黑龙江省哈尔滨四十七中2016-2017学年九年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）（解析版）

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）
　
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．哈市4月份某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（　　）
A．﹣2℃
B．8℃
C．﹣8℃
D．4℃
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a=1
B．3a2+2a3=5a5
C．a6 a2=a8
D．（a2）3=a5
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．反比例函数：y=﹣（k为常数，k≠0）的图象位于（　　）
A．第一，二象限
B．第一，三象限
C．第二，四象限
D．第三，四象限
6．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（　　）m．
A．30 sin65°
B．
C．30 tan65°
D．
7．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元．设平均每次降价的百分率为x，则列方程为（　　）
A．688（1+x）2=1299
B．1299（1+x）2=688
C．688（1﹣x）2=1299
D．1299（1﹣x）2=688
8．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y=3（x﹣1）2﹣2
B．y=3（x+1）2﹣2
C．y=3（x+1）2+2
D．y=3（x﹣1）2+2
9．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（　　）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
10．在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）的关系如图，有下列说法：①他们进行的是800m比赛；②乙全程的平均速度为6.4m/s；③甲摔倒之前，乙的速度快；④甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s；⑤甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
　
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．某企业年产值9850
000万元，把9850
000这个数用科学记数法表示为　　．
12．化简：﹣=　　．
13．在函数y=中，自变量x的取值范围是　　．
14．不等式组的解集为　　．
15．因式分解：x3﹣4x2+4x=　　．
16．分式方程﹣=1的解是　　．
17．如图，在△ABC中，AC=BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若BC=4，则⊙O的半径为　　．
18．商店将某空调按标价的九折出售，仍可获利20%，若该空调的进价是每台2400元，则空调的标价是　　元．
19．在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，连接BE、CE，若△BCE是以BC为腰的等腰三角形，则∠AEB的度数为　　．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，BE=EF，EG平分∠BEF交AD于点G，若AB=15，DF=7，则EG=　　．
　
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
22．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有△ABC，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE（点A、B的对应点分别为D、E），画出△CDE；
（2）在正方形网格的格点上找一点F，连接BF、FE、BE，使△FBE的面积等于△BCE的面积，并直接写出线段EF的长．
23．哈市某区对初四的数学教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初四学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生；
（2）请将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的圆心角度数；
（3）如果该区有6000名初四学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，DE⊥CD，DE⊥AB于E，sinA=，DE=2BE．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点F在AB的延长线上，点G在AD上，连接DF、CG，交于H，若CG=DF，求∠DHG的正切值．
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
26．如图，在⊙O中，BC为⊙O的弦，点A在半径OD上，连接AB、AC，
=．
（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，延长DO交BC于F，延长BO交AC于G，交⊙O于E，若AO=2OF，求证：点G为AC的中点；
（3）如图3在（2）的条件下，连接CE，H在FC上，直线GH交⊙O于M、N，若CA平分∠BCE，OF=FH，BC=6，求MN的长．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣a交于x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，DE=2．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线对称轴上的动点，连接CP绕点P顺时针旋转90°，C的对应点为点Q，连接DQ交抛物线于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D作DN∥CP交抛物线于点N，交PQ于点M，连接QN，若QN=DP，求点N的坐标．
　
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）段考数学试卷（11月份）（五四学制）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．哈市4月份某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（　　）
A．﹣2℃
B．8℃
C．﹣8℃
