(共15张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
多边形的内角和与外角和
（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗 与同伴交流.
1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度
2.四边形的内角和呢 四边形的内角和是怎么得到的
多边形的内角和
1.三角形的内角和是多少度 你是怎么得出的
①用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.
②拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.
2.四边形的内角和是多少 你又是怎样得出的
①度量;
②拼角;
③将四边形转化成三角形求内角和.
3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好 请讲述你的理由.
度量法:不精确;
拼角法:操作不方便;
当多边形边数n较大时,度量法、拼角法都不可取.
第三种方法:精确、省事且有理论根据.
4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢
方法1:如图(1)所示,连接AD,AC,五边形的内角和为:3×180°=540°.
方法2:如图(2)所示,连接AC,则五边形的内角和为:360°+180°=540°.
方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:4×180°-180°=540°.
方法4:如图(4)所示,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:5×180°-360°=540°.
D
方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2×360°-180°=540°.
方法6:如图(6)所示,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:4×180°-180°=540°.
5.小组合作,完成下面的表格.
n边形
图形
从一个顶点引出
的对角线条数
分割成的三
角形个数
多边形的
内角和
三角形
(n=3)
四边形
(n=4)
五边形
(n=5)
六边形
(n=6)
…
…
…
…
…
n边形
0
1
2
3
n-3
1
2
3
4
n-2
180°
360°
540°
720°
(n-2)
180°
6.从表格中你发现了什么规律
n边形的内角和等于(n-2)·180°.
正多边形
(1)想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点
正多边形的定义:在平面内,每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形.
(2)议一议:
①一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗
②一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗
(3)练一练:
①正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
②正n边形的内角是多少度
③一个正多边形的一个内角是150°,求它的边数.
①正三角形的内角为
=60°.
正四边形(正方形)的内角为
=90°.
正五边形的内角为
=108°.
正六边形的内角为
=120°.
正八边形的内角为
=135°.
③
=150°
,解得n=12,所以这个多边形的边数为12.
②正n边形的内角是
.
(4)议一议:
剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角 这个多边形的内角和是多少度 与同伴交流.
剪的位置不同,剩下的多边形的形状也不同,多边形的内角和也不同,需分类讨论.
①纸片剩下5个角时,得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.
②纸片剩下4个角时,得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°.
③纸片剩下3个角时,得到的三角形的内角和为180°.
(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,∠A+∠C=180°.∠B与∠D有怎样的关系
〔解析〕 本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.
解:∵∠A+∠B+∠C+∠D
=(4-2)×180°=360°,
∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)
=360°-180°
=180°.
这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.
[知识拓展] 多边形内角和定理的补充证法:
证法一:在多边形外取一点P,与多边形各顶点相连接,这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P点,使得其中仅有两个三角形在多边形外部,如图(1)所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和(n·180°)减去△PA4A5,△PA4A3两个三角形内角之和(360°),结果是(n-2)·180°.
证法二:如果没有两条边相互平行,则过A3,A4,A5,…,An分别作A1A2的平行线,如图(2)所示.则可得到(n-3)对同旁内角,如图中∠A1与∠1,∠A2与∠2,∠3与∠4等;还有两对内错角,如图所示的∠6与∠5,∠7与∠8.因此,n边形的内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角,即(n-2)·180°.
如果有两条边相互平行,不妨设AmAm+1∥A2A3,以A6A7∥A2A3为例画图,则过除A2,A3,A6,A7外的各顶点分别作A2A3的平行线,如图(3)所示.则图中共有(n-2)对同旁内角,如∠A2与∠1,∠2与∠A3,∠5与∠6等.也可得到n边形的内角和为(n-2)·180°.
检测反馈
1.一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
解析:(n-2)·180°=720°,解得n=6.故选C.
C
2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和
( )
A.增加180°
B.增加360°
C.减少360°
D.不变
解析:(n-2+1)·180°-(n-2)·180°=180°.故选A.
A
3.一个多边形的内角和为1440°,则它是 边形.
解析:(n-2)·180°=1440°,解得n=10.故填十.
十
解:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
∴13x+11x+9x+7x+5x=540.
解得x=12.
∴最大角为13x°=156°,最小角为5x°=60°.
4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5,求这五个内角中的最大角和最小角.
解析:设这五个内角的度数分别为13x°,11x°,9x°,7x°,5x°,再根据五边形的内角和为(5-2)×180°=540°列方程求解.(共7张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
多边形的内角和与外角和
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
如图所示,清晨,小刚沿一个五边形广场周围的小路,按逆时针方向跑步.
(1)小刚每从一条小路转到下一条小路时,跑步方向改变的角是哪个角 在图上标出这些角.
(2)他每跑完一圈,跑步方向改变的角一共有几个 它们的和是多少
(3)如图所示,你能求出∠1+∠2+
∠3+
∠4+∠5的结果吗 你是怎样得到的
1
2
4
3
5
小明是这样思考的:如图所示,过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA',OB',OC',OD',OE',得到∠α,∠β,∠γ,∠δ,∠θ,
其中,∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.
这样,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
小刚是这样思考的:如图所示,跑步方向改变的角分别是∠1,∠2,∠3,∠4,∠5.
∵∠1+∠EAB=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠BCD=180°,
∠4+∠CDE=180°,
∠5+∠DEA=180°,
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°.
∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=900°-540°=360°.
问题引申:
1.如果广场的形状是六边形,那么还有类似的结论吗
2.如果广场的形状是八边形呢
总结得出:多边形的外角和都等于360°.
根据题意,得(n-2)·180°=3×360°.
解得n=8.
所以这个多边形是八边形.
(教材例2)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形
〔解析〕 这是多边形外角和定理的简单应用.
解:设这个多边形是n边形,则它的内角和为(n-2)·180°,外角和为360°.
3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半,那么这个多边形是
( )
A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
1.一个多边形的内角和与外角和之和为2520°,则这个多边形的边数为
( )
A.12
B.13
C.14
D.15
解析:(n-2)·180°+360°=2520°,解得n=14.故选C.
C
2.在一个多边形的每一个顶点处取一个外角,这些外角中最多有钝角
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:由外角和为360°可得最多有3个钝角.故选C.
C
解析:(n-2)·180°=360°×
,解得n=3.故选D.
D
检测反馈
4.一个多边形中,每个内角都相等,并且每个外角都等于它的相邻内角的
,求这个多边形的边数及内角和.
解:设这个多边形的边数为n.
则
×4,解得n=10.
内角和:(n-2)·180°=1440°.
即这个多边形的边数为10,内角和为1440°.(共13张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
平行四边形的判定
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.平行四边形的定义是什么
2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些
【活动】
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形
【思考1】 你能说明你得到的四边形是平行四边形吗
已知:如图所示,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
〔解析〕 目前我们证明一个四边形是平行四边形有三个基本思路:定义、两组对边分别相等和一组对边平行且相等.根据本题的条件,我们能够通过三角形的全等,证明出线段AD和BC,AB和CD分别相等;也能证明出AD与BC平行,AB与CD平行.
证明:
∵OA=OC,OB=OD,且∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD,
∴AB=CD.
同理可得:BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗
(教材例2)已知:如图(1)所示,E,F是□
ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
〔解析〕 本例综合应用了涉及对角线的性质定理和判定定理.初看起来在四边形BFDE内既找不到等量关系,也找不到平行关系,这就需要我们利用题中给出的条件,构造出可以为证明服务的相等或平行的条件.通过观察,线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线,连接BD后还可以间接利用到四边形ABCD的另一条对角线.
证明:如图(2)所示,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
OA=OC,
OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
变式练习:对于上述例题,若E,F继续移动至OA,OC的延长线上,仍使AE=CF(如图所示),则结论还成立吗
请说明理由.
解:结论成立.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
OA=OC,
OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
想一想
(1)分别过点A,C作BC,BA的平行线,两平行线相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
如图所示,有一块平行四边形玻璃镜片,不小心打掉了一块,但是有两条边是完好的.同学们想想看,有没有办法把原来的平行四边形重新画出来
(2)分别以点A,C为圆心,以BC,BA的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
（3）连接AC,取AC的中点O,再连接BO,并延长BO到D,使DO=BO,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
[知识拓展]
判定平行四边形时常用的反例.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(1)所示,AD∥BC,AB=CD,这是一个两腰相等的梯形而不是平行四边形.
反例:如图(2)所示,
等腰三角形ABC中,点D是BC上的点,且CD<
BC,将△ADC剪下,拼成如图(3)所示的图形,则四边形ABDC虽满足“一组对边相等且一组对角相等”,但显然不是平行四边形.
(2)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(4)所示,三角形ABC中,AB=AC,在AC上取点E,在AB延长线上取点D,使得BD=EC,那么四边形BDCE即为符合“一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的反例.
证明:如图(4)所示,过E作EF∥BD交BC于点F,连接DF,则∠EFC=∠ABC,由AB=AC,得∠ABC=∠EFC=∠ACB,∴EF=EC,∴四边形BDFE是平行四边形,∴DM=EM.
(3)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(5)所示,四边形ABCD中,OA=OC,且AC⊥BD,则∠BAD=∠BCD,且BD平分AC,但四边形ABCD不是平行四边形.
(4)一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.( )
检测反馈
1.判断下列说法是否正确.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.
( )
(4)一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形.
( )
√
√
2.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有
( )
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
解析:①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;①③组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;①④组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形.故选B.
B
3.如图所示,AD是△ABC的边BC上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的形状.
解析:根据要求画图,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABEC的形状.
解:(1)如图所示.
(2)四边形ABEC为平行四边形.
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∵AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,
∴△FDO≌△EBO,∴OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形.(共8张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
平行四边形的判定
（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
平行四边形具有什么性质
①平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
②边:平行四边形的对边相等.
③角:平行四边形的对角相等.
④对角线:平行四边形的对角线互相平分.
现在同学们拿出每人准备好的两根等长的小木条,两个同学合作,把一个人的相等的两根小木条作为一个四边形的一组对边,另一个同学的作为四边形的另一组对边,组成一个四边形,能行吗
平行四边形的判定定理
【活动1】
工具:两对长度分别相等的木条.
动手:能否在平面内用这四根木条摆成一个平行四边形
【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗
已知:如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图(2)所示,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴AB∥CD,
AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).
【思考2】 以上活动事实,能用文字语言表达吗
平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【活动2】
工具:两根长度相等的木条,两条平行线.
动手:利用两根长度相等的木条能摆出以木条顶端为顶点的平行四边形吗
【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗
已知:如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB
CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图(2)所示,连接AC.
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
【思考2】 以上活动事实,能用文字语言表达吗
平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(教材例1)已知:如图所示,在
□
ABCD中,E,F分别为AD和CB的中点.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
〔解析〕 本例是对平行四边形性质和判定的综合应用.要证明一个四边形是平行四边形,除了依据平行四边形的定义外,还可以考虑本课时刚学完的两个平行四边形的判定定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB(平行四边形的对边相等),
AD∥CB(平行四边形的定义).
∵E,F分别是AD和CB的中点,
∴ED=
AD,FB=
CB.
∴ED=FB,ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
检测反馈
1.(2014·新疆中考)四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是
( )
A.OA=OC,OB=OD
B.AD∥BC,AB∥CD
C.AB=CD,AD=BC
D.AB∥DC,AD=BC
D
2.(2014·淮安中考)如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是
.(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段)
AB=
CD(答案不唯一)
3.如图所示,在□
ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且BE∥DF,若∠EBF=
45°,则∠EDF的度数是 度.
解析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,又由BE∥DF,即可证得四边形BFDE是平行四边形,根据平行四边形的对角相等,即可求得∠EDF=∠EBF=45°.故填45.
45
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC交AB于点E,BF平分∠ABC交CD于点F.
(1)求证DE=BF;
(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADE=∠AED,
∴AE=AD.
同理CF=CB.
又AD=CB,
∴CF=AE,∴DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.
解:(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.(共11张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
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平行四边形的性质
（第2课时）
学
习
新
知
问题思考
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动,
到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗 为什么
平行四边形的对角线互相平分
如图所示,
□
ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
追问:你还有其他的证明方法吗 与同伴交流.
