(共11张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
6
一元一次不等式组(第2课时)
学
习
新
知
问题思考
(4)在什么条件下,长度为3
cm,7
cm,x
cm的三条线段可以围成三角形
现有两根木条a和b,a长7
cm,b长3
cm,如果要再找一根长为x
cm的木条,用这三根木条钉成一个三角形木框,请动手试一试:
(1)当x等于14时,能与a和b钉成三角形木框吗
(2)当x等于9时,能与a和b钉成三角形木框吗
(3)当x等于4时,能与a和b钉成三角形木框吗
(补充例题)解下列不等式组.
解：
解不等式①,得x>1,
解不等式②,得x>-4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组的解集是x>1.
解不等式①,得x<
，
解不等式②,得x<
.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组的解集是x
<
.
解不等式①,得x>
.
解不等式②,得x<4.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组的解集是
解不等式①,得x>4.
解不等式②,得x<3.
在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图所示:
所以,原不等式组无解.
一元一次不等式组解集的表示方法及记忆规律:
解集
用数轴表示
口诀
不等式
组(ax>b
同大取大
x同小取小
a大小小大
取中间
无解
大大小小
是无解
检测反馈
1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是
( )
B.
C.
D.
解析:B中含有两个未知数x,y;C中化简后x的最高次数是2;D中不等式2<3没有未知数x.故选A.
A
2.下列说法正确的是
( )
A.不等式组
的解集是5B.不等式组
的解集是-3C.不等式组
的解集是x=2
D.不等式组
的解集是x≠-3
解析:A中不等式组的解集是x>5;B,D中不等式组无解.故选C.
C
3.不等式组
的最小整数解为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.4
解析:不等式组的解集为
B
4.(2015·汕尾中考)使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是
( )
A.3,4
B.4,5
C.3,4,5
D.不存在
解析:解不等式组
得3≤x<5,∴使不等式x-1≥2与3x-7<8同时成立的x的整数值是3,4.故选A.
A
5.若不等式组
有解,则m的取值范围是 .
m<2(共9张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
一元一次不等式与一次函数
(第2课时)
学
习
新
知
问题思考
请同学们完成下列问题:
(1)若y1=-2x-2,y2=3x+3,试确定当x取哪些值时,y1(2)某商品原价60元,现优惠25%,则现价是 元.
(3)某商品原价200元,现打七五折,则现价是 元.
(教材例题)某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游,参加旅游的人数估计为10至25人,甲、乙两家旅行社的服务质量相同,且报价都是每人200元.经过协商,甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用,然后给予其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少
解:设该单位参加这次旅游的人数是x人,选择甲旅行社时,所需费用为y1元,选择乙旅行社时,所需的费用为y2元,则y1=200×0.75x=150x;y2=200×0.8(x-1)=160x-160.
当y1=y2时,150x=160x-160,解得x=16；
当y1>y2时,150x>160x-160,解得x<16；
当y116.
因为参加旅游的人数为10至25人,所以当x=16时,甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时,选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时,选择乙旅行社费用较少.
(补充例题)某书报亭开设两种租书方式:一种是正常租书,每册收费1元;另一种是会员卡租书,办卡费每月12元,租书费每册0.4元.小军经常来该店租书,若每月租书数量为x册.
(1)写出正常租书方式每月应付金额y1(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
(2)写出会员卡租书方式每月应付金额y2(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式;
(3)小军采用哪种租书方式更合算
解:(1)∵正常租书时,每册收费1元,
∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y1=x.
(2)∵用会员卡租书时,租书费用为每册0.4元,每月还有办卡费12元,
∴每月应付金额与租书数量之间的函数关系式为y2=0.4x+12.
(3)当y1=y2时,x=12+0.4x,解得x=20;
当y1>y2时,x>12+0.4x,解得x>20;
当y1∴当小军每月租书少于20册时,采用正常租书的方式更合算;当每月租书20册时,两种租书方式费用一样;当每月租书多于20册时,采用会员卡租书的方式更合算.
检测反馈
1.在一次函数y=-2x+8中,若y>0,则
( )
A.x>4
B.x<4
C.x>0
D.x<0
解析:由题意知-2x+8>0,解得x<4.故选B.
B
2.如图所示的是一次函数y=kx+b的图象,则当y<2时,x的取值范围是
( )
A.x<1
B.x>1
C.x<3
D.x>3
解析:由图象可知,当y<2时,x<3.故选C.
C
3.若一次函数y=3x+m-2的图象不经过第二象限,则m的取值范围是
( )
A.m≤2
B.m≤-2
C.m>2
D.m<2
解析:由题意得其图象过第一、三象限或第一、三、四象限,则m-2≤0,即m≤2.故选A.
A
4.已知y1=3x+2,y2=-x-5,若y1>y2,则x的取值范围是 .
解析:由题意得3x+2>-x-5,解得x>
.故填x>
.
5.已知一次函数y=(a+5)x+3的图象经过第一、二、三象限,则a的取值范围是 .
解析:由题意得a+5>0,解得a>-5.故填a>-5.
a>-5
6.一次函数y=kx+2中,当x≥
时,y≤0,则y随x的增大而 .
解析:由题意可得直线y=kx+2与x轴相交于点(
，0）
,代入函数解析式求得k=-4,因为k<0,所以y随x的增大而减小.故填减小.
减小
7.某边防局接到情报,在离海岸5海里处有一可疑船只A正向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶.如图所示,lA,lB分别表示两船相对于海岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系.
(1)A,B哪个速度快
(2)B能否追上A
解:(1)由图象得lA过点(0,5),(10,7),
设lA的解析式为s1=k1x+b,
则
解得
所以s1=
x+5.
由图象得lB过点(0,0),(10,5),
设lB的解析式为s2=k2x.
则有5=10k2,所以k2=
,所以s2=
x.
因为k1(2)因为k18.(2015·恩施中考)某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划用这两种原料全部生产A,B两种产品共50件,生产A,B两种产品与所需原料情况如下表所示:
甲种原料(千克)
乙种原料(千克)
A产品(件)
9
3
B产品(件)
4
10
(1)该工厂生产A,B两种产品有哪几种方案
(2)若生产一件A产品可获利80元,生产一件B产品可获利120元,怎样安排生产可获得最大利润
解:(1)设工厂可安排生产x件A产品,则可生产(50-x)件B产品.
由题意,得
解得30≤x≤32,又x应为整数,所以x可取30,31,32.
所以有三种生产方案:
方案一:生产30件A产品,20件B产品;
方案二:生产31件A产品,19件B产品;
方案三:生产32件A产品,18件B产品.
(2)方案一获得利润:20×120+30×80=4800(元).
方案二获得利润:19×120+31×80=4760(元).
方案三获得利润:18×120+32×80=4720(元).
故选择方案一,即生产30件A产品,20件B产品可获得最大利润.(共8张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二
章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
3
不等式的解集
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习
新
知
问题思考
一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50
km,如果这辆车要在12:00之前驶过A地,那么车速应满足什么条件
如果设车速为x
km/h,那么满足条件的x的值有哪些
用不等式解决实际问题
燃放某种烟花时,为了确保安全,燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10
m以外的安全区域,已知引火线的燃烧速度为0.02
m/s,燃放者离开的速度为4
m/s,那么引火线的长度应满足什么条件
〔解析〕 设引火线的长度为x
cm,则燃放者转移到安全区域需要的时间至少为
s,引火线燃烧的时间为
s,要使燃放者在燃放前转移到安全区域,必须有
.
根据不等式的基本性质,得x>5.
所以,引火线的长度应大于5
cm.
解:设引火线的长度为x
cm,
根据题意,得
.
基本概念
思考下面问题：
(1)x=4，5，6，7.2能使不等式x>5成立吗
(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗
总结:能够使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.
在数轴上表示不等式的解集
请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴交流.
解:不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集内.
不等式x-5≤-1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点,表示4在这个解集内.
检测反馈
1.下列说法正确的是
( )
A.方程5+x=8和不等式5+x>8的解一样
B.x=2是不等式4x>5的解集
C.2是不等式4x>15的一个解
D.在不等式x-1<5的两边都加上1,不等号方向不变
解析:
A.方程的解只有一个,而不等式的解有无数个,故不正确;B.不等式4x>5的解集是x>
,故不正确;C.不等式4x>15的解集是x>
,不包括2,故不正确;D.依据不等式的基本性质可知正确.故选D.
D
2.用不等式表示如图所示的解集，其中正确的是
( )
A.x≥-2
B.x>-2
C.x<-2
D.x≤-2
B
3.下列说法中错误的是
( )
A.不等式x<5的整数解有无数个
B.不等式x>-5的负数解有4个
C.不等式2x<8的解集是x<4
D.-40是不等式2x<-8的一个解
B
4.当x 时，代数式2x-5的值为0；当x 时,代数式2x-5的值不大于0.
解析:根据题意可列出方程2x-5=0与不等式2x-5≤0,分别解方程和不等式即可求出x的取值范围.
5.不等式-5x≥-13的解集中,最大的整数解是 .
解析:首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可.由-5x≥-13解得
x
,故其最大整数解为2.
2
6.求使不等式1+x>x-1成立的x的取值范围.
解:x可取一切实数.(共9张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
2
不等式的基本性质
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习
新
知
问题思考
不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢
我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗
等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.
等式的基本性质2:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.
小组活动,共同探究,解决下列问题:
2×5 3×5；
2×
3×
；
2×(-1) 3×(-1)；
2×(-5) 3×(-5)；
2×
3×
.
（1)用等号或不等号完成下面的填空.
已知2<3,那么:
(2)用字母表示你所发现的结论.
(3)与同伴交流你的结论,并展示.
不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
（补充例题)用两根长度均为l
cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即
.你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗
解:∵4π<16,∴
,由题意可知l2>0,
根据不等式的基本性质2,
此不等式两边都乘l2,可得
.
.
(教材例题)将下列不等式化成“x>a”或“x(1)x-5>-1；
(2)-2x>3.
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都加5,得x>-1+5,即x>4.
(2)根据不等式的基本性质3,
两边都除以-2,得x<
.
(1)区别:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时,等式仍然成立;在不等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若乘(或除以)的是正数,则不等号方向不变,若乘(或除以)的是负数,则不等号的方向改变.
(2)联系:不等式的基本性质和等式的基本性质都讨论的是在两边都加(或减)、都乘(或除以,除数不为0)同一个数时的情况,且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.
[知识拓展] 不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.它们的区别和联系是:
检测反馈
1.如果m( )
A.m-9B.-m>-n
C.
D.
C
2.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是
( )
A.a>b
B.ab>0
C.
<0
D.-a>-b
D
3.由不等式ax>b可以推出x<
,那么a的取值范围是
( )
A.a≤0
B.a<0
C.a≥0
D.a>0
B
4.若m(1)m-3 n-3；
(2)-5m -5n；
(3)-
-
；
(4)3-m 2-n；
(5)0 m-n;
(6)-
-
.
5.用“>”或“<”填空.
(1)如果x-2<3,那么x 5；
(2)如果-
x<-1,那么x
；
(3)如果
x>-2,那么x -10；
(4)如果-x>1,那么x -1.
<
<
>
>
>
>
<
>
>
<
6.由xay的条件是 .
a<0
7.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5; (2)-2x<17.
解:(1)x>5.
(2)x>-
.
8.若
<
,试判断a的正负性.
解:根据不等式的基本性质3,
两边都乘-12,得3a>4a.
根据不等式的基本性质1,
两边都减去3a,得0>a,
即a<0,所以a为负数.(共8张PPT)
八年级数学·下
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第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
6
一元一次不等式组(第1课时)
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习
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问题思考
回顾:解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来.
(1)2x+3>5；
(2)6x-5≤1.
探索:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多长时间才能将污水抽完
分析:设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨.由积存的污水在1200吨到1500吨之间,可得1200≤30x≤1500.
某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨.若该校计划每月烧煤x吨,则x满足怎样的关系式
(3)解不等式组的概念:求不等式组解集的过程,叫做解不等式组.
总结:(1)一元一次不等式组的概念:一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.
(2)一元一次不等式组的解集的概念:一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.
(教材例1)解不等式组:
解:解不等式①,得x>
,
解不等式②,得x<6,
在同一条数轴上表示不等式①②的解集,如图所示:
因此,原不等式组的解集为
1.解一元一次不等式组的步骤通常为:
(1)先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集;
(2)在同一条数轴上把它们的解集表示出来;
(3)找出解集的公共部分,即为不等式组的解集.
[知识拓展]
2.一元一次不等式组解集的情况(设a>b):
(1)当不等号的方向一致时(称同向不等式),即
或
对这类不等式组可按“同大取大,同小取小”的法则,即取公共部分作为它的解集(如图所示).
(2)当未知数的取值小于大数且大于小数时,即
则不等式组的解集在两数之间,取公共部分(如图所示).
(3)若未知数的取值比大数还大,比小数还小,即
则不等式组无解,即没有公共部分(如图所示).
检测反馈
1.下列不等式组中，解集是2( )
A.
B.
C.
D.
C
2.在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是
( )
A.a<
B.a<0
C.a>0
D.a<-
D
3.不等式组
的解集在数轴上表示(如图所示)为
( )
C
4.若y同时满足y+1>0与y-2<0,则y的取值范围是
.
