《完全平方公式》教案
教学目标
一、知识与技能
1．完全平方公式的推导及其应用；
2．完全平方公式的几何证明；
二、过程与方法
1．经历探索完全平方公式的过程；
2．进一步发展符号感和推理能力；
三、情感态度和价值观
1．对学生观察能力、概括能力、语言表述能力的培养，以及数学思想的渗透；
2．通过分组讨论学习，体会合作学习的兴趣；
教学重点
完全平方公式的推导过程；
教学难点
完全平方公式结构特点及其应用；
教学方法
引导发现法、启发猜想、讲练结合法
课前准备
教师准备
课件、多媒体；
学生准备
练习本；
课时安排
1课时
教学过程
一、导入
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
（x＋3)(
x＋3）=x2＋3x＋3x＋9=x2＋6x＋9
二、新课
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
(
m
+
3
)2=
(
m
+
3
)
(
m
+
3
)
=
m
2
+
3m
+
3m
+
9
=
m
2
+
2×3m
+
9
=
m
2
+
6m
+
9，
(
2
+
3
x
)
2
=
(
2
+
3x
)
(
2
+3
x
)
=
22
+
2
×3
x
+2×3
x
+
9
x2
=
4
+
2×2×3
x
+
9
x2
=
4
+
12
x
+
9
x2
．
完全平方公式的数学表达式：
和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，
加减看前方，同加异减。
想一想：（1）两个公式中的字母都能表示什么
数或代数式
（2）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗
完全平方公式在计算化简中有些什么作用
三、例题
例1
利用完全平方公式计算：
（1）(
2
x
-
3
)
2
；
（2）(
4
x
+
5
y
)2
；
（3）(
mn
-
a
)
2
．
解：（1）(2x-3)2
=
(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9；
（2）(4x+5y)2=
(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；
（3）(
mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
怎样计算1022
，1972
更简单呢？
（1）1022
；
（2）1972
．
（1）1022=(100+2)2
（2）1972=(200-3)2
=
1002+2×100×2+22
=2002-2×200×3+32
=
10000+400+4
=40000-1200+9
=10404；
=38809．
能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固。需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习。
例2
计算：
（1）(
x
+
3
)
2
-
x
2
；
（2）(
a
+
b
+
3
)
(
a
+
b
-
3
)；
（3）(
x
+
5
)
2
-（x-2）(x-3）
．
解：
（1）(
x
+
3
)
2
-
x
2
=
x
2
+
6
x
+
9
-
x
2
=
6
x
+
9；
（2）(
a
+
b
+
3
)
(
a
+
b
-
3
)
=
[
(
a
+
b
)
+
3
]
[
(
a
+
b
)
-
3
]
=
(
a
+
b
)
2
-
3
2
=
a
2
+
2
ab
+
b
2
-
9；
（3）(
x
+
5
)
2
-
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
x
2
+
10
x
+
25
-
(
x
2
-
5
x
+
6
)
=
x
2
+
10
x
+
25
-
x
2
+
5
x
-
6
=
15
x
+
19．
四、习题
1、计算
（1）96
2
；
（2）(
a
-
b
-
3
)
(
a
-
b
+
3
)．
解：
（1）96
2
=(100-4)2
=
1002-2×100×4+42
=9216
；
（2）(
a-b
-3
)
(
a
-b+3
)=[(
a
–
b)
-
3
][
(
a
–
b)
+
3
]=(
a
–
b)2-32=a
2–2a
b
+b2-9．
五、拓展
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号.
2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
六、小结
完全平方公式的数学表达式：
和的完全平方公式：
差的完全平方公式：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。(共16张PPT)
初中数学北师大版七年级下册
第一章
整式的乘除
6
完全平方公式
导入
（x
＋
3)(
x＋3）
=x2
＋3x
＋3x
＋9
=x2
＋6x
多项式与多项式是如何相乘的？
＋9
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？
(
m
+
3
)2=
(
m
+
3
)
(
m
+
3
)
=
m
2
+
3m
+
3m
+
9
=
m
2
+
2×3m
+
9
=
m
2
+
6m
+
9，
(
2
+
3
x
)
2
=
(
2
+
3x
)
(
2
+3
x
)
=
22
+
2
×3
x
+2×3
x
+
9
x2=
4
+
2×2×3
x
+
9
x2
=
4
+
12
x
+
9
x2
．
新课
新课
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方
公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图
1
图2
思考:
新课
完全平方公式的数学表达式：
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
例1
利用完全平方公式计算：
（1）(
2
x
-
3
)
2
；
（2）(
4
x
+
5
y
)2
；
（3）(
mn
-
a
)
2
．
例题
解：（1）(2x-3)2
=
(2x)2-2·2x·3+32=4x2-12x+9；
（2）(4x+5y)2=
(4x)2+2·4x·5y+(5y)2=16x2+40xy+25y2；
（3）(
mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
例题
新课
怎样计算1022
，1972
更简单呢？
（1）1022
；
（2）1972
．
新课
解：（1）1022=(100+2)2
=
1002+2×100×2+22
=
10000+400+4
=10404；
（2）1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809．
例题
例2
计算：
（1）(
x
+
3
)
2
-
x
2
；
（2）(
a
+
b
+
3
)
(
a
+
b
-
3
)；
（3）(
x
+
5
)
2
-（x-2）(x-3）
例题
解：
（1）(
x
+
3
)2
-
x2
=
x2
+
6
x
+
9-
x2=
6x+
9；
（2）(
a
+
b
+
3
)
(
a
+
b
-
3
)
=
[
(
a
+
b
)
+
3
]
[
(
a
+
b
)
-
3
]
=
(
a
+
b
)2
-
32
=
a2
+
2
ab
+
b2
-
9；
（3）(
x
+
5
)2
-
(
x
-
2
)
(
x
-
3
)
=
x2
+
10
x
+
25
-
(
x
2
-
5
x
+
6
)
=
x2
+
10
x
+
25
-
x2
+
5
x
-
6
=
15
x
+
19．
习题
1、计算
（1）96
2
；
（2）(
a
-
b
-
3
)
(
a
-
b
+
3
)．
习题
解：（1）96
2
=(100-4)2
=
1002-2×100×4+42
=9216
；
（2）(
a-b
-3
)
(a-b+3
)
=[(
a–
b)
-
3
][
(
a
–
b)
+
3
]
=(
a
–
b)2-32
=a2–2a
b
+b2-9．
拓展
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a，b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式还可以是多项式，所以要记得添括号.
2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择.
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2=
a2
+2ab+b2
(a-b)2=
a2
-
2ab+b2
.
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
