江西省省级联考2017届高三（上）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年江西省省级联考高三（上）第二次联考数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈N|ex＜9}，其中e为自然对数的底数，e≈2.718281828，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩（ RB）的真子集个数为（　　）
A．3
B．4
C．7
D．0
2．已知命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（　　）
A．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
B．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
C．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
D．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
3．已知等差数列{an}的前7项和为14，则=（　　）
A．e2
B．e4
C．e8
D．e16
4．已知正实数x，y满足xy=1，若81x2+y2≥m恒成立，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，9]
B．（﹣∞，18]
C．[9，+∞）
D．[18，+∞）
5．已知命题p：函数在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
6．已知函数f（x）=e2﹣x+x，x∈[1，3]，则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的最大值为
B．函数f（x）的最小值为
C．函数f（x）的最大值为3
D．函数f（x）的最小值为3
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以1为首项的等比数列
B．数列{an}的通项公式为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等比数列，且公比为
8．已知命题p：函数的图象关于（0，3）中心对称；命题q：已知函数g（x）=msinx+ncosx（m，n∈R）满足，则；
则下列命题是真命题的为（　　）
A．（￢p）∧q
B．p∧q
C．p∨（￢q）
D．（￢p）∧（￢q）
9．在△ABC中，，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A．
B．
C．2π
D．
10．已知点（x，y）满足，则的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣4，4）
D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
12．在△ABC中，，则有如下说法：①AB=1；②△ABC面积的最大值为；③当△ABC面积取到的最大值时，；则上述说法正确的个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．　　．
14．已知向量，若向量与共线，且m+n=1，则，
=　　．
15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　　．
16．已知 a∈[1，2）， x0∈（0，1]，使得，则实数m的取值范围为　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．
19．已知命题；命题q：函数f（x）=x2﹣mx+3在（﹣1，1）上仅有1个零点．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
20．在△ABC中，sin2B=sinAsinC．
（1）若，，成等差数列，求cosB的值；
（2）若=4，求△ABC面积的最大值．
21．已知函数．
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的大致图象；
（2）将函数f（x）的图象向下平移一个单位得到函数g（x）的图象，点A是函数g（x）图象的上一点，B（4，﹣2），求|AB|的最小值．
22．已知函数．
（1）当p=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当p＞1时，求证：．
　
2016-2017学年江西省省级联考高三（上）第二次联考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈N|ex＜9}，其中e为自然对数的底数，e≈2.718281828，集合B={x|x（x﹣2）＜0}，则A∩（ RB）的真子集个数为（　　）
A．3
B．4
C．7
D．0
【考点】子集与真子集．
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．
【解答】解：集合A={x∈N|ex＜9}={0，1，2}，
∵B═{x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，
∴ RB={x|x≤0或x≥2}，
∴A∩（ RB）={0，2}，
∴A∩（ RB）的真子集个数为是；22﹣1=3．
故选：A．
　
2．已知命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，则命题p的真假以及命题p的否定分别为（　　）
A．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
B．真；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