-15.(2015·佛山中考)不等式组
的解集是
( )
A.x>1
B.x<2
C.1≤x≤2
D.1D
6.不等式组
的解集是
.
-
≤x≤4
7.解下列不等式组:
解:(1)
. (2)无解.
8.解不等式组
并把解集表示在数轴上,求出不等式组的整数解.
解:解集为-
≤x<3,在数轴上表示略.整数解为2,1,0,-1.(共11张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二
章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
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4
一元一次不等式（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
在前面我们学习了不等式的基本性质和不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念,并且知道了根据不等式的基本性质,可以把一些不等式化成“x>a”或“xa”或“x一元一次不等式的定义
只含有一个未知数,未知数的指数是一次,这样的方程叫做一元一次方程,那么类比一元一次方程的概念,同学们能不能总结出一元一次不等式的概念
类推:只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式.
下列不等式是一元一次不等式吗
(1)2x-2.5≥15;
(2)5+3x>240;
(3)x<-4;
(4)
>1.
(三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的两边都是整式.)
总结:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
(教材例1)解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
解:两边都加-2x,得3-x-2x<2x+6-2x.
合并同类项,得3-3x<6.
两边都加-3,得3-3x-3<6-3.
合并同类项,得-3x<3.
两边都除以-3,得x>-1.
(教材例2)解不等式
≥
,并把它的解集表示在数轴上.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
解:去分母,得3(x-2)≥2(7-x),
去括号,得3x-6≥14-2x,
移项、合并同类项,得5x≥20,
两边都除以5,得x≥4.
2.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行,每一步的依据如下:
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或3);
(2)去括号(根据整式的运算法则);
(3)移项(根据不等式的基本性质1);
(4)合并同类项(根据整式的运算法则);
(5)系数化为1(根据不等式的基本性质2或3).
1.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系:
(1)联系:两种解法的步骤相似.
(2)区别:①不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变,而方程两边都乘(或除以)同一个负数时,等号不变;②一元一次不等式一般有无限多个解,而一元一次方程只有一个解.
[知识拓展]
检测反馈
1.下列不等式中,属于一元一次不等式的是
( )
A.4>1
B.3x-24<4
C.x2<2
D.4x-3<2y-7
解析:根据一元一次不等式的定义可知B正确.故选B.
B
2.与不等式
有相同解集的是
( )
A.3x-3<(4x+1)-1
B.3(x-3)<2(2x+1)-1
C.2(x-3)<3(2x+1)-6
D.3x-9<4x-4
解析:根据不等式的基本性质可知C正确.故选C.
C
3.不等式
(1-9x)<-7-
x的解集是
( )
A.任意实数
B.全体正数
C.全体负数
D.无解
解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式无解.故选D.
D
解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式的解集为x≥-4.故符合题意的解为x=0,-1,-2,-3,-4.
4.不等式10(x-4)+x≥-84的非正整数解是
.
0,-1,-2,-3,-4
解析:根据不等式是一元一次不等式可得2m+1=1且m-2≠0,∴m=0,∴原不等式为-2x-1>5,解得x<-3.故填x<-3.
5.若(m-2)x2m+1-1>5是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解集为 .
x<-3
6.已知2R-3y=6,要使y是正数,则R的取值范围是 .
解析:由2R-3y=6得y=
,再由y是正数可得
>0,解得R>3.故填R>3.
R>3
7.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)3(x+2)-8≥1-2(x-1);
(2)
解:(1)去括号,得:3x+6-8≥1-2x+2,
移项、合并同类项,得:5x≥5,
系数化成1,得:x≥1.
解集在数轴上的表示如图所示:
(2)去分母,得:3(x-3)-6>2(x-5),
去括号,得:3x-9-6>2x-10,
移项、合并同类项,得:x>5.
解集在数轴上的表示如图所示:
8.求当x为何值时,代数式
的值分别满足以下条件:
(1)是非负数; (2)不大于1.
解:(1)由题意得
≥0,
解得x≥-
,
所以当x≥-
时,代数式
的值是非负数.
(2)由题意得
≤1,
解得x≤-
.
所以当x≤-
时,代数式
的值不大于1.(共10张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二
章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
1
不等关系
学
习
新
知
问题思考
我们学过等式,等式的定义是什么
表示相等关系的式子叫等式.
我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些含有不等关系的例子.
(1)如果某等腰三角形的底边长为a
cm,这边上的高为4
cm,且这个三角形的面积不大于8
cm2,那么a应该满足的关系式为 (注意“不大于”的含义);
(2)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高之和不得超过160
cm.设行李的长、宽、高分别为
a
cm,b
cm,c
cm,
请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 .
我们如何用式子来表示不等关系呢 请看下面的问题.
某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为x
m(x≤5)的装潢条镶嵌(不计接缝),现有两种设计方案,如下图所示.
(1)填写下表:
通风口规格
x满足的关系式
正方形面积不大于1
m2
圆的面积不大于1.5
m2
(2)探究:
x/m
正方形的
面积/m2
圆的面
积/m2
S正与S圆
的关系
1
4
5
通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5
m
的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6
cm,在一定生长期内每年增加约3
cm,设经过x年后这棵树的树围超过30
cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”)
(补充例题)用不等式表示下列关系.
(1)a是正数；
(2)a是负数；
(3)a与6的和小于5；
(4)x与2的差不小于-1；
(5)x的4倍不大于7；
(6)y的一半小于3.
解:(1)a>0.
(2)a<0.
(3)a+6<5.
(4)x-2≥-1.
(5)4x≤7.
(6)
y<3.
检测反馈
1.下面给出了5个式子:①3>0;②4x+3y>0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤3.其中不等式有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:根据不等式的定义可知不等式为①②⑤.故选B.
B
2.a，b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是（
）
A.a>0,b<0
B.a<0,b>0
C.ab>0
D.以上均不对
解析:根据数轴上的位置可知a>0,b<0,所以ab<0.故选A.
A
3.a是非负数的表达式是
( )
A.a>0
B.a≥0
C.a≤0
D.|a|≥0
解析:非负数就是大于或等于零的数.故选B.
B
4.用不等号连接下列各组数:
(1)
；
(2)x2+1 0.
解析:两个负数,绝对值大的反而小.因为
,所以
；因为x2≥0,所以x2+1>0.
>
>
5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为
.
3y+4x<0
6.一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒,假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒,如果这名运动员破纪录,那么 ;如果这名运动员没破纪录,那么
.
x<11.7
x≥11.7
7.用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比a与3的和小;
(2)y的一半与5的差是非负数;
(3)x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差.
解:(1)2a(2)
y-5≥0.
(3)3x+1<2x-5.
8.用不等式表示下列关系:
(1)一个数的平方是非负数;
(2)某天的气温不高于
25
℃.
解:(1)设这个数为x,则x2≥0.
(2)设这天的气温为t
℃,则t≤25.第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组
1.经历将一些简单的实际问题抽象为不等式的过程,进一步体会不等式的模型思想,建立符号意识.
2.结合具体问题,了解不等式的意义.
3.探索并掌握不等式的基本性质.
4.理解不等式(组)的解及解集的含义;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示一元一次不等式的解集;会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.
5.通过经历用数轴表示不等式(组)的解集的过程,体会数形结合思想.
6.能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理,发展应用意识.
经历将一些实际问题抽象为不等式的过程,体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效模型,感受不等式、方程、函数之间的联系与区别,研究用不等式解决实际问题的方法.
1.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.
2.进一步感受数学和生活的联系,体会数学的价值.
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系,通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在此之前,学生已初步经历了建立方程模型和函数关系解决一些简单的实际问题的“数学化”过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,以此为基础展开不等式的学习,顺理成章.
本章首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系.最后研究一元一次不等式组的解、解集和一元一次不等式组的解法.
根据学生现有的认知基础和认知特点,本章的设计主要有下列特点:
(1)提供丰富的实际背景.如等周问题、测树围研究树龄问题、打折销售问题等,这些都为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、丰富的背景.通过研究这些问题,可以进一步发展学生的符号意识,提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,发展模型思想.
(2)突出知识之间的内在联系.不等式与方程、函数一样,都是反映客观事物变化规律及其关系的模型,函数能够刻画事物之间对应变化的过程,方程能够刻画某个变化过程的一瞬间,而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象.本章教科书充分注意了这三者之间的联系,并专设一节“一元一次不等式与一次函数”,意在引导学生初步体会从整体中把握部分的思维方法,渗透函数、方程、不等式等重要的数学思想,发展几何直观.
具体来讲,第1节“不等关系”,用实例引入,使学生在归纳的过程中认识不等式模型,体会到生活中的不等关系大量存在,并初步建立用不等式模型解决简单实际问题的应用意识.第2节“不等式的基本性质”,类比等式的基本性质研究不等式的基本性质,让学生经历类比、猜想、尝试、归纳、得出结论的合情推理过程,探索不等式的三条基本性质,使学生能够将不等式进行简单转化.第3节“不等式的解集”,用烟花引火线的实例引入,在建立不等式之后研究其解集及数轴表示,让学生结合实际意义来理解不等式的解集,并引导学生感受不等式的解与方程的解的异同.第4节“一元一次不等式”,经历认识一元一次不等式的概念、求解一元一次不等式,以及应用一元一次不等式的过程,逐步积累数学活动经验.本节设计了大量实际问题,如打折销售、知识竞赛等,意图是进一步培养学生的数学应用意识.第5节“一元一次不等式与一次函数”,研究一元一次不等式与一次函数的联系,发展学生对数学的综合认识,建立数学学科内部知识之间的联系,完善学生的认知结构,并运用这种联系解决一些简单的实际问题,发展学生的应用意识.第6节“一元一次不等式组”,将解一元一次不等式组的问题转化为解一元一次不等式的问题,再借助数轴确定其解集.
【重点】
1.不等式的基本性质.
2.不等式(组)的解法.
3.不等式(组)的解集及不等式(组)解集的数轴表示.
4.不等式与一次函数的关系.
【难点】
1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程.
2.不等式及不等式组的解法.
3.根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组),解决简单的实际问题.
数学教学是数学活动的教学,是师生交流、互动和共同发展的过程,教学中,要将学生推到学习的前沿,注重发挥学生的学习主体性和主观能动性.
1.关注与旧知识的联系,提高思维能力.
有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始.教学过程中,要关注不等式、函数、方程的内在联系,不等关系与相等关系的辩证关系,要类比等式(方程)进行不等式的教学,这样不仅有利于学生认识不等式,而且可以使学生体会知识之间的内在联系,从整体上把握知识,发展学生的辩证思维.例如,在研究不等式的基本性质时,可以类比等式的基本性质,并比较其异同.
2.设置丰富的问题情境,体会知识的发生、发展过程.
教学中,要充分发挥教科书中“做一做”“想一想”“议一议”等栏目提供的问题情境,组织学生进行探究性学习.例如,在“不等关系”一节的教学中,要让学生经历探索不等式模型的形成过程,要给学生留有充分的思考与活动时间,使其初步体会学习不等式的价值,通过充分经历观察、试验、归纳、类比、概括和数学表示的过程,自然过渡到“模型化”,教师不要急于求成,要关注学生学习能力的提高.
3.恰当把握打牢基础与培养能力的关系.
不等式的基本性质、不等式(组)的解法及不等式(组)解集的数轴表示是学生后续学习的重要基础和必备技能,一定量的练习是完全必要的,但不宜停留在简单的模仿训练与机械记忆的层次上,更不必强调解不等式(组)的步骤,要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变为另一种形式,它的解集为什么能在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解集,发展其代数变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式(组)的基本训练要自始至终加以关注,而不宜一步到位突击训练.如解决一些实际问题时,建立不等式模型之后要关注其求解过程、结果的准确性、解释结果的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会解不等式(组)与解方程(组)的异同.
4.恰当把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考.
对于一元一次不等式(组)的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背景的题目的难度要控制在教科书例题、习题的难度以下,不要人为加大难度.相应地,教师要鼓励学生自主探索与合作交流,引导学生主动地从事观察、试验、猜测、验证、推理与交流等活动.同时,要鼓励解法的多样性,如对某些实际问题,学生可用方程、函数知识处理,只要学生的解法合理,就应当予以鼓励,不必强求统一.重要的是发展学生的思维策略,促进学生一般数学观的建立.
5.关注学生的个体差异,提高学生的学习积极性.
教学过程中,要尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.《标准》指出:“学生的个体差异表现为认知方式与思维谋略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要.”本章教学要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出错,对学习有困难的学生,教师要耐心倾听他们的看法,适时引导,增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力的学生,要多提供一些材料,指导他们自学,发展他们的数学才能.例如,对于本章“读一读”中一元一次不等式组的应用的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实际问题,从中体会最优化思想.
1 不等关系
1课时
2 不等式的基本性质
1课时
3 不等式的解集
1课时
4 一元一次不等式
2课时
5 一元一次不等式与一次函数
2课时
6 一元一次不等式组
2课时
回顾与思考
1课时
1 不等关系
1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义.
2.初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型.
1.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力.
2.在探索中发展学生归纳、猜想的能力及有条理地表达的能力.
培养学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点,并尊重与理解他人见解,从交流中受益.
【重点】
1.不等式概念的总结.
2.建立不等关系.
【难点】 从现实情境中建立不等关系.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习课本有关知识.
导入一:
师:我们学过等式,等式的定义是什么
生:表示相等关系的式子叫等式.
