2016-2017学年江苏省镇江中学高一（上）12月月考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确的答案填写在答题纸相应的位置上.
1．已知函数y=tanωx（ω＞0）的最小正周期为，则ω= ．
2．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则 AB= ．
3．求值：
= ．
4．幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上递减，则整数m= ．
5．若，则= ．
6．已知函数的定义域是，则实数a的值为 ．
7．已知函数f（x）=2x+2x﹣6的零点为x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整数解为k，则k= ．
8．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
9．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）= ．
10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=﹣，当1≤x＜2时，，则f（6.5）= ．
11．若关于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范围是 ．
12．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为 ．
13．已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是 ．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：
（1）sinα﹣cosα；
（2）．
16．函数f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定义域为集合A，函数g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）若集合A，B满足B∩ RB= ，求实数a的取值范围．
17．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a bt，Q=alogbt，并说明理由；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
18．已知函数f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m
（1）若f（x）是奇函数，求实数m的值．
（2）若m=0，则是否存在实数x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x+x﹣m（m为常数）．
（1）求常数m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若对于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k 4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求实数k的取值范围．
20．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
2016-2017学年江苏省镇江中学高一（上）12月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确的答案填写在答题纸相应的位置上.
1．已知函数y=tanωx（ω＞0）的最小正周期为，则ω= 2 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用周期公式表示出函数的周期，将已知周期代入即可求出ω的值．
【解答】解：∵y=tanωx（ω＞0）的最小正周期为，
∴=，即ω=2，
故答案为：2
2．已知集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，若A∩B=B，则 AB= {3} ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意，由A∩B=B分析可得B A，结合集合A、B，分析可得a=2，即可得B={2，4}，由集合补集的定义，计算可得答案、
【解答】解：根据题意，若A∩B=B，则必有B A，
而集合A={2，3，4}，B={a+2，a}，
分析可得a=2，
即B={2，4}，
则 AB={3}，
故答案为：{3}．
3．求值：
= ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用诱导公式进行化简求值即可．
【解答】解：∵sin+cos（﹣）
=sin（9π﹣）+cos（4π+）
=﹣sin（π+）+cos
=sin+cos
=．
故答案为：．
4．幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上递减，则整数m= 2 ．
【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．
【分析】由题意可得m2﹣4m为偶数，m2﹣4m＜0，解不等式可得．
【解答】解：由题意可得幂函数为偶函数，
故可得m2﹣4m为偶数，又函数在（0，+∞）上递减，
故m2﹣4m＜0，解之可得0＜m＜4，
故可得m=2
故答案为：2
5．若，则= ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；弦切互化．
【分析】分式的分子、分母同除cosα，利用已知条件求出分式的值．
【解答】解：．
故答案为：
6．已知函数的定义域是，则实数a的值为 ．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】根据函数的定义域，得出x＞时，1﹣＞0；由此求出函数的自变量x＞log2a；令log2a=，即可求出a的值．
【解答】解：∵函数的定义域是，
∴当x＞时，1﹣＞0；
即＜1，
∴a＜2x，
∴x＞log2a；
令log2a=，
得a==；
∴实数a的值为．
故答案为：．
7．已知函数f（x）=2x+2x﹣6的零点为x0，不等式x﹣4＞x0的最小的整数解为k，则k= 6 ．
【考点】指、对数不等式的解法．
【分析】由函数零点判定定理求出x0的范围，进一步得到满足不等式x﹣4＞x0的最小的整数解k的值．
【解答】解：函数f（x）=2x+2x﹣6为R上的单调增函数，
又f（1）=﹣2＜0，f（2）=2＞0，
∴函数f（x）=2x+2x﹣6的零点x0满足1＜x0＜2，
故满足x0＜n的最小的整数n=2，
即k﹣4=2，满足不等式x﹣4＞x0的最小的整数解k=6．
故答案为：6．
8．点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1按顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为 ．
【考点】任意角的概念．
【分析】任意角的三角函数的定义，求出cos（）的值和sin（）
的值，即得Q的坐标．
【解答】解：由题意可得Q的横坐标为
cos（）=，Q的纵坐标为
sin（）=﹣sin=，
故Q的坐标为，
故答案为：．
9．已知cos（）=，则cos（）﹣sin2（α﹣）= ．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】根据诱导公式得出cos（）=﹣cos（﹣α），sin2（α﹣）=1﹣cos2（﹣α），然后将已知条件代入即可求出结果．
