第三节 线段的垂直平分线 课时2同步练习

第三节线段的垂直平分线
第2课时 线段垂直平分线的应用
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知识点1三角形三边的垂直平分线
1.到三角形三个顶点距离相等的点,是三角形三条边的　　　　的交点,即三角形三条边的垂直平分线交于　　　　.?21世纪教育网版权所有
2.平面内到不在同一条直线上的三个点A,B,C的距离相等的点有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.如图,地面上有三个洞口A,B,C,老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A,B,C三个点的距离相等),尽快抓到老鼠,应该蹲守在(　　)21cnjy.com
A.△ABC三边垂直平分线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三条中线的交点
4.已知△ABC三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上,则△ABC的形状为(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
5.(2015·泰州)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,则图中全等三角形的对数是(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
知识点2线段垂直平分线的作图及应用
6.(2015·北京)阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作一条线段的垂直平分线
已知:线段AB
小芸的作法如下:
如图,(1)分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作图依据是?
　.?
7.如图,已知线段AB,分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C,Q,连接CQ与AB相交于点D,连接AC,BC.那么:
（1）∠ADC=　　　　;?
（2）当线段AB=4,∠ACB=60°时,∠ACD=　　　　,△ABC的面积等于　　　　.?
8.(2015·深圳)如图,已知△ABC,AB9.如图,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边上的高AD=h.张红的作法是:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直平分线MN,MN与BC相交于点D;(3)在直线MN上截取线段h;(4)连接AB,AC.△ABC为所求作的等腰三角形.上述作法的四个步骤中,有错误的一步你认为是(　　)www.21-cn-jy.com
A.(1) B.(2) C.(3) D.(4)
10.如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为(　　)2·1·c·n·j·y
A.7　　　　B.14　　　　C.17　　　　D.20
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题型1作线段垂直平分线在证角平分线中的应用
11.(2015·庆阳)如图,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.
(1)用尺规作图:作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);【来源：21·世纪·教育·网】
(2)求证:BD平分∠CBA.
　
题型2作线段垂直平分线在求边、角中的应用
12.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,与AC,BC分别交于点D,E,连接AE.21·世纪*教育网
(1)求∠ADE的度数(直接写出结果);
(2)当AB=3,BC=4时,求△ABE的周长.
题型3构造线段垂直平分线的基本图形在证线段　　 相等中的应用
13.如图,在△ABC中,∠B=22.5°,AB的垂直平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE于点F.求证:DF=DC.
14.如图,在△ABC中,D为BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且DE⊥DF.
求证:BE+CF>EF.
参考答案
1.【答案】垂直平分线;一点
2.【答案】B
解：首先到AB两点距离相等的点,这些点的集合是AB的中垂线
同样,到BC两点距离相等的点的集合是BC的中垂线
那么要ABC都距离相等,就是AB的中垂线与BC中垂线的交点
也就是1个，选B.
3.【答案】A
解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，
∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选A．
4.【答案】B
解：∵△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，
∴△ABC的形状为直角三角形．故选B．
5.【答案】D
解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选D．
6.【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线
7.【答案】(1)90°　(2)30°;4
解：（1）△ABC，△AQB中，AC=AQ，BC=BQ，AB=AB，△ABC≌△ABQ，∠CAB=∠QAB， 根据等腰三角形性质，我们可知：AD是等腰△ACQ底边的高、中线和顶角的平分线．∴∠ADC=90°．（2）AC=AB，∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形．CD∥AB，∴∠ACD=∠BCD=30°．CD=BCsin60°=2．S△ABC=AB·CD÷2=4×2÷2=4．21教育网
8.【答案】D
解：因为PA＋PC＝BC＝PB＋PC，所以，PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上。故选D.
9.【答案】C
解：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符．故选C．
10.【答案】C
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，AB=7，
∴AC+AD+CD=10，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+
（AC+CD+AD）=10+7=17.故选C.
11.(1)解:如图①所示.
(2)证明:连接BD,如图②所示.
∵∠C=60°,∠A=40°,∴∠CBA=80°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD.
∴∠A=∠DBA=40°.
∴∠DBA=∠CBA.
∴BD平分∠CBA.
12.解:(1)∠ADE=90°.
(2)由题意知MN是线段AC的垂直平分线,∴AE=EC.
∴AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7.
即△ABE的周长为7.
13.证明:连接PA,则PA=PB,
∴∠B=∠PAB=22.5°,∴∠APD=45°.
又∵AD⊥BC,∴PD=AD.
∵AD⊥BC,∴∠DPF+∠PFD=90°.
∵PE⊥AC,∴∠AFE+∠DAC=90°.
又∵∠AFE=∠PFD,∴∠DPF=∠DAC.
在△PDF和△ADC中,
∴△PDF≌△ADC(ASA).∴DF=DC.
14.证明:如图,延长ED至点M,使DM=ED,连接MC,MF,则EF=FM.
∵BD=CD,ED=DM,∠EDB=∠CDM,
∴△BDE≌△CDM(SAS).
∴BE=CM.
∵CF+CM>MF,
∴BE+CF>EF.