师:我们知道量与量之间的相等关系可以利用等式来描述.同时,我们也知道现实生活中还存在着许多不等关系.比如,研究表明同学们每天睡觉的时间要不少于9小时;体育考试中合格的分数要不低于60分.请同学们也举一些含有不等关系的例子.
(同学们各抒己见)
生1:每天我都比弟弟早起5分钟.
生2:我的年龄不小于13岁.
生3:我的体重不低于30公斤.
[设计意图] 通过这一活动,使学生体会到不等关系如相等关系一样处处存在,培养学生观察生活、乐于探究的品质.
导入二:
教师用课件出示商品图片,如:手机、电视、冰箱、电脑、电话等,说明规则:男、女生各派一名代表,看教师出示的商品,猜商品的价格,时间为一分钟,谁在一分钟之内猜出的商品多,谁就获胜.男先女后.
如:教师出示一部彩屏手机的图片,请学生猜价格.“高了”指所猜价格大于手机真实价格,“低了”指所猜价格小于手机真实价格,只有1460元才和这部手机的真实价格相等.
通过游戏,大家也发现了相等是一种特殊情况,而不等是一般情况.现实生活中存在着大量的不等关系,研究这些不等关系有助于我们把握事物的变化规律.
[设计意图] 使学生认识到现实生活中存在大量的不等关系,明确学习不等式的必要性,同时激发学生的学习兴趣.
一、不等式的概念
思路一
[过渡语] 同学们,我们如何用式子来表示不等关系呢 现在我们来看下面的问题.
【课件1】 (1)如果某等腰三角形的底边长为a
cm,这边上的高为4
cm,且这个三角形的面积不大于8
cm2,那么a应该满足的关系式为 (注意“不大于”的含义);
(2)铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定:每件行李的长、宽、高之和不得超过160
cm.设行李的长、宽、高分别为
a
cm,b
cm,c
cm,
请你列出行李的长、宽、高满足的关系式 .
【课件2】 某中学准备在学校饭厅新添一个通风口,四周用长为x
m(x≤5)的装潢条镶嵌(不计接缝),现有两种设计方案,如下图所示.
(1)填写下表:
通风口规格
x满足的关系式
正方形面积不大于1
m2
圆的面积不大于1.5
m2
(2)探究:
x/m
正方形的面积/m2
圆的面积/m2
S正与S圆的关系
1
4
5
【课件3】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5
m
的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6
cm,在一定生长期内每年增加约3
cm,设经过x年后这棵树的树围超过30
cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”)
[设计意图] 通过运用不等式表示不等关系,加深对不等式的理解,会用不等式表示实际问题中的不等关系.
思路二
[过渡语] 既然不等关系在现实生活中并不少见,那么大家肯定接触过不少,如何用式子表示不等关系呢 请看下面的问题.
【课件1】 如图所示,用两根长度均为l
cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.
(1)如果要使正方形的面积不大于25
cm2,
那么绳长l应满足怎样的关系式
(2)如果要使圆的面积不小于100
cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大 l=12呢 改变l的取值再试一试,由此你能得到什么猜想
【课件2】 通过测量一棵树的树围(树干的周长)可以估算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5
m
的地方作为测量部位.某树栽种时的树围为6
cm,在一定生长期内每年增加约3
cm,设经过x年后这棵树的树围超过30
cm,请你列出x满足的关系式.
总结:一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.(特别地,不等号还包含“≠”)
[设计意图] 通过问题直接建立不等关系,体会同类量之间最常见的是比大小问题,并发展学生的归纳猜想能力.在解决这一串问题的过程中,让学生体会不等式与方程、函数一样,也是刻画事物变化规律的重要模型,并初步感知最优化思想.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是不等式,现在我们通过下面的例题来看看同学们理解得怎么样.
(补充例题)用不等式表示下列关系.
(1)a是正数;
(2)a是负数;
(3)a与6的和小于5;
(4)x与2的差不小于-1;
(5)x的4倍不大于7;
(6)y的一半小于3.
解:(1)a>0.
(2)a<0.
(3)a+6<5.
(4)x-2≥-1.
(5)4x≤7.
(6)y<3.
[设计意图] 对本节知识进行巩固练习,及时反馈,使学生会运用适当的不等号表示不等关系.
本课我们主要学习了根据题意列出不等式,并由此总结出不等式的概念.在列不等式时,要特别注意“不大于”“不小于”等词语的含义,通过表示不等关系的式子归纳出不等式的概念.
1.下面给出了5个式子:①3>0;②4x+3y>0;③x=3;④x-1;⑤x+2≤3.其中不等式有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析:根据不等式的定义可知不等式为①②⑤.故选B.
2.a,b两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是
( )
A.a>0,b<0
B.a<0,b>0
C.ab>0
D.以上均不对
解析:根据数轴上的位置可知a>0,b<0,所以ab<0.故选A.
3.a是非负数的表达式是
( )
A.a>0
B.a≥0
C.a≤0
D.|a|≥0
解析:非负数就是大于或等于零的数.故选B.
4.用不等号连接下列各组数:
(1)- -;
(2)x2+1 0.
解析:两个负数,绝对值大的反而小.因为<,所以->-;因为x2≥0,所以x2+1>0.
答案:(1)> (2)>
5.y的3倍与x的4倍的和是负数用不等式表示为 .
答案:3y+4x<0
6.一所中学的男子百米赛跑的纪录是11.7秒,假设一名男运动员的百米赛跑成绩为x秒,如果这名运动员破纪录,那么 ;如果这名运动员没破纪录,那么 .
答案:x<11.7 x≥11.7
7.用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比a与3的和小;
(2)y的一半与5的差是非负数;
(3)x的3倍与1的和小于x的2倍与5的差.
解:(1)2a(2)y-5≥0.
(3)3x+1<2x-5.
8.用不等式表示下列关系:
(1)一个数的平方是非负数;
(2)某天的气温不高于
25
℃.
解:(1)设这个数为x,则x2≥0.
(2)设这天的气温为t
℃,则t≤25.
1 不等关系
一、不等式的概念
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第38页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第38页习题2.1的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列不等关系一定正确的是
( )
A.|a|>0
B.-x2<0
C.(x+1)2≥0
D.a2>0
2.小林在水果摊上称了2斤苹果,摊主称了几个苹果说:“你看秤,高高的.”如果设苹果的实际质量为x斤,用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是
( )
A.x≥2
B.x≤2
C.x>2
D.x<2
【能力提升】
3.若04.从2,3,4,5,6中任取两个数组成一组数,其中两数之和小于10的数组共有 组.
5.有如下图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个长方形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,这种大小关系可以用含字母a,b的不等式表示为 .
【拓展探究】
6.用不等式表示下列关系:a与b的和大于a的2倍且小于b的3倍.
7.某班同学去春游花了250元包租了一辆客车,如果参加春游的同学每人交8元钱租车费,还不够,如果每人交9元,还用不了.用不等式表示出上述问题中存在的不等关系.
8.工人小王4月份计划生产零件270个,前
10天平均每天生产5个,后来改进技术,提前3天超额完成任务.设小王10天之后平均每天生产零件x个,请你试着写出x所满足的关系式.
9.某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不答或答错一题扣2分.某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题 (只列关系式)
10.比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“>”“<”或“=”),并回答问题.
(1)32+42 2×3×4;
(2)22+22 2×2×2;
(3)12+ 2×1×;
(4)(-2)
2+52 2×(-2)×5;
(5)+ 2××.
观察上面的算式,请你用含字母a,b的式子来表示上面算式反映的一般规律.
【答案与解析】
1.C
2.C(解析:“高高的”的意思是苹果的实际质量大于2斤.故选C.)
3.a<1<(解析:用特殊值法解决.设a=,则=2,所以a<1<.故填a<1<.)
4.8(解析:将所有情况列举出来,然后判断即可.)
5.a2+b2>ab(a>b)(解析:由图可看出图(1)的面积是a2+b2,图(2)的面积是ab.再根据图形面积的大小关系,可得a2+b2>ab(a>b).故填a2+b2>ab(a>b).)
6.解:2a7.解:设参加春游的同学共有x人,根据每人交8元钱租车费,还不够,可得8x<250;根据每人交9元,还用不了,可得9x>250.
8.解:5×10+(30-10-3)x>270.
9.解:设该同学应答对x道题,依题意有6x-(16-x)×2>60.
10.解:(1)> (2)= (3)> (4)> (5)> a2+b2≥2ab(当a=b时取等号).
本节课充分通过学生举例和老师的选例,让学生体会在现实生活中除了存在许多等量关系外,更多的是不等关系的存在,并通过感受生活中的大量不等关系,初步体会不等式是刻画量与量之间关系的重要数学模型.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展了学生的符号感与数学化的能力.
本节课还是有很多的不足,学生平时缺少锻炼,使得课堂气氛没有达到最好的效果.学生在进行自主合作探究时,特别是在进行讨论时,有时讨论会偏离中心,提出一些与本节课内容无关的问题.
在教学中,充分相信学生的潜力,让学生真正成为学习的主体,让学生的思维在数学课堂上尽情地驰骋,老师要做好课堂的引导者、参与者、合作者,与学生平等地进行交流与学习.
随堂练习(教材第38页)
2.解:(1)a≥0. (2)c>a,c>b. (3)x+17<5x. (4)a2+b2≥2ab(设这两个数分别为a和b).
习题2.1(教材第38页)
1.解:(1)3x+8>5x. (2)x2≥0. (3)S1>S2(S1表示地球上的海洋面积,S2表示地球上的陆地面积). (4)x>2y(x表示老师的年龄,y表示你的年龄). (5)m1>m2(m1表示铅球的质量,m2表示篮球的质量).
3.解:(1)600x+100(10-x)≥4200. (2)8x+4(10-x)≤72.
4.解:(1)0深化对不等式的认识
不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式,它不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.本章教科书首先通过具体实例建立不等式,探索不等式的基本性质,了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念,然后具体研究一元一次不等式的解、解集、解集的数轴表示,一元一次不等式的解法以及一元一次不等式的简单应用,通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程和一次函数之间的内在联系,遵循由浅入深的原则,体现数学中的数形结合思想.
本章教科书在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系.通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的,但面对大量的同类量,最容易使人想到的就是它们有大小之分.在小学,学生已经学过一些关于不等关系的相关知识,知道生活中大量存在着不等关系,了解“>”“<”等符号的用法和意义,能比较两数的大小,并能用数学语言表达.在相关知识的学习过程中,经历了建立方程模型和函数关系解决一些实际问题的数学化过程,初步具备了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的能力,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,并在学习过程中形成了一定的合作交流能力,为进一步展开不等式的学习奠定了基础.
班级50名学生上体育课,老师出了一道题目:现在拿来一些篮球,如果每5人一组玩一个篮球,那么有些同学没有球玩;如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.你们知道有几个篮球吗
甲同学说:如果有x个篮球,那么有5x<50.
乙同学说:而且有6x>50.
丙同学说:还有6(x-1)<50.
你明白他们的意思吗
解:甲同学说的意思是:如果每5人一组玩一个篮球,那么玩球的人数少于50人,即有些同学就没有球玩.
乙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,那么就会有一组玩篮球的人数不足6人.
丙同学说的意思是:如果每6人一组玩一个篮球,除了一个球以外,剩下的球每6人玩一个,还有几人(不足6人)玩另外一个篮球.
一位意大利数学家游玩了比萨斜塔后,提出了一道有趣的问题.他说:比萨斜塔共有8层,其中顶层有12根石柱,中间6层,每层的石柱一样多,底层石柱只有中间每层石柱的一半,而且中间每层和底层的石柱数都是5的倍数.告诉你比萨斜塔由200多根石柱构成,但不会超过250根.则比萨斜塔由多少根石柱构成
解:设比萨斜塔的底层有x根石柱,那么中间6层每层各有2x根,则比萨斜塔共有(13x+12)根石柱.
由于中间每层和底层的石柱数都是5的倍数,即x是5的倍数,因此x可取5,10,15,20,….
当x取5,10时,总石柱数13x+12<200,不符合题意;当x取20时,13x+12>250,也不符合题意;当x=15时,13x+12=207,符合要求.
因此比萨斜塔由207根石柱构成.
2 不等式的基本性质
1.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同.
2.掌握不等式的基本性质,并能初步运用不等式的基本性质将比较简单的不等式转化为“x>a”或“x1.能说出不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,发展其代数变形能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.
2.通过类比等式的基本性质研究得到不等式的基本性质,体会类比的数学思想.
3.进一步发展学生的符号表达能力,以及提出问题、分析问题、解决问题的能力.
1.通过学生自我探索,发现不等式的基本性质,提高学生学习数学的兴趣和学好数学的自信心.
2.尊重学生的个体差异,关注学生对问题的实质性认识与理解.
【重点】 探索不等式的基本性质,并能灵活地掌握和应用.
【难点】 能根据不等式的基本性质进行化简.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节不等关系的知识及等式的基本性质.
导入一:
请班上同学站在不同的位置上比高矮.在最高的同学和最矮的同学同时站在地面上、矮的同学站在桌子上、高的同学站到楼梯的下一层三种不同的情况下比较高矮.怎样比较才公平
[设计意图] 让学生体会当两位同学同时增高或同时减少相同的高度时,比较才是公平的,高的同学仍然高,矮的同学仍然矮,这是不可能改变的事实.