(提示:还可以证明△BOC≌△DOA)
(补充例题)已知:如图(a)所示,
的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
□
ABCD
〔解析〕 由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD，AB=CD.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形的对应边相等).
∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
【延伸思考】 若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)所示的位置,那么补充例题的结论是否仍成立 若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图(c)和图(d)所示,补充例题的结论是否仍成立 说明你的理由.
(教材例2)已知:如图所示,
的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.
求证OE=OF.
□
ABCD
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分).
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴
∠ODE=∠OBF.
∵∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
做一做
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADB=90°,OA=6，OB=3.求AD和AC的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=6,OB=OD=3,
∴AC=12.
又∠ADB=90°,
∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:
OA2=OD2+AD2,
∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.
∴AD=3
.
[知识拓展] 在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图(1)中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线
(2)由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律
解:(1)如图(2)所示.(答案不唯一)
(2)规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.
检测反馈
1.判断对错:
(1)在
中，AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.
( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.
( )
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.
( )
(4)平行四边形是轴对称图形.
( )
□
ABCD
解析:(1)在
中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由三角形全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.
(4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
□
ABCD
√
√
2.(2015·宁波中考)如图所示,在
□
ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为
( )
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,由等量减等量差相等得BE=DF,再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.
C
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB,AB的长度分别为3
cm,4
cm,5
cm,求其他各边以及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.
又OA=3
cm,OB=4
cm,AB=5
cm,
∴AC=6
cm,BD=8
cm,CD=5
cm.
∵在△AOB中,32+42=52,
即AO2+BO2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,
∴AD=5
cm,BC=5
cm.
答:这个平行四边形的其他各边长都是5
cm,两条对角线的长分别为6
cm和8
cm.第六章 平行四边形
1.了解多边形的定义,多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.
3.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.了解两条平行线之间距离的定义,能度量两条平行线之间的距离.
5.探索并证明三角形中位线定理.
6.探索平行四边形的中心对称性质.
1.经历平行四边形的性质定理和判定定理的探究过程.
2.经历三角形中位线定理的探究证明过程.
3.经历多边形的内角和定理的探究过程和外角和定理的证明过程.
1.在探究平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理以及它们的应用中,体会一些数学思想方法,如分类讨论思想、构造思想、转化思想等.
2.在整个教学活动中,丰富学生从事数学活动的经验,进一步提高合情推理能力,增强简单的逻辑推理意识,培养学生克服困难的信心、与人交流的合作精神和养成从实践到理论再到实践的科学态度.
首先通过图形的拼、剪引入平行四边形,逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的判定方法,然后在直观的、现实的情境和一些探索性活动中研究三角形中位线定理,最后,通过一个十分有趣的“多边形广场”的连续情境,比较自然地呈现多边形内角和、外角和的探索过程.本章特别强调图形性质的探索过程,而不是简单地得到平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理.
结合以上分析的教材编写思路,在教学中首先要创设使用教材中问题的情境,把教材中不动的问题情境转化为学生互动的问题情境,在教师的引导下,经过学生充分的思考、讨论,并结合大量特例,由学生自己归纳、总结发现.此外,还要根据实际情况,对不同的学生进行有针对性的指导,使不同的学生都有发展,真正把课堂还给学生,使学生真正地变为课堂学习的主人,教师只是学生学习的引导者和组织者.
【重点】
1.平行四边形的性质定理.
2.平行四边形的判定定理.
3.三角形中位线定理.
4.多边形的内角和定理.
5.多边形的外角和定理.
【难点】
1.三角形中位线定理的证明和熟练应用.
2.平行四边形的性质定理和判定定理、三角形中位线定理、多边形的内角和定理和外角和定理的综合应用.
3.在证明和解决有关问题的探究中添加适当的辅助线,使问题得以解决.
1.立足学生的生活经验和已有的数学活动经验,创设恰当的问题情境,展现图形性质的探索过程.
本章教材在引导学生探索有关结论时,设计了一些问题情境.教学中,教师可以利用教材中呈现的素材.如果条件允许,教师也可以根据实际情况创设更现实、更有趣的问题情境.
2.让学生经历“探索——发现——猜想——证明”的完整过程,加深对合情推理和演绎推理的认识.
在本章教学中,不论是平行四边形的性质定理和判定定理,还是三角形中位线定理、多边形的内角和定理与外角和定理,都建议让学生先进行自主探索,通过探索发现结论,然后进行证明.要让学生体会证明活动是探索活动的自然延续和必要发展,感受合情推理与演绎推理是相互依赖、相互补充的辩证关系.
3.重视对证明思路的启发,鼓励尝试多种证明方法.
在本章有关证明的教学中,教师应为学生的积极思考创设条件,鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法;提倡证明方法的多样性,并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同,提高推理论证水平.同时教师在教学时也应注意教学策略的多样化,以满足学生多样化的学习需求.
1 平行四边形的性质
2课时
2 平行四边形的判定
3课时
3 三角形的中位线
1课时
4 多边形的内角和与外角和
2课时
回顾与思考
1课时
1 平行四边形的性质
探索和证明平行四边形的性质.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
提高学生参加数学活动的积极性,注重理论和实际相结合.
【重点】 平行四边形的性质的探究与应用.
【难点】 平行四边形的性质的探究.
第课时
1.理解并能说出平行四边形的定义.
2.理解并能说出平行四边形的对称性和对边相等、对角相等的性质,且能够证明.
经历平行四边形性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.平行四边形的性质的探究、平行四边形的性质的应用.
2.探索和证明平行四边形的性质.
【难点】 平行四边形的性质的探究.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 两张全等的三角形纸板、刻度尺、量角器.
[过渡语] 生活中我们随处可见一些几何图形,之前我们已经深入研究了关于“三角形”的性质和判定,今天我们将对特殊的四边形——平行四边形进行研究.
导入一:
同学们,你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗
学生根据自己的生活经验,可能回答:平行四边形、长方形、四边形……
【教师点评】 太阳光属于平行光,长方形窗口在地面上的影子通常是平行四边形,平行四边形是我们常见的一种图形.有人说平行四边形是一种很美的图形,因为它有一种对称美.
引出本节课研究内容:板书课题——平行四边形的性质.
[设计意图] 通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂.通过类比让学生体会平行四边形的相关概念,自然导入本节课的教学,并且揭示了课题.
导入二:
【问题】 同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,将它们相等的一组对边重合,得到一个四边形.
(1)你拼出了怎样的四边形 与同桌交流一下;
(2)给出小明拼出的四边形,它们的对边有怎样的位置关系 说说你的理由,请用简洁的语言刻画这个图形的特征.
【学生活动】 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
【教师活动】 平行四边形定义中的两个条件:①四边形;②两组对边分别平行,即AD∥BC且AB∥DC;平行四边形的表示为“ ”.
注意:平行四边形中对边是指无公共点的边,对角是指不相邻的角,邻边是指有公共端点的边,邻角是指有一条公共边的两个角.而三角形中对边是指一个角的对边,对角是指一条边的对角.(教学时要结合图形,让学生认识清楚)
[设计意图] 通过学生动手实践,引出平行四边形的定义,使学生自然过渡到新知识的学习.
导入三:
平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四边形的形状.
平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质 又如何判断一个四边形是平行四边形呢 这就是我们这节课要学习的内容.
[设计意图] 通过生活实例,既可以活跃课堂气氛,又简单易懂,自然过渡到对平行四边形的性质的学习.
一、平行四边形的性质
[过渡语] 请同学们将你准备的纸片对折,剪下两张叠放的三角形纸片,把它们相等的一组对边重合,想办法拼出一个四边形.
思路一
实践探索:
(1)通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.
(2)可以通过推理来证明这个结论.
(平行四边形对边相等的证明)如图(1)所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证AB=CD,BC=DA.
证明:如图(2)所示,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC∥DA(平行四边形的定义).
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=DC,BC=DA.
学生证明:平行四边形的对角相等.
[设计意图] 学生通过说理,由直观感受上升到理性分析,在操作感知的基础上提升了对平行四边形的性质的理解.
【做一做】 (1)平行四边形是中心对称图形吗 如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗 (2)你还发现平行四边形具有哪些性质
生1:平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
生2:平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.
[设计意图] 这个探索活动与上一环节的探索活动有所不同,是从整体的角度研究平行四边形中心对称的性质,明确了两条对角线的交点就是其对称中心,感知平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等的性质.
思路二
[过渡语] 了解平行四边形的定义之后,我们下面对它的性质进行探究.
操作要求:
O是 ABCD对角线AC的中点.用透明纸覆盖在如图所示的图形上,描出 ABCD及其对角线AC,再用大头针钉在点O处,将透明纸上的 ABCD旋转180°.你有什么发现
学生独立探索得到 ABCD绕点O旋转180°后与原来的图形重合.从而得到平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
思考:从验证 ABCD是中心对称图形的过程中,你发现平行四边形还具有哪些性质
发现:平行四边形的对边相等、对角相等.
[设计意图] 通过动手操作让学生理解平行四边形是中心对称图形.设计“思考”的目的是为了让学生通过操作更好地理解平行四边形的性质.
二、议一议
如果已知平行四边形的一个内角度数,能确定其他三个内角的度数吗
【学生活动】 学生小组内思考、议论.
【教师点评】 可以确定其他三个内角的度数.
[设计意图] 由平行四边形的对边分别平行得到邻角互补.因为平行四边形的对角相等,所以已知平行四边形的一个内角的度数,可以确定其他三个内角的度数.
三、例题讲解
[过渡语] 同学们已经会利用平行四边形的性质解决简单的问题了,你能解决下面这道题吗 试一试(多媒体课件给出).
(教材例1)已知:如图所示,在 ABCD中,
E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.
求证BE=DF.
〔解析〕 本例是对所学的平行四边形的性质的简单应用.鼓励学生寻求证明思路.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等),
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
(补充例题)如图所示,在 ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.
〔解析〕 要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到所需要的结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B,AD=BC,AB=CD.
∵AE=CF,∴BE=DF.
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE.
[设计意图] 通过例题及补充例题,使学生进一步理解平行四边形的性质,并能进行简单的合情推理.
[知识拓展] 1.平行四边形是特殊的四边形,因此上述性质是一般四边形不具备的特殊性质.
2.在学习三角形时,我们通常从边、角两方面考虑性质与判定,由于四边形有对角线,故在考虑平行四边形的性质与判定时主要从边、角、对角线三个方面着手,对角线是沟通四边形与三角形的桥梁和纽带,通过学习我们将进一步深刻体会将四边形问题化为三角形问题的转化思想的应用.
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
2.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线.
3.平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.
4.平行四边形的对边相等.
5.平行四边形的对角相等.
1.在 ABCD中,若∠B=60°,则∠A= ,∠C= ,∠D= .
答案:120° 120° 60°
2.在 ABCD中,若∠A比∠B大20°,则∠C= .
解析:由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.
3.在 ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD= ,CD= .
解析:AD=BC=5,CD=AB=3.
答案:5 3
4.(2015·梅州中考)如图所示,在 ABCD中,BE平分∠ABC,BC=6,DE=2,求 ABCD的周长.
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BC,AD=BC,AB=CD,
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴AE+DE=AD=BC=6,
∴AE+2=6,∴AE=4,
∴AB=CD=4,
∴ ABCD的周长=4+4+6+6=20.
5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.
证明:∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,
∴BF=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.
第1课时
一、平行四边形的性质
二、议一议
三、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第137页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第137页习题6.1的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.(2015·衢州中考)如图所示,在 ABCD中,已知AD=12
cm,AB=8
cm,AE平分∠BAD交BC于点E,则CE的长等于
( )
A.8
cm
B.6
cm
C.4
cm
D.2
cm
2.如图所示,点E是 ABCD的边CD的中点,AD与BE的延长线相交于点F,DF=3,DE=2,则 ABCD的周长为
( )
A.5
B.7
C.10
D.14
3.在平行四边形ABCD中,
(1)若∠A-∠B=30°,则∠A,∠B,∠C,∠D的度数分别为 ;
(2)若平行四边形ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB= ,BC= .