C．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4＞0
D．假；￢p： x＜0，﹣x2+x﹣4≥0
【考点】命题的否定．
【分析】“全称命题”的否定是“特称命题”．根据全称命题的否定写出即可．
【解答】解：命题p： x＜0，﹣x2+x﹣4＜0，由于△=1﹣4＜0，故为真命题，
命题“ x∈R，﹣x2+x﹣4＜0”是全称命题，其否定是： x∈R，﹣x2+x﹣4≥0．
故选：B
　
3．已知等差数列{an}的前7项和为14，则=（　　）
A．e2
B．e4
C．e8
D．e16
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列{an}的前7项和为14，得a1+a7=4，从而利用等差数列通项公式得a2+a3+a5+a6=2（a1+a7）=8，由此能求出的值．
【解答】解：∵等差数列{an}的前7项和为14，
∴，解得a1+a7=4，
∴a2+a3+a5+a6=2（a1+a7）=8，
∴==e8．
故选：C．
　
4．已知正实数x，y满足xy=1，若81x2+y2≥m恒成立，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，9]
B．（﹣∞，18]
C．[9，+∞）
D．[18，+∞）
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】81x2+y2≥2，m≤（81x2+y2）min
即可．
【解答】解：81x2+y2≥2，由81x2+y2≥m恒成立 m≤（81x2+y2）min，∴m≤18．
故选：B
　
5．已知命题p：函数在x=a处取到最大值；命题q：直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切；则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
【考点】函数的最值及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据三角函数的图象和性质，可得命题p：a=1+4k，k∈Z；根据直线与圆的位置关系，可得命题q：a=1，或a=9，进而根据充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：当=+2kπ，k∈Z，即x=1+4k，k∈Z时，函数取到最大值；
故命题p：a=1+4k，k∈Z；
若直线x﹣y+2=0与圆（x﹣3）2+（y﹣a）2=8相切，
则=2，
解得：a=1，或a=9，
即命题q：a=1，或a=9，
故p是q的必要不充分条件，
故选：B
　
6．已知函数f（x）=e2﹣x+x，x∈[1，3]，则下列说法正确的是（　　）
A．函数f（x）的最大值为
B．函数f（x）的最小值为
C．函数f（x）的最大值为3
D．函数f（x）的最小值为3
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数f（x）的最小值即可．
【解答】解：f（x）=e2﹣x+x，
f′（x）=﹣e2﹣x+1，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：x＜2，
故f（x）在[1，2）递减，在（2，3]递增，
故f（x）的最小值是f（2）=3，
故选：D．
　
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若nSn+（n+2）an=4n，则下列说法正确的是（　　）
A．数列{an}是以1为首项的等比数列
B．数列{an}的通项公式为
C．数列是等比数列，且公比为
D．数列是等比数列，且公比为
【考点】等比关系的确定．
【分析】由an=得到数列{an}的递推式，
【解答】解：当n=1时，有S1+3a1=4a1=4，得：a1=1，
当n≥2，时，由nSn+（n+2）an=4n，即Sn+an=4①，得：
Sn﹣1+an﹣1=4②，
①﹣②得：an+an﹣an﹣1=0，
即=，
∴= … = … = n，
即an=．
∴=，
∴数列是等比数列，且公比为．
故选：C．
　
8．已知命题p：函数的图象关于（0，3）中心对称；命题q：已知函数g（x）=msinx+ncosx（m，n∈R）满足，则；
则下列命题是真命题的为（　　）
A．（￢p）∧q
B．p∧q
C．p∨（￢q）
D．（￢p）∧（￢q）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案．
【解答】解：函数=+2的图象由函数y=的图象向上平移两个单位得到，
故关于（0，2）中心对称；
故命题p：函数的图象关于（0，3）中心对称为假命题；
若函数g（x）=msinx+ncosx（m，n∈R）满足，
则函数图象关于直线x=对称，
则g（）=msin+ncos=±，
解得：，
故命题q为真命题，
故命题（￢p）∧q为真命题，
命题p∧q，p∨（￢q），（￢p）∧（￢q）为假命题；
故选：A
　
9．在△ABC中，，则△ABC的外接圆面积为（　　）
A．
B．
C．2π
D．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】在△ABC中由正弦定理，及 R=，即可求得面积．
【解答】解：在△ABC中由正弦定理，
及
R=，则△ABC的外接圆面积为
故选：B
　
10．已知点（x，y）满足，则的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】首先画出可行域，利用z的几何意义：区域内的点与（﹣1，1）连接直线的斜率的倒数，因此求最值即可．
【解答】解：由已知得到平面区域如图：表示区域内的点与（﹣1，1）连接的直线斜率的倒数，当与A（2，3）连接时直线斜率最大为，与B（4，2）连接时直线斜率最小为，
所以的最大值为5，最小值为，所以的取值范围为[，5]；
故选：A．
　