导入二:
师:我们学习了等式,并掌握了等式的基本性质,大家还记得等式的基本性质吗
生:记得.等式的基本性质1:在等式的两边都加上(或减去)同一个数或整式,所得的结果仍是等式.等式的基本性质2:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0),所得的结果仍是等式.
师:不等式与等式只有一字之差,那么它们的性质是否也有相似之处呢 本节课我们将研究不等式的基本性质.
[设计意图] 基于学生对等式的基本性质的认识,采用类比的方式进行教学,使学生接受起来比较容易.
一、不等式的基本性质
思路一
[过渡语] 同学们,你们还记得等式的基本性质吗 请用字母表示出来.不等式也有类似的性质吗 先猜一猜.
小组活动,共同探究,解决下列问题:
(1)用等号或不等号完成下面的填空.
已知2<3,那么:
2×5 3×5;
2× 3×;
2×(-1) 3×(-1);
2×(-5) 3×(-5);
2× 3×.
(2)用字母表示你所发现的结论.
(3)与同伴交流你的结论,并展示.
生1:等式的基本性质1用字母可以表示为:若a=b,则a±c=b±c.类似地,不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.用字母表示为:若a>b,则a±c>b±c.
生2:等式的基本性质2用字母可以表示为:
若a=b,则ac=bc,=(c≠0).经过前面的探索,可类似地得到:如果不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号方向不变;不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.用字母表示为:若a>b,c>0,则ac>bc,>;若a>b,c<0,则ac总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
[设计意图] 通过等式的基本性质类比得到不等式的基本性质,由特殊的数值到用字母代表数,并从中归纳出一般性结论,进一步发展学生的符号感和提出问题、分析问题、解决问题的能力.
思路二
[过渡语]
等式的基本性质我们已经掌握了,那么不等式的基本性质是否和等式的基本性质一样呢 请大家探索后发表自己的看法.
生:已知3<5,且3+2<5+2,3-2<5-2,所以3+a<5+a,3-a<5-a,即在不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.
师:很好.不等式的这一条性质和等式的基本性质相似.下面继续进行探究.
生1:已知3<5,且3×2<5×2,3×<5×,所以3·a<5·a,即在不等式的两边都乘同一个数,不等号的方向不变.
生2:不对.如3<5,但3×(-2)>5×(-2),所以他的总结是错的.
师:看来大家有不同意见,请大家互相讨论后举例说明.
生3:已知3<4,且3×3<4×3,3×<4×,3×(-3)>4×(-3),3×(-5)>4×(-5),由此看来,在不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;在不等式的两边都乘同一个负数时,不等号的方向改变.
师:非常棒,那么在不等式的两边同时除以某一个数时(除数不为0),情况会怎样呢 请大家用类似的方法进行推导.
生:当不等式的两边都除以同一个正数时,不等号的方向不变;当不等式的两边都除以同一个负数时,不等号的方向改变.
师:由此,大家可以总结得出不等式的基本性质2和基本性质3,同学们要学会灵活运用.
总结:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
[设计意图] 以问题的形式引导学生用类比的方法先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后总结、归纳出性质.在整个教学过程中,学生均处于主导地位,教师只是从旁指引.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了不等式的基本性质,下面我们通过几个例题来看看同学们理解得怎么样.
(补充例题)用两根长度均为l
cm的绳子分别围成一个正方形和一个圆.我们猜想,无论绳长l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>.你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗
解:∵4π<16,∴>,由题意可知l2>0,
根据不等式的基本性质2,
此不等式两边都乘l2,可得>
.
(教材例题)将下列不等式化成“x>a”或“x(1)x-5>-1; (2)-2x>3.
解:(1)根据不等式的基本性质1,
两边都加5,得x>-1+5,即x>4.
(2)根据不等式的基本性质3,
两边都除以-2,得x<-.
[设计意图] 在讲解例题的过程中,要求学生说出每一步变形的依据,能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯,并通过这种方式达到熟练掌握不等式的基本性质的目的.
[知识拓展] 不等式的基本性质有三条,而等式的基本性质有两条.它们的区别和联系是:
(1)区别:在等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时,等式仍然成立;在不等式的两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)时会出现两种情况,若乘(或除以)的是正数,则不等号方向不变,若乘(或除以)的是负数,则不等号的方向改变.
(2)联系:不等式的基本性质和等式的基本性质都讨论的是在两边都加(或减)、都乘(或除以,除数不为0)同一个数时的情况,且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似.
1.不等式的基本性质的推导.
2.不等式的基本性质.
基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变;
基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
3.利用不等式的基本性质进行简单的化简.
1.如果m( )
A.m-9B.-m>-n
C.>
D.>1
答案:C
2.若a-b<0,则下列各式中一定正确的是
( )
A.a>b
B.ab>0
C.<0
D.-a>-b
答案:D
3.由不等式ax>b可以推出x<,那么a的取值范围是
( )
A.a≤0
B.a<0
C.a≥0
D.a>0
答案:B
4.若m(1)m-3 n-3;
(2)-5m -5n;
(3)- -;
(4)3-m 2-n;
(5)0 m-n;
(6)- -.
答案:(1)< (2)> (3)> (4)> (5)> (6)<
5.用“>”或“<”填空.
(1)如果x-2<3,那么x 5;
(2)如果-x<-1,那么x ;
(3)如果x>-2,那么x -10;
(4)如果-x>1,那么x -1.
答案:(1)< (2)> (3)> (4)<
6.由xay的条件是 .
答案:a<0
7.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x+5; (2)-2x<17.
解:(1)x>5. (2)x>-.
8.若<,试判断a的正负性.
解:根据不等式的基本性质3,
两边都乘-12,得3a>4a.
根据不等式的基本性质1,
两边都减去3a,得0>a,
即a<0,所以a为负数.
2 不等式的基本性质
一、不等式的基本性质
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第41页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第42页习题2.2的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如果t>0,那么a+t与a的大小关系是
( )
A.a+t>a
B.a+tC.a+t≥a
D.不能确定
2.如果<,那么a必须满足
( )
A.a≠0
B.a<0
C.a>0
D.a为任意实数
3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是
( )
A.cb>ab
B.ac>ab
C.cbD.c+b>a+b
4.下列说法:
①若a-b;
②若xy<0,则x<0,y<0;
③若x<0,y<0,则xy<0;
④若a⑤若a;
⑥若<,则x>y.
其中正确的说法有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
5.2a与3a的大小关系
( )
A.2a<3a
B.2a>3a
C.2a=3a
D.不能确定
【能力提升】
6.若x+y>x-y,y-x>y,则下列结论:①x+y>0;②y-x<0;③xy≤0;④<0.其中正确结论的序号为 .
7.满足-2x>-12的非负整数有 .
8.若ax>b,ac2<0,则x .
9.如果x-7<-5,那么x ;如果->0,那么x .
10.当x 时,代数式2x-3的值是正数.
【拓展探究】
11.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x(1)0.3x<-0.9; (2)x12.下列各式分别在什么条件下成立
(1)a>-a; (2)|a|>a.
【答案与解析】
1.A(解析:∵t>0,∴根据不等式的基本性质1可得a+t与a的大小关系是a+t>a.故选A.)
2.C
3.A(解析:由数轴可知a>0,c4.B(解析:①不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,所以①正确;②若xy<0,则x,y异号,所以②不正确;③若x<0,y<0,负负相乘得正,则xy>0,所以③不正确;④若ay,所以⑥正确.故正确的说法有3个.故选B.)
5.D(解析:要分a>0,a<0和a=0三种情况讨论,再根据不等式的基本性质来确定2a与3a的关系.故选D.)
6.④(解析:根据题意可判断出x<0,y>0,所以x-y<0;y-x>0;xy<0;<0.x+y的符号不能确定.所以④正确.故填④.)
7.0,1,2,3,4,5
8.<(解析:因为ac2<0,c2>0一定成立,所以有a<0.根据不等式的基本性质:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,在ax>b的两边同时除以负数a,即可得到x<.故填<.)
9.<2 <0
10.>(解析:若代数式2x-3的值是正数,则得到一个关于x的不等式2x-3>0,根据不等式的基本性质可得x>.故填>.)
11.解:(1)不等式的两边都除以0.3,得x<-3. (2)不等式的两边都减去x,得x<-4,在此不等式的两边都乘2,得x<-8.
12.解:(1)在不等式a>-a的两边同时加上a,得到2a>0,在此不等式的两边同时除以2,得到a>0,即当a>0时,不等式a>-a成立. (2)∵|a|>0,|a|>a,∴a<0.即当a<0时,不等式|a|>a成立.
本节课通过复习等式的基本性质,类比得出不等式的基本性质.教学中设置问题,通过与等式的基本性质相对比,引导学生自己先猜想不等式的基本性质,再通过具体数值验算性质,最后自己总结、归纳、完善性质并能用字母表示出来.在接下来讲解例题与练习的过程中,学生对不等式每一步变形的依据都能够正确回答,充分掌握了不等式的基本性质.
对于不等式的基本性质的应用,采用老师问学生答的形式,没有照顾到全体学生.不等式基本性质的总结没有放手让学生自己进行概括.
利用学生的好奇心设疑、解疑,组织有效的教学活动,使学生积极参与,大胆猜想,在自主探索和合作交流的过程中理解和掌握本节课的内容,力求在整个探究学习的过程中充满师生之间、生生之间的交流和互动,体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体.
随堂练习(教材第41页)
1.解:(1)x>3. (2)x>-. (3)x≤6.
2.解:(1)不成立. (2)不成立. (3)成立. (4)成立.
习题2.2(教材第42页)
1.(1)< (2)< (3)> (4)<
2.解:(1)x<-4. (2)x>9. (3)x<-15. (4)x<-6.
3.解:(1)a0时,2<2+a;当a=0时,2=2+a;当a<0时,2>2+a. (3)当a>0时,a<2a;当a=0时,a=2a;当a<0时,a>2a.
不等式的基本性质是八年级下册第二章第二节的内容.本节课是建立在学生已经认识了不等关系的基础上来学习的,是进一步学习解不等式及应用不等式解决实际问题的重要依据,因此本节课的内容在这一章中占有重要位置.本节课的教学指导思想是从学生的实际认知水平及知识结构出发,让学生自主获取知识.
本章是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上,开始研究简单的不等关系.学生已经掌握了等式的基本性质,同时经历了解一元一次方程、二元一次方程组的研究过程及方法,为进一步学习不等式的基本性质奠定了基础.学习时可以类比七年级上册学习的等式的基本性质.
经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程,初步体会不等式与等式的异同,掌握不等式的基本性质.
有两个分数:A=,B=,A与B哪个大
解:∵=×=×=12.5+<13,
=×=×≈13.33+>13,
∴>>0,∴A[解题策略] 利用倒数比较大小是一种重要方法.
讨论下列式子是否正确.
(1)如果a(2)如果a(3)如果a(4)如果a.
解:(1)符合不等式的基本性质1,所以(1)正确.
(2)符合不等式的基本性质1,所以(2)正确.
(3)已知a(4)虽然c≠0,但不知道c是正数还是负数,所以不能确定不等号的方向是否改变,若c>0,则有<,若
c<0,则有>,所以(4)错误.
[解题策略] 在利用不等式的基本性质2和基本性质3时,关键是看不等式的两边都乘(或除以)的是一个什么性质的数,从而确定不等号是否改变.
3 不等式的解集
1.能根据具体情境理解不等式的解与解集的意义.
2.能在数轴上表示不等式的解集.
1.培养学生从现实情境中探索、发现并提出简单的数学问题的能力.
2.经历求不等式的解集的过程,通过尝试把不等式的解集在数轴上表示出来,引导学生体验用数轴表示不等式的解集具有直观的优越性,增强学生数形结合的意识.
通过从实际问题中抽象出数学模型、探索求不等式的解集的过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系,体验数学活动充满了探究性和创造性.
【重点】
1.理解不等式的解与解集的概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
【难点】 不等式解集的数轴表示.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节不等式的基本性质.
导入一:
师:上节课,我们类比等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质.
生:不等式的基本性质1:不等式的两边都加(或减)同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
师:很好.在学习了等式的基本性质后,我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程,知道了方程的解、解方程等概念,大家还记得这些概念吗
生:记得.能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解.求方程的解的过程,叫做解方程.
师:非常好.上节课我们用类比的方法,仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质,那么能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式的概念呢 本节课我们就来试一试.
[设计意图] 让学生回顾前一节知识及相关内容,为本节课的教学做好知识准备,起到承上启下的作用.
导入二:
一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A地50
km,如果这辆车要在12:00之前驶过A地,那么车速应满足什么条件
如果设车速为x
km/h,那么满足条件的x的值有哪些
[设计意图] 通过具体的问题情境,帮助学生领会不等式的解不是唯一的,为引入解集的含义做铺垫.
一、用不等式解决实际问题
[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看我们能不能解决.
燃放某种烟花时,为了确保安全,燃放者在点燃引火线后要在燃放前转移到10
m以外的安全区域,已知引火线的燃烧速度为0.02
m/s,燃放者离开的速度为4
m/s,那么引火线的长度应满足什么条件
〔解析〕 设引火线的长度为x
cm,则燃放者转移到安全区域需要的时间至少为
s,引火线燃烧的时间为
s,要使燃放者在燃放前转移到安全区域,必须有>.
