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初中数学北师大版七年级下册
第一章
整式的乘除
4
整式的乘法
京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．
如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有
m
的空白．
导入
1.2x
m
x
m
（1）第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？
（2）若把图中的
1.2
x
改为
mx，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？
导入
第一幅画的画面面积是x·1.2x
平方米
第二幅画的画面面积是
平方米
第一幅画的画面面积是x·mx平方米
第二幅画的画面面积是
平方米
想一想：
问题1：对于以上求面积时，所遇到的是什么运算？
问题2：什么是单项式？
新课
因为因式是单项式，所以它们相乘是单项式乘以单项式运算.
表示数与字母的积的代数式叫做单项式.
新课
对于上面的问题的结果：
这两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？
第一幅画的画面面积是
米2
，
第二幅画的画面面积是
米2
.
根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质.
新课
如何进行单项式乘单项式的运算？
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
例1
计算：
（1）
；
（2）
-
2
a2b3
·
(
-
3a)
；
（3）
7
xy
2z·(2xyz)
2.
例题
解：
（1）
；
（2）-
2
a2b3·(
-
3a)
=
[
(
-
2)·(
-
3)
]
(
a2
a)·b3
=
6
a3b3
；
（3）7
xy
2z·(2xyz)
2=7xy2z
·4x2y2z2=
28x3y4z3
；
例题
新课
问题1：ab·(abc+2x)
和c2·(m+n-p)等于什么？你是怎样计算的？
ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x=a2b2c+2abx
c2·(m+n-p)=c2·m+c2·n-c2·p=mc2+nc2-pc2
单项式与多项式相乘时，分两个阶段：
①按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
②单项式的乘法运算.
新课
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一
项，再把所得的积相加．
例2：计算：
（1）
2ab
(5ab2+3a2b
)
；
（2）
；
（3）
5
m2n
(2n+3m-n2
)
；
（4）
2
(
x+y2z+xy2z3
)·xyz．
例题
解：
（1）
2ab
(5ab2+3a2b
)
=2ab·5
ab2+2ab·3a2b
=10a2b3+
6a3b2；
（2）
（3）
5
m2n
(2n+3m-n2
)
=5m2n·2n+5m2n·3m
+5m2n·
(
-n2)
=10m2n2+15m3n
-
5m2n3；
例题
解：
（4）2
(
x+y2z+xy2z3
)·xyz
=
(2x
+2y2z+2xy2z3)
·xyz
=2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz
=2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4
．
例题
新课
图1-1是一个长和宽分别为
m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加
a，b，所得长方形（图
1-2）的面积可以怎样表示？
n
m
n
m
b
a
新课
小明的想法:长方形的面积可以有
4
种表示方式：
(
m+a
)
(n+b
)，n(m+a)
+b(m+a)，m(n+b)
+
a(n+
b)
和mn+mb+na+ba，从而，(m+a)
(n+b)
=
n(m
+a)
+
b(m+a)
=m
(n+b)+a
(n+b)
=mn+mb+na+ba．
你认为小明的想法对吗？从中你受到了什么启发？
新课
把
(m+a)
或
(n+b)
看成一个整体，利用乘法分配律，可以得到
(m+a)
(n+b)
=
(m+a)n+
(m+a)b
=mn+an+mb+ab，或
(
m+a)
(n+b)=m(n+b)+a(
n+b)
=
mn+mb+an+ab．
新课
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例3
计算：
（1）(
1
-
x
)
(
0.6
-
x
)
；
（2）(
2
x
+
y
)
(
x
-
y
)
．
例题
解：
（1）(
1
-
x
)
(
0.6
-
x
)
=1×0.6
-
1×x
-
x
×0.6
+x
×x
=
0.6
-
1.6
x
+
x
2
；
（2）(
2
x
+
y
)
(
x
-
y
)
=
2x·x-2x·y+y·x
-y·y
=2x2-2
xy+xy-y2
=2x2
-xy-y2
．
例题
习题
1．计算：
（1）(
m+2n
)
(
m
-
2n
)；（2）(
2n+5
)
(
n-3）；
（3）(
x+
2y
)
2
；
（4）(
ax+b)
(
cx+d)．
习题
解：
（1）(
m+2n
)
(
m
-
2n
)=
m·m-m·2n
+
2n·m
-
2n·2n
=m2-2mn
+
2mn
-
4n2=m2-
4n2；
（2）(
2n+5
)
(
n-3）=
2n·n-2n·3+5·n-5×3
=
2n2-6n+5n-15=
2n2-n-15；
（3）(
x+2y
)
2
=(
x+2y
)
(
x+2y
)
=x2+x·2y
+x·2y+
2y·2y=x2+4xy
+
4y2；
（4）(
ax+b)
(
cx+d)=
ax·cx+ax·d+b·cx+b·d
=ac
x2+adx+bcx+bd．
拓展
1、先用一个多项式的第一项遍成另一个多项式的各项，再用这个多项式的第二项遍乘另一个多项式的各项，依次类推，并把所得的积相加；
2、合并同类项.
