(共19张PPT)
第五章 相交线与平行线
5.1.1 相交线
情境引入
1.这一组图片有什么共同特点？
2.观察剪刀剪东西的过程，两个手柄构成的角和两片刀刃构成的角位置保持怎么的联系？
如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系.
你能动手画出两条相交直线吗
探究新知
1
2
3
4
A
B
C
D
形如∠1 与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
O
图中还有哪些角也是邻补角呢？
∠2 和∠3
∠3 和∠4
∠4 和∠1
你能写出邻补角∠1和∠2的大小关系式吗？
B
A
C
D
2
4
1
3
∠1 +∠2=180°
同样，∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1都是邻补角
所以，∠2 +∠3=180°，∠3 +∠4=180° ，∠4 +∠1=180°
1
2
3
4
A
B
C
D
O
图中还有哪些角也是对顶角呢？
形如∠1 与∠3有一个公共顶点O，并且∠1 的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.
∠2和∠4也是一对对顶角.
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
√
∠ 2 +∠3= ，
你能得到对顶角∠1和∠3的大小关系吗？
∠2与∠3互补
∠1与∠2互补，
那么∠ 2 +∠1= ，
∠1= ∠3
180°
180°
由同角的补角相等可知
动动脑：为什么？
1
2
3
4
B
A
C
D
o
因此可得对顶角的性质：对顶角相等
如图，直线AB、CD相交于点O，
若∠1=28°，则∠2=_____．
28°
例1、如图,直线a、b相交，∠1=40°,求 ∠2、∠3、∠4的度数。
a
b
）
（
1
4
2
（
变式1：若∠1= 32°20′，求∠2、∠3、∠4的度数。
解：由邻补角的定义可知
∠2=180°-∠1
=180°-40°=140°
由对顶角相等可得
∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°
例题讲解
）
3
a
b
）
（
1
4
2
（
）
3
变式2：若∠1＋∠3 = 60°，则∠3= ，
∠2= 。
30°
150°
解:设∠1=x°,则∠2=4x°
变式3：若∠2是∠1的4倍，求∠3的度数？
根据邻补角的定义,得 x+4x=180
所以 x=36
根据对顶角相等,可得∠3=∠1=36°
则∠1=36°
1、如图所示,直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是 ，∠4的对顶角是 ， ∠4的邻补角是 。
∠AOD
∠3
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
随堂练习
∠1或∠3
2、如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度 为什么
∵∠AOC=70°（已知）
∴∠BOD=70°（对顶角相等）
∵∠DOE=90°（已知）
∴∠DOF=90°（平角定义）
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB
=90°- 70°=20°
3、如图两堵墙围一个角 AOB,但人不能进入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
C
D
AOB=∠COD
AOB=180°-∠AOC
（邻补角互补)
（对顶角相等)
1、如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若∠AOC=28°,求∠EOF的度数.
拓展延伸
2、观察下列图形,寻找对顶角(不含平角):
(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.
(2)三条 直线相交于一点(如图 (2)),图中共有________ 对对顶角.
(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________ 对对顶角.
(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.
2
6
12
n(n-1)
4054182
对顶角的概念：
互为邻补角的两个角的和是180°
一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角叫做对顶角。
对顶角的性质：
邻补角的概念：
对顶角相等
有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
邻补角的性质：
课堂小结
分类
邻补角
两直线相交
对顶角
位置
关系
大小关系
∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°
∠3+∠4=180°
∠4+∠1=180°
B
A
C
D
2
4
1
3
∠1 和∠2
∠2 和∠3
∠1 和∠3
∠3 和∠4
∠4 和∠1
∠2 和∠4
∠1=∠3
∠2=∠4
邻补角、对顶角的位置关系和大小关系5.1.1 相交线
教学目标
1.通过动手观察、操作、推断、交流等数学活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和有条理表达能力.毛21·cn·jy·com
2.在具体情境中了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.【来源：21·世纪·教育·网】
重点、难点
重点:邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.
难点:理解对顶角相等的性质的探索.
教学过程
一、情境导入
1、观察下面的图片，你有什么发现？
这一组图片有什么共同特点？
2、观察剪刀剪东西的过程，两个手柄构成的角和两片刀刃构成的角位置保持怎么的联系？
设计意图：通过学生熟悉的事物，直观形象地给出了生活中的平行线和相交线，激发了学生的学习兴趣。
二、探究新知
(一)如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系
两条直线相交，形成的小于平角的角有哪几个？
学生观察，得出小于平角的角有∠1，∠2，∠3，∠4
将这些角两两相配能得到几对角？
设计意图：用现实生活中的例子引出两条直线相交所成的角的问题，自然而贴切。 这样安排既可以复习七年级上册中互补的知识，又为学习本堂课的新知识做了铺垫。
（二）认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质
1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角 各对角的位置关系如何 根据不同的位置怎么将它们分类 www.21-cn-jy.com
学生思考并在小组内交流,全班交流.
