18.2.2 菱形同步练习

18.2.2 菱形
一、单选题（共8题；共24分）
1、（2016?娄底）下列命题中，错误的是（　　）
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形B、有一个角是直角的平行四边形是矩形C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形D、内错角相等21·世纪*教育网
2、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）
A、2B、4C、8D、8
3、若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的边长为( ? ?? )
A、5B、10C、20D、14
4、如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为（4，0），点B的纵坐标是-1，则顶点A的坐标是(??? )【出处：21教育名师】
A、（2，?1）B、（1，?2）C、（1，2）D、（2，1）
5、如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是（　　）.
A、四边形ABCD是平行四边形B、AC⊥BDC、ABD是等边三角形D、∠CAB＝∠CAD
6、平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），四边形ABCD是（　　）. 21*cnjy*com
A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形
7、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A、108°?B、72°?C、90°?D、100°
8、（2016?临沂）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD．则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（　　）21教育名师原创作品
A、0B、1C、2D、3
二、填空题（共8题；共24分）
9、菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的解，则菱形ABCD的周长为________ ．
10、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为________ ． 
11、如图，在四边形ABCD中，对角线AC ， BD交于点O ， OA＝OC ， OB＝OD ， 添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________（写出一个即可）．www-2-1-cnjy-com
12、（2015?哈尔滨）在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为?________.
13、（2015?广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为________cm2 ． 
14、如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是________?．www.21-cn-jy.com
15、如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是________ cm2 ．
16、（2016?西宁）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是________．
三、解答题（共5题；共52分）
17、在菱形ABCD中，AE⊥BC ， AF⊥CD ， 且E ， F分别为BC ， CD的中点，求∠EAF ． 2·1·c·n·j·y
18、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，过A点作BC的平行线，截取AE=BD，连结EB，连结EC交AD于点F．（1）证明：当点F是AD的中点时，点D是BC的中点；（2）证明：当点D是AB的中垂线与BC的交点时，四边形AEBD是菱形．
19、如图，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，联结DB，BE，EF，FD．
(1)求证：四边形DBEF是矩形；
(2)如果∠A=60°，菱形ABCD的面积为， 求DF的长．
20、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．?
21、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．21教育网

18.2.2 菱形
参考答案
一、单选题
2、【答案】B  【解析】【解答】在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点．
∴AC⊥BD，AC=4，∴AO=2．∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°．由勾股定理可知：BO=2． 则BD=4． 故选B．21·cn·jy·com

