黑龙江省哈尔滨市香坊区2016-2017学年九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷
　
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（1，﹣2）
B．（1，2）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，﹣1）
2．反比例函数y=﹣的图象经过（　　）象限．
A．一、二
B．一、三
C．二、三
D．二、四
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A．y=（x+3）2﹣1
B．y=（x+3）2+3
C．y=（x﹣3）2﹣1
D．y=（x﹣3）2+3
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50°
B．80°
C．100°
D．130°
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
8．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．下列说法中正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆心角是圆周角的2倍
C．三角形的外心到三角形各边的距离相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
　
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．函数中，自变量x的取值范围是　　．
12．抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为　　．
13．如图，反比例函数图象上一点A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=3，则反比例函数解析式为　　．
14．如图，在半径为10的⊙O中，垂直平分半径的弦AB的长为　　．
15．在半径为6cm的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是　　cm2．
16．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是　　．
17．如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE=4，EC=2，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则FC的长为　　．
18．如图，P是⊙O的直线AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠PQC=　　°．
19．不论m取任何实数，抛物线y=（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是　　．
20．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为　　．
　
三、解答题（共中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）
（1）把△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B1C1；
（2）如果网格中小正方形的边长为1，求点B旋转到B1所经过的弧形路径长．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=的图象经过点C（3，m）．
（1）求菱形OABC的周长；
（2）求点B的坐标．
23．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
24．如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．
（1）求证：AE=DB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
25．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，每月销售数量y（件）与售出价格x（元/件）满足关系y=﹣30x+90．
（1）若某月卖出该日用品210件，求商品售出价格为每件多少元？
（2）为了获得最大的利润，商品售出价格应定为每件多少元？此时的最大利润是多少元？
26．如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．
（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4，OD=7，求BF的长．
27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3经过点B，对称轴为直线x=1．
（1）求a和b的值；
（2）点P是直线BC上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）P为抛物线上的一点，连接AC，当∠BCP=∠ACO时，求点P的坐标．
　
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市香坊区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．平面直角坐标系内与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（1，﹣2）
B．（1，2）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，﹣1）
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：与点P（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2）．
故选A．
　
2．反比例函数y=﹣的图象经过（　　）象限．
A．一、二
B．一、三
C．二、三
D．二、四
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数y=﹣中的﹣3的符号来判定该函数所经过的象限．
【解答】解：∵﹣3＜0，
∴反比例函数y=﹣的图象经过第二、四象限；
故选D．
　
3．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
　
4．在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式．
【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
【解答】解：从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是=．
故选：B．
　
5．把抛物线y=x2+1向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（　　）
A．y=（x+3）2﹣1
B．y=（x+3）2+3
C．y=（x﹣3）2﹣1
D．y=（x﹣3）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】易得原抛物线的顶点及平移后抛物线的顶点，根据平移不改变抛物线的二次项系数可得新的抛物线解析式．
【解答】解：由题意得原抛物线的顶点为（0，1），
∴平移后抛物线的顶点为（3，﹣1），
