1.4
角平分线的性质
（1）
1.
如图（1）所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．
2.
如图（2）所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．
3.
如图（3）所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．
4.
如图（4）所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．
5.
如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．
（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．
6.如图（1），
PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，PB=PC，
D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。
7.如图（2），在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是EF，
且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。1．4 角平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
【学习目标】
1．探究并理解角平分线的性质．
2．灵活运用角平分线的性质解决有关问题．
【学习重点】
角平分线的性质．
【学习难点】
灵活运用角平分线的性质解决问题．
学习笔记：情景导入 生成问题
旧知回顾：
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成相等的两个角．角的平分线有什么性质呢？这节课我们来研究角平分线的性质？
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P22探究，完成下列内容：
(1)动手量一量1－26中，PD，PE，你发现PE＝PD.
(2)你能证明吗？(证明过程略)
归纳：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【合作探究】
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，DE，DF分别垂直于AB，AC，垂足为E，F，求证：EB＝FC.
证明：∵AD是∠BAC的平分线，且DE，DF分别垂直于AB，AC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中．∵DE＝DF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴EB＝FC.
【自主探究】
阅读教材P23动脑筋，完成下列内容：
(1)到三角形三条边距离相等的点是三角形的三内角平分线的交点．
(2)如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝60°．
【合作探究】
已知：如图所示，BF与CE相交于点D，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E.求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF，∴点D在∠BAC的平分线上．
【自主探究】
阅读教材P23例1，完成下列内容：
如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别是20，40，30，其三条角平分线的交点为O，则S△AOB∶S△AOC∶S△BOC＝2∶4∶3．
点拨：三角形面积公式S＝ah.
【合作探究】
如图，在△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB＝10
cm，AC＝8
cm，△ABC的面积是45
cm2，求DE的长．
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF(角平分线的性质)．又∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，∴45＝AB·DE＋AC·DF，即45＝×10·DE＋×8·DE，∴DE＝5
cm.
交流展示 生成新知
INCLUDEPICTURE
"../../../交流预展.TIF"
\
MERGEFORMAT
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
INCLUDEPICTURE
"../../../展示提升.TIF"
\
MERGEFORMAT
知识模块一 角平分线的性质
知识模块二 角平分线的性质定理的逆定理
知识模块三 角平分线性质的应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________1.4
角平分线的性质
（1）
一．教学目标：
1）掌握角平分线的性质定理
2）掌握角平分线的性质定理的逆定理
二．教学重点：角平分线的性质定理和逆定理的运用。
三．教学方法：自主学习，合作探究，师徒结对，兵教兵
四．复习引入
判定两个直角三角形全等共有哪些方法？
五．自学指导
1）:
看书：教材P22~
P24的内容，认真领会例1，
6分钟后回答下列问题。
2）:
解答下列问题：
①角的平分线上的点到
相等。
②到
相等的点在角平分上。
符号语言：（1）
∵∠AOC=∠BOC,
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）
∴
PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
符号语言：（2）
∵PD⊥OA，PE⊥OB，且
PD=PE（已知）
∴∠AOC=∠BOC,（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）
六、自学检测题：
（一）基础检测
1.
如图（1）所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．
2.
如图（2）所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．
3.
如图（3）所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．
4.
如图（4）所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C在__________．
5.
如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．
（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．
（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．
P24
1,
2,
（二）
一展身手
1.如图（1），
PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，PB=PC，
D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。
2.如图（2），在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是EF，
且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
（三）
挑战自我
已知，如图（3），
∠B=∠C=
900
，M是BC的中点，DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB。
七、课堂小结
应用定理和逆定理所具备的前提条件是：有垂直距离。
八．课堂作业
必做题：教材P26
A组
2.
3
选做题：1.P26
B组
4
思考题：P26
B组
5
九．教学反思
B
P
O
A
C
E
D(共18张PPT)
义务教育教科书（湘教）八年级数学下册
第1章
1、角平分线的概念
一条射线
把一个角
分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
o
B
C
A
1
2
如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线，你知道为什么吗？
D
·
·
·
·
C
B
A
E
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两全个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片
，看看折痕与这个角有何关系？
对折
２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.大于
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３.画射线OC．
射线ＯＣ即为所求．
A
Ｂ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
为什么OC是角平分线呢？
Ｏ
想一想：
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴
△OMC≌
△ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
证明：∵OC平分∠
AOB
（已知）
∴
∠1=
∠2（角平分线的定义）
∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB（已知）
∴
∠PDO=
∠PEO（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO=
∠PEO（已证）
∠1=
∠2
（已证）
OP=OP
（公共边）
∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
P
A
O
B
C
E
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，
PE⊥OB于点E
求证:
PD=PE
(3)验证猜想
角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵
∠1=
∠2
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明:
∵
QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
∴
∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO＝QO（公共边）
QD=QE
∴
Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）
∴
∠
QOD＝∠QOE
∴点Q在∠AOB的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，
点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
例1
如图，
∠
BAD=∠BCD=90
°，
∠1=
∠2.
（1）求证：点B在
∠ABC的平分线上。
（2）求证：BD是
∠ABC的角平分线。
证明（1）在△ABC中，
∵
∠
1=∠2
∴BA=BC
又BA
⊥AD，BC
⊥CD
∴点B在∠ABC的平分线上。
（2）在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵BA=BC，BD=BD
∴Rt△BAD≌Rt△BCD
∴
∠ABD=∠CBD
∴BD是∠ABC的平分线。
A
B
C
D
1
2
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
，
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD
⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
3.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺
1：20
000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
4、在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
E
D
C
B
A
观察可能导致发现,观察将揭示某种规则、模式或
规律。
——波利亚
