18.2.3 正方形同步练习

18.2.3 正方形
一、单选题（共8题；共24分）
1、圆、正方形、长方形、等腰梯形中有唯一条对称轴的是（???）
A、圆B、正方形C、长方形D、等腰梯形
2、四边形ABCD的两条对角线将这个四边形分为四个全等的等腰直角三角形，那么此四边形一定是（ ???） 21cnjy.com
A、正方形B、菱形C、矩形D、平行四边形
3、下列命题中错误的是
A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形B、对角线相等的平行四边形是矩形C、一组邻边相等的平行四边形是菱形D、对角线相等且互相垂直的四边形是正方形2-1-c-n-j-y
4、（2015?陕西）在?ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长为（　　） 21世纪教育网版权所有
A、7B、4或10C、5或9D、6或8
5、如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值是?????????????????????????????????????????????????????????（ ?? ? ）21教育网
A、B、C、5D、以上都不对
6、如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2）．点D、E分别在AB、BC边上，BD=BE=1．沿直线DE将△BDE翻折，点B落在点B′处．则点B′的坐标为（?? ）www.21-cn-jy.com
A、（1，2）．B、（2，1）．C、（2，2）．D、（3，1）．
7、如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD ， DP⊥AB于P ． 若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（??? ）.21*cnjy*com
A、B、2C、D、18
8、如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，过点A作FA=AE交CB的延长线于点F，若AB=4，则四边形AFCE的面积是（　　）?www-2-1-cnjy-com
A、4B、8C、16D、无法计算
二、填空题（共8题；共24分）
9、已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是________? 【出处：21教育名师】
10、已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=________?．?【版权所有：21教育】
11、（2015?北海）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE=15°，则AE=?________．? 【来源：21·世纪·教育·网】
12、（2015?贵港）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为?________．21教育名师原创作品
13、（2016?南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2 ， 正方形AECF的面积为50cm2 ， 则菱形的边长为________cm．21*cnjy*com
14、如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为________．??

15、已知，如图，四边形ABCD是正方形，BE=AC，则∠BED=________度．
16、（2016?天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则 的值等于________．
三、解答题（共5题；共52分）
17、（2016春?巢湖市校级期中）如图，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．当BD、AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．【来源：21cnj*y.co*m】
18、如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
19、如图，D是线段AB的中点，C是线段AB的垂直平分线上的一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．（1）求证：DE=DF；（2）当CD与AB满足怎样的数量关系时，四边形CEDF为正方形？请说明理由．?21·cn·jy·com
20、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE＝DF，∠EAB＝15°。 （1）若AE＝3，求EC的长；（2）若点G在DC上，且∠CGA＝120°，求证：AG＝EG＋FG。
21、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．（1）求证：AE=CF；（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．?

18.2.3 正方形
参考答案
一、单选题

2、【答案】A 【解析】【分析】根据等腰直角三角形的特征及正方形的判定定理即可得到结果。【解答】四边形ABCD的两条对角线将这个四边形分为四个全等的等腰直角三角形，则一定能够得到：对角线互相平分、相等且垂直，所以一定是正方形。故选A.【点评】解答本题的关键是熟练掌握正方形的两条对角线将正方形分为四个全等的等腰直角三角形。
3、【答案】D 【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法依次分析各选项即可作出判断.A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，B．对角线相等的平行四边形是矩形，C．一组邻边相等的平行四边形是菱形，均正确，不符合题意；D．对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，也可能是等腰梯形，故错误，本选项符合题意选D
4、【答案】D 【解析】【解答】如图：设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，在△ABE中，根据勾股定理可得x2+（14﹣x）2=102 ， 解得x1=6，x2=8．故AE的长为6或8．故选：D????? 【分析】设AE的长为x，根据正方形的性质可得BE=14﹣x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可得到AE的长．
5、【答案】A 【解析】
【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．
【解答】如图，连接AE，AP， 因为点C关于BD的对称点为点A，所以PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为3，BE=2，∴AE==，∴PE+PC的最小值是．故选：A．2·1·c·n·j·y
6、【答案】B 【解析】【分析】首先根据折叠可以得到B′E=BE，B′D=BD，又点B的坐标为（3，2)，BD=BE=1，根据这些条件即可确定B′的坐标．
【解答】∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（3，2)，∴CB=3，AB=2，又根据折叠得B′E=BE，B′D=BD，而BD=BE=1，∴CE=2，AD=1，∴B′的坐标为（2，1)．故选B．21·世纪*教育网