∴新抛物线解析式为y=（x﹣3）2﹣1，
故选：C．
　
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　）
A．50°
B．80°
C．100°
D．130°
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．
【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可．
【解答】解：∵∠BOD=100°，
∴∠BAD=100°÷2=50°，
∴∠BCD=180°﹣∠BAD
=180°﹣50°
=130°
故选：D．
　
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．150°
【考点】旋转的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°，根据旋转的性质可得AC=A′C，然后判断出△A′AC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ACA′=60°，然后根据旋转角的定义解答即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°﹣30°=60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，
∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴旋转角为60°．
故选：B．
　
8．函数y=ax2﹣2x+1和y=ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；
C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；
D、由一次函数y=ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=﹣＜0，故选项错误．故选C．
　
9．下列说法中正确的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆心角是圆周角的2倍
C．三角形的外心到三角形各边的距离相等
D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
【考点】切线的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】根据切线的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理进行解答．
【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以错误；
B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，所以错误；
C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以错误；
D、从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是正确的．
故选D．
　
10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为x=可得出b=﹣a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b=﹣a可得出a+b=0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（﹣，），由此可得出=1，去分母后即可得出4ac﹣b2=4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x=1与x=0时y值相等，由此可得出a+b+c=c＞0，④错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x=﹣=，
∴b=﹣a＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②∵b=﹣a，
∴a+b=0，②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为（，1），
∴=1，
∴4ac﹣b2=4a，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=，
∴x=1与x=0时y值相等，
∵当x=0时，y=c＞0，
∴当x=1时，y=a+b+c＞0，④错误．
综上所述：正确的结论为①②③．
故选C．
　
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．函数中，自变量x的取值范围是　x≠﹣1　．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解得答案．
【解答】解：根据题意得x+1≠0，
解得x≠﹣1；
故答案为x≠﹣1．
　
12．抛物线的y=（x﹣3）2﹣2的最小值为　﹣2　．
【考点】二次函数的最值．
【分析】要求二次函数的最值，将二次函数化为顶点式后，确定顶点式中的k值为3就是抛物线的最小值．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标是：（3，﹣2），
∴抛物线的最值为：﹣2
故答案为：﹣2．
　
13．如图，反比例函数图象上一点A，过A作AB⊥x轴于B，若S△AOB=3，则反比例函数解析式为　y=　．
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|．
【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则S△AOB=|k|=3；
又由于函数图象位于一、三象限，则k=6．
所以反比例函数的解析式为：y=．
　
14．如图，在半径为10的⊙O中，垂直平分半径的弦AB的长为　　．
【考点】垂径定理；线段垂直平分线的性质．
【分析】先连接AO，再求得OD=5，最后在Rt△AOD中，运用勾股定理求得AD即可．
【解答】解：连接AO，
∵AB垂直平分OC，OC=10=AO，
∴OD=5，
∴Rt△AOD中，AD==5，
∴AB=2AD=10．
故答案为：
　
15．在半径为6cm的圆中，圆心角为120°的扇形的面积是　12π　cm2．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】将所给数据直接代入扇形面积公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：由题意得，n=120°，R=6cm，
故圆心角为120°的扇形的面积==12π（cm2）．
故答案为12π．
　
16．一个不透明的袋中只装有1个红球和2个蓝球，它们除颜色外其余均相同．现随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是　　．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的有4种情况，
∴随机从袋中摸出两个球，颜色是一红一蓝的概率是：
=．
故答案为：．
　
17．如图，正方形ABCD中，点E在DC边上，DE=4，EC=2，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则FC的长为　2或10　．
【考点】旋转的性质；正方形的性质．
【分析】分两种情况进行讨论，①当线段AE顺时针旋转时，利用题干条件得到△ADE≌△ABF1，进而得到FC=EC；②当线段AE逆时针旋转时，利用题干条件得到△ABF2≌△ADE，进而得到F2C=F2B+BC．