11．已知函数f（x）的定义域为R，且x3f（x）+x3f（﹣x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，则不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4的解集为（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣4，4）
D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】构造函数h（x）=x3f（x）﹣2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．
【解答】解：令h（x）=x3f（x）﹣2x，
则h′（x）=x[3xf（x）+x2f'（x）﹣2]，
若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x2f'（x）＜2，
则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，
故h（x）在[0，+∞）递减，
若x3f（x）+x3f（﹣x）=0，
则h（x）=h（﹣x），
则h（x）在R是偶函数，h（x）在（﹣∞，0）递增，
不等式x3f（x）﹣8f（2）＜x2﹣4，
即不等式x3f（x）﹣x2＜8f（2）﹣4，
即h（x）＜h（2），
故|x|＞2，解得：x＞2或x＜﹣2，
故不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故选：B．
　
12．在△ABC中，，则有如下说法：①AB=1；②△ABC面积的最大值为；③当△ABC面积取到的最大值时，；则上述说法正确的个数为（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理和余弦定理可得，a=2b，c=1．再由三角形的面积公式，化简整理，配方，运用二次函数的最值可得面积的最大值，即可判断正确个数．
【解答】解：在△ABC中，，
可得a=2b，b +a =c=1，
即AB=1；
设b=x，则a=2x，根据面积公式得S△ABC=absinC=x2 sinC=x2 ．
由余弦定理可得cosC=，
∴S△ABC=x2 =
=，
由三角形三边关系有：x+2x＞1且x+1＞2x，解得＜x＜1，
故当x=时，S△ABC取得最大值，
综上可得①②正确，③错误．
故选：C．
　
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．　8π+ln2﹣　．
【考点】定积分．
【分析】根据定积分几何意义和定积分的计算法则计算即可．
【解答】解：根据定积分的几何意义表示以原点为圆心，
以及半径为4的圆的面积的二分之一，故=×16π=8π，
因为x3奇函数，故x3dx=0，
因为（﹣x）dx=（lnx﹣x2）|=（ln2﹣2）﹣（ln1﹣）=ln2﹣，
故原式=8π+0+ln2﹣=8π+ln2﹣，
故答案为：8π+ln2﹣
　
14．已知向量，若向量与共线，且m+n=1，则，
=　﹣12　．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先求出，并且，这样根据与共线即可得出一个关于m，n的方程为3m+2n=0，从而联立m+n=1即可求出m，n的值，从而得出的坐标，进行数量积的坐标运算即可求出的值．
【解答】解：；
∵与共线；
∴﹣7m+2（2m﹣n）=0；
即3m+2n=0，联立m+n=1解得m=﹣2，n=3；
∴；
∴．
故答案为：﹣12．
　
15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，且，则φ值为　﹣　．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由从点A到点B正好经过了半个周期，求出ω，把A、B的坐标代入函数解析式求出sinφ的值，再根据五点法作图，求得φ
的值．
【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象，且，
可得从点A到点B正好经过了半个周期，即=π﹣，∴ω=2．
再把点A、B的坐标代入可得
2sin（2 +φ
）=﹣2sinφ=1，2sin（2 π+φ
）=2sinφ=﹣1，
∴sinφ=﹣，∴φ=2kπ﹣，或φ=2kπ﹣，k∈Z．
再结合五点法作图，可得φ=﹣，
故答案为：．
　
16．已知 a∈[1，2）， x0∈（0，1]，使得，则实数m的取值范围为　（﹣∞，e﹣1）　．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】若 a∈[1，2）， x0∈（0，1]，使得，则m小于函数f（x）=最大值的最小值，利用导数法求得答案．
【解答】解：令f（x）=，
则f′（x）=﹣，
当a∈[1，2），x∈（0，1]时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在区间（0，1]上为增函数，
当x=1时，函数取最大值ea﹣a，
令g（a）=ea﹣a，则g′（a）=ea﹣1，
当a∈[1，2）时，g′（a）＞0恒成立，
故g（a）在区间[1，2）上为增函数，
当a=1时，函数取最小值e﹣1，
若 a∈[1，2）， x0∈（0，1]，使得，
即 a∈[1，2）， x0∈（0，1]，使得成立，
故m＜e﹣1，
故实数m的取值范围为：（﹣∞，e﹣1）
故答案为：（﹣∞，e﹣1）．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知等比数列{an}中，a2=2，a2，a3+1，a4成等差数列；数列{bn}的前n项和为Sn，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【考点】数列的求和．
【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列的性质求出公比q，再求出首项，即可得到数列的通项公式，