解:设引火线的长度为x
cm,
根据题意,得>.
根据不等式的基本性质,得x>5.
所以,引火线的长度应大于5
cm
[设计意图] 用实际生活情境引入,能激发学生的求知欲,具有实际意义.
二、基本概念
[过渡语] 刚刚我们用不等式解决了一个实际问题,我们再来看下面的几个问题.
(1)x=4,5,6,7.2能使不等式x>5成立吗
(2)你还能找出一些使不等式x>5成立的x的值吗
生:(1)x=4,5不能使不等式x>5成立,x=6,7.2能使不等式x>5成立.(2)x=9,10,11等比5大的数都能使不等式x>5成立.
师:由此看来,6,7,8,9,10等都能使不等式x>5成立,那么大家能否根据方程的解的概念来类比得出不等式的解的概念呢 不等式的解唯一吗
生:可以.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.如6,7,8都是不等式x>5的解,所以不等式的解不唯一.
师:正因为不等式的解不唯一,所以把所有满足不等式的解集合在一起,构成不等式的解集.请大家再归纳出解不等式的概念.
生:求不等式解集的过程叫做解不等式.
总结:能够使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.
[设计意图] 通过对问题的探究,引导学生认识到不等式的解一般不是唯一的,在此基础上,给出不等式的解集和解不等式的定义.
三、在数轴上表示不等式的解集
[过渡语] 下面我们来看这样一个问题.
请你用自己的方式将不等式x>5的解集和不等式x-5≤-1的解集分别表示在数轴上,并与同伴交流.
解:不等式x>5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈,表示5不在这个解集内.
不等式x-5≤-1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示(如下图所示),在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点,表示4在这个解集内.
师:请大家讨论一下,如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢 请举例说明.
生:(1)如x>3,可以用数轴上表示3的点的右边部分表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈,表示3不在这个解集内.
(2)如x<3,可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈.
(3)如x≥3,可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点,表示3在这个解集内.
(4)如x≤3,可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示,在数轴上表示3的点的位置上画实心圆点.
[设计意图] 让学生学会如何用数轴表示不等式的解集.在学习在数轴上表示不等式的解集时,应先鼓励学生用自己的方法表示,从而发展他们的创新意识.
1.不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念.
2.求简单不等式的解集,并把解集表示在数轴上.
3.用数轴表示不等式的解集的注意事项.
1.下列说法正确的是
( )
A.方程5+x=8和不等式5+x>8的解一样
B.x=2是不等式4x>5的解集
C.2是不等式4x>15的一个解
D.在不等式x-1<5的两边都加上1,不等号方向不变
解析:
A.方程的解只有一个,而不等式的解有无数个,故不正确;B.不等式4x>5的解集是x>,故不正确;C.不等式4x>15的解集是x>,不包括2,故不正确;D.依据不等式的基本性质可知正确.故选D.
2.用不等式表示如图所示的解集,其中正确的是
( )
A.x≥-2
B.x>-2
C.x<-2
D.x≤-2
答案:B
3.下列说法中错误的是
( )
A.不等式x<5的整数解有无数个
B.不等式x>-5的负数解有4个
C.不等式2x<8的解集是x<4
D.-40是不等式2x<-8的一个解
答案:B
4.当x 时,代数式2x-5的值为0;当x 时,代数式2x-5的值不大于0.
解析:根据题意可列出方程2x-5=0与不等式2x-5≤0,分别解方程和不等式即可求出x的取值范围.
答案:= ≤
5.不等式-5x≥-13的解集中,最大的整数解是 .
解析:首先利用不等式的基本性质解不等式,再从不等式的解集中找出符合条件的最大整数即可.由-5x≥-13解得x≤,故其最大整数解为2.故填2.
6.求使不等式1+x>x-1成立的x的取值范围.
解:x可取一切实数.
3 不等式的解集
一、用不等式解决实际问题
二、基本概念
三、在数轴上表示不等式的解集
一、教材作业
【必做题】
教材第44页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第44页习题2.3的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列不等式中,解集不包括的是
( )
A.x<
B.x>-
C.x<3
D.x≥
2.使不等式2x>x+1成立的最小整数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
3.给出四个命题:①若a>b,c=d,则ac>bd;②若ac>bc,则a>b;③若a>b,则ac2>bc2;④若ac2>bc2,则a>b.正确的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图所示的是不等式的解集,其中错误的是
( )
5.如图所示,在数轴上表示某不等式的解集,则这个不等式可能是
( )
A.3x≤1
B.3x≤-1
C.3x≥1
D.3x≥-1
【能力提升】
6.不等式x≤3的正整数解是 .
7.若二次根式有意义,则x的取值范围是 .
8.不等式-9+3x≤0的非负整数解的和为 .
9.如果2-3a<-4a,那么a的取值范围是 .
【拓展探究】
10.求不等式x-2≤5的正整数解.
【答案与解析】
1.A(解析:根据各个解集的范围逐一判断即可.故选A.)
2.C(解析:先求出不等式的解集,再求出符合条件的x的值即可.故选C.)
3.A(解析:①当c=d≤0时不成立,错误;②当c<0时不成立,错误;③当c=0时不成立,错误;④正确.故选A.)
4.A(解析:x≤2应该在表示2的点上画实心圆点,并向左画折线,故A错误.故选A.)
5.D(解析:先根据数轴得出不等式的解集,再分别求出四个选项中各不等式的解集,找出符合条件的不等式即可.故选D.)
6.1,2,3(解析:小于或等于3的正整数有1,2,3.故填1,2,3.)
7.x≥2(解析:根据二次根式的被开方数为非负数列式求值即可.故填x≥2.)
8.6(解析:根据不等式的基本性质求出不等式的解集为x≤3,进而得出不等式的非负整数解,再相加即可.故填6.)
9.a<-2(解析:根据不等式的基本性质可得到答案.故填a<-2.)
10.解:在不等式的两边同时加上2,得x≤7.所以不等式x-2≤5的正整数解为1,2,3,4,5,6,7.
教师在教学过程中充分领会教材,注重知识的衔接,在教学中充分体现数形结合思想的渗透,设置问题情境让学生有兴趣参与探究、学习,从而去思考.教学中重点放在不等式解集的探索过程.通过教师的引入让学生体会了类比方程的解的定义得到不等式的解的定义的过程,进一步通过问题情境的引入,积极参与交流探索,通过老师的引导,理解不等式的解和解集的意义.
学生对于带等号和不带等号的不等式的解集在数轴上的表示是用空心圆圈还是实心圆点分不清,易产生错误.在解集中取整数解时,对于临界点要不要有时弄不清楚.
怎样更好地培养学生的直觉思维能力,不仅应当经常问学生“为什么”,而且更应该努力促使学生由“被动状态”向相应的“自觉状态”转变,即由被动地回答老师关于“为什么”的问题而发展为经常地向自己提出“为什么”,而这一转化过程还需要教师耐心地引导、启发和锻炼.
随堂练习(教材第44页)
1.(1)√ (2)
习题2.3(教材第44页)
1.-4 0,-4,3,-3,,4 -5,-10
3.解:(1)有无数个解,例如:x=-1,0,1. (2)有3个正整数解,为1,2,3.
4.提示:大于50
N.
在前面学生已经学过数轴和实数的相关知识,对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法,知道实数与数轴上的点一一对应,并且建立了一定的数形结合思想.一元一次方程的解具有唯一性,而不等式的解一般有无数个,这点对学生来说是全新的.在上节课,通过学习不等式的基本性质,学生可以解一些简单的不等式,这为学习本节内容打下了基础,但对不等式解集的含义及在数轴上的表示方法,还需在教学中引导学生做进一步的学习探索.
教材创设了丰富的实际问题情境来引出不等式的解,进一步探索出不等式的解集,同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,渗透了数形结合的数学思想,发展了学生的符号感以及分析问题、解决问题的能力.教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材中知识循序渐进、螺旋上升的特点.
易错点 对不等式的解及解集的意义理解不透彻
下列结论中正确的有
( )
①2是不等式x+1>2的解集;
②x<1是不等式x+2<3的解;
③x>3是不等式x-1>4的解集;
④不等式x+2>5的解有无数个,而它的解集只有一个.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
错解:D
错因分析:对不等式的解及解集的意义理解不透彻,二者容易混淆.①2是不等式x+1>2的一个解,不是它的解集,解集应是所有解的全体,为x>1;②x<1是不等式x+2<3的解集,不是其中的一个解;③x>3不是不等式x-1>4的解集,解集应为x>5;④是正确的.故选A.
正解:A
易错点 在数轴上表示不等式的解集时出错
将不等式x≥1的解集表示在数轴上.
错解:如下图所示.
错因分析:在数轴上表示不等式的解集时,易忽略实心圆点与空心圆圈的区别.解集x≥1包括边界点1,故在数轴上表示1的点的位置上应该用实心圆点表示,而空心圆圈则表示解集中不包括x=1,所以这种表示方法是错误的.
正解:如下图所示.
4 一元一次不等式
1.经历一元一次不等式概念的形成过程.
2.会解一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
3.会利用一元一次不等式解决简单的实际问题,并初步感知实际问题对不等式解集的影响.
1.培养学生自主探究、发现问题、分析问题、解决问题的思维习惯,积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验.
2.提高学生运用已有知识及生活经验解决问题的能力.
3.引导学生感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.
通过引导学生主动探究、分析、解决实际问题,培养学生自主参与的学习态度与合作交流的学习方法,并能使学生感受到成功的喜悦,培养学生发现生活、热爱生活的情感.
【重点】 一元一次不等式的解法和实际应用.
【难点】 一元一次不等式的应用.
第课时
会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集.
让学生经历一元一次不等式概念的形成过程,通过类比理解一元一次不等式的定义.
通过一元一次不等式的学习,提高学生的自主学习能力,激发学生的探究兴趣.
【重点】 掌握一元一次不等式的解法,并能将解集在数轴上表示出来.
【难点】 一元一次不等式的解法.
【教师准备】 多媒体课件、直尺.
【学生准备】 复习上一节不等式的解集的含义.
导入一:
【问题】 (1)不等式的三条基本性质是什么
(2)运用不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a(x≥a)”或“x①x-4<6; ②2x>x-5;
③x-4<6;
④-x≥+x.
(3)什么叫做一元一次方程 解一元一次方程的步骤是什么
[设计意图] 通过一连串的问题,让学生回顾一元一次方程的概念、解一元一次方程的步骤,以及不等式的意义、不等式的基本性质和不等式的解集的含义,为后面归纳一元一次不等式的概念及解法提供条件,同时让学生体会等式与不等式之间所蕴含的特殊与一般的关系.
导入二:
在前面我们学习了不等式的基本性质和不等式的解、不等式的解集、解不等式的概念,并且知道了根据不等式的基本性质,可以把一些不等式化成“x>a”或“xa”或“x[设计意图] 问题的设置让学生回顾前面的内容,也为本节课的教学做准备,起到承上启下的作用.
一、
一元一次不等式的定义
思路一
[过渡语] 同学们,我们看看下面几个不等式的特点,总结一下它们的共同特征是什么.
观察下列不等式:
(1)6+3x>30; (2)x+17<5x;
(3)x>5;
(4)>.
这些不等式有哪些共同特点
总结:这些不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
注意三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的左右两边都是整式.
[设计意图] 引导学生通过对上述不等式的观察、比较,发现其共同特征,结合一元一次方程的概念,学生不难得出一元一次不等式的概念.让学生意识到不等式也可以像方程那样去研究,培养其化归、转化的意识.
思路二
[过渡语] 只含有一个未知数,未知数的指数是一次,这样的方程叫做一元一次方程,那么类比一元一次方程的概念,同学们能不能总结出一元一次不等式的概念
类推:只含有一个未知数,未知数的最高次数是一次,这样的不等式叫做一元一次不等式.
下列不等式是一元一次不等式吗
(1)2x-2.5≥15;
(2)5+3x>240;
(3)x<-4;
(4)>1.
(三个条件:未知数的个数,未知数的次数,不等式的两边都是整式.)
总结:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式.
[设计意图] 引导学生用类比的方法自己总结出一元一次不等式的概念,并能总结出一元一次不等式的基本特点.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是一元一次不等式,下面我们通过几个例题来学习一下一元一次不等式的解法.
(教材例1)解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在数轴上.
解:两边都加-2x,得3-x-2x<2x+6-2x.
合并同类项,得3-3x<6.
两边都加-3,得3-3x-3<6-3.
合并同类项,得-3x<3.
两边都除以-3,得x>-1.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
(教材例2)解不等式≥,并把它的解集表示在数轴上.
解:去分母,得3(x-2)≥2(7-x),
去括号,得3x-6≥14-2x,
移项、合并同类项,得5x≥20,
两边都除以5,得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示:
[设计意图] 通过师生共同探讨,经历去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1(即化为“x>a”或“x[知识拓展] 1.解一元一次不等式与解一元一次方程的区别与联系:
(1)联系:两种解法的步骤相似.
(2)区别:①不等式两边都乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向改变,而方程两边都乘(或除以)同一个负数时,等号不变;②一元一次不等式一般有无限多个解,而一元一次方程只有一个解.