3、【答案】A 【解析】
【分析】菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等，两条对角线的一半和菱形的边构成直角三角形，从而可求出菱形的边长．【版权所有：21教育】
【解答】∵菱形两条对角线的长分别为6和8．∴菱形两条对角线的一半长分别为3和4．∴菱形的边长为：=5．故选A．
【点评】本题考查菱形的性质，知道菱形的对角线垂直且互相平分，四个边长相等．
4、【答案】D 【解析】
【分析】点A的横坐等于OC的长的一半，点A的纵坐标与点B的纵坐标互为相反数．
【解答】∵点C的坐标为（4，0)，∴OC=4，∴点B的纵坐标是-1，∴A（2，1)．故答案为：D．21世纪教育网版权所有
【点评】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，综合性较强，关键是知道菱形是轴对称图形
5、【答案】C 【解析】【解答】菱形是特殊的平行四边形，故A正确，根据菱形的性质：对角线互相平分且平分对角得B、D正确，所以选C．【分析】此题主要考查菱形的基本性质：菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；以及和平行四边形的联系． 21*cnjy*com
6、【答案】B 【解析】【解答】图形如图所示：∵A（－3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，－2），∴OA＝OC ， OB＝OD ， ∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC ， ∴四边形ABCD为菱形，故选B．【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD ， 再根据图形特点进行判断． 21cnjy.com
7、【答案】B 【解析】【解答】解：连接PA，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．【分析】由菱形的性质得出∠ADP=∠CDP=∠ADC，PA=PC，再由线段垂直平分线的性质得出PA=PD，证出PD=PC，得出∠PCD=∠CDP=36°，由外角性质即可求出∠CPB．
8、【答案】D 【解析】【解答】解：∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，∴∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，∴∠ACD=120°﹣60°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=AD，AC=AD=DE=CE，∴四边形ACED是菱形，∵将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，AC=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∴①②③都正确，故选D．【分析】根据旋转和等边三角形的性质得出∠ACE=120°，∠DCE=∠BCA=60°，AC=CD=DE=CE，求出△ACD是等边三角形，求出AD=AC，根据菱形的判定得出四边形ABCD和ACED都是菱形，根据菱形的判定推出AC⊥BD．本题考查了旋转的性质，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
二、填空题
9、【答案】16 【解析】【解答】∵解方程 得：x＝4，∴菱形的边长为4，∴菱形ABCD的周长为4×4＝16．【分析】边AB的长是方程 的解，解方程求得x的值，即可求得菱形ABCD的周长．
11、【答案】AB＝AD（答案不唯一）． 【解析】【解答】∵OA＝OC ， OB＝OD ， ∴四边形ABCD是平行四边形，∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴添加的条件是AB＝AD（答案不唯一）．【分析】利用菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可判定该四边形是菱形．
12、【答案】5.5或0.5 【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，∵四边形BCFE为菱形，∴CF=EF=BE=BC=5，∴DF===3，∴AF=AD+DF=8，∵M是EF的中点，∴MF=EF=2.5，∴AM=AF﹣DF=8﹣2.5=5.5；②如图2所示：同①得：AE=3，∵M是EF的中点，∴ME=2.5，∴AM=AE﹣ME=0.5；综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；故答案为：5.5，或0.5．?【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD=AB=4，BC=AD=5，∠ADB=∠CDF=90°，由菱形的性质得出CF=EF=BE=BC=5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE=3，求出ME，即可得出AM的长．
13、【答案】 【解析】【解答】解：连接AC，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中点，∴EH=BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=AC=HG，∴四边形EHGF是平行四边形，∵菱形ABCD中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=AB=3，∴AC=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==3，∴BD=6，∵EH=BD，EF=AC，∴EH=3，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF?FG=9cm2 ． 故答案为：9．【分析】连接AC、BD，首先判定四边形EFGH的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出AC与BD的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可．
14、【答案】cm　 【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，∴BC==5cm，∴S菱形ABCD==×6×8=24cm2 ， ∵S菱形ABCD=BC×AE，∴BC×AE=24，∴AE==cm．故答案为：cm．【分析】根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
15、【答案】8 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=4cm，∵∠A=45°，DE⊥AB，∴DE =2（cm），∴S菱形ABCD=AB?DE=8（cm2）．故答案为：8． 【分析】由在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，即可求得DE的长，继而求得菱形ABCD的面积．
16、【答案】16 【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴AB=2EF=4，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16．故答案为16．【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．灵活应用三角形中位线性质是解决问题的关键．
三、解答题
17、【答案】解答：解：∵AE⊥BC ， AF⊥CD ， ∴∠AFC＋∠AEC＝180°，∴∠C＋∠EAF＝180°，又∵∠B＋∠C＝180°，∴∠EAF＝∠B ， 又∵BE＝ BC ， AB＝BC ， ∴BE＝ AB ， ∴∠BAE＝30°，∴∠B＝60°，∴∠EAF＝60°． 【解析】【分析】画出图形，根据菱形的性质求出∠C＋∠EAF＝180°，又因为∠B＋∠C＝180°，推出BE＝ BC ， AB＝BC ， BE＝ AB ， 最后可推出∠EAF＝60°．
18、【答案】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠EAF=∠CDF，又∵F是AD的中点，∴AF=DF，∴∴△EAF≌△CDF，∴DC=AE，∵AE=BD，∴BD=DC；（2）∵AE=BD且AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形，又∵点D是AB的中垂线与BC的交点，则有BD=AD，∴平行四边形AEBD一组邻边相等，∴四边形AEBD是菱形． 【解析】【分析】（1）证得△EAF≌△CDF后即可得到DC=AE，然后根据AE=BD得到BD=DC；（2）首先利用一组对边相等且平行的四边形为平行四边形证得平行四边形，然后根据中垂线的性质得到BD=AD，从而利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．
19、【答案】（1）证明：∵CE=CD，CF=CB，∴四边形DBEF是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB．∴CE=CF，∴BF=DE，∴四边形DBEF是矩形．（2）解：设DB为2a，∵∠A=60°，菱形ABCD的面积为，∴可得，解得：a=2，∴DB=4，∵∠DBC=60°，∴DF=． 【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得出CE=CD，CF=CB，再根据矩形的判定证明即可．（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，得出DB的长度，再根据含30°直角三角形的性质解答即可． 【来源：21·世纪·教育·网】
20、【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中?∴△AFE≌△DBE（AAS），∴AF=BD，∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明：AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形． 【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可． 2-1-c-n-j-y
21、【答案】证明：（1）∵AB∥CD，即AE∥CD，又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形．∵AC平分∠BAD，∴∠CAE=∠CAD，又∵AD∥CE，∴∠ACE=∠CAD，∴∠ACE=∠CAE，∴AE=CE，∴四边形AECD是菱形；（2）解：△ABC是直角三角形． 【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行证得四边形AECD是平行四边形，只需证明四边形AECD的两邻边相等即可．根据AC平分∠BAD，以及CE∥AD，易证得∠EAC=∠ECA，由此可知AE=CE，即四边形AECD是菱形；（2）连DE，DE交AC于F，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分有：DE垂直平分AC，则EF是△ABC的中位线，有EF∥BC，则BC⊥AC，由此可证得△ABC是直角三角形．