5.1.2垂线
教学目标
1．了解垂线、点到直线的距离的意义，理解垂线和垂线段的性质；
2．了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，会用三角板过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离。21教育网
教学重点
1．两条直线互相垂直的概念、性质和画法.
2．“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用.
教学难点：
对点到直线的距离的概念的理解
教学过程
一、情境导入
利用多媒体展示田亮和三位跳水运动员入水前的精彩图片。
教师提出问题：如果用一条水平直线a表示水面，你能用另一条直线b画出不同选手入水的示意图吗？
如图（1），直线a与直线b的位置关系就是我们今天要学习的内容——垂线。
设计意图：“兴趣是最好的老师”借助于多媒体，展示田亮的照片来激发学生的好奇心，从而激起学生的学习兴趣，使学生先得到直观的感性认识,培养学生从感性到理性的认知方式。21世纪教育网版权所有
二、探究新知
活动一：探究垂线的概念及画法
1.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的 其中会有特殊情况出现吗 当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系 21·cn·jy·com
教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.www-2-1-cnjy-com
3.师生共同给出垂直定义.
师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。21*cnjy*com
4.垂直的表示法.
垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.
5.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗 能画几条 通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置 在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.
教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条 从中你又得出什么结论
教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:
垂线性质:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
活动二：探究垂线的性质及点到直线的距离
1、在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？如何挖渠能使渠道最短，为什么？
2.教师以问题串形式,启发学生思考.
(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗
学生说出:两点间线段最短.
(2) 如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢 把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题. www.21-cn-jy.com
问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L 上各点的线段中,哪一条最短
3.教师演示教具,给学生直观的感受.
教具如图:在硬纸板上固定木条L,L外一点P,转动的木条a一端固定在点P.
使木条L与a相交,左右摆动木条a,L与a的交点A随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA最短时,a与L的位置关系如何 用三角尺检验.【出处：21教育名师】
4.学生画图操作,得出结论.
(1)画出直线L,L外一点P;
(2)过P点出PO⊥L,垂足为O;
(3)点A1,A2,A3……在L上,连接PA、PA2、PA3……;
(4)用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……长短.
5.师生交流,得出垂线的另一条性质.
教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单说成:垂线段最短.
关于垂线段教师可让学生思考:
(1)垂线段与垂线的区别联系.
(2)垂线段与线段的区别与联系.
6．师生根据两点间的距离的意义给出点到直线的距离命名.
结合课本图形(图5.1-9),深入认识垂线段PO:PO⊥L,∠POA=90°,O为垂足,垂线段PO的长度比其他线段PA1、PA2……中是最短的.2·1·c·n·j·y
按照两点间的距离给点到直线的距离命名,教师板书:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
在图5.1-9中,PO的长度是点P到直线L的距离,其余结论PA、PA2……长度都不是点P到L的距离.【来源：21cnj*y.co*m】
设计意图：这个环节主要体现出学生的学，给出问题让学生边看书边思考问题，从而让每位学生都投入紧张的学习中，培养学生的自学能力。【版权所有：21教育】
三、随堂练习
1、下列说法中，不正确的是( )
A.在同一平面内，经过一点只能画一条直线和已知直线垂直
B.一条直线可以有无数条垂线
C.在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有 一 条
D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直
2、如图，点D在直线AB上，当∠1与∠2具备条件________时，CD与AB的位置关系是垂直.
3、如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°,∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是________.【来源：21·世纪·教育·网】
4、已知直线L外一点P,则点P到直线L的距离是指( )
A.点P到直线L的垂线的长度 B.点P到直线L的垂线
C.点P到直线L的垂线段的长度 D.点P到直线L的垂线段
5.如图，AB丄BD于点B，CD丄BD于点D，则∠ABD=________，∠CDB=_________.
设计意图：在学生练习时，教师调查和摸清学习基础差的学生中疑难问题，并且帮助学困生；也及时检查学生的自学成果，当学生遇到疑难时教师及时引导。
四、拓展延伸
1、一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.
(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大 在图上标出来.21·世纪*教育网
(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大 哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大 2-1-c-n-j-y
2、如图，AC垂直BC于点C，CD垂直AB于点D，DE垂直BC于点E，试比较四条线段AC,DC,DE和AB的大小。21教育名师原创作品
设计意图：帮助全体学生巩固新学的知识、技能、方法，加深对相关知识和方法的理解；给有特殊学习需求的学生一个自我提升的空间，达到教学目标，又确保了学生当堂完成作业，从根本上保证了减轻学生课外的负担，让学生全面发展，健康成长。
四、课堂小结
1、垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2、垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
3、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
设计意图：学生巩固本节知识的同时学会总结反思，初步学会自我评价学习结果，,也锻炼了学生的归纳、整理和表达能力.21*cnjy*com
参考答案：
随堂练习：
1、【解析】选D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点并过直线上一点不一定有一条直线与已知直线垂直.故D错.
2、【解析】因为∠1与∠2互补，所以当∠1＝∠2=90°时，CD与AB垂直.
3、【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.21cnjy.com
4、【解析】选C.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.
5、【解析】由垂直的定义得，∠ABD=90°,∠CDB=90°.
拓展延伸：
1、【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对N学校的影响最大.
(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.
2、解：∵AC⊥BC，(已知)
∴AC＜AB，（垂线的性质二）
∵CD⊥AB，（已知）
∴DC＜AC，（垂线的性质二）
∵DE⊥BC，（已知）
∴DE＜DC，（垂线的性质二）
∴DC＜DC＜AC＜AB．(共27张PPT)
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂线
如果用一条水平直线a表示水面，你能用另一条直线b画出不同选手入水的示意图吗？
情境引入
探究新知
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
）
a
b
b
）
α
b
b
b
α
当α=90°时,a与b垂直.