2.解一元一次不等式大致要分五个步骤进行,每一步的依据如下:
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或3);
(2)去括号(根据整式的运算法则);
(3)移项(根据不等式的基本性质1);
(4)合并同类项(根据整式的运算法则);
(5)系数化为1(根据不等式的基本性质2或3).
1.一元一次不等式的定义.
2.一元一次不等式的解法.
1.下列不等式中,属于一元一次不等式的是
( )
A.4>1
B.3x-24<4
C.x2<2
D.4x-3<2y-7
解析:根据一元一次不等式的定义可知B正确.故选B.
2.与不等式<-1有相同解集的是
( )
A.3x-3<(4x+1)-1
B.3(x-3)<2(2x+1)-1
C.2(x-3)<3(2x+1)-6
D.3x-9<4x-4
解析:根据不等式的基本性质可知C正确.故选C.
3.不等式(1-9x)<-7-x的解集是
( )
A.任意实数
B.全体正数
C.全体负数
D.无解
解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式无解.故选D.
4.不等式10(x-4)+x≥-84的非正整数解是 .
解析:根据不等式的基本性质解出不等式,可知此不等式的解集为x≥-4.故符合题意的解为x=0,-1,-2,-3,-4.故填0,-1,-2,-3,-4.
5.若(m-2)x2m+1-1>5是关于x的一元一次不等式,则该不等式的解集为 .
解析:根据不等式是一元一次不等式可得2m+1=1且m-2≠0,∴m=0,∴原不等式为-2x-1>5,解得x<-3.故填x<-3.
6.已知2R-3y=6,要使y是正数,则R的取值范围是 .
解析:由2R-3y=6得y=,再由y是正数可得>0,解得R>3.故填R>3.
7.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来.
(1)3(x+2)-8≥1-2(x-1);
(2)
-1>.
解:(1)去括号,得:3x+6-8≥1-2x+2,
移项、合并同类项,得:5x≥5,
系数化成1,得:x≥1.
解集在数轴上的表示如图所示:
(2)去分母,得:3(x-3)-6>2(x-5),
去括号,得:3x-9-6>2x-10,
移项、合并同类项,得:x>5.
解集在数轴上的表示如图所示:
8.求当x为何值时,代数式-的值分别满足以下条件:
(1)是非负数; (2)不大于1.
解:(1)由题意得-≥0,
解得x≥-,
所以当x≥-时,代数式-的值是非负数.
(2)由题意得-≤1,
解得x≤-.
所以当x≤-时,代数式-的值不大于1.
第1课时
一、一元一次不等式的定义
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第47页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第48页习题2.4的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若关于x的方程5-a(1-x)=8x-(3-a)x的解是负数,则a的取值范围是
( )
A.a<-4
B.a>5
C.a>-5
D.a<-5
2.若方程组的解x,y满足x+y>0,则k的取值范围是
( )
A.k>4
B.k>-4
C.k<4
D.k<-4
3.不等式2x-1≥3x-5的正整数解的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.不等式+1<的负整数解有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【能力提升】
5.不等式-1>x与-2x-6>5a的解集相同,则a= .
6.若关于x的不等式x-1≤a有四个非负整数解,
则a的取值范围是 .
7.当k 时,代数式(k-1)的值不小于代数式1-的值.
【拓展探究】
8.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)x-≤2-;
(2)x-<1+-.
9.若关于x,y的方程组的解满足x>y,求p的取值范围.
10.若2(x+1)-5<3(x-1)+4的最小整数解是方程x-mx=5的解,求代数式3m+8的值.
【答案与解析】
1.B(解析:解这个关于x的方程,得x=,然后根据方程的解是负数,就可以得到一个关于a的不等式,即<0,解得a>5.故选B.)
2.B(解析:根据方程组的特征可把两个方程直接相加,得到4x+4y=k+4,再结合x+y>0即可得到关于k的不等式:>0,解得k>-4.故选B.)
3.D(解析:解不等式2x-1≥3x-5,得x≤4,则正整数解为1,2,3,4,共4个.故选D.)
4.A(解析:先解出不等式,再找出符合题意的解.故选A.)
5.-(解析:先解出第一个不等式,得x<-2,再解第二个不等式,得x<-,由题意得-=-2,解得a=-.故填-.)
6.2≤a<3(解析:不等式x-1≤a的解集是x≤a+
1,又不等式有4个非负整数解,则这4个非负整数一定是0,1,2,3,所以3≤a+1<4,解得2≤a<3.故填2≤a<3.)
7.≥(解析:由题意得不等式(k-1)≥1-,解不等式得k≥.故填≥.)
8.解:(1)去分母,得:6x-3(x-1)≤12-2(x+2),去括号,得:6x-3x+3≤12-2x-4,移项、合并同类项,得:5x≤5,系数化成1,得:x≤1.解集在数轴上表示略. (2)去分母,得:6x-3x<6+(x+8)-2(x+1),去括号,得:6x-3x<6+x+8-2x-2,移项,得:6x-3x-x+2x<6-2+8,合并同类项,得:4x<12,系数化成1,得:x<3.解集在数轴上表示略.
9.解:解这个关于x,y的方程组得又x>y,所以p+5>-p-7,解得p>-6.
10.解:解不等式2(x+1)-5<3(x-1)+4,得x>-4,则不等式的最小整数解是x=-3.又x=-3是方程x-mx=5的解,将x=-3代入方程,解得m=,所以代数式3m+8的值为3×+8=16.
在一元一次不等式概念的教学中,通过让学生回顾、观察、思考、归纳得出一元一次不等式的概念,
发展了学生分析问题、解决问题的能力,提高了学生的学习能力.同时,让学生列举出前几节课中得到的一元一次不等式,不仅让学生能准确识别一元一次不等式,而且可以让学生回味不等式的建模过程.
学生一节课下来还是少了练习的机会,对求解一元一次不等式的题目,课堂上需要更多的练习,从题目中去反馈学习效果会显得更加适合.
类比解方程的方法得出不等式的解法,并比较其异同,在教学过程中不能急于求成,不要包办、代替学生的活动,给学生充分的时间思考、交流,适时给予恰当的引导,再通过范例与学生共同经历解一元一次不等式的过程.
随堂练习(教材第47页)
1.提示:(1)x<40. (2)x>-7. (3)x≤-8. (4)x>.(数轴表示略)
2.解:解不等式,得x≤5,则正整数解为1,2,3,4,5.
习题2.4(教材第48页)
1.提示:(1)x<. (2)x≤-2. (3)x>. (4)x<. (5)x≤-18. (6)x≥.(数轴表示略)
2.解:共有两组:2,4,6;4,6,8.
3.解:有错误.错误之处:(1)去分母时,公分母漏乘“-1”项;(2)两边都除以-2时,不等号的方向没有改变.
本课时的教学内容是一元一次不等式的定义、解法及其解集的数轴表示,所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程,并通过学生的讨论、交流,使学生经历知识的形成和巩固过程.在解不等式的过程中,与上节课联系起来,重视将解集表示在数轴上,从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题.
本课时的学习任务主要有两个:第一是让学生体会和经历一元一次不等式概念的形成过程;第二是让学生会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示其解集,最终完成提高学生分析问题、解决问题的能力的任务.
是否存在整数m,使关于x的不等式1+>+与x+1>为同解不等式
若存在,求出整数m和不等式的解集;若不存在,请说明理由.
解:假设存在符合条件的整数m.
由x+1>,解得x>.
由1+>+,整理得>,
当m>0时,x>.
根据题意,得=,解得m=7.
把m=7代入两个已知不等式,
都解得解集为x>1,
因此存在整数m=7,使关于x的不等式1+>+与x+1>为同解不等式,且不等式的解集为x>1.
第课时
1.进一步熟练掌握一元一次不等式的解法.
2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题.
通过分析实际问题中的不等关系,建立不等式模型,通过对不等式的求解解决实际问题,提高学生分析问题和建立数学模型的能力.
通过利用一元一次不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣与信心.
【重点】 一元一次不等式的应用.
【难点】 将实际问题抽象成数学问题的思维过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上一节一元一次不等式的解法.
导入一:
【问题】 解下列不等式,并把它们的解集分别表示在数轴上.
(1)-<1; (2)≥3+.
[设计意图] 通过对这两个一元一次不等式的求解,让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法.
导入二:
师:上节课,我们学习了什么叫做一元一次不等式以及如何解一些简单的一元一次不等式,下面大家先回忆一下.
生:不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似,大致有:①去分母;②去括号;③移项、合并同类项;④系数化成1.
师:很好.在解不等式的过程中,有需要注意的问题吗
生:有.在去分母时,公分母不要漏乘不等式的某一项;在去分母和系数化成1这两步中,如果不等式两边同时乘或除以同一个负数,要注意改变不等号的方向.
师:非常棒.下面我们做一个练习检查一下大家的动手能力.解不等式:(x+15)≥-(x-7).
生:解:去分母,得6(x+15)≥15-10(x-7),
去括号,得6x+90≥15-10x+70,
移项、合并同类项,得16x≥-5,
两边都除以16,得x≥-.
师:做得很好.请再看这道题:判断下面解法的对错.
解不等式:-<2.
解:去分母,得2(2x+1)-5x-1<2,
去括号,得4x+2-5x-1<2,
移项、合并同类项,得-x<1,
两边都乘-1,得x>-1.
请大家先独立思考,再互相讨论,说出上面的解法有无错误,若有,请指出来.
生:第一,在去分母时,分子应作为一个整体,应加括号,即-(5x-1),而非-5x-1,第二,整数2也应乘公分母.
师:这位同学的分析很精彩,请大家改正.
生:解:去分母,得2(2x+1)-(5x-1)<12,
去括号,得4x+2-5x+1<12,
移项、合并同类项,得-x<9,
两边都乘-1,得x>-9.
师:刚才这位同学指出的错误也正是解此类不等式需要注意的问题,本节课我们要加以巩固.
[设计意图] 通过对这两个一元一次不等式的求解,让学生回顾解一元一次不等式的基本步骤和注意事项,也为本节课的教学做准备,起到承上启下的作用.
一、利用一元一次不等式解决简单的实际问题
[过渡语]
同学们,我们学习了一元一次不等式的解法,下面我们利用一元一次不等式来解决一个简单的实际问题.
某种商品进价为200元,标价300元出售,商场规定可以打折销售,但其利润率不能少于5%.请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以按几折销售
【师生活动】 教师引导学生先独立思考,再小组讨论,交流解决方法.
解:设这种商品可以按x折销售,
则300×0.1x-200≥200×5%,
解得x≥7.
答:这种商品最多可以按7折销售.
[设计意图] 通过学生之间的合作、交流,让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且发展了学生的合作、交流能力与数学语言的表达能力.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们用一元一次不等式解决了一个简单的实际问题,下面我们来学习有关不等式的应用题.
(教材例3)一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题
师:解不等式应用题也和解方程应用题类似,我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行
生:先审题,弄清题中的等量关系,再设未知数,用未知数表示有关的代数式,之后列出方程,解方程,最后检验并写出答案.
师:分析本题中的数量关系:总的题量为25题,答对一题得4分,答错或不答一题扣1分,最后得分在85分或85分以上,所以关系式应为:4×答对题数-1×答错题数≥85.请大家根据这个关系式自己写步骤.
生:解:设小明答对了x道题,则他答错和不答的共有(25-x)道题,根据题意,得4x-1×(25-x)≥85.解这个不等式,得x≥22.所以,小明至少答对了22道题.
师:大家依据列方程解应用题的过程,对照上面解不等式应用题的步骤,总结一下两者的异同,给出解一元一次不等式应用题的一般步骤.请互相交流.
生:第一步:审题,找出题中的不等关系;
第二步:设未知数,用未知数表示有关代数式;
第三步:列不等式;
第四步:解不等式;
第五步:根据实际情况写出答案.
[设计意图] 进一步让学生体会不等式在解决实际问题时的作用,并且要结合实际问题的意义做出最后的解答,同时也为学生的解题起了一个示范的作用.
[知识拓展] 1.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或基本性质3),注意:勿漏乘不含分母的项;分子是两项或两项以上的代数式时要加括号;若两边同时乘一个负数,则需注意不等号的方向要改变.
(2)去括号(根据整式的运算法则),注意:勿漏乘括号内的每一项;括号前面是“-”号时,括号内各项要变号.
(3)移项、合并同类项(根据不等式的基本性质1和整式的运算法则).
(4)系数化成1(根据不等式的基本性质2或基本性质3).注意:两边同时除以未知数的系数时,要注意不等号的方向是否需要改变.
2.解一元一次不等式应用题的步骤:
(1)审题,找出题中的不等关系;
(2)设未知数,用未知数表示有关代数式;
(3)列不等式;
(4)解不等式;
(5)根据实际情况写出答案.
1.解一元一次不等式的一般步骤及注意事项.
2.利用一元一次不等式解决一些实际问题.
第一步:审题,找出题中的不等关系;
第二步:设未知数,用未知数表示有关代数式;
第三步:列不等式;
第四步:解不等式;
第五步:根据实际情况写出答案.
1.小王家里装修,他去商店买灯,商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯,它们的单价分别为2元和32元.经了解,这两种灯的照明效果和使用寿命都一样,已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元,当这两种灯的使用寿命超过多长时间时,小王选择节能灯才合算
解:设使用寿命为x小时时,选择节能灯合算,
依题意,可列不等式:
2+0.5×x>32+0.5×x,
解得x>1000.