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则图中全等的三角形有哪几对呢
【能力提升】
5.如图所示,在 ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为
( )
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
6.在 ABCD中,若∠A+∠C=200°,则∠B的度数是
( )
A.100°
B.160°
C.80°
D.60°
7.如图所示,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH相交于点O,图中共有平行四边形的个数为
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
8.如图所示,在 ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为
( )
A.
4
B.3
C.
D.2
【拓展探究】
9.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,∠C=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求∠EDF的度数;
(2)若AE=4,CF=7,求平行四边形ABCD的周长.
【答案与解析】
1.C(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠DAE=∠AEB.又∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠EAB.∴∠EAB=∠AEB,∴AB=BE.∵AD=12
cm,AB=8
cm,∴BC=12
cm,BE=8
cm.∴CE=BC-CE=4
cm.故选C.)
2.D
3.(1)105° 75° 105° 75° (2)8 16
4.解:可以找到4对全等三角形,它们是:△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,△ABC≌△CDA,△ABD≌△CDB.
5.D(解析:由平行四边形的对角相等可得∠ADC
=110°,再由∠ADC+∠FDC=180°,得出∠FDC=
70°,所以∠E+∠F=∠FDC=70°.)
6.C(解析:∵∠A+∠C=200°,∠A=∠C,∴∠A=100°.又AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∴∠B=180°-∠A=80°.故选C.)
7.D(解析:图中的平行四边形有: AEOG, BHOE, CHOF, OFDG, ABHG, CHGD, AEFD, BEFC, ABCD.)
8.B(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵CE平分∠DCB,∴∠DCE=∠BCE,∴∠DEC=∠DCE,∴DE=DC=AB.∵AD=2AB,∴AD=2CD,∴AD=2DE,∴AE=DE=3,∴DC=AB=DE=3.故选B.)
9.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠A=∠C=
60°,∠C+∠B=180°.∵∠C=
60°,∴∠B=180°-∠C=120°.∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°,∴∠EDF=360°-∠DEB-∠DFB-∠B=60°. (2)在Rt△ADE和Rt△CDF中,∠A=∠C=60°,∴∠ADE=∠CDF=
30°,∴
AD=2AE=8,CD=2CF=14,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(8+14)=44.
本节教材中直观感知的活动较多,能培养学生一定的逻辑思考能力及说理能力.因此,从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常重要的.
在“议一议,做一做”环节中,要引导学生有条理地用数学语言叙述思考过程.
增加实际生活的例子,激发学生的学习兴趣,提高学习的效率.
随堂练习(教材第137页)
1.解:能.设一个内角的度数为x°,则其他三个内角的度数分别为:180°-x°,x°,180°-x°.
2.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠B=56°,∠BCD=180°-∠B=124°. (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=25,BC=AD=30.
习题6.1(教材第137页)
1.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=48°,∠B=180°-∠A=132°,AD=BC=3
cm.
2.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,∴∠ACB=∠CAD=21°.∵∠ADC=125°,∴∠ABC=125°.∴∠DAB=180°-∠ADC=55°,∴∠CAB=∠DAB-∠CAD=55°-21°=34°.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF.
4.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ADC=∠ABC,∵DF平分∠ADC,∴∠CDF=∠ADC.同理,∠ABE=∠ABC,∴∠CDF=∠ABE.∵DC∥BA,∴∠CDF=∠AFD,∴∠AFD=∠ABE,∴DF∥EB.∵DE∥FB,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BF=DE.
本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质.这一节是全章的重点之一,为学好全章打下基础.
学习这一节的基础是建立在平行线的性质、全等三角形和四边形的基础之上的,课堂上可引导学生回忆有关知识.
平行四边形的定义在小学里学过,学生是不生疏的,但对于概念的本质属性的理解并不深刻,所以这里不仅要复习巩固,而且要加深理解.
为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解,在讲平行四边形的定义前,要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚.
讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件,一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”时才是平行四边形;反之,平行四边形就一定是“有两组对边分别平行”的一个“四边形”.
要指出,定义既是平行四边形的一个判定方法,又是平行四边形的一个性质.
教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的,然后用两个三角形全等,证明了这两条性质.这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力.
教学中可以通过大量的生活实例引入新课,使学生在对已有知识的认知基础上去探索数学发展的规律,达到用问题创设数学情境,提高学生的学习兴趣.
然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质,进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质.同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式,让学生在教师的范式的引导下,初步达到演绎数学论证过程的能力.
最后通过不同层次的典型例题、习题,让学生自己理解并掌握本节课的知识.
第课时
1.进一步理解平行四边形的定义,平行四边形的对称性、对边相等、对角相等的性质.
2.理解并能够说出平行四边形的对角线互相平分的性质,且能够进行证明.
3.能够运用平行四边形的定义和性质证明或解决有关问题.
经历平行四边形的性质的探究、归纳过程,体会通过观察、猜想、操作、论证获得数学知识的方法.
通过独立探索、合作交流等良好的学习态度的形成,促进学生自主学习能力的提高.
【重点】
1.理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分的性质.
2.应用平行四边形的性质证明和解决有关问题.
【难点】 综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 复习上节课所学内容.
导入一:
复习提问:
(1)什么样的四边形是平行四边形
(2)平行四边形的性质:
①具有一般四边形的性质.
②角:平行四边形的对角相等,邻角互补.
③边:平行四边形的对边相等.
(3)那么平行四边形的对角线有什么特点呢
[设计意图] 复习上节课的知识点,在此基础上,引出本节课的知识点,形成一个知识体系,使学生的学习具有连贯性.
导入二:
一位饱经沧桑的老人经过一辈子的辛勤劳动,
到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是按如图所示的方式分的.当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少.同学们,你认为老人这样分合理吗 为什么
本节课,我们将继续学习平行四边形的有关性质,你将会明白老人的分法是否合理.
[设计意图] 把知识融入到故事情境中,能够提高学生的学习兴趣.
一、性质总结
思路一
【探究】 请学生在纸上画两个全等的 ABCD和 EFGH,并连接对角线AC,BD和EG,HF,设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起,在点O处钉一个图钉,将 ABCD绕点O沿顺时针方向旋转180°,观察它还能和 EFGH重合吗 你能从中看出上节课所得到的平行四边形的边、角关系吗 进一步,你还能发现平行四边形的什么性质
结论:(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
[设计意图] 利用实际动手操作的形式,让学生在活动中提炼出平行四边形的对角线的性质,印象深刻,容易理解.
思路二
[过渡语] 在上节课我们研究了平行四边形的边、角的特殊关系,这节课我们研究其对角线有怎样的特殊关系.
【学生活动】 学生小组内思考、交流.得出:平行四边形的对角线互相平分.
【师生活动】 请尝试证明这一结论.
(平行四边形的对角线互相平分的证明)已知:如图所示, ABCD的对角线AC与BD相交于点O.
求证OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等).
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO=∠DCO,∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC,OB=OD.
追问:你还有其他的证明方法吗 与同伴交流.
(提示:还可以证明△BOC≌△DOA)
[设计意图] 通过对上节课动手操作活动的回顾,得出平行四边形对角线互相平分的性质,再通过严格的说理证明,深化对知识的理解.
[教法说明] 因为有上节课的基础,学生对于定理的证明已具备一定的基础,但是在证明定理之后应该给学生强调:定理的证明只是让学生进一步理解定理,而在定理运用时则直接由平行四边形可得出其对角线互相平分.
二、例题讲解
[过渡语] 看来大家对平行四边形的性质的理解已经透彻了,下面我们就一起来探究一下它的应用吧!
(补充例题)已知:如图(a)所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O与AB,CD分别相交于点E,F.
求证OE=OF,AE=CF,BE=DF.
〔解析〕 由平行四边形的对角线互相平分,得到OA=OC,继而得到相关三角形全等,从而得证.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
又∵OA=OC(平行四边形的对角线互相平分),
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴OE=OF,AE=CF(全等三角形的对应边相等).
∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
【延伸思考】 若补充例题中的条件都不变,将EF转动到图(b)所示的位置,那么补充例题的结论是否仍成立 若将EF向两方延长与平行四边形的一组对边的延长线分别相交,如图(c)和图(d)所示,补充例题的结论是否仍成立 说明你的理由.
(教材例2)已知:如图所示, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.
求证OE=OF.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DO=BO(平行四边形的对角线互相平分).
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴
∠ODE=∠OBF.
∵∠DOE=∠BOF,
∴△DOE≌△BOF.
∴OE=OF.
三、做一做
如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.求AD和AC的长度.
〔解析〕 本题意在让学生综合运用平行四边形的性质解决简单问题,教学时还可以让学生求其他边长.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=6,OB=OD=3,
∴AC=12.
又∠ADB=90°,
∴在Rt△ADO中,根据勾股定理,得:
OA2=OD2+AD2,
∴AD2=OA2-OD2=62-32=27.
∴AD=3.
[知识拓展] 在一次数学探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等.
(1)请在图(1)中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线
(2)由上述操作,你发现所画的两条直线有什么规律
解:(1)如图(2)所示.(答案不唯一)
(2)规律:所画的两条直线都经过平行四边形ABCD的对角线的交点.
平行四边形的性质:
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
1.判断对错:
(1)在 ABCD中,AC交BD于O,则AO=OB=OC=OD.
( )
(2)平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.
( )
(3)平行四边形的两组对边分别平行且相等.
( )
(4)平行四边形是轴对称图形.
( )
解析:(1)在 ABCD中,AC交BD于O,AC和BD不一定相等,则AO=OB=OC=OD是错误的.(2)由三角形全等,可以证明平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等.(3)由平行四边形的性质和定义可知平行四边形的两组对边分别平行且相等.
(4)平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形.
答案:(1) (2)√ (3)√ (4)
2.(2015·宁波中考)如图所示,在 ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件,使△ABE≌△CDF,那么添加的条件不能为
( )
A.BE=DF B.BF=DE
C.AE=CF D.∠1=∠2
解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABE=∠CDF.若添加BE=DF,则根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加BF=DE,由等量减等量差相等得BE=DF,再根据SAS可判定△ABE≌△CDF;若添加AE=CF,不能判定△ABE≌△CDF;若添加∠1=∠2,则根据ASA可判定△ABE≌△CDF.故选C.
3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,OA,OB,AB的长度分别为3
cm,4
cm,5
cm,求其他各边以及两条对角线的长度.
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.
又OA=3
cm,OB=4
cm,AB=5
cm,
∴AC=6
cm,BD=8
cm,CD=5
cm.
∵在△AOB中,32+42=52,
即AO2+BO2=AB2,
∴∠AOB=90°,
∴AC⊥BD,
∴在Rt△AOD中,OA2+OD2=AD2,
∴AD=5
cm,BC=5
cm.
答:这个平行四边形的其他各边长都是5
cm,两条对角线的长分别为6
cm和8
cm.
第2课时
一、性质总结
(1)平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是对称中心;
(2)平行四边形的对角线互相平分.
二、例题讲解
三、做一做
一、教材作业
【必做题】
教材第139页随堂练习.
【选做题】
教材第139页习题6.2的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在平行四边形中,周长等于48,
(1)已知一边长为12,求其他各边的长;
(2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD与△AOB的周长的差是10,求各边的长.
2.如图所示,在平行四边形ABCD中,∠A=150°,AB=8
cm,BC=10
cm,求平行四边形ABCD的面积.
3.如图所示,已知平行四边形ABOC中,A(2,1),B(4,-3),求点C的坐标.
【能力提升】
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,在以AC为对角线的平行四边形ADCE中,DE的长最小是
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
5.平行四边形一边长为10,一条对角线长为6,则它的另一条对角线长a的取值范围为
( )
A.4
B.14C.12D.86.如图所示,在周长为20
cm的平行四边形ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于E,则△ABE的周长为
( )
A.4
cm
B.6
cm
C.8
cm
D.10
cm
7.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点M,N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为 .
