3.1 多项式的因式分解 课件
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课件19张PPT。3.1 多项式的因式分解1、整式乘法有几种形式？
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式： a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2、乘法公式有哪些？
(1)平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2复习与回顾轻松一刻计算：2×3×5=30 这是整数乘法运算，30 =2×3×5是什么运算呢？(因数分解)2×3×530整数乘法因数分解a2-b2=(a+b)(a-b)=(a+b)2=m(a+b)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b)=a2-b2=a2+2ab+b2 =am+bm整式的积多项式多项式整式的积a2+2ab+b2am+bm 你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？议一议 (1)由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？
(2)由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同？答：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程. 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．多项式几个整式的积x2－xy ＝ x(x－y)因式分解与整式乘法的关系 二、结论：因式分解与整式乘法是互逆的关系. 一、说明：
1、从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；
2、从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式). 分解因式
整式乘法 例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？(1) a2 + 2ab + b2 = (a+b)2；
(2) m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .解 是. 因为从左边到右边是把多项式
a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b
的积的形式.(1) a2 + 2ab + b2 = (a+b)2(2) m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个
多项式乘积的形式.例2 检验下列因式分解是否正确.
(1) x2 + xy = x(x+y) ；
(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ；
(3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.解 因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6，
所以因式分解a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)正确.(1) x2 + xy = x(x+y)解 因为x( x + y ) = x2 + xy ，
所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) (3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .解 因为(2m-n)(2m+n)= 4m2-n2≠2m2-n2，
所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.辨一辨是不是不是不是不是不是不是下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？检验下列因式分解是否正确：
(1) x2y－xy2=xy(x－y)
(2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)检验因式分解：
(1)是否满足因式分解的形式.
(2)看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.正确正确不正确检验下列因式分解是否正确：试一试不正确正确正确把左、右两边相等的代数式用线连起来.练习：手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ a2-b2=(a+b)(a-b)你能用几种不同的方法计算 20112－20102，哪种方法最简单？ 20112－20102 =(2011+2010)(2011－2010) =4021×1 =4021.看谁算得快(1)若a=1001，b=999，则a2-b2=___________；
(2)若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3，则20x2+60x=____________ ．(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000(3)20x2+60x= 20x(x+3)= 20× (-3)(-3+3)=0 ．分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式.
2、分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3、要分解到不能分解为止.课堂小结
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式： a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式： (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2、乘法公式有哪些？
(1)平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2复习与回顾轻松一刻计算：2×3×5=30 这是整数乘法运算，30 =2×3×5是什么运算呢？(因数分解)2×3×530整数乘法因数分解a2-b2=(a+b)(a-b)=(a+b)2=m(a+b)(a+b)(a-b)(a+b)2m(a+b)=a2-b2=a2+2ab+b2 =am+bm整式的积多项式多项式整式的积a2+2ab+b2am+bm 你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？议一议 (1)由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算？
(2)由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同？答：由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程. 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式．多项式几个整式的积x2－xy ＝ x(x－y)因式分解与整式乘法的关系 二、结论：因式分解与整式乘法是互逆的关系. 一、说明：
1、从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；
2、从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式). 分解因式
整式乘法 例1 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？(1) a2 + 2ab + b2 = (a+b)2；
(2) m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .解 是. 因为从左边到右边是把多项式
a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b
的积的形式.(1) a2 + 2ab + b2 = (a+b)2(2) m2 + m - 4 = (m+3)(m-2)+ 2 .解 不是. 因为(m+3)( m-2)+2不是几个
多项式乘积的形式.例2 检验下列因式分解是否正确.
(1) x2 + xy = x(x+y) ；
(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) ；
(3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .分析 检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.解 因为(a-2)(a-3) = a2-5a+6，
所以因式分解a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3)正确.(1) x2 + xy = x(x+y)解 因为x( x + y ) = x2 + xy ，
所以因式分解 x2 + xy = x(x + y)正确.(2) a2 - 5a + 6 = (a-2)(a-3) (3) 2m2 -n2 = (2m-n)(2m+n) .解 因为(2m-n)(2m+n)= 4m2-n2≠2m2-n2，
所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.辨一辨是不是不是不是不是不是不是下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？检验下列因式分解是否正确：
(1) x2y－xy2=xy(x－y)
(2) 2x2－1=(2x+1)(2x－1)
(3) x2+3x+2=(x+1)(x+2)检验因式分解：
(1)是否满足因式分解的形式.
(2)看等式右边几个整式相乘的积与左边的多项式是否相等.正确正确不正确检验下列因式分解是否正确：试一试不正确正确正确把左、右两边相等的代数式用线连起来.练习：手工课上，老师给某同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这个同学解决这个问题吗？能给出数学解释吗？ a2-b2=(a+b)(a-b)你能用几种不同的方法计算 20112－20102，哪种方法最简单？ 20112－20102 =(2011+2010)(2011－2010) =4021×1 =4021.看谁算得快(1)若a=1001，b=999，则a2-b2=___________；
(2)若a=99，b=-1，则a2-2ab+b2=_______；
(3)若x=-3，则20x2+60x=____________ ．(1)a2-b2=(a+b)(a-b)=(1001+999)(1001-999)=4000(2)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000(3)20x2+60x= 20x(x+3)= 20× (-3)(-3+3)=0 ．分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点：
1、分解的对象必须是多项式.
2、分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3、要分解到不能分解为止.课堂小结