答:当这两种灯的使用寿命超过1000小时时,小王选择节能灯才合算.
2.(2015·株洲中考)为了举办班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不能超过200元,且买的球拍要尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍
解:设购买球拍x个,依题意得:
1.5×20+22x≤200,
解得x≤7,
由于x取整数,故x的最大值为7.
答:孔明应该买7个球拍.
3.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元.
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择(1)中的哪种购买方案
解:(1)设轿车要购买x辆,那么面包车要购买(10-x)辆,
由题意得7x+4(10-x)≤55.
解得x≤5.
又因为轿车至少要买3辆,所以x≥3.
所以x=3,4,5.
所以购买方案有三种:
方案一:轿车购买3辆,面包车购买7辆;
方案二:轿车购买4辆,面包车购买6辆;
方案三:轿车购买5辆,面包车购买5辆.
(2)方案一的日租金为3×200+7×110=1370(元).
方案二的日租金为4×200+6×110=1460(元).
方案三的日租金为5×200+5×110=1550(元).
所以为保证日租金不低于1500元,应选择方案三.
4.某家电商场出售A型冰箱每台售价为2190元,每日耗电量为1千瓦时,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55千瓦时.现将A型冰箱打折出售,则商场至少打几折,消费者购买A型冰箱才合算(按使用期限为10年,每年365天,每千瓦时电费为0.4元计算)
解:设商场将A型冰箱打x折出售,消费者买A型冰箱合算,由题意得:
2190×+365×10×1×0.4≤2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4.
解得x≤8.
答:家电商场将A型冰箱至少打八折,消费者购买才合算.
第2课时
一、利用一元一次不等式解决简单的实际问题
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第49页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第49页习题2.5的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,他现在已存有45元,计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有300元.设x个月后他至少有300元,则可以用于计算月数x的不等式是
( )
A.30x-45≥300
B.30x+45≥300
C.30x-45≤300
D.30x+45≤300
2.初三的几位同学拍了一张合影做留念,已知冲一张底片需要0.80元,洗一张相片需要0.35元.在每位同学得到一张相片、几位同学共用一张底片的前提下,平均每人分摊的钱不足0.5元,那么参加合影的同学人数
( )
A.至多6人
B.至少6人
C.至多5人
D.至少5人
3.2x+1是不小于-3的负数,表示为
( )
A.-3≤2x+1≤0
B.-3<2x+1<0
C.-3≤2x+1<0
D.-3<2x+1≤0
4.现用甲、乙两种运输车将46
t抗旱物资运往灾区,甲种运输车载重5
t,乙种运输车载重4
t,安排车辆不超过10辆,则甲种运输车至少应安排
( )
A.4辆
B.5辆
C.6辆
D.7辆
5.小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元,每个笔记本2元,她买了4个笔记本,则她最多可以买笔的支数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【能力提升】
6.某试卷共有20道题,每道题选对得10分,选错或者不选扣5分,则至少要选对 道题,得分才能不少于80分.
7.一个工程队原定在10天内至少要挖土600
m3,在前两天一共完成了120
m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务,则以后几天内,平均每天至少要挖土多少立方米
8.某厂原定计划年产某种机器1000台,现在改进了技术,准备力争提前超额完成,但开始的三个月内,由于工人不熟悉新技术,只生产了100台机器,则以后每个月至少要生产多少台机器
9.小明在上午8:20出发步行去春游,10:20小刚在
同一地点骑自行车出发,已知小明每小时走4千米,小刚要在11点前追上小明,则小刚的速度至少是多少
【拓展探究】
10.学校图书馆有15万册图书需要搬迁,原准备每天在一个班级的劳动课上,安排一个小组的同学帮助搬运图书,两天共搬了1.8万册.如果要求在一周内搬完,设每个小组搬运图书数相同,那么在以后5天内,每天至少要安排几个小组
【答案与解析】
1.B
2.B(解析:设参加合影的人数为x,根据平均每人分摊的钱不足0.5元,可列出不等式:0.5x>0.35x+0.8,解得x>5,又x为整数,所以x的最小值为6.故选B.)
3.C
4.C(解析:设甲种运输车应安排x辆,则乙种运输车应安排(10-x)辆,由题意得5x+4(10-x)≥46,解得x≥6.故选C.)
5.D(解析:设可以买x支笔,则有3x+4×2≤21,解得x≤4,所以x可取的最大整数为4,即她最多可以买4支笔.故选D.)
6.12(解析:设要选对x道题,则根据题意得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12.故填12.)
7.解:设平均每天挖土x
m3,由题意得(10-2-2)x≥600-120,解得x≥80.答:以后几天内,平均每天至少要挖土80
m3.
8.解:设以后每个月要生产x台机器,根据题意得(12-3)x≥1000-100,解得x≥100.答:以后每个月至少要生产100台机器.
9.解:设小刚的速度是每小时x千米,由题意得x≥×4,解得x≥16.答:小刚的速度至少是每小时16千米.
10.解:设每天安排x个小组,根据题意得5x×≥15-1.8,解得x≥2,又x为整数,所以x可取的最小整数为3.答:每天至少安排3个小组.
本节课通过复习解一元一次不等式引入新的问题,学生通过对新问题的讨论、交流与研究,明确了学习方法与注意事项,并为利用一元一次不等式解决实际问题做了铺垫.这样的程序符合学生的认知规律,教学取得了不错的效果.适时地由学生自己合作、交流、归纳出一般性的方法,提高了课堂教学效率,同时学生的自主学习能力得到培养,对于学生从整体上把握知识以及养成总结的习惯是大有帮助的.
在讲解例题时往往需要教师指出可能出现的问题,这样做虽然说出了易错点,但是毕竟不是学生自己犯的错误,对学生来说印象不深刻,不能在以后的练习中加以避免.
本节课的重点是利用一元一次不等式解决实际问题,让学生体会数学与生活的紧密联系.教学内容对于学优生来说并不难,但对于中等生和学困生来说难度就较大,应运用分步实施的方法,每一步首先让学生尝试解决,然后师生探究方法,最后进行巩固练习.这样处理,对于中等生和学困生掌握不等式的应用是十分有利的,对于落实“面向全体学生”这一理念是十分必要的.
随堂练习(教材第49页)
1.解:设可打x折,则有500×-400≥400×10%,解得x≥8.8.答:至多可打8.8折.
2.解:设还能买x根火腿肠,则有2x+3×5≤26,解得x≤5.5.又x为整数,所以x可取的最大整数为5.答:他最多还能买5根火腿肠.
习题2.5(教材第49页)
1.解:(1)x<3. (2)x≥. (3)x<. (4)x≥-.
2.解:设还能买x本辞典,根据题意,得65×20+40x≤2000,解得x≤17.5.又x为整数,所以x可取的最大整数为17.答:最多还能买17本辞典.
3.解:设她还能买x支笔,根据题意,得2.2×2+3x≤21,解得x≤5.又x为整数,所以x可取的最大整数为5.答:她最多还能买5支笔.
4.解:设需要x名八年级学生参加活动,根据题意,得(60-x)×15+20x≥1000,解得x≥20.答:至少需要20名八年级学生参加活动.
学生已经学习了一元一次不等式的概念和不等式的基本性质,知道解一元一次不等式的依据是不等式的三个基本性质,会解简单的一元一次不等式,而且能在数轴上表示其解集.
在方程与方程组的知识的学习过程中,学生已经经历了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型的过程,获得并积累了解决实际问题的数学的经验,同时在以前的学习中学生已经有了很多合作学习的过程,具备了一定的合作交流能力.
本节课的教学任务是用不等式解决简单的实际问题,难度不大,可以采用通过教师出示问题,学生自主学习、互相交流、解决问题的方式处理,从而提高课堂教学效率.根据实际问题中的不等关系列不等式,对部分学生来说还会有一定的困难,可以采用学生尝试解决、师生交流、总结方法、巩固运用等环节予以解决.
某校举行艺术节的文艺汇演,评出一等奖5个,二等奖10个,三等奖25个.学校决定给获奖的学生发奖品,同一等次的奖品相同,并且只能从下表所列物品中选取一件.
奖品名
小提琴
运动服
笛子
舞鞋
口琴
相册
笔记本
钢笔
单价/元
120
80
24
22
16
6
5
4
(1)如果获奖等次越高,奖品单价就越高,那么学校最少要花多少钱买奖品
(2)学校要求一等奖奖品的单价是二等奖奖品单价的5倍,二等奖奖品的单价是三等奖奖品单价的4倍,在总费用不超过1000元的前提下,有几种购买方案 花费最多的一种方案需多少钱
解:(1)由题意,将一、二、三等奖的奖品定为相册、笔记本、钢笔即可,此时所需费用最少,为5×6+10×5+25×4=180(元).
(2)设三等奖奖品的单价为x元,则二等奖奖品的单价为4x元,一等奖奖品的单价为20x元,
由题意可得5×20x+10×4x+25×x≤1000,
解得x≤6,又由表中数据可知x≥4,故x可取6,5,4.
故4x依次取24,20,16,20x依次取120,100,80.
再看表格中所提供各类奖品的单价,可知共有两种购买方案:
方案一:奖品单价依次为120元,24元,6元,即奖品依次为小提琴,笛子,相册,所需费用为990元;
方案二:奖品单价依次为80元,16元,4元,即奖品依次为运动服,口琴,钢笔,所需费用为660元.
花费最多的一种方案需990元.
5 一元一次不等式与一次函数
1.通过作函数的图象、观察函数的图象进一步理解函数的概念.
2.在具体问题中体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.
3.进一步培养学生作函数图象及利用图象分析问题、解决问题的能力.
学生利用函数图象,通过小组合作交流,明确一次函数与一元一次不等式的关系.自主探究后明白利用函数图象解不等式的具体方法.
使学生在独立思考的基础上积极地参与对数学问题的讨论,从交流中获益,培养学生的合作意识,进而培养学数学、用数学的意识.
【重点】 一元一次不等式与一次函数的联系.
【难点】 作函数图象,观察图象,明确函数与不等式的联系.
第课时
1.了解一元一次不等式与一次函数的关系.
2.会根据题意列出函数关系式,画出函数图象,并利用不等关系进行比较.
1.通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合,培养学生的数形结合意识.
2.通过观察图象培养学生利用数学知识解决实际问题的能力.
体验数、形是有效描述现实世界的重要手段,认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具,了解到数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
【重点】 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.
【难点】 根据题意列函数关系式,并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习一次函数的图象和一元一次不等式的解法.
导入一:
【问题】 (1)解一元一次不等式的步骤是什么
(2)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
①2x-5≥3x+4; ②10-4(x-3)≤2(x-1).
(3)什么是一次函数 一次函数有什么性质 怎样作一次函数的图象
[设计意图] 通过复习已学知识,为引入这一节新课做好准备,同时让学生体会一元一次不等式与一次函数之间存在一定的联系.
导入二:
上一节我们类比一元一次方程的解法,根据不等式的基本性质,学习了一元一次不等式的解法,并利用一元一次不等式解决了一些实际问题.本节课我们来学习一元一次不等式的其他解法.
[设计意图] 由“旧”引“新”,以原有的知识为基础,利用初中生的好奇心理,激发学生探究新知的兴趣.
一、一元一次不等式与一次函数之间的关系
思路一
[过渡语] 我们利用一次函数的图象可求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集.看下面的问题.
函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-5=0
(2)x取哪些值时,2x-5>0
(3)x取哪些值时,2x-5<0
(4)x取哪些值时,2x-5>1
问题分析:
(1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.
所以当x=时,2x-5=0.
(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0,因此当x>时,2x-5>0.
(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.
(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
思路二
[过渡语] 大家还记得一次函数吗 请举一个简单的例子.
生:如y=2x-5为一次函数.
师:在一次函数y=2x-5中,当y=0时,有方程2x-5=0;当y>0时,有不等式2x-5>0;当y<0时,有不等式2x-5<0.由此可见,一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系,当函数值等于0时即为方程,当函数值大于或小于某个值时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数之间的关系.
函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时,2x-5=0
(2)x取哪些值时,2x-5>0
(3)x取哪些值时,2x-5<0
(4)x取哪些值时,2x-5>1
问题分析:
(1)当y=0时,2x-5=0,解得x=.
所以当x=时,2x-5=0.
(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件,当y=0时,有2x-5=0,解得x=,当x>时,图象位于x轴的上方,即y>0.因此当x>时,2x-5>0.
(3)同理可知,当x<时,2x-5<0.
(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上的任一点所对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.
[设计意图] 通过作函数图象、观察函数图象,进一步理解一次函数的有关知识,让学生从整体上感受利用一次函数图象可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们探讨了一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系,下面我们看两个例题,看同学们能不能解决.
(补充例题)如果y=-2x-5,那么当x取哪些值时,y>0
解:首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:
从图象上可知,图象在x轴上方时,图象上每一点所对应的y的值都大于0,而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧,由-2x-5=0,得x=-2.5,所以当x<-2.5时,y>0.
(教材做一做)兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9
m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3
m,哥哥每秒跑4
m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过20
m 谁先跑过100
m
解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1
m,弟弟跑过的路程为y2
m,
根据题意,得y1=4x,y2=3x+9,
画出函数图象如图所示:
由图象可知:
(1)当0(2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)弟弟先跑过20
m,哥哥先跑过100
m.