【解答】解：cos（）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos（﹣α）=﹣
sin2（α﹣）=sin2[﹣（﹣α）]=1﹣cos2（﹣α）=1﹣（﹣）2=
∴cos（）﹣sin2（α﹣）
=﹣﹣
=﹣．
故答案为：﹣
10．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=﹣，当1≤x＜2时，，则f（6.5）= 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由f（x+2）=﹣求出函数的周期，由周期性、偶函数的性质将f（6.5）转化为f（1.5），代入已知的解析式由对数的运算性质求值．
【解答】解：由f（x+2）=﹣得，f（x+4）==f（x），
∴函数f（x）的周期是4，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，当1≤x＜2时，，
∴f（6.5）=f（4+2.5）=f（2.5）=f（﹣4+2.5）
=f（﹣1.5）=f（1.5）===1，
故答案为：1．
11．若关于x的方程cos2x﹣sinx+a=0在[0，π]内有解，则实数a的取值范围是 [﹣1，1] ．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】由题意可得方程t2+t﹣a﹣1=0
在[﹣1，1]上有解，函数f（t）=t2+t﹣a﹣1
的对称轴为t=﹣，故有f（0） f（1）≤0，解此不等式组求得a的取值范围．
【解答】解：∵方程cos2x﹣sinx+a=0，即sin2x+sinx﹣a﹣1=0．
由于x∈[0，π]，∴0≤sinx≤1．
故方程t2+t﹣a﹣1=0
在[0，1]上有解．
又方程t2+t﹣a﹣1=0
对应的二次函数f（t）=t2+t﹣a﹣1的对称轴为t=﹣，
故有f（0） f（1）≤0，即（a﹣1）（a+1）≤0．
解得﹣1≤a≤1．
故答案为：[﹣1，1]．
12．已知直线x=a（0＜a＜）与函数f（x）=sinx和函数g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，若MN=，则线段MN的中点纵坐标为 ．
【考点】中点坐标公式．
【分析】先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，于是sin2a=．要求的中点是，将其平方即可得出．
【解答】解：先画出图象，由题意可得|sina﹣cosa|=，两边平方得1﹣sin2a=，∴sin2a=．
设线段MN的中点纵坐标为b＞0，则b=，∴=，∴b=．
故答案为．
13．已知函数f（x）=，若a、b、c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是 （25，34） ．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象．
【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨设a＜b＜c，求出a+b+c的范围即可．
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则：b+c=2×12=24，
a∈（1，10）
则a+b+c=24+a∈（25，34），
故答案为：（25，34）．
14．已知f（x）=，若对任意的x≥1有f（x+2m）+mf（x）＞0恒成立，则实数m的取值范围是 m＞﹣ ．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】讨论当m≥0时，不等式显然成立；当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），利用函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：f（x）=是R上的递增函数
由f（x+2m）+mf（x）＞0得（x+2m）|x+2m|+mx2＞0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+2m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．
当m＜0时，即有f（x+2m）＞f（），
∴x+2m＞，
∴（1﹣）x+2m＞0在x≥1恒成立．
∴1﹣＞0且1﹣+2m＞0，
∴m＞﹣1且（4m+1））（m+1）＞0，
∴m＞﹣．
故答案为：m＞﹣．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．已知sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=．求下列各式的值：
（1）sinα﹣cosα；
（2）．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinα﹣cosα的值；
（2）先用诱导公式整理后，进而展开，利用（1）中的结论求得答案．
【解答】解：（1）由
sin（π﹣α）﹣cos（π+α）=，
得sinα+cosα=．①
将①式两边平方，得1+2sinαcosα=．
∴2sinαcosα=﹣．
又，
∴sinα＞0，cosα＜0．
∴sinα﹣cosα＞0．
∴（sinα﹣cosα）2=（sinα+cosα）2﹣4sinαcosα==．
∴sinα﹣cosα=；
（2）=cos2α﹣sin2α
=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=．
16．函数f（x）=ln（x2﹣3x﹣4）的定义域为集合A，函数g（x）=3x﹣a（x≤2）的值域为集合B．
（1）求集合A，B；
（2）若集合A，B满足B∩ RB= ，求实数a的取值范围．
【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．
【分析】（1）对数的真数＞0求解函数f（x）=lg（x2﹣3x﹣4）的定义域得到集合A，再根据指数函数的值域求解B即可；
（2）根据B∩ RB= ，求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）A={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|（x﹣4）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1，或x＞4}=（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
B={y|y=3x﹣a，x≤2}={y|﹣a＜y≤9﹣a}=（﹣a，9﹣a]，
（2）∵B∩ RB= ，
∴a∈R
17．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据情况如下表：
t
50
110
250
Q
150
108
150
（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q=at+b，Q=at2+bt+c，Q=a bt，Q=alogbt，并说明理由；
（2）利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）根据数据选择合适的函数类型，利用待定系数法进行求解．
（2）结合一元二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，
