1．3 直角三角形全等的判定
【学习目标】
1．已知斜边和直角边会作直角三角形．
2．熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等．
3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．
【学习重点】
“斜边，直角边公理”的掌握和灵活运用．
【学习难点】
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．判定两个三角形全等的方法有哪些？
解：SAS，AAS，ASA，SSS.
2．判定两个三角形全等需要三个条件，那么判定两个直角三角形全等需要哪几个条件呢？
除上述条件外，斜边，直角边对应的两个直角三角形全等．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P19探究，完成下列内容：图1－22中两个三角形全等的理由是：根据勾股定理，由直角三角形的两边相等，从而得出第三边也相等．利用SSS证明两个三角形全等．从而得出直角三角形全等的判定定理．
归纳：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等．
【合作探究】
1．如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则图中全等三角形对数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
,(第1题图)) ,(第2题图))
2．如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠DAC＝∠CBD；③OC＝OD.其中正确的有( A )
A．①②③
B．①②
C．②③
D．③
【自主探究】
阅读教材P20例1，完成下列内容：
如图，已知∠C＝∠D＝90°，若添加条件AD＝BC或BD＝AC，由“HL”可得△ABD≌△BAC；若添加条件∠DBA＝∠CAB或∠DAB＝∠CBA，由“AAS”可得△ABD≌△BAC.
【合作探究】
已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，BD，CE交于O点，且BD＝CE，求证：OB＝OC.
点拨：通过证三角形全等，达到证明线段和角相等的目的．
证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.∴在Rt△BCE和Rt△CBD中，∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，∴∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC.
【自主探究】
阅读教材P20例2，注意作法，完成下列内容：
下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是( B )
A．已知两条直角边 B．已知两个锐角
C．已知一条直角边和斜边
D．已知一个锐角和一条直角边
归纳：根据已知作图条件可以先画符合条件的草图，分析作图思路，再确定作图方法，最后一定要写结论．
【合作探究】
7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2
cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5
cm，则AE＝3cm.
交流展示 生成新知
INCLUDEPICTURE
"../../../交流预展.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
INCLUDEPICTURE
"../../../展示提升.TIF"
\
MERGEFORMAT
知识模块一 直角三角形全等的判定
知识模块二 “HL”定理的应用
知识模块三 作直角三角形
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________1.3直角三角形全等的判定
（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△
和△
。
（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或
或
或
。
（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=
度。
（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是
。
（5）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
）
A、一条直角边和一个锐角分别相等
B、两条直角边对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、斜边和一个锐角对应相等
（6）下列说法中，错误的是（
）
三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用
已知两个锐角不能确定一个直角三角形
已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形
D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形
7、如图（1），在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。
8、如图（2），AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。
请你说明∠DEC=90°的理由。
9、如图（3），AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。请你说明（1）∠DAE=∠BCF；（2）AB∥CD成立的理由。
10.
如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。请回答下列问题：（1）BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
H
图3
A
B
C
E
F
P
图4
A
B
C
D
O
图1
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G1.3
直角三角形全等的判定
一．教学目标：
掌握两个直角三角形全等的条件（HL）．
二．教学重点：直角三角形全等的判定的方法“HL”.的灵活运用。
三．教学方法：自主学习，合作探究，师徒结对，兵教兵
四．复习引入
判定两个直角三角形全等已经有哪些方法？
五．自学指导
1）:
看书：教材P19~
P20的内容，认真领会例1，例2，
6分钟后回答下列问题。
2）:
解答下列问题：
①斜边、直角边定理：
边和一条
边对应相等的两个直角三角形全等。简记为
或
。
②注意运用HL证明两个直角三角形全等的书写格式。
六、自学检测题：
（一）基础检测
P20
1,
2,
（1）如图1，已知AB⊥AC，AC⊥CD，垂足分别是A，C，AD=BC。由此可判定全等的两个三角形是△
和△
。
（2）如图2，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC=BE，要使Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A=∠D或
或
或
。
（3）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD与BE相交于H，且BH=AC，DH=DC，那么∠ABC=
度。
（4）如图4，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是
。
（二）
一展身手
（1）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（
）
A、一条直角边和一个锐角分别相等
B、两条直角边对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等
D、斜边和一个锐角对应相等
（2）下列说法中，错误的是（
）
三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用
已知两个锐角不能确定一个直角三角形
已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形
D、已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形
3、如图（1），在△ABC中，AB=AC，AD⊥BD，AE⊥CE，且AD=AE，BD和CE交于点O，请说明OB=OC的理由。
4、如图（2），AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，∠1=∠2，AE=BC。
请你说明∠DEC=90°的理由。
5、如图（3），AD=BC，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF。请你说明（1）∠DAE=∠BCF；（2）AB∥CD成立的理由。
（三）
挑战自我
如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD。请回答下列问题：（1）BD平分EF；（2）若将DEC的边EC沿AC方向移动变为图2时其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。
七、课堂小结
<1>“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法。
<2>
应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件
八．课堂作业
必做题：教材P21
A组
1.
