1.4
角平分线的性质（2）
一．教学目标：
角平分线的性质与逆定理的灵活运用。
二．教学重点：角平分线的性质与逆定理的灵活运用。
三．教学方法：自主学习，合作探究，师徒结对，兵教兵
四．复习引入
角平分线的性质定理与逆定理
五．自学指导
1）:
看书：教材P24~
P25的内容，认真领会例2，和两个动脑筋，
6分钟后回答下列问题。
2）:
解答下列问题：
①注意性质定理与逆定理的区别；
②由P25的动脑筋，可知：三角形的三条角平分线相交于
点，并且这点到
边的距离相等。
六、自学检测题：
（一）基础检测
1.
到三角形三边距离相等的点是（
）
A.
三条高的交点
B.
三条中线的交点
C.
三条角平分线的交点
D.
不能确定2.
如图（1）所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（
）A.4cm
B.6cm
C.10cm
D.
以上都不对
3.
如图（2）所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（
）
A.
一处
B.
二处
C.
三处
D.
四处
（二）
一展身手
1.已知：如图（3），点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF
2.如图（4），
△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
（2）点P在∠A的平分线上。
（三）
挑战自我
如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？
七、课堂小结
八．课堂作业
必做题：教材P21
B组
4、
5
选做题：18.
如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，
AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
思考题
九．教学反思1.4
角平分线的性质（2）
1.
到三角形三边距离相等的点是（
）
A.
三条高的交点
B.
三条中线的交点
C.
三条角平分线的交点
D.
不能确定
2.
如图（1）所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（
）
A.4cm
B.6cm
C.10cm
D.
以上都不对
3.
如图（2）所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（
）
A.
一处
B.
二处
C.
三处
D.
四处
4.已知：如图（3），点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，
PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。
求证：PE=PF
5.如图（4），
△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
（2）点P在∠A的平分线上。
6.如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？(共11张PPT)
义务教育教科书（湘教）八年级数学下册
第1章
1、会用尺规作角的平分线.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
2、角的平分线的性质定理:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD＝PE
用数学语言表述：
角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
用数学语言表示为：
如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，需添加一个什么条件，就可使CM、AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
A
B
C
D
E
F
M
N
分析：可以添加MN=ME（或MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
同理可得AM是∠CAB的平分线。
例2，
如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。试探索BE+PF与PB的大小关系。
解：∵AP是∠DAC的平分线
又PE⊥DB，PF⊥AC
∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
∴BE+PF＞PB。
A
B
C
D
E
F
P
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的
如图,
△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
A
B
C
E
F
D
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
A
A
A
A
A
A
A
D
N
E
B
F
M
C
A
新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。
——
华罗庚第2课时 角平分线性质的应用
【学习目标】
1．在掌握角的平分线的性质的基础上能应用角平分线的性质解决一些简单实际问题．
2．培养概括能力，学会理性思维，从而提高解决问题的能力．
【学习重点】
角平分线性质的应用．
【学习难点】
灵活应用角平分线的性质解决问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成的角平分线上有一个点P，要从P点建两条公路，分别通到公路，铁路上，怎样修建路最短？这两条新建公路有什么关系？画出来看一看．
(答案如图过点P作OA，OB的垂线段PM，PN，则PM，PN最短且PM＝PN)
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P24动脑筋：
思考：为什么要添加MN＝ME(或MN＝NF)
解：到角两边距离相等的点在角平分线上．
【合作探究】
已知，如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF.
证明：连接AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠EAF.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
【自主探究】
阅读教材P25例2，完成下列内容：
除了题中结论“BE＋PF>PB”外，你能写出线段BE，PF，PB三者之间关系的其他正确结论吗？
解：PF2＋BE2＝BP2.
【合作探究】
如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P.点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等吗？为什么？
解：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等，理由如下：过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M，N，Q.∵BD是∠ABC的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥BC，∴PM＝PN.∵CE是∠ACB的外角平分线，PN⊥BC，PQ⊥AC，∴PN＝PQ，∴PM＝PN＝PQ.
【自主探究】
阅读教材P25动脑筋，完成下列内容：
如图所示，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边AB，BC，CA的距离OE＝OD＝OF，若∠A＝70°，则∠BOC＝125°．
点拨：到三角形三边距离相等的点在三角形角平分线上．
【合作探究】
已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠DAB？请证明你的结论；
(2)线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
点拨：角平分线定理中常见的辅助线作法是作垂线段．
解：(1)AM平分∠DAB.证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E.∵DM平分∠ADC，∴∠1＝∠2.∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME＝MC.又∵MC＝MB，∴ME＝MB.∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠DAB；(2)AM⊥DM.∵∠B＝∠C＝90°∴DC⊥CB，AB⊥CB.∴CD∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°.又∵∠1＝∠CDA，∠3＝∠DAB，∴2∠1＋2∠3＝180°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
交流展示 生成新知
INCLUDEPICTURE
"../../../交流预展.TIF"
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MERGEFORMAT
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到小黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互解疑．
2．各小组由小组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
INCLUDEPICTURE
"../../../展示提升.TIF"
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MERGEFORMAT
知识模块一 角平分线性质的应用
知识模块二 利用角平分线的性质比较线段的大小关系
知识模块三 角平分线性质的综合应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