8.如图(1)所示,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为点B',如图(2)所示,则DB'的长为 .
【拓展探究】
9.(2015·大连中考)如图所示,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AB=10
cm,AD=8
cm,AC⊥BC,则OB=
cm.
10.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AB⊥AC,∠DAC=45°,AC=2,求BD长.
【答案与解析】
1.解:(1)已知一边长为12,由性质可知对边长为12,周长等于48,可得邻边长为12,所以各边的长均为12. (2)已知对角线AC,BD交于点O,△AOD的周长为AO+OD+AD,△AOB的周长为AB+OB+AO,由于BO=OD,所以AB-AD=10或AD-AB=10,所以AB=17,AD=7或AB=7,AD=17,故各边的长为17,7,17,7.
2.解:过点A作AE⊥BC于E,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.∴∠BAD+∠B=180°.∵∠BAD=150°,∴∠B=30°.在Rt△ABE中,∠B=30°,∴AE==4
cm,∴平行四边形ABCD的面积=4×10=40(cm2).
3.提示:作CM⊥x轴于M,作AN∥y轴,BN∥x轴,可证△COM≌△ABN,∴OM=BN=2,CM=AN=4,∴点C的坐标为C(-2,4).
4.B(解析:∵四边形ADCE是平行四边形,∴OD=OE,OA=OC.∴当OD的长最小时,DE的长最小,此时BC⊥DE.∵AB⊥BC,∴AB∥DE.又AE∥BC,∴四边形ABDE是平行四边形,∴ED=AB=3.故选B.)
5.B(解析:两条对角线的一半和长为10的边构成一个三角形,由三角形的三边关系,得10-3<<10+3,解得146.D(解析:根据平行四边形的性质,得OB=OD,又EO⊥BD,根据线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,得BE=DE,故△ABE的周长=AB+AE+DE=AB+AD=×20=10(cm).故选D.)
7.6(解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠CAD=∠ACB,OA=OC,因为∠AOM=
∠CON,所以△CON
≌△AOM,现在可以求出S△AOD
=4+2=6.再根据O是DB的中点可以求出S△AOB=S△AOD=6.)
8.(解析:将△ABC沿AC所在直线翻折180°,有对应线段BE=B'E,对应角∠AEB=∠AEB'=45°,∴∠BEB'=∠DEB'=90°.∵BE=DE=B'E=1,∴在Rt△DEB'中,DB'==.)
9.(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CO=AC,BC=AD=8
cm.∵AB=10
cm,AC⊥BC,∴AC===6(cm),∴CO=3
cm,∴BO===(cm).故填.)
10.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=AC=1,OB=OD.∵AB⊥AC,∠DAC=45°,∴AB=AC=2.在直角三角形AOB中,根据勾股定理,得OB=,∴BD=2OB=2.
本节课,以问题为载体,采取学生动手实践、自主探究的学习方式.在教学过程中,实施开放式教学,创设民主、轻松的教学氛围,最大限度地调动学生的积极性,激发他们的学习兴趣.教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、学生错误的澄清者、多角度思考的促进者,使师生成为“数学学习的共同体”.
由于学生的水平不一,可能有学生跟不上,对于综合题目理解不到位.
设计分层练习,或者组织学习小组,互相学习.例题处理时可让学生先独立完成,教师再点评鼓励学生用不同的方法证明结论或计算结果.
随堂练习(教材第139页)
解:∵OA=3,OB=4,AB=5,∴△ABO是直角三角形.∴AC和BD互相垂直平分,∴AB=BC=CD=DA=5,AC=2OA=6,BD=2OB=8.
习题6.2(教材第139页)
1.解:其他三边长分别为9
m,16
m,9
m.
2.解:在Rt△ABD中,BD===6,∴OB=BD=3.平行四边形ABCD的面积=6×8=48.
3.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO,∵∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(ASA),∴BE=DF,∴AE=CF.
4.解:(1)所有的直线都交于一点O:对角线的交点.
(2)经过平行四边形对称中心的直线将这个平行四边形分成两部分,这两部分可以绕对称中心旋转180°而相互得到.
1.本节课的主要内容是平行四边形的对角线互相平分,通过旋转得到平行四边形是中心对称图形且对角线互相平分.这一节知识综合性较强,教学中要注意引导学生,巩固基础知识和基本技能,加强对解题思路的分析,解题思想方法的概括.
2.教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法.如图所示,设四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AC与BD互相平分,则有OA=OC,OB=OD.
3.在平行四边形中,从一条边上的任意一点,向对边画垂线,这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长,或者说这条边和对边的距离),叫做以这条边为底的平行四边形的高.这里所说的“底”是相对高而言的.
4.平行四边形的面积等于它的底和高的积,即S ABCD=a·h.其中a可以是平行四边形的任何一边,h必须是a边与其对边的距离,即对应的高,如图(1)所示.为了区别,有时也可以把高记成ha,hAB,表明它们所对应的底是a或AB.要避免学生发生如图(2),(3)的错误.
5.通过本节的学习,归纳平行四边形的性质时,可以按边、角、对角线进行总结.通过复习总结,使学生掌握这些知识,也培养学生养成复习总结的习惯,并提高他们归纳总结的能力.
如图所示,平行四边形ABCD的面积为20
cm2,对角线AC,BD相交于点O;以AB,AO为邻边作平行四边形AOC1B,对角线AC1,OB相交于点O1;以AB,AO1为邻边作平行四边形AO1C2B;…;以此类推,则平行四边形AO4C5B的面积为
cm2.
〔解析〕 根据平行四边形的对角线互相平分,得到下一个图形的面积是上一个图形的面积的是解题的关键.∵O为平行四边形ABCD的对角线的交点,∴平行四边形AOC1B底边AB上的高等于平行四边形ABCD底边AB上的高的,∴平行四边形AOC1B的面积=S ABCD
.∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1,∴平行四边形AO1
C2B底边AB上的高等于平行四边形AOC1B底边AB上的高的,∴平行四边形AO1C2B的面积=×S ABCD=,…,以此类推,平行四边形AO4C5B的面积===(cm2).故填.
2 平行四边形的判定
1.理解并能够证明平行四边形的判定定理.
2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的判定定理判定一些相关的平行四边形.
经历平行四边形判别条件的探索过程,在有关活动中发展学生的合情推理意识.
通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,增强学好数学的自信心.
【重点】
1.平行四边形判定方法的探究.
2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形.
【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
第课时
1.理解并能够证明平行四边形的前两个判定定理,即两组对边分别相等的四边形是平行四边形和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.能够应用平行四边形的定义和平行四边形的前两个判定定理判定一些相关的平行四边形.
经历平行四边形判别条件的探索过程,在有关活动中发展学生的合情推理意识.
通过平行四边形判别条件的探索,培养学生面对挑战,勇于克服困难的意志,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.
【重点】
1.平行四边形判定方法的探究.
2.运用平行四边形的判定方法判定有关的平行四边形.
【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
【教师准备】 根据学生不同特长每4人分成一个学习活动研究小组.
【学生准备】 每人准备两根等长的木条.
导入一:
[过渡语] 上一节我们研究的是什么 平行四边形具有什么性质
生:①平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.②边:平行四边形的对边相等.③角:平行四边形的对角相等.④对角线:平行四边形的对角线互相平分.
师:同学们回答得很对,看来掌握得不错.刚才同学们说的以上这四条,是平行四边形的性质,这是什么意思
生:就是知道它是平行四边形,我们就可以确定它具有的特性或特点.
师:同学们说得很有自信,确实不错,就是知道它是平行四边形,我们就可以确定它具有的特性或特点.现在同学们拿出每人准备好的两根等长的小木条,两个同学合作,把一个人的相等的两根小木条作为一个四边形的一组对边,另一个同学的作为四边形的另一组对边,组成一个四边形,能行吗
生:能行.
师:我现在有一个问题就是:你们两个同学合伙组成的这个四边形是平行四边形吗
生:是.
师:今天我们就来研究新的一节——平行四边形的判定.
[设计意图] 在问题中引入本节课的内容,激发学生的思考和学习热情.
导入二:
[过渡语] 上节课我们学行四边形的性质,
你能利用所学的知识解决下面的问题吗
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形还有哪些性质
[设计意图] 教师提出问题,由学生独立思考,并口答得出定义的内容,总结出平行四边形的其他几条性质.在此活动中,教师应重点关注:
(1)学生参与思考问题的积极性;
(2)学生能否准确、全面地回答出平行四边形的全部性质;
(3)学生能否由平行四边形的性质猜测出平行四边形的判定方法.
[过渡语] 我们已经知道了平行四边形的性质,那么怎样判断一个四边形是平行四边形呢
一、平行四边形的判定定理
思路一
【课件】 如图所示,取两根相等的木条作为一个四边形的一组对边,取另两根相等的木条作为这个四边形的另一组对边,组成一个四边形,这个四边形是平行四边形吗 为什么
[设计意图] 创设用木条拼摆平行四边形的情境,意在引导学生探究和发现“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”.教学时,应引导学生经历这一探究发现过程.当然,教师也可以创设更符合学生实际情况的情境.
思路二
【活动1】
工具:两对长度分别相等的木条.
动手:能否在平面内用这四根木条摆成一个平行四边形
【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗
已知:如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=CB.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图(2)所示,连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∴AB∥CD,
AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).
【思考2】 以上活动事实,能用文字语言表达吗
平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
处理设想:学生互相交流,口述其推理论证的过程.根据学生的认知水平,教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难,所以应加以适当引导.在此活动中,教师应重点关注:
(1)学生在拼四边形时,能否将相等两木条作为四边形的对边;
(2)拉动四边形,改变它的形状,能否观察得到在此过程中它始终是一个平行四边形;
(3)学生能否通过独立思考、小组合作得出正确的证明思路.
[设计意图] 学生以小组为单位,利用课前准备好的学具动手操作、观察,完成探究活动1,共同得到:(1)只有将两两相等的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形.(2)通过观察、实验,猜想到:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【活动2】
工具:两根长度相等的木条,两条平行线.
动手:利用两根长度相等的木条能摆出以木条顶端为顶点的平行四边形吗
【思考1】 你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗
已知:如图(1)所示,在四边形ABCD中,AB CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:如图(2)所示,连接AC.
∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.
又∵AB=CD,AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
【思考2】 以上活动事实,能用文字语言表达吗
平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
在此活动中,教师应重点关注:
(1)学生实验操作的准确性;
(2)学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现;
(3)学生使用几何语言的规范性和严谨性.
[过渡语] 下面,我们利用已经学过的平行四边形的定义及判定定理来解决一些实际问题.
二、例题讲解
(教材例1)已知:如图所示,在 ABCD中,E,F分别为AD和CB的中点.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
〔解析〕 本例是对平行四边形性质和判定的综合应用.要证明一个四边形是平行四边形,除了依据平行四边形的定义外,还可以考虑本课时刚学完的两个平行四边形的判定定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB(平行四边形的对边相等),
AD∥CB(平行四边形的定义).
∵E,F分别是AD和CB的中点,
∴ED=AD,FB=CB.
∴ED=FB,ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
[知识拓展] 判断四边形是否为平行四边形,条件中如果没有等量关系,重点考虑依据平行四边形的定义去判断;条件中只有等量关系而没有平行关系,重点考虑依据判定方法1;条件中既有等量关系又有平行关系,重点考虑依据判定方法2.
本节课学行四边形的两个判定定理:
1.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
1.(2014·新疆中考)四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是
( )
A.OA=OC,OB=OD
B.AD∥BC,AB∥CD
C.AB=CD,AD=BC
D.AB∥DC,AD=BC
答案:D
2.(2014·淮安中考)如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是 .(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段)
答案:AB=
CD(答案不唯一)
3.如图所示,在 ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,且BE∥DF,若∠EBF=
45°,则∠EDF的度数是 度.
解析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,又由BE∥DF,即可证得四边形BFDE是平行四边形,根据平行四边形的对角相等,即可求得∠EDF=∠EBF=45°.故填45.