2、
选做题：1.P21
B组
6
思考题：P21
B组
5
九．教学反思
A
B
C
D
E
图2
A
B
C
D
E
H
图3
A
B
C
E
F
P
图4
A
B
C
D
O
图1
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
1
2
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G(共14张PPT)
义务教育教科书（湘教）八年级数学下册
第1章
1、如图:(1)
△ABC≌△DEF，指出它们的对应顶点、对应角、对应边。
A
D
B
E
C
F
2、我们已经学过判定全等三角形的方法有哪些？
AB——DE
AC——DF
BC——EF
∠A——∠D
∠B——∠DEF
∠ACB——∠F
（SSS）、（SAS）、（ASA）、（AAS）
思考题：在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中，已知AB=A’B’，AC=A’C’，∠ACB=
∠A’C’B’=90°，那么
Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？
A
B
C
A’
B’
C’
（A’）
（C’）
（B’）
思考题：在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中，已知AB=A’B’，AC=A’C’，∠ACB=
∠A’C’B’=90°，那么
Rt△ABC和Rt△A’B’C’全等吗？
你能把这两个三角形通过平移、旋转或轴反射等变换拼接成一个等腰三角形吗？
从上面（1）的操作中，你能猜测这两个直角三角形全等吗？
请用推理的方法说明你猜想的正确性。
你能用语言概括上面发现的结论吗？
A
B
C
A’
B’
C’
（A’）
（C’）
（B’）
思考题：在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中，AB=A’B’，AC=A’C’，∠ACB=
∠A’C’B’=90°
解：（1）可以通过旋转和平移拼接成一个等腰三角形
（2）这两个三角形全等
（3）因为∠ACB=90°
∠ACB=
∠A’C’B’=90°
所以∠BCB’=
∠ACB+
∠ACB’=180
°
故B，C（C’），B’在同一直线上
因为AB=A’B’=AB’
所以∠B
=∠B’（等边对等角）
在Rt?ABC和Rt?A’B’C’中
由于∠ACB=
∠A’C’B’
∠B
=∠B’
AB=A’B’
所以Rt?ABC≌Rt?A’B’C’（AAS）
B’
A（A’）
C（C’）
C（C’）
B
规律：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
练一练：
1：如图，AC⊥BC，
BD⊥AD，
AC﹦BD，求证：BC﹦AD
A
B
C
D
例1
如图，BD、CE分别是△ABC的高，且BE=CD。求证：
Rt△BEC≌Rt△DCB。
A
B
C
D
E
证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BEC=∠CDB=90°
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵BC=CB
BE=CD
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)
例2
已知一直角边和斜边，求作直角三角形。
a
c
已知：线段a,c(c＞a)
求作：Rt△ABC,使AB=c，BC=a
作法：（1）作∠MCN=90°。
（2）在CN上截取CB，使CB=a.
(3)以点B为圆心，以c为半径画弧，交CM于点A，连接AB。
则△ABC为所求作的直角三角形、
A
B
C
M
N
A
F
C
E
D
B
1、如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF
求证：BF=DE
G
A
F
C
E
D
B
2、如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF，想一想：BD平分EF吗?
G
3、
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
D
A
B
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
AB=AB,
AC=AD.
∴
Rt△ACB≌Rt△ADB
(HL).
∴BC=BD
(全等三角形对应边相等).
4、
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解：BD=CD
因为∠ADB=∠ADC=90°
所以在Rt△ABD和Rt△ACD中
AB=AC
AD=AD
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
所以BD=CD
直角三角形全等的判定
一般三角形全等的判定
“S.A.S”
“
A.S.A
”
“
A.A.S
”
“
S.S.S
”
“
S.A.S
”
“
A.S.A
”
“
A.A.S
”
“
H.L
”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
人生的价值，并不是用时间，而是用深度去衡量的。
——列夫·托尔斯泰