[设计意图] 感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.
本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系,并且能根据一次函数的图象求解不等式.
1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为
( )
A.x≤2
B.x<2
C.x≥2
D.x>2
解析:根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.
2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买 支钢笔.
解析:设可买x支钢笔,则笔记本可买(30-x)本,由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x≤13.又x取整数,所以x可取的最大值为13.故填13.
3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:
(1)y>0 (2)y=0 (3)y<0
解:(1)令-3x+12>0,得x<4,
即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.
(2)令-3x+12=0,得x=4,
即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.
(3)令-3x+12<0,得x>4,
即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.
4.一艘轮船以20
km/h的速度从甲港驶往160
km
远的乙港,2
h后,一艘快艇以40
km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面
(2)何时快艇行驶在轮船的前面
(3)哪一艘船先驶过60
km 哪一艘船先驶过100
km
解:设轮船行驶的路程为y1
km,快艇行驶的路程为y2
km,轮船行驶的时间为x
h,
则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示:
由得即两函数图象的交点为A(4,80).
观察图象可得:
(1)轮船行驶4
h前,轮船行驶在快艇的前面.
(2)轮船行驶4
h后,快艇行驶在轮船的前面.
(3)轮船先驶过60
km,快艇先驶过100
km.
5.(2015·武汉中考)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是y=x+3.
(2)由(1)得关于x
的不等式为x+3≤6,解得x≤3.
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
6.已知y1=5+x,y2=-2x+2,当x取哪些值时,y1>y2
解:根据题意得不等式5+x>-2x+2,
解得x>-1.即当x>-1时,y1>y2.
7.声音在空气中的传播速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间满足关系式:y=x+331.求音速超过349
m/s时的气温满足什么条件.
解:根据题意得不等式x+331>349,
解得x>30.
即音速超过349
m/s时的气温满足x>30.
8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x
km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国营出租车公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算
(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300
km,那么这个单位租哪家车合算
解:由图象可知:
(1)每月行驶的路程小于1500
km
时,租国营出租车公司的车合算.
(2)当每月行驶的路程为1500
km时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300
km,那么这个单位租个体车主的车合算.
第1课时
一、一元一次不等式与一次函数之间的关系
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第50页随堂练习.
【选做题】
教材第51页习题2.6的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知函数y=8x-11,要使y>0,则x应满足
( )
A.x>
B.x<
C.x>0
D.x<0
2.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<0时,y的取值范围是
( )
A.y>0
B.y<0
C.-2D.y<-2
3.已知y1=x-5,y2=2x+1.当y1>y2时,x的取值范围是
( )
A.x>5
B.x<5
C.x<-6
D.x>-6
4.已知一次函数y=kx+b的图象如图所示,当x<1时,y的取值范围是
( )
A.-2B.-4C.y<-2
D.y<-4
5.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图所示,则下列结论:①k<0;②a>0;③当x<3
时,y1( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【能力提升】
6.若一次函数y=(m-1)x-m+4的图象与y轴的交点在x轴的上方,则m的取值范围是 .7.当自变量x 时,函数y=5x+4的值大于0;当x 时,函数y=5x+4的值小于0.
8.已知2x-y=0,且x-5>y,则x的取值范围是 .
9.已知关于x的不等式kx-2>0(k≠0)的解集是x<-3,则直线y=-kx+2与x轴的交点是 .
10.已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2,则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是 .
【拓展探究】
11.已知y1=x+3,y2=-x+2,求满足下列条件时x的取值范围.
(共9张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
4
一元一次不等式（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
什么叫做一元一次不等式以及如何解一些简单的一元一次不等式？
不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.
解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似,大致有:①去分母;②去括号;③移项、合并同类项;④系数化成1.
在解不等式的过程中,有需要注意的问题吗
在去分母时,公分母不要漏乘不等式的某一项;在去分母和系数化成1这两步中,如果不等式两边同时乘或除以同一个负数,要注意改变不等号的方向.
利用一元一次不等式解决简单的实际问题
某种商品进价为200元,标价300元出售,商场规定可以打折销售,但其利润率不能少于5%.请你帮助售货员计算一下,这种商品最多可以按几折销售
解得x≥7.
答:这种商品最多可以按7折销售.
解:设这种商品可以按x折销售,
则300×0.1x-200≥200×5%,
(教材例3)一次环保知识竞赛共有25道题,规定答对一道题得4分,答错或不答一道题扣1分,在这次竞赛中,小明被评为优秀(85分或85分以上),小明至少答对了几道题
列方程解应用题应如何进行
先审题,弄清题中的等量关系,再设未知数,用未知数表示有关的代数式,之后列出方程,解方程,最后检验并写出答案.
本题中的数量关系:总的题量为25题,答对一题得4分,答错或不答一题扣1分,最后得分在85分或85分以上,所以关系式应为:4×答对题数-1×答错题数≥85.
解:设小明答对了x道题,则他答错和不答的共有(25-x)道题,
根据题意,得4x-1×(25-x)≥85.解这个不等式,得x≥22.
所以,小明至少答对了22道题.
2.解一元一次不等式应用题的步骤:
(1)审题,找出题中的不等关系;(2)设未知数,用未知数表示有关代数式;(3)列不等式;(4)解不等式;(5)根据实际情况写出答案.
[知识拓展]
1.解一元一次不等式的一般步骤:
(1)去分母(根据不等式的基本性质2或基本性质3),注意:勿漏乘不含分母的项;分子是两项或两项以上的代数式时要加括号;若两边同时乘一个负
数,则需注意不等号的方向要改变.
(2)去括号(根据整式的运算法则),注意:勿漏乘括号内的每一项;括号前面是“-”号时,括号内各项要变号.
(3)移项、合并同类项(根据不等式的基本性质1和整式的运算法则).
(4)系数化成1(根据不等式的基本性质2或基本性质3).注意:两边同时除以未知数的系数时,要注意不等号的方向是否需要改变.
检测反馈
1.小王家里装修,他去商店买灯,商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯,它们的单价分别为2元和32元.经了解,这两种灯的照明效果和使用寿命都一样,已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元,当这两种灯的使用寿命超过多长时间时,小王选择节能灯才合算
解:设使用寿命为x小时时,选择节能灯合算,
依题意,可列不等式:
2+0.5×
x>32+0.5×
x,
解得x>1000.
答:当这两种灯的使用寿命超过1000小时时,小王选择节能灯才合算.
2.(2015·株洲中考)为了举办班级晚会,孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不能超过200元,且买的球拍要尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍
解:设购买球拍x个，依题意得:
1.5×20+22x≤200，
解得x≤7
,
由于x取整数,故x的最大值为7.
答:孔明应该买7个球拍.
3.某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元.
(1)符合公司要求的购买方案有哪几种
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金收入不低于1500元,那么应选择(1)中的哪种购买方案
解:(1)设轿车要购买x辆,那么面包车要购买(10-x)辆,
由题意得7x+4(10-x)≤55.
解得x≤5.
又因为轿车至少要买3辆,所以x≥3.
所以x=3，4，5.
所以购买方案有三种:
方案一:轿车购买3辆,面包车购买7辆;
方案二:轿车购买4辆,面包车购买6辆;
方案三:轿车购买5辆,面包车购买5辆.
(2)方案一的日租金为3×200+7×110=1370(元).
方案二的日租金为4×200+6×110=1460(元).
方案三的日租金为5×200+5×110=1550(元).
所以为保证日租金不低于1500元,应选择方案三.
4.某家电商场出售A型冰箱每台售价为2190元,每日耗电量为1千瓦时,而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%,但每日耗电量却为0.55千瓦时.现将A型冰箱打折出售,则商场至少打几折,消费者购买A型冰箱才合算(按使用期限为10年,每年365天,每千瓦时电费为0.4元计算)
解:设商场将A型冰箱打x折出售，消费者买A型冰箱合算,由题意得:
2190×
+365×10×1×0.4≤2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4.
解得x≤8.
答:家电商场将A型冰箱至少打八折,消费者购买才合算.(共11张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第二章
一元一次不等式与一元一次不等式组
学习新知
检测反馈
一元一次不等式与一次函数
(第1课时)
学
习
新
知
问题思考
(3)什么是一次函数 一次函数有什么性质 怎样作一次函数的图象
【问题】
(1)解一元一次不等式的步骤是什么
(2)解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
①2x-5≥3x+4; ②10-4(x-3)≤2(x-1).
一元一次不等式与一次函数之间的关系
函数y=2x-5的图象如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)x取何值时，2x-5=0
(2)x取哪些值时，2x-5>0
(3)x取哪些值时，2x-5<0
(4)x取哪些值时，2x-5>1
问题分析:
(1)当y=0时，2x-5=0，解得x=
.
所以当x=
时,2x-5=0.
(2)使2x-5>0的x的值,也就是函数值y大于0时所对应的x的值.从图象上看,当y>0时,在x轴上方的图象上的任一点所对应的x的值都满足条件.当y=0时,有2x-5=0,解得x=
,
当x>
时,图象位于x轴的上方,即y>0,因此当x>
时,2x-5>0.
(3)同理可知,当x<
时,2x-5<0.
(4)使2x-5>1的x的值,也就是函数值y大于1时所对应的x的值.过点(0,1)作一条直线平行于x轴,这条直线上方的图象上任一点对应的x的值都能使2x-5>1.这条直线与y=2x-5相交于一点B(3,1),则当x>3时,2x-5>1.
(补充例题)如果y=-2x-5，那么当x取哪些值时，y>0
解:首先要画出函数y=-2x-5的图象,如图所示:
从图象上可知,图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，由-2x-5=0，得x=-2.5，所以当x<-2.5时，y>0.
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9
m,然后自己才开始跑,已知弟弟每秒跑3
m,哥哥每秒跑4
m,列出函数关系式,画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时弟弟跑在哥哥前面
(2)何时哥哥跑在弟弟前面
(3)谁先跑过20
m 谁先跑过100
m
解:设哥哥跑的时间为x秒,哥哥跑过的路程为y1
m,弟弟跑过的路程为y2
m,
根据题意,得y1=4x,y2=3x+9,
画出函数图象如图所示:
由图象可知:
(1)当0(2)当x>9时,哥哥跑在弟弟前面.
(3)弟弟先跑过20
m,哥哥先跑过100
m.
检测反馈
1.一次函数y=2x-4的图象与x轴的交点坐标为(2,0),则一元一次不等式2x-4≤0的解集为
( )
A.x≤2
B.x<2
C.x≥2
D.x>2
解析:根据一次函数的图象可以求出不等式2x-4≤0的解集为x≤2.故选A.
A
2.小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件,如果每支钢笔5元,每本笔记本2元,那么小明最多能买 支钢笔.
解析:设可买x支钢笔,则笔记本可买(30-x)本,由题意得5x+2(30-x)≤100,解得x≤13
.又x取整数,所以x可取的最大值为13.故填13.
13
(3)令-3x+12<0,得x>4,
即当x>4时,一次函数y=-3x+12中的y<0.
3.对于一次函数y=-3x+12,当x为何值时:
(1)y>0
(2)y=0
(3)y<0
解:(1)令-3x+12>0,得x<4,
即当x<4时,一次函数y=-3x+12中的y>0.
(2)令-3x+12=0,得x=4,
即当x=4时,一次函数y=-3x+12中的y=0.
4.一艘轮船以20
km/h的速度从甲港驶往160
km
远的乙港,2
h后,一艘快艇以40
km/h的速度也从甲港驶往乙港.请你分别列出轮船和快艇行驶的路程与轮船行驶的时间之间的函数关系式,并画出函数图象,观察图象回答下列问题:
(1)何时轮船行驶在快艇的前面
(2)何时快艇行驶在轮船的前面
(3)哪一艘船先驶过60
km 哪一艘船先驶过100
km
解:设轮船行驶的路程为y1
km,快艇行驶的路程为y2
km,轮船行驶的时间为x
h,
则有y1=20x,y2=40(x-2).画出函数图象如图所示:
由
得
即两函数图象的交点为A(4,80).
观察图象可得:
(1)轮船行驶4
h前,轮船行驶在快艇的前面.
(2)轮船行驶4
h后,快艇行驶在轮船的前面.
(3)轮船先驶过60
km,快艇先驶过100
km.
5.(2015·武汉中考)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是y=x+3.
(2)由(1)得关于x
的不等式为x+3≤6,解得x≤3.
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是x≤3.
6.已知y1=5+x,y2=-2x+2,当x取哪些值时,y1>y2
解:根据题意得不等式5+x>-2x+2,
解得x>-1.即当x>-1时,y1>y2.
7.声音在空气中的传播速度(简称音速)y(m/s)与气温x(℃)之间满足关系式:y=
x+331.求音速超过349
m/s时的气温满足什么条件.
解:根据题意得不等式
x+331>349,
解得x>30.
即音速超过349
m/s时的气温满足x>30.
8.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x
km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国营出租车公司的月费用为y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图所示,观察图象回答下列问题:
(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国营出租车公司的车合算
(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同
(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300
km,那么这个单位租哪家车合算
解:由图象可知:
(1)每月行驶的路程小于1500
km
时,租国营出租车公司的车合算.
(2)当每月行驶的路程为1500
km时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300
km,那么这个单位租个体车主的车合算.