（2）根据等比数列的求和公式和裂项求和分组求出即可．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q：因为a2，a3+1，a4成等差数列，
故a2+a4=2（a3+1），
即a4=2a3，
故q=2；
因为，
即an=2n﹣1．
（2）因为Sn=n2+n，
故当n=1时，b1=S1=2，
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n，
综上所述bn=2n，
故==﹣，
故数列的前n项和为．
　
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的值域．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调减区间．
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再来一弄正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间上的值域．
【解答】解：（1）依题意，，
令，则，
故函数f（x）的单调减区间为．
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向下平移2个单位，
得到函数g（x）=sin[2（x+）﹣]+2﹣2=）=sin（2x+）的图象，
∵，故；故，根据函数y=sinx的性质，
当时，函数g（x）取得的最小值；
当时，函数g（x）取得的最大值，
故函数g（x）在区间上的值域为．
　
19．已知命题；命题q：函数f（x）=x2﹣mx+3在（﹣1，1）上仅有1个零点．
（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，（1）由（￢p）∧q为真命题，得到p假q真，求出m的范围即可；（2）由p∨q为真命题，p∧q为假命题，得到p，q一真一假；
求出m的范围即可．
【解答】解：依题意，，解得m＞1；
对于函数f（x）=x2﹣mx+3，若△=0，则函数f（x）的零点不在（﹣1，1）上，
故只需f（﹣1）f（1）＜0，解得m＜﹣4或m＞4，
（显然x=﹣1或1时，f（x）=x2﹣mx+3≠0，否则在区间（﹣1，1）上无零点）．
（1）若（ p）∧q为真，则实数m满足，
故m＜﹣4，即实数m的取值范围为
（﹣∞，﹣4）．
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假；
若p真q假，则实数m满足，即1＜m≤4；
若p假q真，由（1）知，故m＜﹣4，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4）∪（1，4]．
　
20．在△ABC中，sin2B=sinAsinC．
（1）若，，成等差数列，求cosB的值；
（2）若=4，求△ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）根据等差数列的定义以及三角恒等变换求出sinB，从而求出cosB的值即可；
（2）求出三角形的面积的解析式，令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），根据函数的单调性求出三角形面积的最大值即可．
【解答】解：（1））若，，成等差数列，
则=+===，
故sinB=，cosB=±；
（2）若=4，即=4，b2=16sin2B，
∵sin2B=sinAsinC，
∴ac=b2，
∴S△ABC=b2sinB=8sin3B，（0＜B＜π），
令f（x）=8sin3x，（0＜x＜π），
则f′（x）=24sin2xcosx，
令f′（x）＞0，解得：x＜，
令f′（x）＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，π）递增，
故f（x）在（0，）递增，在（，π）递减，
f（x）max=f（）=8，
故三角形面积的最大值是8．
　
21．已知函数．
（1）在下列坐标系中作出函数f（x）的大致图象；
（2）将函数f（x）的图象向下平移一个单位得到函数g（x）的图象，点A是函数g（x）图象的上一点，B（4，﹣2），求|AB|的最小值．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）因为，故把函数y=的图象向上平移1个单位，可得函数的图象，如图所示．
（2）计算|AB|2=，令，可得|AB|2=t2﹣4t+16，利用二次函数的性质求得它的最小值．
【解答】解：（1）因为，故把函数y=的图象向上平移1个单位，
可得函数的图象，故函数的大致图象如图所示：
（2）依题意，函数，设，因为B（4，﹣2），
故=，
令，故|AB|2=t2﹣4t+16=（t﹣2）2+12≥12，当且仅当t=2时，
此时方程有解，|AB|2取得最小值为12，故|AB|的最小值为．
　
22．已知函数．
（1）当p=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当p＞1时，求证：．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义，即可求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）令，求出．设，确定单调性，即可证明结论．
【解答】解：（1）依题意，f（x）=x2﹣lnx，故，因为f'（1）=1，f（1）=1，故所求切线方程为y=x．
（2）∵p＞1，令，
故，可得函数g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞），
∴g（x）在x=1时取得的极大值，并且也是最大值，即．
又2p﹣1＞0，∴．
设，则，
所以h（p）的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，
∵，∴，∴h（p）＜3，
又∵ep﹣3＞0，∴，即．
　
2017年2月5日