7、【答案】A 【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E ， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE＋∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE ， ∵DP⊥AB ， ∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中， ，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP ， 四边形ABCD的面积等于四边形DPBE的面积均为18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝ ＝ ．
8、【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，AB=AD，即∠ABF=∠D=90°，在Rt△ABF和Rt△ADE中，?，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴SRt△ABF=SRt△ADE ， ∴SRt△ABF+S四边形ABCE=SRt△ADE+S四边形ABCE ， ∴S四边形AFCE=S正方形ABCD=16．故选C．
二、填空题
9、【答案】AB＝AD或AC⊥BD（答案不唯一） 【解析】【解答】由∠A＝∠B＝∠C＝90°可知四边形ABCD是矩形，根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB＝AD或AC⊥BD等．【分析】由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
10、【答案】 【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD= =， 即DE=BD=， 故答案为：． 【分析】根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
11、【答案】8 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为8．【分析】先由正方形的性质可得∠BAC=45°，AB∥DC，∠ADC=90°，由∠CAE=15°，根据平行线的性质及角的和差得出∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=30°．然后在Rt△ADE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到AE=2AD=8．
12、【答案】30° 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，∵△CDE是等边三角形，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，∴∠DEA=∠CEB=×（180°﹣150°）=15°，∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；故答案为：30°．【分析】由正方形和等边三角形的性质得出∠ADE=∠BCE=150°，AD=DE=BC=CE，得出∠DEA=∠CEB=15°，即可得出∠AEB的度数．
14、【答案】2　 【解析】【解答】解：设正方形边长为a，∵S△ABE=18，∴S正方形ABCD=2S△ABE=36，∴a2=36，∵a＞0，∴a=6，在RT△BCE中，∵BC=6，CE=4，∠C=90°，∴BE===2． 故答案为2． 【分析】根据正方形面积是△ABE面积的2倍，求出边长，再在RT△BCE中利用勾股定理即可．
15、【答案】22.5 【解析】【解答】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，AC=BD，∵BE=AC，∴BD=BE，∴∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质，∠ABD=∠BDE+∠BED，∴∠BED= ∠ABD= ×45°=22.5°．故答案为：22.5． 【分析】连接BD，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=45°，再根据正方形的对角线相等可得AC=BD，然后求出BD=BE，再根据等边对等角可得∠BDE=∠BED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
16、【答案】 【解析】【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN= BD= AB，∴ = = ，故答案为： ．
三、解答题
17、【答案】解：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由如下：在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，所以EF∥AC，且EF=AC，同理有GH∥AC，且GH=AC，∴EF∥GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形．EH∥BD且EH=BD，若AC=BD，则有EH=EF，又因为四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．即：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形． 【解析】【分析】在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF=AC，GH∥AC，且GH=?AC，得到四边形EFGH是平行四边形，知四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．对角线相等，推知四边形EFGH是正方形
18、【答案】证明：（1）∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，∴AD=BD=CD，∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形． 【解析】【分析】（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
19、【答案】（1）证明：∵CD垂直平分线AB，∴AC=CB．∴△ABC是等腰三角形，∵CD⊥AB，∴∠ACD=∠BCD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°∴∠EDC=∠FDC，在△DEC与△DFC中， ，∴△DEC≌△DFC（ASA），∴DE=DF；（2）解：当AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．理由如下：∵AD=BD，AB=2CD，∴AD=BD=CD．∴∠ACD=45°，∠DCB=45°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∴四边形DECF是矩形．又∵DE=DF，∴四边形CEDF是正方形．? 【解析】【分析】（1）由CD垂直平分线AB，可得AC=CB，得出∠ACD=∠BCD，再由∠EDC=∠FDC=90°，可证得△ACD≌△BCD，得出CE=CF即可；（2）先证明四边形CEDF是矩形，再证出因此AB=2CD时，四边形CEDF为正方形．
20、
【答案】（1）解：连接EF ∵正方形ABCD∴AB=AD，∠B=∠D∵BE＝DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∵∠EAB＝15°∴∠FAE=90°-15°-15°=60°∴△AEF是等边三角形∵AE=EF=3 ，△CEF是等腰直角三角形∴CE=（2）证明：在AG上截取GM=GF,，连接FM，FE. ∵∠CGA=120°∴∠FGM=60°∴∠GFM=60°? FG=GM=FM∴∠GFE=∠MFA∵∠D=∠B=90°?? AD=AB ，BE=DF∴△ABE≌△ADF∴AE=AF∵∠EAF=60°∴AE=EF=AF∵AF=EF?∠GFE=∠MFA.FA=FE∴△GFE≌△MFA∴AM=EG∵AG=AM+MG∴AG=EG+FG 【解析】【分析】（1） 连接EF，根据正方形的性质求出AB=AD，∠B=∠D，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，从而得到△AEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF，再判断出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系求解即可；（2）利用截补法可证明AG＝EG＋FG．
? 【解析】【分析】（1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF．（2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果．