当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时, 教师引导学生用几何语言准确地表达,如:
∠AOC和∠BOC有一条公共边OC,它们的另一边互为反向延长线.
∠AOC和∠BOD有公共的顶点O,而是∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.
2.学生用量角器分别量一量各个角的度数,以发现各类角的度数有什么关系,学生得出有“相邻”关系的两角互补，“对顶”关系的两角相等.21世纪教育网版权所有
3.概括形成邻补角、对顶角概念.
(1)师生共同定义邻补角、对顶角.
有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.
如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.21·世纪*教育网
(2)初步应用.
练习1:下列说法,你同意吗 如果错误,如何订正.
①邻补角的“邻”就是“相邻”，就是它们有一条“公共边”，“补”就是“互补”，就是这两角的另一条边共同一条直线上.www-2-1-cnjy-com
②邻补角可看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.
③邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角
5.对顶角性质.
(1)教师让学生说一说在学习对顶角概念后,结果实际操作获得直观体验发现了什么 并说明理由.
(2)教师把说理过程,规范地板书:
在图1中,∠AOC的邻补角是∠BOC和∠AOD,所以∠AOC与∠BOC互补,∠AOC 与∠AOD互补,根据“同角的补角相等”,可以得出∠AOD=∠BOC,类似地有∠AOC=∠BOD.
教师板书对顶角性质:对顶角相等.
强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆: 对顶角的概念是确定二角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.21cnjy.com
设计意图：教师放手让学生通过讨论解决问题，培养了学生的动手能力，提高了合作意识。 教师要鼓励学生运用自己的语言有条理的表达自己的观点，并说明理由。 “对顶角相等”这句话，学生很好理解，只是不知怎么阐述理由，教师可引导学生用“同角的补角相等”得出对顶角的性质。2·1·c·n·j·y
三、例题讲解
1.例:如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.
教学时,教师先让学生辨让未知角与已知角的关系,用指出通过什么途径去求这些未知角的度数的,然后板书出规范的求解过程.2-1-c-n-j-y
出示变式题目，要求学生独立思考解答。
设计意图：通过例题，让学生学会运用所学知识，规范答题过程。
四、随堂练习
1、如图所示,直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是 ，∠4的对顶角是 ， ∠4的邻补角是 。【来源：21cnj*y.co*m】
2、如图，已知∠DOE=90°，AB是经过点O的一条直线。如果∠AOC=700，那么∠BOF等于多少度 为什么 【出处：21教育名师】
3、如图两堵墙围一个角AOB,但人不能进入围墙，我们如何去测量这个角的大小呢？
设计意图：发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力。
五、拓展延伸
1、如图所示,直线AB,CD相交于点O,作∠DOE=∠BOD,OF平分∠AOE,若∠AOC=28°,求∠EOF的度数.21*cnjy*com
2、观察下列图形,寻找对顶角(不含平角):
(1)两条直线相交(如图(1)),图中共有______对对顶角.
(2)三条 直线相交于一点(如图 (2)),图中共有________ 对对顶角.
(3)四条直线相交于一点(如图(3)),图中共有________对对顶角.
(4)研究(1)～(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n条直线相交于一点,则可构成________ 对对顶角.【版权所有：21教育】
(5)若有2014条直线相交于一点,则可构成________对对顶角.
设计意图：学生可以根据自己的不同水平来巩固自己学过的知识，通过拓展训练，让学生有一定的成就感。
六、课堂小结
1、对顶角的概念：
一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角叫做对顶角。
2、对顶角的性质：对顶角相等
3、邻补角的概念：
有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角.
4、邻补角的性质：互为邻补角的两个角的和是180°
5、邻补角、对顶角的位置关系和大小关系
设计意图：回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
参考答案：
随堂练习：
1、∠3 ∠AOD ∠1或∠3
2、解∵∠AOC=70°（已知）
∴∠BOD=70°（对顶角相等）
∵∠DOE=90°（已知）
∴∠DOF=90°（平角定义）
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB=90°- 70°=20°
3、解：
AOB=180°-∠AOC（邻补角互补)
AOB=∠COD（对顶角相等)
拓展延伸
1、因为∠BOD=∠DOE,所以∠DOE=∠BOE,同理∠EOF=∠AOE,
所以∠DOF=∠DOE+∠EOF
=∠BOE+∠AOE
=(∠BOE+∠AOE)=×180°=90°.
又∠BOD和∠AOC是对顶角,
所以∠BOD=∠AOC=28°,所以∠EOF=90°-28°=62°
2、图(1)中有两条直线,共有2对对顶角,而2=2×1;图(2)中有三条直线,共有6对对顶角,而6=3×2;图(3)中有四条直线,共有12对对顶角,而12=4×3;……当有n条直线相交于一点时,共有n(n-1)对对顶角;若有2014条直线相交于一点,则可构成2014×2013=4054182对对顶角.21教育网
答案：(1)2 (2)6 (3)12 (4)n(n-1)(5)4054182
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