当α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
1、垂线的定义
当两条直线相交的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线是互相垂直的，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB、CD互相垂直，记作
垂足为O.
活动一：探究垂线的概念及画法
A
B
C
D
o
反之：∵AB⊥CD （已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
2.垂直的数学表达形式
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义）
∵∠AOD=90°（已知）
∴AB⊥CD （垂直的定义）
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
∵∠ACB=90°∴AC⊥BC(垂直的定义)
∵∠ADC=∠BDC,∵∠ADC+∠BDC=180°
∴∠ADC=∠BDC=90°
∴AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD(垂直的定义).
牛刀小试
解：图中互相垂直的线段有AC⊥BC,AB⊥CD,AD⊥CD,BD⊥CD.
1、如图,∠ACB=90°,D是AB上一点，且∠ADC=∠BDC,请写出图中互相垂直的线段，并简要说明理由.
2.若直线m，n相交于点O， ∠1=90 °，则 。
3.若直线AB、CD相交于点O，且AB ⊥CD，那么∠BOD= 。
4.如图， BO ⊥AO， ∠BOC与∠BOA的度数之比为1：5，那么∠COA= 。 ∠BOC的补角为 度。
m ⊥n
90°
72°
162
问题1：这样画l的垂线可以画几条？
1、靠
2、移
3、画线
l
O
如图，已知直线 l,作l的垂线.
工具：直尺、三角板
A
无数条
活动二：探究垂线的画法
l
A
如图，已知直线 l和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
问题2：这样画l的垂线可以画几条？
1条
问题2：这样画l的垂线可以画几条？
l
B
如图，已知直线 l 和l外的一点B ,作l的垂线.
A
则所画直线BA是过点B的直线l的垂线.
请同学们画一下
问题2：这样画l的垂线可以画几条？
1条
垂直性质：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
从中，您得到了什么结论？说说看！
平面内 结论成立的前提条件
有 存在性
只有 唯一性
1.画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线。
A
B
P
A
B
P
做一做
注意 画线段(射线)的垂线时，有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线
A
P
例 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90° (垂直的定义)
∴ ∠EOD =∠EOB +∠BOD
=90°+55°=145°
A
C
E
B
D
O
1
(
解:
∵ AB⊥OE （已知）
∵ ∠BOD =∠1=55° （对顶角相等）
例题讲解
在灌溉时，要把河流ι中的水引到农田P处，可以有多少种引法？在方格纸上画出来，如何挖渠能使渠道最短，为什么？
ι
P
A1
A2
A3
A5
A6
ι
P
A4
3.8cm
3.6cm
3.3cm
3.1cm
3.5cm
4.1cm
活动2：探究垂线的性质及点到直线的距离
垂线的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
你知道在体育课上老师是怎样测量跳远成绩的吗？
你能说说其中的道理吗？
垂线段最短
垂直性质的实际应用
O
P
2、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
∟
垂线段最短
做一做
1.下列说法中，不正确的是( )
A.在同一平面内，经过一点只能画一条直线和已知直线垂直
B.一条直线可以有无数条垂线
C.在同一平面内，过射线的端点与该射线垂直的直线只有 一 条
D.过直线外一点并过直线上一点可画一条直线与该直线垂直
随堂训练
D
【解析】选D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点并过直线上一点不一定有一条直线与已知直线垂直.故D错.
2.如图，点D在直线AB上，当∠1与∠2具备条件________时，CD与AB的位置关系是垂直.
∠1=∠2
【解析】因为∠1与∠2互补，所以当∠1＝∠2=90°时，CD与AB垂直.
3.如图，三条直线AB，CD和EF相交于点O，∠AOE=40°,
∠BOD=50°，则图中互相垂直的两条直线是________.
EF和CD
【解析】因为∠AOE和∠BOF是对顶角，所以∠BOF=∠AOE =40°,又∠BOD=50°，所以∠DOF=∠BOD+∠BOF=90°，所以EF⊥CD.
4.已知直线L外一点P,则点P到直线L的距离是指( )
A.点P到直线L的垂线的长度
B.点P到直线L的垂线
C.点P到直线L的垂线段的长度
D.点P到直线L的垂线段
C
【解析】选C.点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度.
5.如图，AB丄BD于点B，CD丄BD于点D，则∠ABD=________，∠CDB=_________.
90°
90°
【解析】由垂直的定义得，∠ABD=90°,∠CDB=90°.
1、一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶,M,N分别是位于公路AB两侧的学校,如图所示.
(1)汽车在公路上行驶时,会对两个学校的教学都造成影响,当汽车行驶到何处时,分别对两个学校的影响最大 在图上标出来.
(2)当汽车从A向B行驶时,在哪一段上对两个学校的影响越来越大 哪一段上对M学校的影响逐渐减小,而对N学校的影响逐渐增大
拓展延伸
【解析】(1)如图,作MC⊥AB于点C ,ND⊥AB于点D,根据垂线段最短,所以在点C处对M学校的影响最大,在点D处对 N学校的影响最大.
(2)由A向点C行驶时,对两个学校的影响逐渐增大;由点C向点D行驶 时,对M学校的影响逐渐减小,对N学校的影响逐渐增大.
2、如图，AC垂直BC于点C，CD垂直AB于点D，DE垂直BC于点E，试比较四条线段AC,DC,DE和AB的大小。
解：∵AC⊥BC，(已知) ∴AC＜AB，（垂线的性质二） ∵CD⊥AB，（已知） ∴DC＜AC，（垂线的性质二） ∵DE⊥BC，（已知） ∴DE＜DC，（垂线的性质二） ∴DC＜DC＜AC＜AB．
课堂小结