多项式与多项式相乘，可分几个步骤进行？
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.单项式与单项式相乘的运算：
2.单项式与多项式相乘的运算：
3.多项式与多项式相乘的运算：《整式的乘法》教案
教学目标
一、知识与技能
1．掌握单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则；
2．会进行整式的乘法运算；
二、过程与方法
1．经历探索整式的乘法运算法则的过程，发展推理能力和有条理地表达的能力；
2．课堂中教给学生“动手做，动脑想，多合作，大胆猜，会验证”的研讨式学习方法；
三、情感态度和价值观
1．通过研究探讨解决问题的方法，培养学生会作交流意识与探究精神；
2．通过引导学生主动探索法则的形成和应用过程，培养学生主动获取新知的能力；
教学重点
整式的乘法法则的导出；
教学难点
多种运算法则的综合运用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
3课时
教学过程
一、导入
京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．
如下图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有m
的空白．
（1）第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？
第一幅画的画面面积是x·1.2x
平方米
第二幅画的画面面积是平方米
（2）若把图中的
1.2
x
改为
mx，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？
第一幅画的画面面积是x·mx
平方米
第二幅画的画面面积是平方米
二、新课
想一想：
问题1：对于以上求面积时，所遇到的是什么运算？
因为因式是单项式，所以它们相乘是单项式乘以单项式运算.
问题2：什么是单项式？
表示数与字母的积的代数式叫做单项式.
对于上面的问题的结果：
第一幅画的画面面积是米
2，
第二幅画的画面面积是
米
2
.
这两个结果可以表达得更简单些吗？说说你的理由？
根据乘法的交换律、结合律，幂的运算性质.
如何进行单项式乘单项式的运算？
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
三、例题
例1、计算：
（1）
（2）-
2
a2b3
·
(
-
3a)；（3）7
xy
2z·(2xyz)
2
．
解：
（1）；
（2）-
2
a2b3·(
-
3a)
=
[
(
-
2)·(
-
3)
]
(
a2
a)·b3
=
6
a3b3；
（3）7
xy
2z·(2xyz)
2=7xy2z
·4x2y2z2=
28x3y4z3．
问题1：ab·(abc+2x)
和c2·(m+n-p)等于什么？你是怎样计算的？
ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x=a2b2c+2abx
c2·(m+n-p)=c2·m+c2·n-c2·p=mc2+nc2-pc2
引导学生发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。
单项式与多项式相乘时，分两个阶段：
①按分配律把单项式与多项式的乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；
②单项式的乘法运算.
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
例2：计算：
（1）2ab
(5ab2+3a2b
)；
（2）
；
（3）5
m2n
(2n+3m-n2
)；
（4）2
(
x+y2z+xy2z3
)·xyz．
解：（1）2ab
(5ab2+3a2b
)=2ab·5
ab2+2ab·3a2b=10a2b3+
6a3b2；
（2）
（3）5
m2n
(2n+3m-n2
)=5m2n·2n+5m2n·3m
+5m2n·
(
-n2)=10m2n2+15m3n
-
5m2n3；
（4）2
(
x+y2z+xy2z3
)·xyz=
(2x
+2y2z+2xy2z3)
·xyz=2x·xyz+2y2z·xyz+2xy2z3·xyz
=
2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4
．
解题时需要注意的问题：
①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。
②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面
的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。
③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。
④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项.
图1-1是一个长和宽分别为
m，n的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加
a，b，所得长方形（图
1-2）的面积可以怎样表示？
小明的想法:长方形的面积可以有
4
种表示方式：
(
m+a
)
(n+b
)，n(m+a)
+b(m+a)，m(n+b)
+
a(n+
b)
和mn+mb+na+ba，从而，(m+a)
(n+b)
=
n(m
+a)
+
b(m+a)
=m
(n+b)+a
(n+b)
=mn+mb+na+ba．
你认为小明的想法对吗？从中你受到了什么启发？
把
(m+a)
或
(n+b)
看成一个整体，利用乘法分配律，可以得到
(m+a)
(n+b)
=
(m+a)n+
(m+a)b
=mn+an+mb+ab，或
(
m+a)
(n+b)=m(n+b)+a(
n+b)
=
mn+mb+an+ab．
如何进行多项式与多项式相乘的运算？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例3
计算：
（1）(
1
-
x
)
(
0.6
-
x
)
；
（2）(
2
x
+
y
)
(
x
-
y
)
．
解：
（1）(
1
-
x
)
(
0.6
-
x
)
=1×0.6
-
1×x
-
x×0.6
+x
×x=
0.6
-
1.6
x
+
x
2；
（2）(
2
x
+
y
)
(
x
-
y
)
=
2x·x-2x·y+y·x
-y·y
=2x2-2
xy+xy-y2=2x2-xy-y2．
四、习题
1．计算：
（1）(
m+2n
)
(
m
-
2n
)；
（2）(
2n+5
)
(
n-3）；
（3）(
x+
2y
)
2
；
（4）(
a
x+b)
(
cx+d)．
解：
（1）(
m+2n
)
(
m
-
2n
)=
m·m-m·2n
+
2n·m
-
2n·2n
=m2-2mn
+
2mn
-
4n2=m2-
4n2；
（2）(
2n+5
)
(
n-3）=
2n·n-2n·3+5·n-5×3=
2n2-6n+5n-15=
2n2-n-15；
（3）(
x+
2y
)
2
=(
x+
2y
)
(
x+
2y
)=x2+x·2y
+x·2y+
2y·2y=x2+4xy
+
4y2；
（4）(
a
x+b)
(
cx+d)=
a
x·cx+a
x·d+b·cx+b·d=ac
x2+adx+bcx+bd．
五、拓展
多项式与多项式相乘，可分几个步骤进行？
1、先用一个多项式的第一项遍成另一个多项式的各项，再用这个多项式的第二项遍乘另一个多项式的各项，依次类推，并把所得的积相加；
2、合并同类项.
六、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1.单项式与单项式相乘的运算：
2.单项式与多项式相乘的运算：
3.多项式与多项式相乘的运算：