D．4℃
【考点】有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：6﹣（﹣2）
=6+2
=8℃．
故选B．
　
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a=1
B．3a2+2a3=5a5
C．a6 a2=a8
D．（a2）3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】利用合并同类项法则以及同底数的幂的乘法法则、幂的乘方法则即可判断．
【解答】解：A、6a﹣5a=a，选项错误；
B、3a2和2a3不是同类项，不能合并，选项错误；
C、a6 a2=a8，正确，选项正确；
D、（a2）3=a6，选项错误．
故选C．
　
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项错误．
故选A．
　
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图有3列，2行，每行小正方形数目分别为3，2，从而画出图形．
【解答】解：根据题意它的俯视图是：
故选D．
　
5．反比例函数：y=﹣（k为常数，k≠0）的图象位于（　　）
A．第一，二象限
B．第一，三象限
C．第二，四象限
D．第三，四象限
【考点】反比例函数的性质．
【分析】反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵k≠0，
∴﹣k2为负数，图象位于二、四象限．
故选C．
　
6．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O点30m的点A处，测得楼顶B点的仰角∠OAB=65°，则这幢大楼的高度为（　　）m．
A．30 sin65°
B．
C．30 tan65°
D．
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】利用正切函数的定义tan∠BAO=即可解决．
【解答】解：如图，在RT△ABO中，∵∠AOB=90°，∠A=65°，AO=30m，
∴tan65°=，
∴BO=30 tan65°．
故选C．
　
7．一款手机连续两次降价，由原来的1299元降到688元．设平均每次降价的百分率为x，则列方程为（　　）
A．688（1+x）2=1299
B．1299（1+x）2=688
C．688（1﹣x）2=1299
D．1299（1﹣x）2=688
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后售价为1299（1﹣x），第二次降价后售价为1299（1﹣x）2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
【解答】解：根据题意得1299（1﹣x）2=688．
故选D．
　
8．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y=3（x﹣1）2﹣2
B．y=3（x+1）2﹣2
C．y=3（x+1）2+2
D．y=3（x﹣1）2+2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y=3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
　
9．如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，点F在CD延长线上，AF∥BC，则下列结论错误的是（　　）
A．
=
B．
=
C．
=
D．
=
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AF∥BC，DE∥BC，
∴AF∥DE，
∴=，，
∴，故A错误，
∵AF∥DE，
∴，故B正确，
∵DE∥BC，
∴，故C正确，
∵AF∥DE，
∴，
∵AF∥BC，
∴，
∴，故D正确，
故选A．
　
10．在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程y（m）与比赛时间x（s）的关系如图，有下列说法：①他们进行的是800m比赛；②乙全程的平均速度为6.4m/s；③甲摔倒之前，乙的速度快；④甲再次投入比赛后的平均速度为7.5m/s；⑤甲再次投入比赛后在距离终点300米时追上了乙．其中正确的个数有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【考点】一次函数的应用．
【分析】①由函数图象可以直接得出比赛的距离；
②由路程÷时间就可以得出速度得出结论；
③由函数图象可以得出相同的时间乙走的路程少，所以乙的速度慢；
④由600÷80就可以求出甲再次投入比赛后的平均速度而得出结论；
⑤由待定系数法分别求出BC和OD的解析式就可以求出结论．
【解答】解：①由函数图象，得：甲乙比赛的距离为800米，故正确；
②题意，得
800÷125=6.4m/s，故正确；
③由函数图象，得
甲摔倒之前，甲的速度快．故错误；
④由题意，得
600÷80=7.5m/s，故正确；
⑤设BC的解析式为y=kx+b，OD的解析式为y=k1x，由题意，得
，800=125k1．
解得：，k1=6.4，
∴y=7.5x﹣100，y=6.4x，
7.5x﹣100=6.4x，
解得：x=．
800﹣6.4×=≠300，故错误．
综上所述，正确的有3个．
故选B．
　
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．某企业年产值9850
000万元，把9850
000这个数用科学记数法表示为　9.85×106　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9850
000=9.85×106，
故答案为：9.85×106，
　
12．化简：﹣=　　．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式=3﹣2
=．
故答案为：．
　
13．在函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答．
【解答】解：当x﹣2≠0，即x≠2时，函数y=有意义．
故答案为：全x≠2．
　
14．不等式组的解集为　x＞3　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：
由（1）得：x≥1；
由（2）得：x＞3．
∴x＞3，
故答案为x＞3．
　
15．因式分解：x3﹣4x2+4x=　x（x﹣2）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．
【解答】解：x3﹣4x2+4x
=x（x2﹣4x+4）
=x（x﹣2）2．
故答案为：x（x﹣2）2．
　
16．分式方程﹣=1的解是　x=﹣1.5　．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，
整理得：x2+2x﹣1=x2﹣4，
移项合并得：2x=﹣3