【解答】解：
①当线段AD顺时针旋转得到F1点，
在△ADE和△ABF1中，，
∴△ADE≌△ABF1，
∴DE=BF1=4，
∴EC=F1C=2；
②逆时针旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，
∴F2B=DE=4，
F2C=F2B+BC=10，
故答案为2或10．
　
18．如图，P是⊙O的直线AB的延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，∠APC的角平分线交AC于点Q，则∠PQC=　45　°．
【考点】切线的性质．
【分析】首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得∠PCB=∠A，又由AB为直径，即可得∠ACB=90°，然后由PQ平分∠APC与三角形外角的性质（∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC），即可证得∠CQP=CEQ，则可求得∠PQC的度数．
【解答】解：解：连接BC交PQ于E，
∵PC与圆D相切于点C，
∴∠PCB=∠A，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵PQ平分∠APC，
∴∠APQ=∠QPC，
∵∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC，
∴∠CQP=∠CEQ==45°．
故答案为45
　
19．不论m取任何实数，抛物线y=（x﹣m）2+m﹣1（x为自变量）的顶点都在一条直线上，则这条直线的函数解析式是　y=x﹣1　．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】根据抛物线的顶点式可得顶点坐标，即，①﹣②得：x﹣y=1，可知答案．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2+m﹣1的顶点坐标为（m，m﹣1），
即，
①﹣②，得：x﹣y=1，即y=x﹣1，
故答案为：y=x﹣1．
　
20．如图，△ABC是边长为5的等边三角形，△BDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的∠MDN，点M、N分别在AB、AC上，连接MN，则△AMN的周长为　5　．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定．
【分析】作辅助线，构建30°角的直角三角形，证明Rt△BDQ≌Rt△CDP得DQ=DP，再证明Rt△DQM≌Rt△DPK和△MDN≌△KDN，得MN=KN和QM=PK，利用三角形的周长公式代入可得结果．
【解答】解：延长CD、BD，分别交AB于Q，交AC于P，在AC上取一点K，使KP=QM，连接DK，
∵△BDC是顶角为120°的等腰三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB=30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BPC=∠CQB=90°，
∴PC=BC，BQ=BC，
∴PC=BQ=AQ=AP=×5=，
在Rt△BDQ和Rt△CDP中，
∵，
∴Rt△BDQ≌Rt△CDP（HL），
∴DQ=PD，
同理得Rt△DQM≌Rt△DPK，
∴DM=DK，∠QDM=∠PDK，
∵∠BDQ=60°，∠MDN=60°，
∴∠QDM+∠NDP=60°，
∴∠PDK+∠NDP=60°，
即∠NDK=60°，
∴∠NDK=∠MDN=60°，
∵ND=ND，
∴△MDN≌△KDN，
∴MN=NK=NP+PK，
∴△AMN的周长=AM+AN+MN=AM+AN+NP+PK=AM+AN+NP+QM=AP+AQ=+=5，
故答案为：5．
　
三、解答题（共中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分）
21．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）
（1）把△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B1C1；
（2）如果网格中小正方形的边长为1，求点B旋转到B1所经过的弧形路径长．
【考点】作图-旋转变换；轨迹．
【分析】（1）分别画出A、B、C三点顺时针旋转90°后的对应点即可．
（2）根据弧长公式l=，计算即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示，
（2）∵OB==，
∴点B旋转到B1所经过的弧形路径长==π．
　
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=的图象经过点C（3，m）．
（1）求菱形OABC的周长；
（2）求点B的坐标．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据勾股定理，可得OC的长，根据菱形的周长，可得答案；
（2）根据菱形的性质，可得BC与OA的关系，BE与CD的关系，根据线段的和差，可得OE的长，可得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（3，m），
∴m=4．
作CD⊥x轴于点D，如图，
由勾股定理，得OC==5．
∴菱形OABC的周长是20；
（2）作BE⊥x轴于点E，如图2，
∵BC=OA=5，OD=3，
∴OE=8．
又∵BC∥OA，
∴BE=CD=4，
∴B（8，4）．
　
23．A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．
（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；
（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）根据概率的定义列式即可；
（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．
【解答】解：（1）P=；
（2）由题意画出树状图如下：
一共有6种情况，
甲获胜的情况有4种，P==，
乙获胜的情况有2种，P==，
所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
　
24．如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．
（1）求证：AE=DB；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）利用旋转的性质得AC=BC，∠BCA=60°，则可判断△ABC为等边三角形，过点E做EG∥AC交BC于点G，如图，则△EBG为等边三角形，所以EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，则∠EBD=∠EGC=120°，接下来证明△BDE≌△GCE得到BD=GC，然后利用等线段代换可得到AE=DB；
（2）利用BD=AE，BE=BC=CE=EF等线段代换易得四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．
【解答】解：（1）∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，
过点E做EG∥AC交BC于点G，如图，
∴△EBG为等边三角形，