4.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC交AB于点E,BF平分∠ABC交CD于点F.
(1)求证DE=BF;
(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADE=∠AED,
∴AE=AD.
同理CF=CB.
又AD=CB,
∴CF=AE,∴DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.
解:(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.
第1课时
一、平行四边形的判定定理
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第142页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第142页习题6.3的1,2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.在四边形ABCD中,已知AB=7
cm,BC=5
cm,CD=7
cm,当AD=
cm时,四边形ABCD为平行四边形.
2.如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,求证:四边形ACFD为平行四边形.
3.如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AD,BC上两点,且BF=DE,连接AF,CE,BE,DF.AF与BE相交于M点,DF与CE相交于N点.求证:四边形FMEN为平行四边形.
【能力提升】
4.如图所示,E,F是四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.求证:
(1)△AFD≌△CEB;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
5.如图所示,已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AF=CE,求证:四边形DEBF是平行四边形.
【拓展探究】
6.如图(1)所示,在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,以OB为边在△OAB外作等边三角形OBC,D是OB的中点,连接AD并延长交OC于E.
(1)求证:四边形ABCE是平行四边形;
(2)如图(2)所示,将图(1)中的四边形ABCO折叠,使点C与点A重合,折痕为FG,求OG的长.
7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.
【答案与解析】
1.5(解析:由平行四边形的判定定理可知,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,AD=BC=5
cm.)
2.证明:∵∠B=∠DEF,∴AB∥DE.又AB=DE,∴四边形ABED为平行四边形,∴AD=BE.∵BC=EF,∴BE=CF,∴AD=CF.又AD∥CF,∴四边形ACFD为平行四边形.
3.证明:∵DE平行且等于BF,∴四边形BFDE为平行四边形,∴BE∥DF,同理:AF∥CE,∴四边形FMEN为平行四边形.
4.证明:(1)∵DF∥BE,∴∠DFE=∠BEF.又∵AF=CE,DF=BE,∴△AFD≌△CEB. (2)由(1)知△AFD≌△CEB,∴∠DAC=∠BCA,AD=BC,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
5.解析:已知BE∥DF,所以只要通过证明△ADF≌△CBE,从而推出BE=DF,即可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明.
证明:因为BE∥DF,所以∠AFD=∠CEB.又因为∠ADF=∠CBE,AF=CE,所以△ADF≌△CBE,所以DF=BE.又BE∥DF,所以四边形DEBF是平行四边形.
6.(1)提示:证CE平行且等于AB. (2)解:设OG=x(x>0),由折叠可知:AG=GC=8-x,在Rt△OAG中,OG2+OA2=AG2,即x2+=(8-x)2,解得x=1,∴OG=1.
7.证明:(1)∵BF=DE,∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEB=∠CFD=90°.∵AB=CD,∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL). (2)∵△ABE≌△CDF,∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD.∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.
本节课在引入的环节上,采用复习引入的方式,复行四边形的定义和性质,唤起学生对已有知识的回忆,让学生初步感受平行四边形的性质与判定的区别与联系,为平行四边形的性质和判定的综合运用做了铺垫.
本课时介绍了两种判定定理,留给学生练习的时间不充分,可能有部分学生掌握不好.
数学的学习要重视学习方法的指导,通过由浅入深的练习和灵活的变式,引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系,达到触类旁通的效果.
随堂练习(教材第142页)
1.解:四边形ABCD是平行四边形,理由如下:AD与BC平行且相等.
2.解:AB∥CD,AC∥BD,CD∥EF,CE∥DF,AB∥EF,理由如下:根据两组对边分别相等可判定四边形ABDC和四边形CDFE都是平行四边形,故AB∥CD,AC∥BD,CD∥EF,CE∥DF,所以AB∥EF.
习题6.3(教材第142页)
1.解:四边形EABD与四边形EBCD都是平行四边形.理由如下:∵ED∥AB,且ED=AB,∴四边形EABD是平行四边形.∵ED∥BC,ED=BC,∴四边形EBCD是平行四边形.
2.证明:在 ABCD中,AB∥CD,即DF∥BE,又DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形.
3.证明:在△ABC和△CDA中,∠1=∠2,∠B=∠D,AC=AC,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD,BC=DA,∴四边形ABCD是平行四边形.
4.解:小明画图的过程是一个平移过程,平移前后对应边平行且相等,即AB A1B1,因此四边形ABB1A1是平行四边形.
难点的突破方法:
平行四边形的判别方法是本节课的核心内容,同时它又是后面进一步研究长方形、菱形、正方形判别的基础,更是发展学生合情推理及说理的良好素材.本节课的教学重点为平行四边形的判别方法.在本节课中,以探索活动为载体,并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展,从而将直观操作与简单推理有机融合,达到突出重点、分散难点的目的.
(1)平行四边形的判定方法1,3都是平行四边形性质的逆命题,它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明.
(2)平行四边形有四种判定方法,与性质类似,可从边、对角线两方面进行记忆.
要注意:①本教材没有把用角来作为判定的方法,教学中可以根据学生的情况作为补充;②本节课只介绍判定方法1,2.
(3)教学中,我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境,开展有效的数学活动,如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形,使学生建立对平行四边形的直观认识,并复习平行四边形的定义,建立新旧知识间的相互联系.然后利用学生手中的学具,通过观察、测量、猜想、验证,探索构成平行四边形的条件.
在学生拼图的活动中,教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨,让学生在问题解决中,实现对平行四边形各种判别方法的掌握,并发展了学生说理及简单推理的能力.
(4)从本节开始,就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题,凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明.应该对学生提出这个要求.
第课时
1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.
2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用.
1.经历平行四边形判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识.
2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中,进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.
通过平行四边形判别条件的探索,培养学生合情推理的意识,鼓励学生大胆尝试,从中获得成功的体验,激发学生的学习热情.
【重点】 平行四边形判定方法的探究、运用.
【难点】 对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 每人准备两根木条(最好是长度不等).
导入一:
1.平行四边形的定义是什么
2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
[设计意图] 教师提出问题1,2,由学生独立思考,并口答得出定义的内容,总结出判定四边形是平行四边形的几个条件.对比平行四边形的性质,猜测平行四边形的其他判断方法.
导入二:
【操作思考】
画两条相交直线a,b,设交点为O.在直线a上截取OA=OC,在直线b上截取OB=OD,连接AB,BC,CD,DA.
你能证明所画的四边形ABCD是平行四边形吗
[设计意图] 通过自己动手操作,学生能够容易得出结论并且深刻领会判断方法.
[过渡语] 除了已经掌握的平行四边形的判定方法,还有其他判断一个四边形是平行四边形的方法吗
一、平行四边形的判定定理
【活动】
工具:两根不同长度的细木条.
动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形
【思考1】 你能说明你得到的四边形是平行四边形吗
已知:如图所示,四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
〔解析〕 目前我们证明一个四边形是平行四边形有三个基本思路:定义、两组对边分别相等和一组对边平行且相等.根据本题的条件,我们能够通过三角形的全等,证明出线段AD和BC,AB和CD分别相等;也能证明出AD与BC平行,AB与CD平行.
证明:
∵OA=OC,OB=OD,且∠AOB=∠COD,
∴△AOB≌△COD,
∴AB=CD.
同理可得:BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
活动提示:教师应重点关注学生实验操作的准确性;学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现;学生使用几何语言的规范性和严谨性.
【思考2】 以上活动事实能用文字语言表达吗
平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[设计意图] 通过探究活动得出平行四边形的判定定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
[过渡语] 我们一起利用平行四边形的判定定理来解决实际问题吧!
二、例题讲解
(教材例2)已知:如图(1)所示,E,F是 ABCD对角线AC上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BFDE是平行四边形.
〔解析〕 本例综合应用了涉及对角线的性质定理和判定定理.初看起来在四边形BFDE内既找不到等量关系,也找不到平行关系,这就需要我们利用题中给出的条件,构造出可以为证明服务的相等或平行的条件.通过观察,线段BD是四边形ABCD和四边形BFDE共同的对角线,连接BD后还可以间接利用到四边形ABCD的另一条对角线.
证明:如图(2)所示,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
OA=OC,
OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).
∵AE=CF,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
变式练习:对于上述例题,若E,F继续移动至OA,OC的延长线上,仍使AE=CF(如图所示),则结论还成立吗
请说明理由.
解:结论成立.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴
OA=OC,
OB=OD.
∵AE=CF,
∴OA+AE=OC+CF,即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
三、想一想
如图所示,有一块平行四边形玻璃镜片,不小心打掉了一块,但是有两条边是完好的.同学们想想看,有没有办法把原来的平行四边形重新画出来
(让学生思考讨论,再各自画图,画好后互相交流画法,教师巡回检查,对个别学生稍加点拨,最后请学生回答画图的方法)
学生想到的画法有:
(1)分别过点A,C作BC,BA的平行线,两平行线相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
(2)分别以点A,C为圆心,以BC,BA的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
还有一种方法学生不易想到,即利用平行四边形对角线的特性,引导学生连接AC,取AC的中点O,再连接BO,并延长BO到D,使DO=BO,连接AD,CD,则四边形ABCD即为原来的平行四边形.
[设计意图] 通过练习进行强化和巩固,加深学生对定理的理解.
[知识拓展] 判定平行四边形时常用的反例.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(1)所示,AD∥BC,AB=CD,这是一个两腰相等的梯形而不是平行四边形.
(2)一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(2)所示,
等腰三角形ABC中,点D是BC上的点,且CD(3)一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(4)所示,三角形ABC中,AB=AC,在AC上取点E,在AB延长线上取点D,使得BD=EC,那么四边形BDCE即为符合“一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形”的反例.
证明:如图(4)所示,过E作EF∥BD交BC于点F,连接DF,则∠EFC=∠ABC,由AB=AC,得∠ABC=∠EFC=∠ACB,∴EF=EC,∴四边形BDFE是平行四边形,∴DM=EM.
(4)一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.( )
反例:如图(5)所示,四边形ABCD中,OA=OC,且AC⊥BD,则∠BAD=∠BCD,且BD平分AC,但四边形ABCD不是平行四边形.
判别一个四边形是平行四边形的方法有:
角度
判定方法
边
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线
对角线互相平分的四边形是平行四边形
1.判断下列说法是否正确.
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.
( )
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
( )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.
( )
(4)一组对边平行且一组邻角互补的四边形是平行四边形.
( )
答案:(1) (2)√ (3)√ (4)
2.在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有
( )
A.3种
B.4种
C.5种
D.6种
解析:①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;①③组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形;①④组合可证明△ADO≌△CBO,进而得到AD=CB,可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,判定出四边形ABCD为平行四边形.故选B.
3.如图所示,AD是△ABC的边BC上的中线.
(1)画图:延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE;
(2)判断四边形ABEC的形状.
解析:根据要求画图,由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABEC的形状.
解:(1)如图所示.
(2)四边形ABEC为平行四边形.
4.如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC,
∵AB∥CD,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,
∴△FDO≌△EBO,∴OF=OE,
∴四边形AECF是平行四边形.
第2课时
一、平行四边形的判定定理
二、例题讲解
三、想一想
一、教材作业
【必做题】
教材第144页随堂练习.
【选做题】
教材第145页习题6.4的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.两组对边分别 的四边形是平行四边形,对角线 的四边形是平行四边形,一组对边平行且 的四边形是平行四边形.
2.在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,若AC=12
cm,BD=10
cm,那么,当AO=
cm,OD=
cm时,四边形ABCD为平行四边形.
3.如图所示,四边形ABCD中,AC与BD交于点O,AB∥CD,AO=CO,求证:四边形ABCD是平行四边形.
4.如图所示,平行四边形ABCD中,M,N在对角线AC上,AM和CN满足怎样的关系,四边形BMDN为平行四边形 证明你的猜想.
【能力提升】
5.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,则下列条件中,使四边形DEBF不一定是平行四边形的是
( )
A.OE=OF
B.DE=BF
C.∠ADE=∠CBF
D.∠ABE=∠CDF
6.如图所示,AF与BE互相平分,EC与DF互相平分,求证:四边形ABCD是平行四边形.