解得：x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解．
故答案为：x=﹣1.5．
　
17．如图，在△ABC中，AC=BC，以AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点C，若BC=4，则⊙O的半径为　4　．
【考点】切线的性质．
【分析】直接利用切线的性质得出∠BCO=90°，进而利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出⊙O的半径．
【解答】解：连接CO，
∵OA为半径的圆与BC相切于点C，
∴∠BCO=90°，
∵AC=BC，
∴∠B=∠A，
∵OA=CO，
∴∠A=∠OCA，
∴∠B=∠A=∠OCA，
∵∠B+∠A+∠OCA=90°，
∴∴∠B=∠A=∠OCA=30°，
∴BO=2CO，
设CO=x，则BO=2x，
故x2+（4）2=（2x）2，
解得：x=4，
则⊙O的半径为：4．
故答案为：4．
　
18．商店将某空调按标价的九折出售，仍可获利20%，若该空调的进价是每台2400元，则空调的标价是　3200　元．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设空调的标价为x元，根据空调按标价的九折出售仍可获得20%的利润列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设空调的标价为x元，
根据题意得：90%x﹣2400=2400×20%，
解得：x=3200，
则空调的标价为3200元．
故答案为：3200．
　
19．在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，连接BE、CE，若△BCE是以BC为腰的等腰三角形，则∠AEB的度数为　30°或75°　．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】分类讨论：当BE=BC时，如图1，利用sin∠AEB==可得到∠AEB=30°；当CE=CB，如图2，同样方法可得∠CED=30°，再利用AD∥BC得到∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CBE=75°，于是得到∠AEB=75°，综上所述，∠AEB的度数为30°或75°．
【解答】解：当BE=BC时，如图1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2AB，∠A=90°，
∴BE=2AB，
在Rt△ABE中，∵sin∠AEB==，
∴∠AEB=30°；
当CE=CB，如图2，
同样可得∠CED=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠CBE==75°，
∴∠AEB=75°，
综上所述，∠AEB的度数为30°或75°．
故答案为30°或75°．
　
20．如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，BE=EF，EG平分∠BEF交AD于点G，若AB=15，DF=7，则EG=　17　．
【考点】正方形的性质．
【分析】如图，连接GB、GF、BF，作GH⊥BC于H．，由△GEB≌△GEF，推出BG=FG，由EB=EF，推出EG垂直平分BF，再证明△GHE≌△BCF，推出GE=BF，求出BF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接GB、GF、BF，作GH⊥BC于H．
在△GEB和△GEF中，
，
∴△GEB≌△GEF，
∴BG=FG，∵EB=EF，
∴EG垂直平分BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABH=∠C=∠BHG=90°，
∴四边形ABHG是矩形，
∴GH=AB=BC，
∵∠FBC+∠GEH=90°，∠HGE+∠GEH=90°，
∴∠FBC=∠HGE，
在△GHE和△BCF中，
，
∴△GHE≌△BCF，
∴GE=BF，
∵BF===17，
∴GE=BF=17，
故答案为17．
　
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分）
21．先化简，再求代数式的值，其中x=4sin45°﹣2cos60°．
【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．
【分析】分别化简代数式和x的值，代入计算．
【解答】解：原式=．
∵x=4sin45°﹣2cos60°==2﹣1，
∴原式===．
　
22．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，有△ABC，点A、B、C均在小正方形的顶点上．
（1）将△ABC绕着点C顺时针旋转90°得到△CDE（点A、B的对应点分别为D、E），画出△CDE；
（2）在正方形网格的格点上找一点F，连接BF、FE、BE，使△FBE的面积等于△BCE的面积，并直接写出线段EF的长．
【考点】作图-旋转变换；勾股定理．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B的对应点D、E即可得到△CDE；
（2）平移BE使它过点C，则可得到格点F，则根据三角形面积公式可判断△FBE满足条件．
【解答】解：（1）如图，△CDE为所求；
（2）如图，点F为所作．
EF==．
　
23．哈市某区对初四的数学教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项．评价组随机抽取了若干名初四学生的参与情况，绘制了如图两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生；
（2）请将条形统计图补充完整，并求出在扇形统计图中“专注听讲”所占的扇形的圆心角度数；
（3）如果该区有6000名初四学生，那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少人？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）用主动质疑、独立思考、专注听讲三个项目的人数之和除以所占的百分比，计算即可求出抽查的学生数；
（2）用“专注听讲”的百分比乘以360°，计算即可得解；
（3）用“独立思考”的百分比乘以6000计算即可得解．
【解答】解：（1）（84+168+224）÷（1﹣15%）=476÷85%=560（名）；
（2）×360°=144°；
（3）×6000=1800（名）．
　
24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，DE⊥CD，DE⊥AB于E，sinA=，DE=2BE．
（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，点F在AB的延长线上，点G在AD上，连接DF、CG，交于H，若CG=DF，求∠DHG的正切值．
【考点】菱形的判定与性质；解直角三角形．
