2=9x2；
（2）(-2b)5
=
(-2)5b5=
-32b5
；
（3）(-2xy)4
=
(-2x)4y4=
(-2)4x4y4=16x4y4；
（4）(3a2)n
=
3n(a2)n=3na2n
．
例题
习题
1．计算：
（1）(103)3
；
（2）-
(a2)5
；
（3）(x3)4·x2
．
解：
（1）(103)3
=109
；
（2）-
(a2)5
=
-a10；
（3）(x3)4·x2
=
x12·x2
=
x14
．
习题
2．计算：
（1）(
-
3
n
)3
；
（2）(
5xy)3
；
（3）-
a3+(-4a)2a．
习题
解：
（1）(
-
3
n
)3
=
(
-
3
)3
n3
=
-
27n3
；
（2）(
5xy)3
=
53x3y3
=
53x3y3
=
125x3y3
；
（3）-
a3+(-4a)2a
=
-
a3+42a2a=
-
a3+16a3=15a3
．
拓展
(am)n=amn（m，n都是正整数）
幂的乘方
注意：
1.公式中的底数a可以是具体的数，也可以是代数式．
2.注意幂的乘方中指数相乘，而同底数幂的乘法中
是指数相加．
积的乘方
(ab)m=am·bm（m为正整数）
逆运算使用:an·bn
=
(ab)n
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
(am)n=amn（m，n都是正整数）
幂的乘方的运算性质
积的乘方的运算性质
(ab)m=am·bm（m为正整数）
法则：积的乘方等于各因数乘方的积。
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