7.如图所示,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系,并加以证明.
【拓展探究】
8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(2,0),B(1,1),则第四个顶点C的坐标是多少
【答案与解析】
1.相等(或平行) 互相平分 相等(解析:根据平行四边形的判定定理填空.)
2.6 5(解析:对角线互相平分的四边形是平行四边形.)
3.证明:∵AB∥CD,∴∠BAO=∠DCO,又∠AOB=∠COD,AO=CO,∴△ABO≌△CDO.∴OB=OD,∴四边形ABCD为平行四边形.
4.解:猜想AM=CN时,四边形BMDN为平行四边形.证明:连接BD交AC于点O,则OB=OD,OA=OC.∵AM=CN,∴OM=ON,∴四边形BMDN为平行四边形.
5.B(解析:本题考查平行四边形的概念、性质及判定,根据四边形ABCD为平行四边形,可知O是BD的中点,若OE=OF,则四边形DEBF是平行四边形.若∠ADE=∠CBF,由四边形ABCD是平行四边形,可知∠ADB=∠CBD,所以∠BDE=∠DBF,从而可知△DEO≌△BFO,所以OE=OF,所以四边形DEBF是平行四边形.同理由∠ABE=∠CDF可得出四边形DEBF是平行四边形.故选B.)
6.证明:易知四边形ABFE和四边形DEFC都是平行四边形,∴AB EF,EF CD,∴AB CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
7.解析:根据已知条件易证得△ADO≌△CEO,进而证得四边形ADCE是平行四边形,即可得出结论.
解:猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系分别是CD=AE,CD∥AE.证明如下:∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,在△ADO和△CEO中,∴△ADO≌△CEO(ASA),∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴CD∥AE且CD=AE.
8.解:当BC OA时,C和B的纵坐标相等,若选择AB为对角线,则C1(3,1);若选择OB为对角线,则C2(-1,1).当AB OC时,选择OA为对角线,则C3(1,-1).故第四个顶点C的坐标是:(3,1)或(-1,1)或(1,-1).
本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法,通过对判定方法的进一步理解,典型例题的分析,精选的随堂练习,学生一定能够掌握平行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活中的问题.
综合应用平行四边形的性质和判定来解决问题的能力训练不够.
设计较为合适的难度和数量的题目来适应学生的不同需要.通过对例题的变换加深学生对定理的理解.
随堂练习(教材第144页)
解:四边形BFDE是平行四边形.理由如下:在 ABCD中,对角线AC,BD互相平分,即OA=OC=AC,OD=OB=BD,∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE=OA=OC=OF,即四边形BFDE的两条对角线EF,BD互相平分,∴四边形BFDE是平行四边形.
习题6.4(教材第145页)
1.证明:在 ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∴∠BAM=∠DCN,∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴∠AMB=∠DNC=90°,∴△AMB≌△CND(AAS).∴BM=DN,又∵∠BMN=∠DNM=90°,∴BM∥DN,即BM和DN平行且相等,所以四边形BMDN是平行四边形.
2.解:(1)当BE=DF时,四边形AECF是平行四边形.理由如下:在 ABCD中,OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形. (2)当∠AEB=∠CFD时,四边形AECF是平行四边形.理由如下:在 ABCD中,OA=OC,∵∠AEB=∠CFD,∴∠AEO=∠CFO,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.
3.解:(1)四边形EFGH是平行四边形.证明如下:在 ABCD中,AC与BD互相平分,AO=CO,∵AE=AO,CG=CO,∴EO=GO,同理可得FO=HO,即四边形EFGH的对角线EG,FH互相平分,∴四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH是平行四边形.同(1)可证得EO=GO,FO=OH,∴四边形EFGH是平行四边形. (3)成立.
难点的突破方法:
本节课是平行四边形判定的第二节课,上一节课已经学习了判定方法1和判定方法2,再结合平行四边形的定义,同学们已经掌握了3种平行四边形的判定方法.本节课在上节课的基础上,学习平行四边形的判定方法3,使同学们会应用这些方法进行几何的推理证明,并且通过本节课的学习,继续培养学生分析问题、寻找最佳解题途径的能力.
本节课的知识点不难,但学生灵活运用判定定理去解决相关问题并不容易,在以后的教学中还应加强一题多解和寻找最佳解题方法的训练.
(1)平行四边形的判定方法3可以用平行四边形的定义或平行四边形的判定方法1或2来证明,可以看做是巩固前面两个判定方法的一个很好的练习题.教学中可引导学生用不同的方法进行证明,以活跃学生的思维.
(2)学过本节后,应使学生掌握平行四边形的四个(或五个)判定方法,这些判定的方法是:
从边看:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边形.
(从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形)
(3)让学生了解平行四边形知识的运用包括三个方面:一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题.例如求角的度数,线段的长度,证明角相等或线段相等等;二是判定一个四边形是平行四边形,从而判定直线平行等;三是先判定一个四边形是平行四边形,然后再用平行四边形的性质去解决某些问题.
(4)平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识,这些知识是本章的重点内容,要使学生熟练地掌握这些知识.
如何增加条件使四边形成为平行四边形.
如图所示,四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,增加若干组条件,使得四边形ABCD是平行四边形,请你写出4种以上的条件组合(当然希望每一个条件组合中条件个数应尽量少一些).
通过尝试,我们发现:增加两个条件,能够保证其成为平行四边形的组合有多种.
现分别从四边形的边、角、对角线以及三者的不同组合这几个角度予以列举:
(1)边:①两组对边分别平行:AB∥CD且AD∥BC(平行四边形的定义);
②一组对边平行且相等:AB∥CD且AB=CD,或者AD∥BC且AD=BC;
③两组对边分别相等:AB=CD且AD=BC.
(2)角:两组对角分别相等:∠DAB=∠BCD且∠ADC=∠ABC.
(3)对角线:对角线互相平分:AO=OC且BO=OD.
(4)边与角的组合:一组对边平行且一组对角相等.比如,AB∥CD且∠DAB=∠BCD.之所以能构成平行四边形是因为由AB∥CD推出∠BAC=∠ACD,从而∠DAC=∠ACB,所以AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
(5)边与对角线的组合:一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线.比如,AD∥BC且BD平分AC(即OA=OC),从这两个条件出发我们可以证明△ADO≌△CBO(AAS),于是AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.
(6)角与对角线的组合:一组对角相等且这一组对角的顶点所连接的对角线平分另一条对角线.比如,∠ABC=∠ADC且对角线BD平分AC(即AO=CO),如图所示,此时BO必定等于DO,这是因为:若DO>BO,在DO上取一点E,使EO=BO,则此时∠AEC>∠ADC;若DO第课时
1.理解并能说出平行线之间的距离的意义.
2.进一步理解和掌握平行四边形的性质和判定方法.
3.能够综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.
1.经历探索平行线之间的距离的意义的过程,体会数学在现实世界的大量应用.
2.利用类比和对比的方法,类比和对比平行线之间的距离、点到直线的距离和两点之间的距离的联系与区别.
在探索平行线之间的距离的意义的过程中,渗透转化的数学思想,体会数学思想方法.
【重点】
1.平行线之间的距离的意义的探索.
2.综合应用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.
【难点】 灵活运用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题.
【教师准备】 演示课件.
【学生准备】 复习平行四边形的性质和判定方法.
导入一:
【问题】(多媒体展示问题)
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形有哪些性质
3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些
[设计意图] 教师提出问题,由学生独立思考,并口答得出定义的内容.总结出平行四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件.
导入二:
【问题】(多媒体展示问题)
在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长
你能说明理由吗 与同伴交流.
[设计意图] 从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活.
一、平行线之间的距离
(教材例3)已知:如图所示,直线a∥b,A,B是直线a上任两点,AC⊥b,BD⊥b,垂足分别为C,D.
求证:AC=BD.
〔解析〕 本题条件中已经知道四边形ABDC中有一组对边互相平行,如果再能证明另一组对边AC和BD也平行,根据平行四边形的性质即可得出AC和BD相等的结论.
证明:∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD,
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义).
∴AC=BD(平行四边形的对边相等).
【归纳】 如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离.
[设计意图] 通过对平行四边形性质的简单应用,引入了平行线之间的距离的概念;再通过生活中的实例的应用,深化对知识的理解.在引入平行线之间的距离的概念中,先引入点到直线的距离,再通过点到直线的距离来刻画平行线之间的距离.在应用平行四边形性质的同时深入知识、效果很好,学生易于接受.
[议一议]
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗
结论:夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
[设计意图] 通过弱化前面问题中的条件,提出一个新的问题,这也是提出新问题的一种方法,根据平行四边形的定义和性质可知,夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
[做一做]
如图所示,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明你画图的方法和其中的道理.
学生提出的方法可能是多种多样的,教学时应让学生充分表达自己的方法及其依据.每种方法的依据只能是平行四边形的定义和平行四边形的判定定理.
在此活动中,教师应重点关注:
(1)学生实验操作的准确性;
(2)学生能否运用不同的判定方法对所画的图形进行说明;
(3)学生使用几何语言的规范性和严谨性.
[设计意图] 通过网格中画平行四边形并说理,让学生进一步掌握平行四边形的判定定理.
[过渡语] 我们一起利用平行四边形的判定定理来解决一些实际问题吧!
二、例题讲解
(教材例4)已知:如图所示,在 ABCD中,点M,N分别在AD和BC上,点E,F在BD上,且DM=BN,DF=BE.
求证:四边形MENF是平行四边形.
〔解析〕 本例综合应用平行四边形的性质和判定定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠MDF=∠NBE.
∵DM=BN,DF=BE,
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=NE,∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥EN.
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
[知识拓展] 区分两点间的距离、点到直线的距离和平行线之间的距离:①都是指线段的长度;②点到直线的距离和平行线之间的距离是垂线段的长度.
如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离.
夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
1.如图所示,直线l1∥l2,A,C,F在l1上,B,D,E,G在l2上,且AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,则下列说法不正确的是
( )
A.AB=CD
B.A,B两点之间的距离就是线段AB的长
C.CE=FG
D.直线l1,l2的距离就是线段CD的长
解析:四边形ABDC是平行四边形,所以A对;由线段的长的定义可知A,B两点之间的距离就是线段AB的长,所以B对;因为CE⊥l2,FG⊥l2,l1∥l2,所以CE=FG,所以C对;由平行线之间的距离的定义,直线l1,l2的距离就是线段CE或FG的长,所以D错误.故选D.
2.在 ABCD中,AD=16,AB=20,AB与CD之间的距离为8,则AD与BC之间的距离为 .
解析:如图所示,∵S ABCD=AB×DE=BC×DF,∴20×8=16×DF,∴DF=10.故填10.
3.如图所示,已知直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,P为直线m上两点.
(1)请写出图中面积相等的三角形.
答: .
(2)如果A,B,C为三个定点,点P在m上移动,那么无论P点移动到任何位置,总有 与△ABC的面积相等,理由是 .
答案:(1)△ABC和△ABP;△ACP和△BCP;△AOC和△BOP (2)△ABP 同底等高的三角形面积相等
4.如图所示,ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上.设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.求证:四边形AECG是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是长方形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
由折叠可知∠1=∠DAC,∠2=∠BCA,
∴∠1=∠2,
∴AG∥CE,
又AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.
第3课时
一、平行线之间的距离
二、例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第147页随堂练习.
【选做题】
教材第148页习题6.5的2,3题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,小明用一根36
m长的绳子围成了一个平行四边形的场地,一条边AB的长为8
m,则其他三边的长度BC= ,CD= ,AD= .
2.平行四边形不一定具有的性质是
( )
A.对边平行
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
3.如图所示,已知 ABCD的周长是28
cm,AC与BD交于点O,△OAB的周长比△OBC的周长大4
cm,则AB=
cm,BC=
cm.
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6
cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以1
cm/s的速度由A向D运动,Q以2
cm/s的速度由C向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形
5.如图所示,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点F,DF=2.