【分析】（1）先证明殊不知ABCD是平行四边形，再证明AD=AB即可解决问题．
（2）如图2中，作GM⊥BC于M，DF交BC于O．先证明△GMC≌△DEF，推出∠DHG=∠CHO=∠A，即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥CD，DE⊥AB于E，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△ADE中，设AD=5k，
∵sinA==，
∴DE=4k，
∴AE==3k，
∵DE=2EB，
∴EB=2k，
∴AB=AE+EB=5k=AD，
∴四边形ABCD是菱形．，
（2）解：如图2中，作GM⊥BC于M，DF交BC于O．
∵四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，GM⊥BC，
∴DE=GM，
在Rt△GMC和Rt△DEF中，
，
∴△GMC≌△DEF，
∴∠GCB=∠DFE，
∵∠HOC=∠BOF，
∴∠CHO=∠OBF，
∵∠DHG=∠CHO，
∴∠DHG=∠OBF，
∵BC∥AD，
∴∠OBF=∠A，
∴∠DHG=∠A，
∴tan∠DHG=tam∠A==．
　
25．为了抓住开阳南江枇杷节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不超过7650元，那么该商店最多可购进A纪念品多少件？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，根据条件建立方程组求出其解即可；
（2）设商店最多可购进A纪念品a件，则购进B纪念品件，根据购买这100件纪念品的资金不超过7650元为不相等关系建立不等式求出其解即可．
【解答】解：（1）设A种纪念品每件x元，B种纪念品每件y元，由题意，得
，
解得：，
答：A种纪念品每件100元，B种纪念品每件50元；
（2）设商店最多可购进A纪念品a件，则购进B纪念品件，由题意得
100a+50≤7650，
解得：a≤53，
答：商店最多可购进A纪念品53件．
　
26．如图，在⊙O中，BC为⊙O的弦，点A在半径OD上，连接AB、AC，
=．
（1）如图1，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，延长DO交BC于F，延长BO交AC于G，交⊙O于E，若AO=2OF，求证：点G为AC的中点；
（3）如图3在（2）的条件下，连接CE，H在FC上，直线GH交⊙O于M、N，若CA平分∠BCE，OF=FH，BC=6，求MN的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）如图1中，延长DO交BC于F．根据垂径定理可得DF垂直平分BC，由此可得AB=AC．
（2）如图2中，连接EC，AE，OC，只要证明四边形AOCE是平行四边形即可解决问题．
（3）如图3中，连接OC交MN于K，连接OM．首先证明OC⊥MN，求出OK、OM即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，延长DO交BC于F．
∵=，
∴DF⊥BC，
∴BF=CF，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．
（2）证明：如图2中，连接EC，AE，OC
∵BO=OE，BF=FC，
∴OF∥EC，EC=2OF，
∵AO=2OF，
∴OA=EC，∵OA∥EC，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴AG=CG，即G是AC中点．
（3）解：如图3中，连接OC交MN于K，连接OM．
∵AC平分∠BCE，∠BCE=90°，
∴∠ECA=∠ACB=∠ABC=45°，
∴∠BAC=90°，
∵BC=6，
∴AF=BF=CF=3，OA=2，OF=FH=1，HC=EC=2，
∵CG=CG，∠GCH=∠GCE，CH=CE，
∴△CGH≌△CGE，
∴∠∠CHG=∠CEG，
∵∠CBE+∠CEG=90°，
∵OB=OC，
∴∠CBE=∠OCB，
∴∠OCB+∠CHG=90°，
∴∠CKH=90°，
∴OK⊥MN，MK=KN，
∵△CKH∽△CFO，
∴=，∵OC==，
∴=，
∴CK=，
∴OK=OC﹣CK=，
∴MK===，
∴MN=2MK=．
　
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣a交于x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E，DE=2．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是抛物线对称轴上的动点，连接CP绕点P顺时针旋转90°，C的对应点为点Q，连接DQ交抛物线于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点D作DN∥CP交抛物线于点N，交PQ于点M，连接QN，若QN=DP，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用抛物线的顶点坐标的纵坐标为2即可确定出a，得出结论；
（2）设出点P的坐标．根据旋转的性质得出点Q的坐标，从而确定出直线DQ的解析式，结合抛物线解析式联立方程组即可求出点F的坐标；
（3）由（2）得出的直线PC解析式，得出直线DN解析式，结合抛物线解析式，确定出N的坐标，即可判断出QN∥DP，进而表示出NQ，DP，建立方程求解即可得出点N坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣a，
∴顶点坐标纵坐标为=﹣2a，
∵DE=2，
∴a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1，
（2）如图2，
由（1）知，抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1①，
∴抛物线的对称轴为x=1，D（1，2），C（0，1），
∵点P是抛物线对称轴上的动点，
∴设点P坐标为（1，t），
∴直线CP解析式为y=（t﹣1）x+1
过点P作PG⊥OC，过Q作QH⊥DP，
∵CP绕点P顺时针旋转90°，C的对应点为点Q，
∴QH=CG=1﹣t，PH=PG=1．
∴EH=1+t，
∴Q（2﹣t，1+t），
∵D（1，2），
∴DQ解析式为y=﹣x+3②，
联立①②得，（舍）或，
∴F（2，1）；
（3）由（2）知，直线CP解析式为y=（t﹣1）x+1，
∵DN∥CP，D（1，2），
∴直线DN的解析式为y=（t﹣1）x+3﹣t③，
∵抛物线解析式为y=﹣x2+2x+1④，
联立③④得，（点D的纵横坐标）或，
∴N（2﹣t，﹣t2+2t+1），
由（2）知，Q（2﹣t，1+t），
∴NQ∥PD，
∴QN=（1+t）﹣（﹣t2+2t+1）=t2﹣t，
∵D（1，2），P（1，t），
∴DP=2﹣t，
∵QN=DP，
∴t2﹣t=（2﹣t），
∴t=（此时连接DQ不能和抛物线相交，所以舍去）或t=﹣1，
∴N（3，﹣2）．
　
2017年2月7日