∴EG=BE=BG，∠EBG=∠EGB=60°，
∴∠EBD=∠EGC=120°，
∵ED=EC
∴∠D=∠ECD，
在△BDE和△GCE中
，
∴△BDE≌△GCE，
∴BD=GC，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴AB﹣BE=BC﹣BG，
∴AE=CG，
∴AE=DB；
（2）AE+BE=AB；BD+BE=AB；AE+AF=AB；BD+AF=AB．
　
25．某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，经调查发现，每月销售数量y（件）与售出价格x（元/件）满足关系y=﹣30x+90．
（1）若某月卖出该日用品210件，求商品售出价格为每件多少元？
（2）为了获得最大的利润，商品售出价格应定为每件多少元？此时的最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）将y=210代入解析式，求得x的值即可；
（2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，再配方成顶点式结合二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵某月卖出该日用品210件
∴210=﹣30x+960，
∴x=25，
∴商品售出价格为每件25元．
（2）设利润为W元
W=（x﹣16）（﹣30x+960），
=30（﹣x+32）（x﹣16）
=30（﹣x2+48x﹣512）
=﹣30（x﹣24）2+1920，
∵a=﹣30＜0，
∴当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
∴为了获得最大的利润，商品售出价格应定为每件24元．
　
26．如图，四边形ACBE内接于⊙O，AB平分∠CAE，CD⊥AB交AB、AE分别于点H、D．
（1）如图①，求证：BD=BE；
（2）如图②，若F是弧AC的中点，连接BF，交CD于点M，∠CMF=2∠CBF，连接FO、OC，求∠FOC的度数；
（3）在（2）的条件下，连接OD，若BC=4，OD=7，求BF的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）如图1，连接半径OB、OC、OE，由角平分线得：∠CAB=∠BAE，在同圆或等圆中，圆周角相等，则所对的圆心角也相等，得∠COB=∠BOE，所以所对的弦相等：BC=BE，证明△ACH≌△ADH，AB为线段CD的垂直平分线，得BC=BD，则BD=BE；
（2）由弧相等，所对的圆周角相等得：∠CBF=∠ABF，由已知中的∠CMF=2∠CBF，得∠BMH=2∠ABF，求得∠CBF=30°，所以∠FOC=2∠CBF=60°；
（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，由（2）中的30°和BC=4分别求出：BH=，CH=6，BM=4
HM=2，再证明△OMC≌△OMB，得∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，由DM=8可以求MK和DK的长，由勾股定理列式求OK=1，OM=5，求出BN的长，利用垂径定理可得结论：BF=2BN=13．
【解答】解：（1）如图1，连接OB、OC、OE，
∵AB平分∠CAE，
∴∠CAB=∠BAE，
∴∠COB=∠BOE，
∴BC=BE，
∵CD⊥AB，
∴∠CHA=∠DHA=90°，
∵∠CAB=∠BAE，AH=AH，
∴△ACH≌△ADH，
∴CH=DH，
∴AB为线段CD的垂直平分线，
∴BC=BD，
∴BD=BE；
（2）∵F是弧AC的中点，
∴，
∴∠CBF=∠ABF，
∵∠CMF=2∠CBF，
∴∠CMF=2∠ABF，
∵CD⊥AB，∠CMF=∠BMH，
∴∠BMH+∠ABF=90°，
∴∠ABF=30°，
∴∠CBF=30°，
∵∠FOC=2∠CBF，
∴∠FOC=60°；
（3）如图3，连接OM，OB，作ON⊥BF于N，DK⊥OM于K，
由（2）可知：∠CBF=∠ABF=∠BCH=30°，
∴CM=BM，
在Rt△CBH中，∠BCH=30°，BC=，
∴BH=，CH=6，
在Rt△BHM中，∠MBH=30°，BH=，
∴BM=4
HM=2，
∴CM=BM=4，
∵OC=OB，OM=OM，
∴△OMC≌△OMB，
∴∠CMO=∠BMO=120°，∠OMF=∠OMD=60°，
∵CH=DH=6，
∴DM=8，
在Rt△DMK中，∠KMD=60°，DM=8，
∴MK=4，DK=，
在Rt△OKD中，
OD2=OK2+DK2，
∵OD=7，DK=，
∴OK=1，
∴OM=5，
在Rt△OMN中，∠OMN=60°，OM=5，
MN=OM=，
∴BN=BM+MN=，
∵ON⊥BF，
∴BF=2BN=13．
　
27．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3经过点B，对称轴为直线x=1．
（1）求a和b的值；
（2）点P是直线BC上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）P为抛物线上的一点，连接AC，当∠BCP=∠ACO时，求点P的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由直线解析式可求得B、C两点坐标，结合对称轴，可求得a、b；
（2）过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，可用t表示出PD的长，则可示得S与t的关系式；
（3）当点P在x轴下方时，过点A作AH⊥CP1，利用面积相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K点的坐标，则可求得直线CK解析式，结合P1在抛物线上可求得其坐标；当点P在x轴上方时，过点B作BM∥y轴，交CP2延长线于点M，可证明△CBK≌△CBM，则可求得M点坐标，可求得直线CM解析式，同理可求得P2点的坐标，则可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∴9a+3b+3=0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴，
∴a=﹣1，b=2；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，
∵P（t，﹣t2+2t+3），
∴D（t，﹣t+3），
∵点P是直线BC上方，
∴PD=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S△PBC=S△PCD+S△PBD=PD CF+PD BE=PD OB=×3（﹣t2+3t）=﹣t2+t（0＜t＜3）；
（3）①如图2，当∠BCP1=∠ACO时，过点A作AH⊥CP1，
∵OA=1，OC=3，
∴AC=，
∵∠BCP1=∠ACO，
∴∠ACH=45°，
∴AH=，
∵S△ACK=AK OC=CK AH，
∴==，
设AK=，CK=3m，OK=m﹣1，
在Rt△COK中，OC2+OK2=CK2
∴32+（m﹣1）2=（3m）2，解得m=，
∴K（，0），
∴直线CK解析式为y=﹣2x+3，
∴P1（n，﹣2n+3）
∵P1在抛物线y=﹣x2+2x+3上，
∴P1（4，﹣5）；
②如图2，∠BCP2=∠ACO时，过点B作BM∥y轴，交CP2延长线于点M，
在△CBK和△CBM中
∴△CBK≌△CBM（ASA），
∴BK=BM=，
∴M（3，），
∴直线CM的解析式为y=﹣x+3，
∴P2（m，﹣
m+3）
∵P2在抛物线上，
∴P2（，），
∴P点坐标为（4，﹣5）或（，）．
　
2017年2月5日