(1)求证:D是EC的中点;
(2)求FC的长.
【能力提升】
6.如图所示,平行四边形ABCD的周长为36,过D作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4,DF=5,求平行四边形ABCD的面积.
7.如图(1)所示,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB=90°,M为AB边中点.操作:以PA,PC为邻边作平行四边形PADC,连接PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.
(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;
(2)请你利用图(2),图(3)选择不同位置的点P按上述方法操作;
(3)经历(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图(2)或图(3)加以说明;(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图(4)操作,并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).
【拓展探究】
8.如图所示, ABCD中,AF平分∠BAD交BC延长线于F,DE⊥AF交AB于O,交CB延长线于E.求证:BE=CF.
9.如图所示,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A,B,C的坐标分别是A(-3,),B(-2,3),C(2,3),点D在第一象限.
(1)求D点的坐标;
(2)将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度,所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少
(3)求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积.
【答案与解析】
1.10
m 8
m 10
m(解析:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AD=BC.又因为AB=8
m,所以CD=8
m.因为AB+BC+CD+DA=36
m,所以AD=BC=×(36-8×2)=×20=10(m).)
2.C
3.9 5(解析:由 ABCD的周长是28
cm,得AB+BC=14
cm,由△OAB的周长比△OBC的周长大4
cm可得AB-BC=4
cm,联立方程组求解即可.)
4.解:设经过x秒后,AP=BQ,则AP=x,BQ=BC-CQ=6-2x,所以x=6-2x,所以x=2.所以2秒后四边形ABQP是平行四边形.
5.(1)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD,又∵AE∥BD,∴四边形ABDE是平行四边形,∴AB=DE,∴CD=DE,即D是EC的中点. (2)解:∵EF⊥BF,∴△EFC是直角三角形,又∵D是EC的中点,∴DF=CD=DE=2,在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∵∠ABC=60°,∴∠ECF=∠ABC=60°,∴△CDF是等边三角形,∴FC=DF=2.
6.解:设AB=x,则BC=18-x,由AB·DE=BC·DF,得4x=5(18-x),解得x=10,所以平行四边形ABCD的面积S=10×4=40.
7.解:(1)DE∥BC,DE=BC,DE⊥AC. (2)如图(2)(3)所示,答案不唯一. (3)如图(2)所示,连接BE,PB,AE,
∵PM=ME,AM=MB,∴四边形PAEB是平行四边形.∴PA∥BE,PA=BE,
∵四边形PADC是平行四边形,∴PA∥DC,PA=DC.∴BE∥DC,BE=DC,∴四边形DEBC是平行四边形.∴DE∥BC,DE=BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴DE⊥AC.
(4)如图(4)所示,DE∥BC,DE=BC.
8.证明:在平行四边形ABCD中,AD∥BC,∴∠DAF=∠F,又AF平分∠BAD,∴∠DAF=∠BAF,∴∠BAF=∠F,∴AB=BF,又AF平分∠BAD,DE⊥AF,∴∠AOD=∠ADO,又∠BOE=∠AOD=∠EDC,∠ADO=∠E,∴∠EDC=∠E,∴CE=CD,又AB=CD,∴CE=BF,∴BE=CF.
9.解:(1)由B,C的坐标可知,AD=BC=4,则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等,即点D的坐标为(1,). (2)依题意得A1,B1,C1,D1的坐标分别为A1(-3+,0),B(-2+,2),C(2+,2),D(1+,0).
(3)如图所示,平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积,由题意可得GD=AD-AG=4-,平行四边形DEFG的高为2-=,∴重叠部分的面积为(4-)·=4-2.
本节课的设计通过对生活中实际情境的探究,引出了平行线之间的距离的定义,通过对平行四边形性质和判定方法的进一步理解,典型例题的分析,精选的随堂练习,学生一定能够掌握平行四边形的性质和判定方法及应用它们解决实际生活中的问题.
学生可能对平行线之间的距离处处相等不好理解,怀疑它的正确性.
利用画图和实例相结合的方法加以讲解和说明.
随堂练习(教材第147页)
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=180°-∠ABC=180°-70°=110°.∵BE平分∠ABC,所以∠EBC=∠ABC=35°.∵DF∥BE,∴∠DFC=∠EBC=35°,∴∠CDF=180°-110°-35°=35°.
习题6.5(教材第148页)
1.证明:连接AC,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠DCA,又∵∠B=∠D,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
2.证明:在 ABCD中,DC∥AB,DC=AB,∵AE=CF,∴DF=EB,∴四边形DEBF是平行四边形.∴ME∥FN,DE=BF,∵M,N分别为DE和BF的中点,∴ME=FN,∴四边形ENFM是平行四边形.
3.证明:在 ABCD中,AB CD,∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AF=CE,又∵AB=CD,∴BF=DE,∴四边形BFDE是平行四边形,∴FG∥HE,又∵GE∥FH,∴四边形EGFH是平行四边形,∴EG=FH.
4.解:根据一组对边平行且相等可判定一个四边形是平行四边形,进而确定对边的平行关系.
5.解:6个.如图所示.
如图所示,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD交于点O,过点O任作直线分别交AD,BC于E,F.
基本结论:
(1)图中的全等三角形有 对.
(2)图中相等的线段有 对.
(3)与四边形ABFE周长相等的四边形是四边形 .
(4)过平行四边形对角线交点的直线将平行四边形分成面积相等的两部分,即S四边形ABFE= .
〔答案〕 (1)6 (2)7 (3)CDEF (4)S四边形CDEF
如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OABC为平行四边形,A(5,0),C(1,4),过点P(0,-2)的直线分别交OA,BC于M,N,且将平行四边形的面积分成相等的两部分,求点M,N的坐标.
解:如图所示,设AC,OB交于点E,则直线PN过点E,易求B(6,4),E(3,2),
作EF⊥OA于F,则△OPM≌△FEM,
∴OM=MF=,∴M(,0),
又易证BN=OM,∴N.
3 三角形的中位线
1.理解并能够说出三角形的中位线的定义.
2.理解并能够说出三角形中位线的性质定理,能够证明这个定理,且能够应用这个定理解决有关的问题.
经历探索三角形中位线性质定理的证明过程,体会转化的思想方法,进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力.
通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣;通过对三角形中位线的研究,体验数学活动充满探索性和创造性.
【重点】 三角形中位线的性质定理的理解和证明,并能应用它解决有关的问题.
【难点】 三角形中位线的性质定理的证明(辅助线的添加方法)及熟练应用.
【教师准备】 演示课件.
【学生准备】 复习旋转的意义和性质.
导入一:
如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说说其中的道理吗
[设计意图] 通过教材中这个现实的生活情境,引入三角形中位线的定义和性质.
导入二:
【情境创设】 怎样将一张三角形的硬纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形
1.剪一张三角形纸片,记为△ABC;分别令AB,AC的中点为D,E,连接DE;沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180度到△CFE的位置,得四边形BCFD.
2.判别四边形BCFD是否为平行四边形,并说明理由.
[设计意图] 引导学生主动将三角形与平行四边形建立联系,从而发现三角形中位线定理的证明思路.此活动既是对将要探究的三角形中位线性质的一个铺垫,又渗透了转化的思想方法——将对三角形中位线性质的研究转化为对平行四边形性质的研究.
一、三角形中位线的定义和性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
[过渡语] 知道了三角形中位线的定义,那么它具有什么性质呢
方法一:度量.
(1)画图:画△ABC及△ABC的中位线DE.(D,E分别在AB,AC上)
(2)度量:用量角器测角度:∠ADE= ,∠B= ;用直尺测长度:DE= ,BC= .
(3)结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE BC.
(4)猜想:三角形的中位线与第三边的关系.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法二:旋转拼图.
如图(1)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF⊥BC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC,把△CEG绕点E逆时针旋转180°得到△AEM,形成长方形HFGM.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
如图(2)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF∥AC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADG,形成平行四边形AGFC.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法三:几何证明.
已知:如图(1)所示,DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=BC.
证明:如图(2)所示,延长DE到F,使EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中,
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD,
∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,DE=BC.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
[设计意图] 通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明,由感性到理性,使学生经历定理的探究过程,积累数学活动的经验.
二、议一议
顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点
学生容易发现:所得四边形是平行四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明的方法实际上并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线,利用三角形中位线定理证明新四边形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.
[知识拓展] 三角形的中位线是证明线段、角相等的常用方法,也是证明线段平行的常用方法,在以后的学习中,如果知道中点时,经常用中位线定理来解答.
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
顺次连接四边形各边的中点所成的四边形是平行四边形.
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=
60°,则∠C的度数为
( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
解析:在△ADE中,利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.故选C.
2.已知△ABC的周长为50
cm,D,E,F分别为△ABC中AB,BC,AC边的中点,且DE=8
cm.EF=10
cm,则DF的长为
cm.
解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16
cm.AB=2EF=20
cm,所以BC=50-16-20=14
(cm),根据三角形中位线定理可得:DF=BC=7
cm.故填7.
3.如图所示,已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上的点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于F,G,连接AC交BD于O,连接OF,求证:
(1)AF=EF;
(2)DE=4OF.
证明:(1)如图所示,连接BE,
易知CE AB,
∴四边形ABEC为平行四边形.
∴AF=EF.
(2)由(1)知BF=FC,
∵OA=OC,
∴OF为△ABC的中位线,
∴OF=AB,
∴DE=2AB=4OF.
3 三角形的中位线
一、三角形中位线的定义和性质
二、议一议
一、教材作业
【必做题】
教材第152页随堂练习的1,2题.
【选做题】
教材第152页习题6.6的2,3,4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.如图所示,在四边形ABCD中,点E是BC的中点,连接DE并延长,交AB的延长线于点F,且AB=BF,添加一个条件,使四边形ABCD是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是
( )
A.AD=BC
B.CD=BF
C.∠A=∠C
D.∠F=∠CDE
2.如果三角形的两条边分别为4和6,那么连接该三角形三边中点,所得的三角形的周长可能是下列数据中的
( )
A.6
B.8
C.10
D.12
3.(2014·娄底中考)如图所示, ABCD的对角线AC,BD交于点O,点E是AD的中点,△BCD的周长为18,则△DEO的周长是 .
4.如图所示, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=24厘米,△OAB的周长是18厘米,则EF= 厘米.
【能力提升】
5.已知1个三角形的周长为a,它的三条中位线组成第2个三角形,其周长为 ;第2个三角形的三条中位线又组成第3个三角形,其周长为 ;依次类推,第2014个三角形的周长为 .
6.如图所示,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形EFGH的周长为 .
7.一个三角形的三边长分别是6
cm,8
cm,12
cm,它的三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最小是
cm.
【拓展探究】
8.如图所示,在 ABCD中,EF∥AB交BC于点F,交AD于点E,连接AF,BE交于点M,连接CE,DF交于点N,连接MN.求证:MN∥AD,MN=AD.
9.如图所示,在△ABC中,BC>AC,点D在BC上,且DC=AC,∠ACB的平分线CF交AD于点F,点E是AB的中点,连接EF.求证:EF∥BC.
【答案与解析】
1.D(解析:由∠F=∠CDE,∠FEB=∠DEC,BE=EC,可证得△BEF≌△CED,∴DE=EF,又AB=BF,∴AD∥BE,又由∠F=∠CDE可知AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.)
2.B(解析:设原三角形的三边分别是a,b,c,令a=4,b=6,依据三角形三边关系,得23.9(解析:△DEO的周长是△BCD的周长的一半.)
4.3(解析:根据平行四边形对角线互相平分,得OA+OB=(AC+BD)
=12厘米,又C△OAB=OA+OB+AB=18厘米,则AB=6厘米,∵点E,F分别是线段AO,BO的中点,∴EF是△OAB的中位线,∴EF=AB=3厘米.)
5.a a a(解析:第2个三角形的周长等于第1个三角形周长的一半,为a;第3个三角形的周长为a;…;第2014个三角形的周长为a.)