若用函数Q=at+b，Q=a bt，Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，
且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，…
所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述．…
将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c，可得：
，
解得a=，b=﹣，c=．…
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2﹣t+．…
（2）当t=﹣=150（天）时，…
芦荟种植成本最低为Q=×1502﹣×150+=100（元/10
kg）．…
18．已知函数f（x）=log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1+m
（1）若f（x）是奇函数，求实数m的值．
（2）若m=0，则是否存在实数x，使得f（x）＞2？若存在，求出x的取值范围；若不存在，请说明理由．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】（1）根据奇函数的定义求出m的值即可；
（2）根据对数函数的性质得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解．（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0对定义域中的任意x都成立，
∴log2（5+x）﹣log2（5﹣x）+log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+2（1+m）=0，
∴m=﹣1；
（2）假设存在实数x，使得f（x）＞2，
∴log2（5﹣x）﹣log2（5+x）+1＞2，
∴log2（5﹣x）＞log2（5+x）+1，
∴log2（5﹣x）＞log2（5+x）+log22，
∴log2（5﹣x）＞log22（5+x），
∴，
∴存在实数，使得f（x）＞2．
19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=2x+x﹣m（m为常数）．
（1）求常数m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若对于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k 4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求实数k的取值范围．
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）f（x）为定义在R上的奇函数，从而有f（0）=0，进而可求出m=1；
（2）根据（1）得到，x≥0时，f（x）=2x+x﹣1，根据f（x）为奇函数，可设x＜0，﹣x＞0，这样便可求出x＜0时的解析式，从而便可得出f（x）的解析式；
（3）容易判断x≥0时，f（x）为增函数，进而得出x＜0时，f（x）为增函数，而f（0）=0，从而可得出f（x）在R上单调递增，这样便可由f（k 4x）+f（1﹣2x+1）＞0得出，可设，化简得到，而配方即可求出该函数在[﹣4，﹣2]上的最大值，从而得出k的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，且定义域为R；
∴f（0）=0；
∵当x≥0时，f（x）=2x+x﹣m（m为常数）；
∴f（0）=1﹣m，∴1﹣m=0；
∴m=1；
（2）由（1）知，m=1；
∴当x≥0时，f（x）=2x+x﹣1；
设x＜0，则﹣x＞0，且f（x）为奇函数，所以：
f（﹣x）=2﹣x﹣x﹣1=﹣f（x）；
∴f（x）=﹣2﹣x+x+1；
∴；
（3）因为当x变大时，2x变大，x﹣1变大，所以2x+x﹣1的值也变大；
所以f（x）在[0，+∞）上是增函数且左端点为原点；
因为，f（x）是奇函数，且f（0）=0；
所以f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，且右端点是原点；
所以f（x）在R上是增函数；
∵f（x）是奇函数；
∴f（k 4x）+f（1﹣2x+1）＞0等价于f（k 4x）＞﹣f（1﹣2x+1），等价于f（k 4x）＞f（﹣1+2x+1）；
∵f（x）在R上是增函数；
∴f（k 4x）＞f（﹣1+2x+1）等价于k 4x＞﹣1+2x+1；
∵4x＞0∴k 4x＞﹣1+2x+1等价于；
∴f（k 4x）+f（1﹣2x+1）＞0对x∈[﹣3，﹣2]恒成立等价于；
设y=；
∴=；
x∈[﹣3，﹣2]，∴；
∴时，y取最大值﹣8；
∴k＞﹣8；
即实数k的取值范围为（﹣8，+∞）．
20．已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．
（1）若a=0，判断函数y=f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的性质．
【分析】（1）若a=0，根据函数奇偶性的定义即可判断函数y=f（x）的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义和性质，利用二次函数的性质即可求实数a的取值范围；
（3）根据方程有三个不同的实数根，建立条件关系即可得到结论．
【解答】解：（1）函数y=f（x）为奇函数．
当a=0时，f（x）=x|x|+2x，
∴f（﹣x）=﹣x|x|﹣2x=﹣f（x），
∴函数y=f（x）为奇函数；
（2）f（x）=，
当x≥2a时，f（x）的对称轴为：x=a﹣1；
当x＜2a时，y=f（x）的对称轴为：x=a+1；
∴当a﹣1≤2a≤a+1时，f（x）在R上是增函数，
即﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数；
（3）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．
①当﹣1≤a≤1时，函数f（x）在R上是增函数，
∴关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有三个不相等的实数根；
…
②当a＞1时，即2a＞a+1＞a﹣1，
∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调增，在（a+1，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增，
∴当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即4a＜t 4a＜（a+1）2，
∵a＞1，
∴．
设，
∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜h（a）max，
又可证在（1，2]上单调增
∴＜h（a）max=，
∴1＜t＜
③当a＜﹣1时，即2a＜a﹣1＜a+1，
∴f（x）在（﹣∞，2a）上单调增，在（2a，a﹣1）上单调减，在（a﹣1，+∞）上单调增，
∴当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根；
即﹣（a﹣1）2＜t 4a＜4a，
∵a＜﹣1，
∴，
设，
∵存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有三个不相等的实数根，
∴1＜t＜g（a）max，
又可证在[﹣2，﹣1）上单调减，
∴g（a）max=，
∴1＜t＜；
综上：1＜t＜．
2017年2月7日