6.11(解析:∵BD⊥CD,
BD=4,CD=3,∴BC===5,∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,∴EH=FG=AD,EF=GH=BC,∴四边形EFGH的周长=EH+GH
+FG+EF=AD+BC,又∵AD=6,BC=5,∴四边形EFGH的周长=6+5=11.熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键.)
7.14(解析:如图所示,
AB=6
cm,
AC=8
cm,BC=12
cm,D,F,E分别为三角形各边中点,三条中位线把它分成三个平行四边形,则它们中周长最小的应该是 ADEF,AD=EF=3
cm,DE=AF=4
cm,其周长为2×3+2×4=14(cm).)
8.解析:要证明MN∥AD,MN=AD,只需要证明MN为△ADF的中位线即可.
证明:在 ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.∵EF∥AB,∴AB∥EF∥CD,∴四边形ABFE和四边形EFCD均为平行四边形,∴AM=MF,FN=ND,∴MN∥AD,MN=AD.
9.解析:由等腰三角形“三线合一”的性质,得点F为AD的中点,又点E为AB的中点,所以EF为△ABD的中位线.
证明:∵CF平分∠ACB,DC=AC,∴CF是△ACD的中线,∴点F是AD的中点.∵点E是AB的中点,∴EF∥BD,即EF∥BC.
本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线,开展教学活动.在三角形中位线定理的探究过程中,学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中位线的性质,然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性,再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过知识的形成过程,使学生体会探究数学问题的基本方法;通过定理的探究与证明,培养了学生分析问题和解决问题的能力,提升了学生的思维品质.
课堂时间有限,练习不够充分.
三角形中位线的性质定理是一个很重要的定理,对很多问题的解决很有帮助,在课堂上多设计典型的题目,提高学生的思维和对三角形的中位线的性质定理的应用意识.
随堂练习(教材第152页)
1.解:周长等于(8+10+12)=15(cm).
2.提示:MN是△ABC的中位线,AB=2MN.
习题6.6(教材第152页)
1.证明:∵D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,∴DE=AB=BF,DF=AC=EC,∴四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+AE+EC=AB+AC.
2.已知:如图所示,在△ABC中,中位线EF与中线AD相交于点O.求证:AD与EF互相平分.证明:如图所示,连接DE,DF,∵点D,E分别是BC,
AB的中点,∴DE∥AC,同理得DF∥AB,∴四边形AEDF是平行四边形,∴AD与EF互相平分.
3.解:四边形EGFH是平行四边形.证明如下:∵点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,∴EG∥BC,HF∥BC,GF∥AD,EH∥AD,∴GE∥HF,GF∥EH,∴四边形EGFH是平行四边形.
4.解:取△CMN的边CM和CN的中点E,F,量出线段EF的长度即可求出MN的长度,因为线段EF是△CMN的中位线,所以MN=2EF,可求出A,B间的距离AB=4EF.
三角形中位线定理的引入:三角形中位线定理的引入可以用开放式的方法,课前让学生准备一个任意三角形.
问题:把三角形剪一刀,然后把它重新拼成一个平行四边形!你能用什么办法解决这个问题
学生一般都会从中位线处剪切,把原三角形剪切成一个三角形和一个梯形.然后把三角形旋转180°与原来的梯形拼成一个平行四边形.
说明:本过程学生基本都能通过思考解决,但教师要注重学生表达自己思路形成的过程,同时要求学生说明这样做的道理.这个过程既可以为中位线性质的证明做好准备,又可(共8张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
3
三角形的中位线
学
习
新
知
问题思考
如图所示,A,B两地被池塘隔开,小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说说其中的道理吗
三角形中位线的定义和性质
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
方法一:度量.
(1)画图:画△ABC及△ABC的中位线DE.(D,E分别在AB,AC上)
(2)度量:用量角器测角度:∠ADE= ,∠B= ;用直尺测长度:DE= ,BC= .
(3)结论:DE与BC的位置关系:DE BC;DE与BC的数量关系:DE BC.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法二:旋转拼图.
如图(1)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF⊥BC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADH;同样过点E作EG⊥BC,把△CEG绕点E逆时针旋转180°得到△AEM,形成长方形HFGM.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
如图(2)所示,先对折得到AB的中点D,AC的中点E.过点D作DF∥AC,把△BDF绕点D顺时针旋转180°得到△ADG,形成平行四边形AGFC.从而得出结论:DE平行于BC并且等于BC的一半.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
方法三:几何证明.
已知:如图(1)所示,DE是△ABC的中位线.
求证:DE∥BC,DE=
BC.
证明:如图(2)所示,延长DE到F,使EF=DE,连接CF.
在△ADE和△CFE中,
∵AE=CE,∠1=∠2,DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD,
∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DF∥BC,DF=BC.
∴DE∥BC,DE=
BC.
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
议一议
顺次连接四边形四条边的中点,所得的四边形有什么特点
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明的方法实际上并不难.证明思路是:作原四边形的一条对角线,利用三角形中位线定理证明新四边形的一组对边平行且相等.已知四条线段的中点,可设法应用三角形中位线定理,找到四边形EFGH的边之间的关系.而四边形ABCD的对角线可以把四边形分成两个三角形,所以连接AC或BD,构造“三角形的中位线”的基本图形.
检测反馈
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,∠A=50°,∠ADE=
60°,则∠C的度数为( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
解析:在△ADE中,利用三角形内角和定理求出∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°,∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,∴∠C=∠AED=70°.故选C.
C
2.已知△ABC的周长为50
cm,D,E,F分别为△ABC中AB,BC,AC边的中点,且DE=8
cm.EF=10
cm,则DF的长为
cm.
解析:由三角形中位线定理可知:AC=2DE=16
cm.AB=2EF=20
cm,所以BC=50-16-20=14
(cm),根据三角形中位线定理可得:DF=
BC=7
cm.故填7.
7
3.如图所示,已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上的点,且CE=DC,连接AE分别交BC,BD于F,G,连接AC交BD于O,连接OF,求证:
(1)AF=EF;
(2)DE=4OF.
证明:(1)如图所示,连接BE,
易知CE AB,
∴四边形ABEC为平行四边形.
∴AF=EF.
(2)由(1)知BF=FC,
∵OA=OC,
∴OF为△ABC的中位线,
∴OF=
AB,
∴DE=2AB=4OF.(共8张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
平行四边形的判定
（第3课时）
学
习
新
知
问题思考
1.平行四边形的定义是什么
2.平行四边形有哪些性质
3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些
平行线之间的距离
(教材例3)已知:如图所示,直线a∥b,A,B是直线a上任两点,AC⊥b,BD⊥b,垂足分别为C,D.求证:AC=BD.
〔解析〕 本题条件中已经知道四边形ABDC中有一组对边互相平行,如果再能证明另一组对边AC和BD也平行,根据平行四边形的性质即可得出AC和BD相等的结论.
证明:∵AC⊥CD,BD⊥CD,
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD,
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义).
∴AC=BD(平行四边形的对边相等).
【归纳】 如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为平行线之间的距离.
结论:夹在两条平行线间的平行线段一定相等.
[议一议]
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗
[做一做]
如图所示,以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形,并说明你画图的方法和其中的道理.
(教材例4)已知:如图所示,在□
ABCD中,点M,N分别在AD和BC上,点E,F在BD上,且DM=BN,DF=BE.
求证:四边形MENF是平行四边形.
【解析】 本例综合应用平行四边形的性质和判定定理.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠MDF=∠NBE.
∵DM=BN,DF=BE,
∴△MDF≌△NBE.
∴MF=NE,∠MFD=∠NEB.
∴∠MFE=∠NEF.
∴MF∥EN.
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
检测反馈
1.如图所示,直线l1∥l2,A,C,F在l1上,B,D,E,G在l2上,且AB∥CD,CE⊥l2,FG⊥l2,则下列说法不正确的是
( )
A.AB=CD
B.A,B两点之间的距离就是线段AB的长
C.CE=FG
D.直线l1,l2的距离就是线段CD的长
解析:四边形ABDC是平行四边形,所以A对;由线段的长的定义可知A,B两点之间的距离就是线段AB的长,所以B对;因为CE⊥l2,FG⊥l2,l1∥l2,所以CE=FG,所以C对;由平行线之间的距离的定义,直线l1,l2的距离就是线段CE或FG的长,所以D错误.故选D.
D
2.在□
ABCD中,AD=16,AB=20,AB与CD之间的距离为8,则AD与BC之间的距离为 .
解析:如图所示,
∵S ABCD=AB×DE=BC×DF,
∴20×8=16×DF,∴DF=10.故填10.
10
3.如图所示,已知直线m∥n,A,B为直线n上两点,C,P为直线m上两点.
(1)请写出图中面积相等的三角形.
答:
.
(2)如果A,B,C为三个定点,点P在m上移动,那么无论P点移动到任何位置,总有 与△ABC的面积相等,
理由是
.
△ABC和△ABP;△ACP和△BCP;△AOC和△BOP
△ABP
同底等高的三角形面积相等
4.如图所示,ABCD是长方形纸片,翻折∠B,∠D,使BC,AD恰好落在AC上.设F,H分别是B,D落在AC上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB,CD的交点.求证:四边形AECG是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是长方形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠DAC=∠BCA.
由折叠可知∠1=
∠DAC,∠2=
∠BCA,
∴∠1=∠2,
∴AG∥CE,
又AE∥CG,
∴四边形AECG是平行四边形.(共9张PPT)
八年级数学·下
新课标[北师]
第六章
平行四边形
学习新知
检测反馈
平行四边形的性质
（第1课时）
学
习
新
知
问题思考
平行四边形是我们常见的图形,小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏等,都设计成平行四边形的形状.
平行四边形在生活中比比皆是,那么它有什么样的性质 又如何判断一个四边形是平行四边形呢
平行四边形的性质
(2)可以通过推理来证明这个结论.
实践探索:(1)通过剪纸,拼纸片,及旋转,可以观察到平行四边形的对边、对角分别相等.
(平行四边形对边相等的证明)如图(1)所示,四边形ABCD是平行四边形.
求证AB=CD,BC=DA.
证明:如图(2)所示,连接AC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,BC∥DA(平行四边形的定义).
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵AC=CA,
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=DC,BC=DA.
你能证明平行四边形的对角相等吗？
【做一做】 (1)平行四边形是中心对称图形吗 如果是,你能找出对称中心并验证你的结论吗 (2)你还发现平行四边形具有哪些性质
平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等.
平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.
(教材例1)已知:如图所示,在□ABCD中，E,F是对角线AC上的两点,并且AE=CF.
求证BE=DF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD(平行四边形的对边相等),
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAE=∠DCF.
又∵AE=CF,
∴△ABE≌△CDF.
∴BE=DF.
(补充例题)如图所示，在
□ABCD中,AE=CF,求证AF=CE.
〔解析〕 要证AF=CE,需证△ADF≌△CBE,由于四边形ABCD是平行四边形,因此有∠D=∠B,AD=BC,AB=CD,又AE=CF,根据等式性质,可得BE=DF.由“边角边”可得出三角形全等,从而得到所需要的结论.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B，AD=BC，AB=CD.
∵AE=CF,∴BE=DF.
∴△ADF≌△CBE.
∴AF=CE.
1.在
中,若∠B=60°,则∠A= ,∠C= ,∠D= .
□ABCD
120°
120°
60°
解析:由∠A+∠B=180°,∠A-∠B=20°,解得∠A=100°,所以∠A=∠C=100°.故填100°.
2.在
中,若∠A比∠B大20°,则∠C= .
□ABCD
100°
3.在□ABCD中,若AB=3,BC=5,则AD= ,CD= .
解析:AD=BC=5,CD=AB=3.
5
3
检测反馈
□ABCD
4.(2015·梅州中考)如图所示，在
中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，求
的周长.
□ABCD
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
∴AE+DE=AD=BC=6,
∴AE+2=6,∴AE=4,
∴AB=CD=4,
∴
的周长=4+4+6+6=20.
□ABCD
5.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证AE=CF.
证明:∵BE=DF,
∴BE-EF=DF-EF,
∴BF=DE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).∴AE=CF.